第15章.压杆稳定-2

•4.计算安全系数，稳定性校核
n
注意
在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被消弱的情况，如 杆上有孔、切槽等。
由于压杆的临界载荷是整个压杆的弯曲变形来决定的，局部 截面的消弱对整个变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面 几何量。 但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱 了的截面进行强度校核， a、压杆的稳定取决于整个杆件的弯曲刚度；
8
§15-4 压杆的稳定条件与合理设计
一、压杆的稳定条件
Fcr F [F ] nst
nst： 稳定安全系数
Fcr 工作安全系数 n nst F
cr n nst
9
11-4
压杆稳定性校核的步骤：
•1.计算压杆柔度
•2.确定临界柔度

l
i
i
I A
2E P P
A
B
5、立柱为实心圆截面，直径为D＝20毫米，材料的 弹性模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa, 稳定安全系数为nst=2。校核立柱的稳定性。
0.6m
0.6m
0.6 m
Q=10KN
6、如图所示中的直角三角形桁架，三杆的直径均为 30毫米，A点的力P水平P＝30KN，若材料的弹性 模量为E＝200GPa，屈服极限为σs＝240MPa，比 例极限为σp＝200MP，材料常数为a＝304MPa，b ＝1.12Mpa。稳定安全系数为nw＝2.4。校核结构的 稳定性。 P
14
更安全！
例2：空压机活塞杆由45＃制成。s＝350MPa，p＝280MPa，E ＝210GPa。L＝703mm，d＝45mm，Fmax＝41.6kN，规定安全系 数nst＝8。试校核其稳定性。 解：活塞杆两端为铰支，＝1。
i
I A
4 d d 64 2 4 4 d

2E p 86 p
P 比例极限
Hale Waihona Puke Baidu 屈服极限
•3.根据柔度选择公式，计算临界应力
P (大柔度杆)
P s (中柔度杆)
s
(小柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式 直线公式 强度问题
cr a b
cr s
7
l i
l
Fcr cr A
13 图示结构AB为圆截面直杆，直径d=80mm，A 端固定，B端与BC直杆球铰连接。BC杆为正方形 截面，边长a=70mm，C端也是球铰。两杆材料相 同，弹性模量E=200GPa，比例极限=200GPa，长 度l=3m，求该结构的临界力。
2 EI 2 70 10 9 100 40 3 10 12 3 Pcr 10 334 .2k N 2 2 ( l ) (0.7 1.5) 12
26
练习题
1、圆截面杆BD的直径为ｄ＝35毫米，采用普通碳 钢，弹性模量 Ｅ＝200GPａ，比例极限为σP＝ 200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ＝304 MPａ，ｂ＝1.12 MPａ，稳定安全系数取ｎw＝ 3，载荷G＝30K N，校核BD杆的稳定性。
A 1250 750
1000
7、各杆的材料相同，横截面同为直径为D的圆截面 ，按稳定性排序。
5m
7m 3m
8m
5m
8、若直径为d的实心圆杆与内外直径比为d2/D2=0.7 的空心圆管的横截面面积相同，从稳定性的角度考 虑，以下四种方案中较为合理的是 ，论述原因。
9、若直径为d的实心圆杆与内外直径比为 d2/D2=0.7的空心圆管的横截面面积相同，从稳定 性的角度考虑，以下两种方案中较为合理的是 ，论述原因。
1.5 cos30
l
i

1
AB为大柔度杆
1.732m
2 EI Fcr 118kN 2 l
i
I A
D4 d 4 4 64 D 2 d 2


Fcr 118 4.42 n 3 n st 26 . 6 FN
D2 d 2 16mm 4
A
L
B
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ ，弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ ，屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2 ，ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗 ？
L
60
100
4、AB杆的两端固定，在20OC时杆内无内力。已知 ：杆长为L＝400毫米，杆的直径d＝8毫米，材料的 弹性模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa， 线胀系数α＝1.25×10-51/OC，杆的稳定安全系数为2 ，当温度升高到40OC时，校核杆的稳定性。
p 100, s 60 ,规定的强度安全系数nst 2，稳定安全系 数 nst 3 ，试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
C 2 F
45°
B 1 A 0.6m
23
解: １、受力分析
FN 1 2 F (拉 )， FN 2 F (压 )
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
B G 2m
1m
D
1m
2、横梁AB与拉杆BC的直径相同，D＝40毫米，同 为普通碳钢。弹性模量 Ｅ＝200GPａ，，比例极 限为σP＝200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ， ａ＝304，ｂ＝1.12，屈服安全系数取ｎs＝1.5， 稳定安全系数取ｎw＝5，L＝2米，均布载荷的集 q 度ｑ＝2KN/ｍ，校核系统。
L 1 1.5 10 3 109 i 13.75 属大柔度杆。
3.14 2 210 10 9 3.14 2 6 55 10 109 2 4 414 ( KN ) 12

3、稳定性计算
P 414 cr 5.18 nst P 80
安全
讨论：1）、 若 L=2m
S P
(中柔度杆) 经验直线公式
cr a b
其中，
s
a s s b
(小柔度杆)
cr s
5
强度问题
临界应力总图
6
计算临界应力的步骤：
•1.计算压杆柔度
•2.确定临界柔度

l
i
i
I A
2E P P
a s s b
则 : 145.5
Pcr 232 .2(KN),
P cr 2.9 nst P
13
不安全！
讨论： 2）、 若：
0.7 1.5 10 76.4 p 13.75
3
s 56(中粗杆)
Pcr ( a b ) A
518 .7( KN)
Pcr 518 .7 6.48 P 80
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 ( a b ) A2 151 .47 KN
Fcr 151 .47 50 .5 KN FN 2 F nst 3
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26 .7 KN
25
【例7】图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能 用，临界力为多少。 P
Fcr n 11.5 nst Fmax
活塞杆满足稳定性要求
16
例3 有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高 度l=50cm,求临界载荷 Fcr 。(已知 s 235 MPa , p 200 MPa ) 解:
F
惯性半径: 柔度:
I d i A 4
l 2 0 .5 77 i d /4
【解】
I I min I y
Iy 100 40 3 20 mm A 12 100 40 3
40
i
1.5m
100
z
y
0.7 1.5 10 3 3 90.9 i 20
l
P
E
P
70 10 3 62 .8 175
因≥ P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：
P
工作安全系数 ： nst cr Fcr 276.2 1.834 wr FP 150
nst> [nst ] =1.8
压杆的稳定性是安全的
22
例6 简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：d1 30 mm ，杆
AC： d 2 20 mm ,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa, s 240 MPa
P 比例极限
a s s 屈服极限 s b •3.根据柔度选择公式，计算临界应力
P (大柔度杆)
P s (中柔度杆)
s
(小柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
直线公式
cr a b
cr s
10
强度问题
Fcr nst F
10、图示结构中四根压杆的长度、材料、截面形 状、横截面面积均相同，排序出在纸平面内失稳 的先后顺序。
11、图示中的正方形桁架的几何尺寸、杆的横截面 直径、材料、力P及其作用点均相同，若它们所承 受的最大外力分别为P1、P2、P3，按从大到小的顺 序排列。
P1
P2 P3
12 设千斤顶的最大承载压力为P=150kN，螺杆内径 d=52mm，l=50cm。材料为A3钢，E=200GPa。稳定 安全系数规定为nst=3。试校核其稳定性。
b、对于局部削弱的横截面，应进行强度校核。
例1、L=1.5m (两端铰支)，d=55mm，A3钢（p=102，s =56） E=210GPa，P=80KN，nst=5，试校核此连杆稳定性。
解： 1、计算
i I d 13 .75mm A 4
2、计算Pcr（cr） 2E Pcr A 2
FN 1 FN 2
A
F
FN 1 s 1 ns A1 s A1 26 .7 KN F 2 ns 3、由杆AB的稳定条件确定 Fmax 。
Fcr n nst FN 2
24
柔度:
l 2 1 0 .6 80 i2 d2 / 4
s < p
20
AB杆满足稳定性要求
例5
正视图 俯视图
已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢, E＝ 205 GPa, FP＝150 kN, nst=1.8, p 86 校核: 稳定性是否安全。
21
解：压杆在正视图平面内，两 端约束为铰支,
z=z l / iz ,
工程力学
主讲教师： 王明禄
第十五章
压杆稳定问题
§15-1 压杆稳定的概念 §15-2 临界载荷的欧拉公式
§15-3 中小柔度杆的临界压力
§15-4 压杆稳定条件与合理条件
2
§15-3 中小柔度杆的临界应力
11-3
3
欧拉公式只适用于大柔度压杆
11-3
4
中小柔度杆临界应力计算
(大柔度杆)
欧拉公式

l 703 62.5 45 i 4
p
查表a＝461MPa，b＝2.568MPa。
s
s a
b

中柔度杆
15
s p
所以用直线公式
cr a b 461 2.568 62.5 301 MPa
Fcr A cr 478 kN
2E p 100 p
A3钢: 可查得
a 304 MPa , b 1 .12 MPa
a s s 61.6 b
17
a s 0 61.6 b
0 < p
因此
可用直线公式.
Fcr cr A ( a b ) A
2 (304 1.12 77 ) 10 d 4
iz Iz A
Iz=bh3/12
z=132.6
压杆在俯视图平面内，两端约束为固定端
y=y l / iy ,
iy Iy A
Iy=hb3/12
y=99.48
因此，压杆将在正视图平面内失稳。
πd 2 Fcr ( z ) cr A 2 276.2 kN 4 π2E
又由于
6
462 KN
18
例4
解： CD梁
M
C
0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
l
19

l
i

1
1.732m
1.5 cos30
FN 26.6kN
11.732103 得 108 P 16
AB杆
l