可逆矩阵及其简单应用

它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。

【关键词】矩阵可逆矩阵通信

【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that some

important properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.

【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications

目录

前言 (5)

一、可逆矩阵 (5)

二、可逆矩阵的性质及求法 (5)

（一）性质 (5)

（二）逆矩阵求法 (6)

三、可逆矩阵的简单应用 (10)

（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)

（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)

（1）加密保密通信模型 (12)

（2）可逆矩阵的应用 (12)

（3）加密密钥的生成 (13)

（4）解密密钥的生成 (14)

（5）明文矩阵的选择 (14)

（6）加密矩阵的选择 (14)

（7）算法优化 (14)

结论 (15)

参考文献 (15)

致谢16

前言

矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。可逆矩阵是矩阵知识的一个基础支流，借助自身优秀的性质特点，为更高层的矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容。

一，可逆矩阵

定义：在线性代数中，给定一个 n 阶方阵

，若存在一 n 阶方阵，使得 ，其中

为 n 阶单位矩阵，则称是可逆的，且

是

的逆矩

阵，记作

。

若方阵的逆阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵。

二、可逆矩阵的性质及求法 （一）性质

（１）如果A 可逆，则1

-A 也可逆，且A A =--1

1)

(．

由可逆的定义，显然有A 与1

-A 是互逆的． （２）如果

A 、

B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．

这是因为 E A A AEA A

BB A A B AB =⋅===------111

1

1

1

)())((

E B B EB B B A A B AB A B ====------1

1

1

1

1

1

)())(( 所以 111

)

(---=A B AB ．

这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.

（３）可逆矩阵A 的转置矩阵T

A 也是可逆矩阵，且T T

A A )()

(11

--=．

这是因为 E E A A A A T

T

T

T

===--)()(1

1 E E

AA A A T

T

T

T

===--)()(11

所以 T T A A )()

(11

--=．

（４）如果A 是可逆矩阵，则有1

1

--=A A ．

这是因为 E AA =-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ， 所以 1

1

1--==

A A

A

． （二）逆矩阵求法

方法一伴随矩阵法

定义1设A=()

ij a 是n 级方阵，用ij A ，表示A 的(ij)元的代 数余子式(i=l ，2，⋯，n)，

矩阵

1111n n nn A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

称为A 的伴随矩阵，记作*A 若A ≠0，并且当A 可逆时有*

1A A A

-

=

这种方法在理论上很有用,在实际计算中常用于2级或 3级矩阵。

例：A=123456346⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

用伴随矩阵法求A -

解：：因为123

4

56346

A ==1，所以A 可逆，而1158

246

A ==-

1248036

A =-

=,1345134

A =-

=,21A =0,22A =-3,23A =2,31A =1,32A =4

33A =-3

∴*1A A A -==201034123-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪

⎝⎭

方法二 二阶矩阵的公式求逆法 设a b A c d ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

(其中ad-bc ≠0，即A ≠0)，