可逆矩阵及其简单应用
可逆矩阵的性质与应用
可逆矩阵的性质与应用矩阵是数学中的一个基础概念，可逆矩阵是其中一个重要的概念，它在矩阵运算和计算机图形处理等领域中有着广泛的应用。
本文旨在介绍可逆矩阵的性质与应用，为读者理解和掌握相关知识提供一些帮助。
一、可逆矩阵的定义和性质可逆矩阵的定义很简单，一个n阶矩阵A，如果存在另一个n 阶矩阵B，使得AB=BA=E（其中E为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
这也可以写成A×B=E或者B×A=E的形式。
可逆矩阵有一些重要的性质：1. 可逆矩阵是方阵：因为可逆矩阵的定义涉及到乘法，所以一个矩阵只有在行数等于列数（方阵）时才能有逆矩阵。
2. 可逆矩阵的逆是唯一的：因为只有一个矩阵能与原矩阵乘积结果为单位矩阵，所以A的逆矩阵B也是唯一的。
3. 可逆矩阵的转置仍是可逆矩阵：若A为可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵。
4. 可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵：若A和B都是可逆矩阵，则它们的乘积AB也是可逆矩阵，并且(AB)的逆等于B的逆乘A的逆，即(AB)的逆=B的逆×A的逆。
5. 非零行列式的矩阵都是可逆矩阵：如果一个n×n的矩阵A行列式不为零，则A一定是可逆矩阵。
6. 可逆矩阵的行列式也为非零值：如果一个n×n的矩阵A可逆，则它的行列式也不为零。
二、可逆矩阵的应用可逆矩阵在线性代数、微积分、计算机图形学等领域中有着广泛的应用，下面简单介绍几个常见的应用。
1. 线性方程组的解法解线性方程组的基本方法就是利用矩阵的逆，假设有线性方程组Ax=b，其中A是一个可逆的矩阵，b是一个n维列向量，x是一个n维未知向量。
则可以用逆矩阵求解，即x=A⁻¹b。
2. 矩阵的求逆求一个矩阵的逆矩阵是很有用的，因为它可以用来解线性方程组、求解矩阵特征值、计算行列式等。
可以使用高斯-约旦消元法来计算逆矩阵，但是这个方法很慢而且需要做很多运算。
如果使用矩阵的初等变换的话，可以快速求解。
浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用
㊀㊀㊀㊀㊀１５２㊀浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用Һ孟庆云㊀王玉雷㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ可逆矩阵是矩阵家族中最重要的一类．可逆矩阵由于其可逆的性质（可以在研究对象的一侧乘上可逆矩阵，并可以通过在同一侧继续乘上其逆矩阵而将其消去），使得可逆矩阵的作用来去自如，其应用灵活㊁有效．本文从作用的角度，以实例分析的方式解析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用，进一步解析矩阵实现线性变换的机理，从而帮助我们了解矩阵的运动变换属性．ʌ关键词ɔ可逆矩阵；线性变换；作用；反作用ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金面上项目 有限群的特征标与群结构 （１１７７１３５６）；河南工业大学高等代数一流课程项目（０１１２／２６５１０００２）．引㊀言从矩阵的定义来看，矩阵是一个数表，是信息的载体，这体现的是矩阵的静态作用．然而更多的时候，矩阵是通过运算，特别是矩阵乘法运算实现其对研究对象的动态作用．我们以 榜样 这个词作为类比：当我们说张三是我们学习的榜样，那么这里 榜样 是一个名词，但其反映更多的是张三所起到的是能对我们产生积极影响的作用．可逆矩阵由于其可逆性，使得其成为刻画和描述可逆过程的得力工具．本文中，我们以实例分析的方式探析可逆矩阵的运动变换属性，从而拓展对可逆矩阵及其逆矩阵的理解与运用．１㊀实例例１㊀加密矩阵与解密矩阵图１是保密通信系统中信息传输端的简单模型．图１通常，信息用二元域上的ｎ维向量表示．在发送端，明文信息α经过加密矩阵Ｋ（ｎ阶可逆方阵）的作用（Ｋ左乘α）得到密文信息β＝Ｋα，这是加密的过程．加密过的信息β经过传输到达信息的接收端，还需要解密还原成明文信息才能被识别．这一过程需要解密矩阵Ｘ（即加密矩阵Ｋ的逆矩阵）的作用．具体为解密矩阵Ｘ左乘作用在密文β上，即Ｘβ＝ＸＫα＝Ｋ－１Ｋα＝α，从而将明文信息α还原．由此可看出：任意ｎ阶可逆矩阵可充当加密矩阵对明文信息进行加密，而其逆矩阵则为解密矩阵，可将加密过的信息进行解密还原，两者所起到的作用是相反的．事实上，可逆矩阵在保密通信中有着深入广泛的应用．［１］例２㊀逆时针旋转矩阵与顺时针旋转矩阵记Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷，观察矩阵Ａ左乘作用在向量α上的结果Ａα，其中α＝ｘｙæèçöø÷＝ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷，α为平面上任意给定的２维向量，ｒ与φ分别表示向量α的长度与辐角．记 α＝Ａα，则 α＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷＝ｒｃｏｓ（φ＋θ）ｒｓｉｎ（φ＋θ）æèçöø÷．由此可看出：Ａ左乘α的效果是将α逆时针旋转θ角，从而得到 α，如图２所示．由此，我们称Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷（其中θ为任意给定的角度）为逆时针旋转矩阵．图２反之，注意到矩阵Ａ可逆，且Ａ－１＝ｃｏｓθｓｉｎθ－ｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷．将Ａ－１左乘 α继续作用在α上，可得Ａ－１将 α顺时针旋转θ角变回α，如图３所示．即Ａ－１为顺时针旋转矩阵，其能够将平面上过原点的向量作顺时针旋转．在此例中，我们看到旋转矩阵能使向量旋转的动态作用．图３例３㊀沿线反射矩阵记Ａ＝１００－１æèçöø÷，观察Ａ作用在２维向量α＝ｘｙæèçöø÷上的结果Ａα＝ｘ－ｙæèçöø÷．㊀㊀㊀１５３㊀㊀图４从图４可以看出：Ａ＝１００－１æèçöø÷的作用是将向量α沿ｘ轴所在的直线进行反射．一般地，设向量ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷为任意一个单位向量，θ为向量ε与ｘ轴正向的夹角．则向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线的反射：Ｔ（α）＝２（α，ε）ε－α＝２（ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ）ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷－ｘｙæèçöø÷＝ｘ（２ｃｏｓ２θ－１）＋ｙｓｉｎθｘｓｉｎ２θ＋ｙ（２ｓｉｎ２θ－１）æèçöø÷＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷ｘｙæèçöø÷其中Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷．即矩阵Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷具有将向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线反射的作用，如图５所示．图５若记α＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷，其中：γ，φ分别为向量α的长度与辐角．显然，Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷是可逆的，其逆Ａ－１＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷＝Ａ，且Ａ－１（Ａα）＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷γｃｏｓ（２θ－φ）ｓｉｎ（２θ－φ）æèçöø÷＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷＝α．即Ａ－１＝Ａ将Ａα还原为α，从图５来看，这显然是的．值得注意的是，例２中的旋转矩阵与例３中的沿线反射矩阵都是正交矩阵，这是一类特殊的可逆矩阵．这类矩阵所引起的变换称为正交变换，它们是保内积的变换，从而是保距也是保夹角的变换．因此，这类变换将一个图形变成与之全等的图形．更多的图形变换如：缩放变换㊁平移变换均可由相应的矩阵来实现，并且这些变换是可逆变换，相应的矩阵也均是可逆矩阵．我们需要注意的是投影变换也可以由相应的矩阵来实现，只是投影变换不是可逆变换，相应的矩阵不再是可逆矩阵．［２］２㊀理论基础从以上几个例子可以看出：如若说可逆矩阵Ａ提供一种作用，而Ａ的逆矩阵提供的则是与Ａ相反的一种反作用，且矩阵对向量的作用可通过矩阵左乘相应向量来实现．运用矩阵乘法结合律，对向量多个连续作用，可通过相应的多个矩阵的乘积来实现，从而使得可逆矩阵的应用灵活有效．定理㊀对矩阵做一次初等行变换，其结果等于在原矩阵的左端乘上相应的初等矩阵；对矩阵做一次初等列变换，其结果等于在原矩阵的右端乘上相应的初等矩阵．由于可逆矩阵是初等矩阵的乘积，因此对矩阵做初等变换就是通过可逆矩阵实现的．从这个理论层面，我们也可以理解矩阵的运动变换属性．更广泛地，对于给定数域Ｆ上的ｎ维线性空间Ｖ，记Ｖ上的所有线性变换构成的Ｆ上的线性空间为Ｌ（Ｖ）．在取定Ｖ的一组基下，我们知道：ＶɸＦｎ，Ｌ（Ｖ）ɸＭｎ（Ｆ），这里，Ｆｎ为数域Ｆ上的ｎ维向量空间，Ｍｎ（Ｆ）为Ｆ上所有ｎ阶方阵构成的ｎ２维线性空间．［３］我们借助以上两个线性同构，再通过矩阵作用于向量的坐标，可以实现所有线性变换对线性空间的作用．比如：例２中的２阶旋转矩阵实现的是对２维向量空间中向量的旋转变换．由此，从动态的角度来看，矩阵的本质是作用㊁是运动㊁是变换．而其中可逆矩阵提供可逆变换．特别地，将Ｍｎ（Ｆ）中的可逆矩阵拿出来，按矩阵的乘法构成一个群，称之为域Ｆ上的一般线性群，记为ＧＬｎ（Ｆ）．对于一般的抽象群Ｇ，通过建立Ｇ到群ＧＬｎ（Ｆ）的同态映射，则可以赋予抽象群Ｇ中每个元素一个作用，即其同态像也就是其所对应的矩阵的作用，从而使得Ｇ有更广泛㊁丰富的内涵，由此进一步研究抽象群Ｇ的性质与结构，这便是群的表示理论．３㊀总结本文通过几个例子从实用性和几何直观两个方面来说明和阐述可逆矩阵的动态作用以及其逆矩阵的反作用，并进一步解释可逆矩阵实现矩阵的初等变换以及矩阵实现向量的线性变换机理，从而帮助我们了解矩阵的作用㊁运动与变换的动态属性，最后，借助矩阵的动态作用，引出群表示理论的思想方法．ʌ参考文献ɔ［１］熊小兵．可逆矩阵在保密通信中的应用［Ｊ］．大学数学，２００７，２３（３）：１０８－１１２．［２］王志俊，姜咏梅，田记．矩阵在图形学几何变换中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１４（１）：８７－８８，９９．［３］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．。
矩阵的逆及其应用
１
即 Ａ· （ Ａ＋ ２Ｅ） ＝ Ｅ，所以，Ａ 可逆，且 Ａ －１ ＝ （ Ａ ＋
４
４
２Ｅ） ．
７ 结 语
逆矩阵在矩阵中占有重要地位．本文归纳总结了 ５ 种求
逆矩阵的方法：定义法，伴随矩阵法，分块矩阵法，初等变换
法，恒等变形法，通过分析例题，提高学生分析问题、解决问
题的能力．
【 参考文献】
［１］ 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等
将给出几种求逆矩阵的方法以及逆矩阵的应用，通过对如
何求解逆矩阵的方法进行总结来帮助学生解决学习逆矩阵
过程中所存在的困惑．
２ 可逆矩阵的概念
定义 ３．１ 设 Ａ 是 ｎ 阶方阵，如果存在 ｎ 阶方阵 Ｂ，使
得 ＡＢ ＝ ＢＡ ＝ Ｅ，就称 Ａ 是可逆矩阵或非退化矩阵，简称 Ａ
可逆或非退化，而 Ｂ 称为 Ａ 的一个逆矩阵． 否则，就称矩阵
Ａ ．
｜Ａ｜
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵既
方便，又有规律可循．因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要
将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可．但
是当矩阵是三阶、四阶及以上时，则慎重选择此方法，因为
计算量会很大．
１ ２
例 利用伴随矩阵法求矩阵
的逆矩阵．
３ ４
１ ２
解 令 Α ＝
．
Ｂ －１ ø
æ２ １
ç３ ２
例 若 Ｍ ＝
çç ０ ０
è０ ０
逆，请求 Ｍ 的逆．
－１
ç
－１
( ＡＣ Ｂ０ ) 可 逆， 且 ( ＡＣ Ｂ０ )
－１
÷
ｂ． 分 块 下 三 角 矩 阵
＝æ
( Ａ０ ＣＢ ) 可 逆， 且 ( Ａ０ ＣＢ )
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵 算法-概述说明以及解释
逆矩阵算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，它在线性代数、数值计算等领域中都有广泛的应用。
简单来说，对于一个可逆的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积等于单位矩阵I，那么我们称B为A的逆矩阵。
逆矩阵在很多实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将主要介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
首先，我们将给出逆矩阵的定义，并讨论什么样的矩阵会存在逆矩阵以及如何判断一个矩阵是否可逆。
然后，我们将深入探讨逆矩阵的性质，比如逆矩阵的唯一性以及逆矩阵与矩阵的乘法规则等。
接下来，我们将介绍一些常见的逆矩阵计算方法，包括伴随矩阵法、初等变换法以及利用矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵等。
逆矩阵算法在数值计算中具有广泛的应用领域。
例如，在线性方程组的求解中，我们可以利用逆矩阵的性质来求解未知数向量。
此外，在图像处理、信号处理、网络优化等领域也都可以看到逆矩阵算法的应用。
逆矩阵算法的发展前景非常广阔，随着计算机计算能力的不断提升，逆矩阵算法将能够承担更加复杂和庞大的计算任务。
总之，逆矩阵算法是一项重要且充满潜力的计算方法，它在线性代数和数值计算领域具有重要的地位。
通过深入研究和应用逆矩阵算法，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而为实际问题的求解提供有效的数学工具。
在接下来的正文中，我们将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法，以期帮助读者更好地理解和应用逆矩阵算法。
文章结构部分的内容如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容：引言部分将首先概述逆矩阵算法的背景和重要性，介绍本文的目的，并对整篇文章进行总结。
正文部分将着重介绍逆矩阵的定义，包括数学上对逆矩阵的准确描述。
随后，我们将详细探讨逆矩阵的性质，包括逆矩阵与原矩阵之间的关系，以及逆矩阵的特点和作用。
最后，我们将介绍逆矩阵的计算方法，包括传统的高斯消元法和基于分解的LU分解法等。
结论部分将重点探讨逆矩阵算法的重要性，阐述逆矩阵算法在实际问题中的应用领域，如线性方程组的求解、图像处理和机器学习等。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
初等变换的关系及可逆矩阵的分解
初等变换的关系及可逆矩阵的分解引言初等变换是线性代数中重要的概念之一，它是对矩阵进行的一系列基本操作，可以改变矩阵的性质。
可逆矩阵则是一种特殊的矩阵，它可以通过初等变换来转化为单位矩阵，具有许多重要的性质和应用。
本文将详细讨论初等变换的关系以及可逆矩阵的分解。
初等变换的种类在矩阵的初等变换中，主要包括三种基本操作：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数和某一行（列）加上另一行（列）的倍数。
这些操作是可逆的，也就是说可以通过一系列的逆操作恢复原矩阵。
初等变换可以改变矩阵的行列式的值、秩的值以及解的形式。
初等变换的关系几种常见的初等变换操作之间存在一些重要的关系，这些关系可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和进行相关的计算。
交换两行（列）的关系交换两行（列）的次序不会改变矩阵的秩，也不会改变矩阵的行列式的值。
但是，交换两行（列）会改变矩阵的特征向量和特征值。
数乘某一行（列）的关系数乘某一行（列）会改变矩阵的行列式的值，但不会改变矩阵的秩。
数乘某一行（列）会改变矩阵的特征向量和特征值。
两行（列）相加的关系两行（列）相加不会改变矩阵的行列式的值和秩。
两行（列）相加会改变矩阵的特征向量和特征值。
可逆矩阵的定义可逆矩阵是一个非奇异矩阵，也就是行列式的值不为零。
可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
可逆矩阵的性质可逆矩阵具有许多重要的性质和特点，这些性质对于矩阵的计算和应用具有重要意义。
可逆矩阵的乘法两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，且可逆矩阵的乘法满足结合律和分配律。
可逆矩阵的转置可逆矩阵的转置仍然是可逆矩阵。
可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵的逆矩阵也是可逆矩阵，且可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵为原矩阵。
方阵的可逆性判断方阵是可逆矩阵的充要条件是其行列式的值不为零。
可逆矩阵的分解对于可逆矩阵，我们可以通过初等变换将其分解为一系列特殊的矩阵，从而更好地理解和应用可逆矩阵。
行变换的分解对于可逆矩阵A，存在一系列初等矩阵E1、E2、…、En，使得E1E2…EnA为阶梯形矩阵。
二阶矩阵的可逆矩阵
二阶矩阵的可逆矩阵摘要：1.二阶矩阵的定义和性质2.可逆矩阵的概念和判定条件3.二阶矩阵可逆性的判断方法4.逆矩阵的求解及其应用正文：在线性代数中，二阶矩阵是一种基本的矩阵形式。
它由两个矩阵元素组成，分别为行列式中的第一行和第一列元素。
本文将介绍二阶矩阵的可逆矩阵，包括其定义、判定条件、求解方法及应用。
首先，我们来回顾一下二阶矩阵的定义和性质。
二阶矩阵是一个具有以下形式的矩阵：A = | a a || a a |其中，a、a、a和a为矩阵A的元素。
二阶矩阵具有以下性质：1.行和列均为1和2的矩阵为二阶矩阵。
2.二阶矩阵的转置矩阵与原矩阵具有相同的行列式值。
3.二阶矩阵的行列式值为其主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
接下来，我们介绍可逆矩阵的概念和判定条件。
一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个n阶矩阵B，使得AB = BA = I，其中I为单位矩阵。
对于二阶矩阵来说，可逆矩阵的判定条件如下：1.行列式值不为零。
即|A| ≠ 0。
2.逆矩阵的存在性。
当满足判定条件1时，我们可以通过高斯消元法求解二阶矩阵A的逆矩阵。
具体步骤如下：a.将A写成增广矩阵形式。
b.按照增广矩阵的顺序，依次求解第一行和第一列的元素。
c.将求得的元素代入原矩阵，得到A的逆矩阵。
最后，我们来讨论逆矩阵的求解及其应用。
求解逆矩阵的方法有多种，如高斯消元法、求解线性方程组等。
在实际应用中，逆矩阵可以帮助我们解决线性方程组问题、计算矩阵的乘积等。
例如，如果给定一个二阶矩阵A和一个向量b，我们可以通过求解线性方程组来找到一个向量x，使得Ax = b。
这时，逆矩阵A就发挥了重要作用，我们可以将问题转化为求解Ab。
总之，二阶矩阵的可逆矩阵在线性代数中具有重要意义。
通过理解二阶矩阵的定义、判定条件、求解方法和应用，我们可以更好地掌握矩阵的性质和运算。
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在研究线性变换和矩阵的性质时，我们经常会遇到可逆变换和可逆矩阵，它们具有很多重要的性质和应用。
本文将深入探讨可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、可逆线性变换的定义与性质1. 定义：一个线性变换T称为可逆的，如果存在另一个线性变换S，使得TS = ST = I，其中I为恒等变换。
简单来说，可逆线性变换存在一个逆变换，使得它们的乘积等于恒等变换。
2. 性质1：如果线性变换T可逆，那么它的逆变换是唯一的。
换句话说，如果TS = ST = I，那么逆变换S就是唯一的，记作T^{-1}。
3. 性质2：可逆线性变换的逆变换也是可逆的。
如果T可逆，则T^{-1}也可逆，且(T^{-1})^{-1} = T。
4. 性质3：可逆线性变换的转置也是可逆的。
如果T可逆，则其转置T^T也可逆，且(T^T)^{-1} = (T^{-1})^T。
5. 性质4：可逆线性变换的乘积也是可逆的。
如果T和U都是可逆的线性变换，则TU也是可逆的，且(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}。
二、可逆矩阵的定义与性质1. 定义：一个n阶方阵A称为可逆的，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB = BA = I。
类似于可逆线性变换，可逆矩阵存在一个逆矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵。
2. 性质1：如果矩阵A可逆，那么它的逆矩阵是唯一的。
换句话说，如果AB = BA = I，那么逆矩阵B就是唯一的，记作A^{-1}。
3. 性质2：可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的。
如果A可逆，则A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1} = A。
4. 性质3：可逆矩阵的转置也是可逆的。
如果A可逆，则其转置A^T也可逆，且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
5. 性质4：可逆矩阵的乘积也是可逆的。
如果A和B都是可逆的矩阵，则AB也是可逆的，且(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵逆的公式
矩阵逆的公式摘要：1.矩阵逆的定义与重要性2.矩阵逆的计算方法3.矩阵逆的应用举例4.矩阵逆的性质与特点正文：一、矩阵逆的定义与重要性矩阵逆是线性代数中一个非常重要的概念，它对于解决线性方程组等问题有着至关重要的作用。
矩阵逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 是单位矩阵。
矩阵逆元素的求解，可以帮助我们更好地理解线性方程组的性质，从而解决实际问题。
二、矩阵逆的计算方法矩阵逆的计算方法有很多，其中最常用的是高斯消元法和求解线性方程组法。
1.高斯消元法：通过高斯消元法可以将一个矩阵化为行最简形式，从而求得矩阵的逆。
具体操作是将矩阵的每个元素都除以矩阵的第一行第一个元素，然后将矩阵的行进行交换，使得第一行变为单位矩阵，然后继续消元，直到矩阵变为行最简形式。
2.求解线性方程组法：假设有一个线性方程组Ax=B，其中A 是系数矩阵，x 是变量矩阵，B 是常数矩阵。
如果这个线性方程组有唯一解，那么系数矩阵A 的逆就可以通过求解这个线性方程组得到。
三、矩阵逆的应用举例矩阵逆在实际应用中有广泛的应用，下面举一个简单的例子来说明。
假设有一个线性方程组：2x+3y=7，5x-4y=8，我们可以通过求解这个线性方程组得到x 和y 的解，从而验证这个线性方程组是否有解。
通过矩阵逆的计算，我们可以得到矩阵的逆，然后将线性方程组转化为Ax=B 的形式，其中A 是系数矩阵，B 是常数矩阵，然后通过求解这个线性方程组，我们可以得到x 和y 的解，从而验证这个线性方程组是否有解。
四、矩阵逆的性质与特点矩阵逆具有以下几个重要的性质：1.矩阵逆只对可逆矩阵存在，对于不可逆矩阵，没有逆矩阵。
2.矩阵逆是唯一的，即对于一个可逆矩阵，其逆矩阵是唯一的。
3.矩阵逆的计算与求解线性方程组密切相关，可以通过求解线性方程组来计算矩阵的逆。
4.矩阵逆的计算方法有多种，包括高斯消元法、求解线性方程组法等。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）= E + A + A +…+A 1-21-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A +…+ A )= E-A ,21-K K 因A = 0 ,于是得 K (E-A)（E+A+A +…+A ）=E ，21-K 同理可得（E + A + A +…+A ）(E-A)=E ，21-K 因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)= E + A + A +…+A .1-21-K 同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A +…+（-1）A .1-21-K 1-K 由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.K ±例2 设 A =,求 E-A 的逆矩阵.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00300000200010分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以K 采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A =， A =， A =02⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000000600002003⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006004而 (E-A)(E+A+ A + A )=E,所以23(E-A)= E+A+ A + A =.1-23⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10003100621062112.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵使S P P P ,,21 （1）A=I ，用A 右乘上式两端，得：s p p p 211- （2） I= A s p p p 211-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A .1-用矩阵表示（A I ）为（I A ），就是求逆矩阵的初等行变换法，−−−→−初等行变换1-它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A =.1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明=0，则A 不存在.A 1-例2 求A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321 .→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且ij A =1-A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中A 是中元素a 的代数余子式.ij A ij 矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A ，于是有A = A .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A AA A A (2122212)1211131-A 13证明 必要性：设A 可逆，由A A =I ，有=，则=，所以1-1-AA I A 1-A I A0，即A 为非奇异.≠充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=，A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111===I A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A AA A ...00.........0...00...0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1...00...1......0...100...01同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A =A .1-A13用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA =I 来检验.一1-旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，且A 为n 阶方阵，A 为m 阶方阵11221122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为==0, 所以A 可逆.A 22110A A 11A 22A ≠设A =，于是有=,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZYX⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00其中 X A =I ， Y A =0，Z A =0，W A =I .又因为A 、A 都可逆，用11n 221122m 1122A 、A 分别右乘上面左右两组等式得：111-122-X= A ，Y=0，Z=0，W= A 111-122-故 A = 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：=121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，则有1122=12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 证明 因为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得=1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 =1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 同理可证=12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
可逆矩阵及应用举例综合材料
应用分析
11
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
应用分析
5
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
Ax = b,
(1.19’)
应用分析
23
其中
x1 b1
x
=
x2
,
b
=
b2
,
xn
bn
分别是未知数向量和常数向量.
因 A 0, 故 A1 存在,令 x0 A1b ,有
Ax0 = A A1b = AA1 b b,
应用分析
24
这说明 x0 A1b 为方程(1.19)的解.又:如果 x 是
0 1 1 0 1 5 0 1 1 0 1 5
r33r1 0 1 2 1 0 3 r3r2 0 0 1 1 1 2
1 0 0 1 2 6
r1 r3 r2 r3
0 0
1 0
0 1
1 1
2 1
7 , 2
由定理 1.3, A 可逆,且
1 2 6
A1
可逆矩阵及其简单应用
它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。
因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。
本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。
【关键词】矩阵可逆矩阵通信【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that someimportant properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications目录前言 (5)一、可逆矩阵 (5)二、可逆矩阵的性质及求法 (5)（一）性质 (5)（二）逆矩阵求法 (6)三、可逆矩阵的简单应用 (10)（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)（1）加密保密通信模型 (12)（2）可逆矩阵的应用 (12)（3）加密密钥的生成 (13)（4）解密密钥的生成 (14)（5）明文矩阵的选择 (14)（6）加密矩阵的选择 (14)（7）算法优化 (14)结论 (15)参考文献 (15)致谢16前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。
逆矩阵的初步应用
逆矩阵的初步应用
逆矩阵在许多领域都有应用，以下是逆矩阵的一些初步应用：
1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆矩阵，那么可以使用逆矩阵求解该方程组，即x=A−1b。
2. 矩阵的除法：如果A和B是可逆矩阵，那么可以定义矩阵除法
A/B=AB−1，其中B−1是B的逆矩阵。
3. 求解矩阵的行列式：对于一个n阶方阵A，可以使用逆矩阵计算其行列式，即A=1/A−1，这在某些情况下可以简化计算。
4. 矩阵的相似变换：对于两个n阶方阵A和B，如果它们可以表示为
A=PBP−1，那么称A和B相似，P是可逆矩阵。
相似变换在矩阵的谱分析、矩阵的对角化等问题中有重要应用。
5. 加密技术：在保密通信中，如果A为可逆矩阵，则方程CAB=有唯一解
−1BAC=，其中−1A是A的逆矩阵。
因此，可逆矩阵可以有效地应用于加
密技术。
总之，逆矩阵是数学中的重要概念之一，它在实际生活中也有着广泛的应用。
通过逆矩阵的计算和处理，可以解决各种复杂的问题，从而为人类的生产和生活提供更强大的技术支持。
a乘a的可逆矩阵计算
a乘a的可逆矩阵计算矩阵是数学中一种非常重要的工具，它在许多领域中都有广泛的应用。
而可逆矩阵是矩阵理论中的一个关键概念，它具有很多重要的性质和应用。
在本文中，我们将探讨可逆矩阵的定义、性质和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来看一下可逆矩阵的定义。
一个n阶方阵A称为可逆矩阵，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。
简单来说，可逆矩阵是指能够与某个矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
接下来，我们来探讨可逆矩阵的一些重要性质。
首先，可逆矩阵的行列式不等于零。
这是因为如果行列式等于零，那么通过回代法可证明此矩阵不可逆。
其次，可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的，且其逆矩阵也是唯一的。
这使得我们能够通过求逆的方式解线性方程组，简化计算过程。
另外，可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，也就是说如果A和B 都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵。
这个性质在矩阵运算中起到了重要作用。
那么，如何计算一个矩阵的逆矩阵呢？有多种方法可以实现这个目标，其中最常用的是高斯-约旦消元法和伴随矩阵法。
高斯-约旦消元法基于行变换的原理，通过将原矩阵化为行最简形来寻找逆矩阵。
伴随矩阵法则通过求解伴随矩阵来得到逆矩阵，其中伴随矩阵的定义为：若A是一个n阶方阵，则其伴随矩阵记为Adj(A)，满足Adj(A)=(C_ij)^T，其中C_ij为A的代数余子式，即C_ij=(-1)^(i+j)×M_ij，其中M_ij为A的元素a_ij的代数余子式。
除了逆矩阵的计算，可逆矩阵还有很多实际应用。
例如，逆矩阵可以用于解线性方程组，使得我们能够更方便地求解未知数。
此外，逆矩阵还可以用于解决最小二乘问题、优化问题和数据处理等方面。
在机器学习和人工智能领域，逆矩阵的应用也非常广泛，如主成分分析和线性回归等。
综上所述，可逆矩阵是矩阵理论中的重要概念。
通过了解可逆矩阵的定义和性质，我们能够更好地理解和应用这一概念。
可逆矩阵的计算方法及其应用领域也为我们提供了一些指导。
同阶可逆方阵的定理
同阶可逆方阵的定理同阶可逆方阵是线性代数中非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将探讨同阶可逆方阵的定理以及其在实际应用中的意义。
一、同阶可逆方阵的定义首先，我们需要明确什么是同阶可逆方阵。
同阶可逆方阵是指一个n阶方阵A，满足存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=In，其中In表示一个n阶的单位矩阵。
换句话说，如果一个方阵的逆矩阵存在，且也是一个n阶方阵，那么这个方阵就是同阶可逆方阵。
二、同阶可逆方阵的定理1.同阶可逆方阵的逆仍为同阶可逆方阵这个定理的证明非常简单，我们只需要证明如果A是一个n阶可逆方阵，那么A的逆矩阵也是n阶可逆方阵即可。
假设B是A的逆矩阵，则AB=BA=In。
我们有(BA)^-1 = A^-1 B^-1，而(BA)^-1 = In^-1 = In，所以A^-1 B^-1 = In，即B是A^-1的逆矩阵。
2.同阶可逆方阵的列（行）线性无关这个定理的证明比较复杂，涉及到一些高级矩阵理论，我们在这里只给出结论。
如果一个n阶方阵A是可逆矩阵，那么A的每一列（或行）都是线性无关的。
也就是说，如果我们将A的每一列（或行）向量排成一个矩阵，那么这个矩阵的秩就是n。
这个定理的意义在于，如果我们知道一个矩阵A是可逆矩阵，那么我们可以通过求解线性方程组来解决相关问题。
比如，如果我们需要求解Ax=b，其中A是一个可逆矩阵，那么我们可以通过乘以A的逆矩阵来解得x=A^-1b。
三、同阶可逆方阵的应用同阶可逆方阵在实际应用中有着广泛的应用。
我们举几个例子来说明。
1.密码学同阶可逆方阵在密码学中有着重要的应用。
比如，在加密算法中，我们可以使用一个可逆矩阵对明文进行加密，然后再用这个可逆矩阵的逆矩阵对密文进行解密。
2.图像处理图像处理中，我们经常需要对像素点进行变换操作，这个变换可以通过矩阵乘法来实现。
如果我们要对一张图片进行缩放或旋转，那么我们可以使用一个特定的矩阵进行变换。
3.机器学习在机器学习领域，矩阵乘法也是非常常见的操作。
可逆平方矩阵
可逆平方矩阵什么是可逆矩阵？在线性代数中，一个n×n的方阵A称为可逆矩阵（或非奇异矩阵），如果存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
这意味着可逆矩阵可以通过乘以其逆矩阵来还原为单位矩阵。
简单来说，可逆矩阵就是可以被倒转回原始状态的方阵。
对于一个可逆矩阵而言，它的每一行和每一列都是线性无关的。
可逆平方矩阵的性质1.可逆平方矩阵必须是方阵，即行数和列数相等。
2.可逆平方矩阵的行列式不为零。
如果行列式等于零，则该矩阵不可逆。
3.可逆平方矩阵有唯一的逆矩阵。
4.两个可逆平方矩阵的乘积仍然是可逆的。
5.可逆平方矩阵可以通过初等行变换或初等列变换转化为单位矩阵。
如何判断一个矩阵是否可逆？判断一个矩阵是否可逆可以通过计算其行列式来实现。
如果行列式为零，则该矩阵不可逆；如果行列式不为零，则该矩阵可逆。
对于一个2×2的矩阵A，其行列式的计算公式为：det(A) = ad - bc其中a、b、c、d分别代表矩阵A的四个元素。
如果det(A)不等于零，则矩阵A可逆。
对于一个n×n的方阵A，可以通过高斯消元法或LU分解来计算其行列式。
如果行列式不为零，则方阵A可逆。
如何求解可逆平方矩阵的逆矩阵？已知一个n×n的可逆平方矩阵A，我们想要求解它的逆矩阵A^-1。
可以通过以下公式来求解：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)其中det(A)是矩阵A的行列式，adj(A)是矩阵A的伴随矩阵（即将原始矩阵的每个元素转置后所得到的余子式矩阵）。
求解过程如下：1.计算原始矩阵A的行列式det(A)。
2.计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)。
3.将伴随矩阵adj(A)除以行列式det(A)，得到逆矩阵A^-1。
可逆平方矩阵的应用可逆平方矩阵在线性代数和数学应用中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.线性方程组求解：可逆平方矩阵可以用于求解线性方程组，通过将系数矩阵与常数向量相乘，然后使用逆矩阵来求解未知变量。
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它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。
因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。
本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。
【关键词】矩阵可逆矩阵通信【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that someimportant properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications目录前言 (5)一、可逆矩阵 (5)二、可逆矩阵的性质及求法 (5)（一）性质 (5)（二）逆矩阵求法 (6)三、可逆矩阵的简单应用 (10)（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)（1）加密保密通信模型 (12)（2）可逆矩阵的应用 (12)（3）加密密钥的生成 (13)（4）解密密钥的生成 (14)（5）明文矩阵的选择 (14)（6）加密矩阵的选择 (14)（7）算法优化 (14)结论 (15)参考文献 (15)致谢16前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。
可逆矩阵是矩阵知识的一个基础支流，借助自身优秀的性质特点，为更高层的矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容。
一，可逆矩阵定义：在线性代数中，给定一个 n 阶方阵，若存在一 n 阶方阵，使得 ，其中为 n 阶单位矩阵，则称是可逆的，且是的逆矩阵，记作。
若方阵的逆阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵。
二、可逆矩阵的性质及求法 （一）性质（１）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （２）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())(( 所以 111)(---=A B AB ．这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（３）可逆矩阵A 的转置矩阵TA 也是可逆矩阵，且T TA A )()(11--=．这是因为 E E A A A A TTTT===--)()(11 E EAA A A TTTT===--)()(11所以 T T A A )()(11--=．（４）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为 E AA =-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ， 所以 111--==A AA． （二）逆矩阵求法方法一伴随矩阵法定义1设A=()ij a 是n 级方阵，用ij A ，表示A 的(ij)元的代 数余子式(i=l ，2，⋯，n)，矩阵1111n n nn A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵，记作*A 若A ≠0，并且当A 可逆时有*1A A A-=这种方法在理论上很有用,在实际计算中常用于2级或 3级矩阵。
例：A=123456346⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭用伴随矩阵法求A -解：：因为123456346A ==1，所以A 可逆，而1158246A ==-1248036A =-=,1345134A =-=,21A =0,22A =-3,23A =2,31A =1,32A =433A =-3∴*1A A A -==201034123-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭方法二 二阶矩阵的公式求逆法 设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭(其中ad-bc ≠0，即A ≠0)，则d b A A A c a AA -⎛⎫-⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭=1d b c a A -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 这个公式的推导思想是从A A I -=这个重要结论出发，构 造一个矩阵B ，去左乘A 使其等于单位矩阵I ，即若AB=I ，那 么A - =B 。
这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵。
我们称为二阶矩阵的公式求逆法。
方法三初等变换法这是一种最常用的一种方法,为了看出如何用初等变换 法求逆矩阵，先证一个引理：引理l 可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。
换句话说,可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。
即()(),I,A I A -−−−−→初等航变换，同理有I A I A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换 例：123458346A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用初等变换法求A -123100123100458010034410346001023301⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 100201100201011111011111023301001123--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→----→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦100201010034001123-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以201034123A --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭方法四利用解线性方程组来求逆矩阵若n 级矩阵A 可逆,则A A I -=，于是A -的第j 列是线性方程组的j AX ε=的解，j=1,2，⋯，n 因此我们可以去解线性方 程组AX β=，其中β =()12,,,'n b b b 然后把所得的解的公共式中12,,,n b b b 分别用l ，O ，⋯，O ；0，l ，⋯，O ；⋯；0，⋯，O ，l 代替，便可求得A -的第l,2,⋯,n 列。
这种方法在某些时候可能比 用初等变换法求逆矩阵稍微简单些。
方法五分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时,即使用初等变换法求它的逆矩阵仍然计算量较大,如果把该矩阵分块,再对分块矩阵 求逆矩阵，则可减少计算量。
用分块求逆法解题的具体步骤为： (1)根据所给矩阵A 的特点分块为11122122A A=A A A ⎛⎫⎪⎝⎭(2)选择适当的分块求逆公式 常用的分块求逆公式有：设A ，B ，1A ，2A ，⋯，s A 均可逆，则1:100A B -⎛⎫⎪⎝⎭ =1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2:1100s A A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =11100s A A --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3:1111100A C A A CB B B -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4:1111100A C A B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5:1111100A B CA B B C A -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6:1110000A A BB---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7:100sA A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ = 11100s A A --⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭8:1111100C A B B AA CB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭例：设四阶方阵5200210000120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦试求1A - 解：设15221A ⎛⎫=⎪⎝⎭,21211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭则1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭是分块矩阵，易得111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1212331133A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭故1A -=12002500120033110033-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦方法六利用哈密尔顿～凯莱定理求逆矩阵哈密尔顿一凯莱定理：设A 是数域P 上一个n n ⨯级矩 阵，()fE A λλ=- 是A 的特征多项式，则()()()1112210n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-=设()12121nn n n n f A A a Aa A a A a E ---=+++++其中()1nn a A =-当A 可逆时，0A ≠，即0n a ≠由121210n n n n n A a A a A a A a E ---+++++=可得121211()nn n n nA a A a A a A E a ----++++=1231211()n n n n nA A a A a A a E E a -----++++=∴11231211()n n n n nA A a A a A a E a -----=-++++例设111210110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试用哈密尔顿一凯莱定理求1A - 解：()32230fE A λλλλ=-=--= 32230A A E --=()2123A A A E ⎡⎤∴-=⎢⎥⎣⎦ ()12123A A A -⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦=01110123321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭方法七利用最小多项式求逆矩阵定义：以n 阶矩阵A 为根的多项式中,其中次数最低的 首项为l 的以A 为根的多项式，称为A 的最小多项式。
引理2设m(λ)是矩阵A 的最小多项式，那么()f λ以A为根的充分必要条件是m(λ)整除()fλ由上述引理和定义及哈密尔顿一凯莱定理知：非退化矩 阵A 的最小多项式的常数项非零,即设A 的最小多项式为()111m m m m m a a a λλλλ--=++++则有常数项0m a ≠又由于()111m m m m m A A a A a A a E --=++++，则得()12111m m m mA a A a E A E a ----+++=，故()112111m m m mA A a A a E a ----=-+++下面举例说明此法的应用,但此法并不常用。