高二数学双曲线知识点及经典例题分析
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（A） （B） （C） （D）
9.已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
10．已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ．
11．已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为．
12．已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知双曲线C的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围
双曲线专题练习题
1．下列双曲线中，渐近线方程为 的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知双曲线 （ ， ）的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（ ）
e越大，双曲线的开口就越开阔。
5．若双曲线的渐近线方程为：
则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：
【典型例题】
例1.选择题。
A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线
3.双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上的：
（2）焦点在y轴上的：
（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。
注：c2＝a2＋b2
4.双曲线的几何性质：
<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。
<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）
线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。
13．已知双曲线 （ ）的一条渐近线为 ，则 ．
14．设 是双曲线 ： 的一个焦点，若 上存在点 ，使线段 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 的离心率为．
15．平面直角坐标系 中，双曲线 ： （ ， ）的渐近线与Hale Waihona Puke Baidu
抛物线 ： （ ）交于点 ， ， ，若△ 的垂心为 的焦点，则 的离心率为．
16．在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点，若点 到直线 的距离大于 恒成立，则是实数 的最大值为．
（A） （B） （C） （D）
6．已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.双曲线C： 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，则C的焦距等于（）
A．2 B． C．4 D．
8.已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
3．已知双曲线 ： 的离心率 ，且其右焦点 ，则双曲线 的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上，△ 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
例六：1.若 表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（）
A. B.（0，2）C. D.（1，2）
2.双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（）
A. 2或 B.2C. D.
3.圆C1： 和圆C2： ，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
综合试题
1.双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向．
则△F1PF2的面积为（）
例2.
例3.已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且
，求顶点A的轨迹方程。
例4.（1）求与椭圆 的双曲线的标准方程。
（2）求与双曲线 的双曲线的标准方程。
例5.
（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使点 为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。
高二数学双曲线知识点及经典例题分析
1.双曲线第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。
2.双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。
9.已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
10．已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ．
11．已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为．
12．已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知双曲线C的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围
双曲线专题练习题
1．下列双曲线中，渐近线方程为 的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知双曲线 （ ， ）的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（ ）
e越大，双曲线的开口就越开阔。
5．若双曲线的渐近线方程为：
则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：
【典型例题】
例1.选择题。
A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线
3.双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上的：
（2）焦点在y轴上的：
（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。
注：c2＝a2＋b2
4.双曲线的几何性质：
<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。
<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）
线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。
13．已知双曲线 （ ）的一条渐近线为 ，则 ．
14．设 是双曲线 ： 的一个焦点，若 上存在点 ，使线段 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 的离心率为．
15．平面直角坐标系 中，双曲线 ： （ ， ）的渐近线与Hale Waihona Puke Baidu
抛物线 ： （ ）交于点 ， ， ，若△ 的垂心为 的焦点，则 的离心率为．
16．在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点，若点 到直线 的距离大于 恒成立，则是实数 的最大值为．
（A） （B） （C） （D）
6．已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.双曲线C： 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 ，则C的焦距等于（）
A．2 B． C．4 D．
8.已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
3．已知双曲线 ： 的离心率 ，且其右焦点 ，则双曲线 的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上，△ 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
例六：1.若 表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（）
A. B.（0，2）C. D.（1，2）
2.双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（）
A. 2或 B.2C. D.
3.圆C1： 和圆C2： ，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
综合试题
1.双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向．
则△F1PF2的面积为（）
例2.
例3.已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且
，求顶点A的轨迹方程。
例4.（1）求与椭圆 的双曲线的标准方程。
（2）求与双曲线 的双曲线的标准方程。
例5.
（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使点 为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。
高二数学双曲线知识点及经典例题分析
1.双曲线第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。
2.双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。