【教学设计】《古典概型的特征和概率计算公式》(北师大)

《古典概型的特征和概率计算公式》

本节课是北师大版高中数学必修3第3章概率的第二节古典概型的第一课时，

也是在随机事件的概率之后，几何概型之前教的，古典概型是一种特殊的数学模型的，是后面学习其他概型的基础，在概率学习中有非常重要的地位。

【知识与能力目标】

正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件的个数；理解古典概型求概率的计算公式，并会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率。

【过程与方法目标】

通过具体的实验归纳出古典概型计算概率的计算公式，体会化归的重要思想；体会通过做实验，分析，判断，解决数学问题的思想方法。

【情感态度价值观目标】

通过各种有趣的，贴近生活的素材，激发学生的求知欲，培养学生善于发现，善于创新的思想，体会数学的应用价值与科学的价值。

【教学重点】

理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

【教学难点】

如何判断一个实验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的个数。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分

甲和乙玩掷骰子游戏, 他们约定: 两颗骰子同时掷出去, 如果朝上的两个数的和是6，那么甲获胜, 如果朝上的两个数的和是4, 那么乙获胜. 这样的游戏公平吗？

设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。

二、研探新知，建构概念

1.电子白板投影出上面实例。

2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

(1)古典概型的定义

①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果。

②每一个试验结果出现的可能性相同。

我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型。

（2）基本事件的定义

试验的每一个可能结果称为基本事件。

设计意图:

在自主探究，合作交流中构建新知，体验古典概型的特点。

三、质疑答辩，发展思维

1.举例：

（1）列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数。

①从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；

②从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验。

解：①从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件。

分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共3个。

②从袋中取两个球的等可能结果为球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5。故共有10个基本事件。

（2）下面是古典概型的是

①从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；

②向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

③从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率。

解：①不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾。

②不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾。

③是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等。

2.思考1：确定基本事件的方法是什么？

随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定基本事件必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案。求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重也不漏。

思考2：怎么判断一个事件是否是古典概型？

解：判断一个事件是否是古典概型要看该事件是否具备古典概型的两大特征：

①有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个。

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

3.古典概型的概率公式

对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的。如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为

。

P(A)＝事件包含的可能结果数

试验的所有可能结果数

4.思考1：古典概型的解题步骤有哪些？

解：（1）判断所求概率的问题是否属于古典概型；

（2）利用列举法、列表法或树状图法列举出所有可能出现的基本事件，计算其总数n；（3）从所列出的基本事件中查出所求概率的事件A包含的基本事件数m；

（4）利用公式P（A）＝求解。

思考2 古典概型概率的计算公式与频率计算公式有什么区别？

解：古典概型的概率公式P(A)＝，与随机事件A发生的频率有本质的区别。其中P(A)＝是一个定值，且对同一试验的同一事件，m、n均为定值，而频率中的m，n均随试验次数的变化而变化，但频率总接近于P(A)。

5.例题

例1：现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答。试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；

(2)所取的2道题不是同一类题的概率。

解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的。

用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝

(2)基本事件同(1)。用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝

例2 先后掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被3整除的概率。

解：先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种不同的结果。

记“点数之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(A)＝＝6.巩固练习

（1）下列不是古典概型的是( )

A.同时掷两颗骰子，点数和为8的概率

B.6个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率

C.近两天中有一天降雨的概率

D.从10名同学中，选出5人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小

【解析】C中每种结果出现的可能性不相等，故选C。

【答案】C

（2）甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率为（）。

A.B.C.D.不确定

【解析】基本事件总数为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为＝【答案】A

（3）某校要组建艺术、体育、航模三个兴趣小组，某学生只能选报其中的2个，则基本事件共有

【解析】基本事件共有{计算机、数学}、{计算机、航空模型}、{数学、航空模型}三个。