Modeling第十讲_基于统筹方法的数学建模_数学建模理论与
统筹学
研究如何在实现整体目标的全过程中施行统筹管理的有关理论、模型、方法和手段，是数学与社会科学交叉的一个学科分支。
它通过对整体目标的分析，选择适当的模型来描述整体的各部分、各部分之间、各部分与整体之间以及它们与外部之间的关系和相应的评审指标体系，进而综合成一个整体模型，用以进行分析并求出全局的最优决策以及与之协调的各部分的目标和决策。
统筹学的理论与方法已渗透到了管理的许多领域。
20世纪50年代末、60年代初，中国数学家华罗庚在研究了国外的CPM（关键路线法）、PERT（计划评审技术）、AN（网络计划法）等几十种方法的基础上，吸收其科学的部分，结合实际情况，形成了具有中国特色的方法，统称之为统筹方法，并在中国应用推广，在企业管理、重大项目的研究与管理、规划与方案的论证等许多方面得到开发利用，取得了明显的效果。
基本统筹模型统筹方法中的基本模型，是统筹图(网络图)。
它是用节点、箭头和与之相应的数来描述整体和各部分、各部分之间以及它们和外界之间的关系。
从基本模型出发，根据不同的整体目标，还需选取与之相适应的其他模型。
当整体目标为完工时间的情形，可用箭头表示各部分的内容，称之为活动；节点表示事件，如某些活动完成，某些活动开始等；与箭杆相应的数字表示完成该活动所需的时间等；箭头之间的衔接关系表示各部分之间的顺序关系。
从统筹图的起点出发，沿着箭头方向走到表示整体工作完成的节点（结束点），可以有一条或多条路线。
其中花费时间最多者称作主要矛盾线或关键路线，关键路线上的各活动称为关键活动。
关键路线可能不止一条，但是任一条关键路线所用的时间均相同，等于整体工作最早可能完工时间。
据此，还可算出为保证整体完工的时间各活动的最迟必须开工时刻和最迟必须完工时刻、各活动的最早可能开工时刻和最早可能完工时刻。
每个活动的最迟必须完工时刻与最早可能完工时刻之差称为该活动的总时差。
以建造一幢房子的工程为例，如果该工程的各部分活动（工序）经简化后如表所列，则可以用双标号统筹图（图1）来描述这项工程：统筹学统筹学统筹学以两个节点(i,j)表示一项活动，例如(3,4)表示活动E（砌墙）。
数学建模中常见的十大模型讲课稿
数学建模中常见的十大模型数学建模常用的十大算法==转(2011-07-24 16:13:14)转载▼1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
数学建模7.5统筹方法
（3）把图中全部满足此关系的事项连接起来；
（4）验算：该路的工时之和=总工期
关键路为①→②→⑤→⑦，
w12 w25 w57 12 13 16 41
请你练一练
现有一项工程，其工序由下表描述. 请
绘制其工序流线图并用图算法计算各事项 的最早时间与最迟时间,最后确定出关键路.
工序 代号 紧前 工序 工时 (天) A B C B D B E A,C F A G F,E H D,E
例1的工序流线图
A,10 3 D,60 4 2 C,15
1 B,20
E,30
பைடு நூலகம்
5
F,20
6
例2 某工程
代号 紧前 A — B A C B D B E B F G H
工序
工时 (天 )
C ，D C ，E F ，G
1
3
1
6
2
4
2
4
例2 的工序流线图
错误的画法
工序D也变为工序G的紧前工序！
工序流线图的时间参数
计算最迟时间的例
tL(8)=5 tL(7)=2 7 tL(9)=6
特别要注意
在计算时间参数时，虚工序与时工序 同样对待，只是工时为0。
2
5
tE (5) 9
3
tE (3) 5
4
4
tE (4) 9
工序（i,j）的总时差
R(i,j) --- 指在不耽误总工期的前提下，工序 （i,j）的最大机动时间. 计算公式 ：
关键路
• 路——从始点到终点的一条顺向通道； • 路长—— 一条路上各工序的工时之和； • 关键路——图中最长的路； • • 关键工序——关键路上的工序(总时差为0);
数学建模常用算法和模型全集
数学建模常用算法和模型全集数学建模是一种将现实世界的问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来求解的方法。
在数学建模中，常常会用到各种算法和模型，下面是一些常用的算法和模型的全集。
一、算法1.线性规划算法：用于求解线性规划问题，例如单纯形法、内点法等。
2.非线性规划算法：用于求解非线性规划问题，例如牛顿法、梯度下降法等。
3.整数规划算法：用于求解整数规划问题，例如分支定界法、割平面法等。
4.动态规划算法：用于求解具有最优子结构性质的问题，例如背包问题、最短路径问题等。
5.遗传算法：模拟生物进化过程，用于求解优化问题，例如遗传算法、粒子群算法等。
6.蚁群算法：模拟蚂蚁寻找食物的行为，用于求解优化问题，例如蚁群算法、人工鱼群算法等。
7.模拟退火算法：模拟固体退火过程，用于求解优化问题，例如模拟退火算法、蒙特卡罗模拟等。
8.蒙特卡罗算法：通过随机抽样的方法求解问题，例如蒙特卡罗模拟、马尔科夫链蒙特卡罗等。
9.人工神经网络：模拟人脑神经元的工作原理，用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机、多层感知机等。
10.支持向量机：用于分类和回归问题，通过构造最大间隔超平面实现分类或回归的算法，例如支持向量机、核函数方法等。
二、模型1.线性模型：假设模型的输出与输入之间是线性关系，例如线性回归模型、线性分类模型等。
2.非线性模型：假设模型的输出与输入之间是非线性关系，例如多项式回归模型、神经网络模型等。
3.高斯模型：假设模型的输出服从高斯分布，例如线性回归模型、高斯朴素贝叶斯模型等。
4.时间序列模型：用于对时间序列数据进行建模和预测，例如AR模型、MA模型、ARMA模型等。
5.最优化模型：用于求解优化问题，例如线性规划模型、整数规划模型等。
6.图论模型：用于处理图结构数据的问题，例如最短路径模型、旅行商问题模型等。
7.神经网络模型：用于模式识别和函数逼近等问题，例如感知机模型、多层感知机模型等。
8.隐马尔可夫模型：用于对具有隐藏状态的序列进行建模，例如语音识别、自然语言处理等。
数学建模的实施方案及步骤
数学建模的实施方案及步骤1. 引言数学建模是一种通过数学工具和技术解决实际问题的方法。
它可以帮助我们理解和解决各种实际问题，包括经济、科学、技术和工程领域等。
在本文中，我们将介绍数学建模的实施方案和步骤，并说明如何利用数学建模来解决实际问题。
2. 实施方案数学建模的实施方案包括以下几个步骤：2.1 确定问题首先，我们需要明确要解决的问题。
这个问题可以是一个实际的情境，或者是一个理论上的问题。
在确定问题时，我们需要考虑问题的背景和目标，并确保问题具有明确的定义和界定。
2.2 收集数据在进行数学建模之前，我们需要收集相关的数据。
这些数据可以来自实验、调查、观察等方式。
收集到的数据应该是准确、可靠且相关的，以便于我们后续的分析和建模工作。
2.3 建立数学模型接下来，我们需要根据收集到的数据和问题的特点，建立合适的数学模型。
数学模型可以是一个方程、一个图表、一个统计模型等形式。
建立数学模型需要考虑问题的复杂性和实际应用的可行性，同时也需要考虑模型的准确性和可靠性。
2.4 分析模型建立数学模型之后，我们需要对模型进行分析。
这包括模型的性质、行为和结果的分析。
我们可以使用数学工具和技术，如微积分、线性代数、概率论等，来进行模型的分析。
分析的目的是评估模型的有效性和可行性，并确定模型的适用范围和局限性。
2.5 解决问题最后，我们可以利用数学模型来解决实际问题。
通过模型的分析和计算，我们可以得到问题的解答或结论。
解决问题的过程中，我们需要注意模型的合理性和结果的可解释性。
如果模型不能满足实际需求，我们可以对模型进行修改和优化，以得到更好的解决方案。
3. 步骤详解在实施数学建模的过程中，我们可以按照以下步骤进行：3.1 理解问题在开始建模之前，我们需要仔细理解问题的背景和目标。
这包括明确问题的定义和需求，确定问题的界定和范围，理解问题的关键因素和重要参数，为建模提供必要的信息和方向。
3.2 收集数据收集数据是建立数学模型的关键步骤。
Modelica语言介绍
初始化（Initialization）
class Triangle Point point1(start={1,2,3}); Point point2; Point point3; end Point;
class Main Triangle pts1 (point1.start={1,2,3}); Triangle pts2; Foo1 f1; end Main;
5
认识Modelica
例子：HelloWorld 例子：Pendulum 例子：DAEExample 例子：VanDerPol 基本的Modelica元素： 变量（Variable） 方程（Equation） 常量（Constant） 变量初值（start） 注释（Comment）
14
国际单位制（SIunits）
7 国际标准基本单位： kg, m, s, A, K, mol, cd 两个物理量只有在单位相同时才可以比较。 类型 单位 国际标准单位
Moment Energy
N〃m J
kg〃m2/s2 kg〃m2/s2
15
Байду номын сангаас
标识符命名规则
标识符包括类名和组件名。 规则： 以字母或下划线开始，后跟任意字母、数字或下划线， 如：v1，_x1。 以单引号包围的任意字母、数字或下划线，如：’2v’， ’2ndPt’。
class Point "Point in 3D space" public Real x; Real y,z; end Point;
Point pt; pt.x := 20; pt.x = 20;
19
例子：MovingMass
model MovingMass
数模竞赛13种建模方法你掌握了几个
数模竞赛13种建模方法你掌握了几个
随着时代的变迁和科技的进步，数据分析和建模已成为当今比赛领域
的热门课题。
数据建模技术比赛中用到的模型有很多。
以下是常用的13
种数据建模方法：
1、线性回归：基于线性模型的数据建模，主要用来预测一个变量与
另一个变量的依赖关系。
2、逻辑回归：也称为分类回归，它是一种二元分类模型，可以用来
预测输入变量的值和输出变量的分类。
3、决策树：通过计算每个属性的信息增益，建立起决定变量的各个
分支，从而建立起决策树的模型。
4、贝叶斯分类：基于贝叶斯定理，它是一种监督学习模型，可以用
来预测输入数据的值和输出分类。
5、K近邻：以其中一特征的值为准，与其周围的K个样本进行比较，得出其对应的分类。
6、支持向量机：SVM是一种监督学习模型， can建立在带有高斯核
的假设基础上，用来预测输入变量的值和输出变量的分类。
7、感知机：它是一种用来处理二元分类任务的线性分类器，它有一
个输入层和一个输出层，它分类输入的数据，返回结果的类。
8、AdaBoost：基于弱分类器的而提升算法。
它把弱分类器结合起来，形成一个更强大的分类器。
数学建模讲座
y = (5 + 4 sin α ) cos β z = (5 + 4 sin α ) sin β 其中 α , β ∈ [ 0,2π ] 。画图的 Matlab 程序如下。
alpha=[0:0.1:2*pi]'; beta=0:0.1:2*pi; x=4*cos(alpha)*ones(size(beta)); y=(5+4*sin(alpha))*cos(beta); z=(5+4*sin(alpha))*sin(beta); surf(x,y,z) 画图的 Matlab 程序也可以写成 x=@(alpha,beta) 4*cos(alpha); y=@(alpha,beta) (5+4*sin(alpha))*cos(beta); z=@(alpha,beta) (5+4*sin(alpha))*sin(beta); ezsurf(x,y,z)
图 ４ 例 ４ 的图形
２．积分 Ｍａｔｌａｂ 求符号积分的命令为 ｉｎｔ，求一重数值积分的命令为 ｑｕａｄ，ｑｕａｄｌ，求二重数值 积分的命令为 ｄｂｌｑｕａｄ，求三重数值积分的命令为 ｔｒｉｐｌｅｑｕａｄ。 例 ５ 求
∫
1
0
2x + 3 dx 的数值积分。 1+ x2
图 1 例 1 的图形 对于其它的二次曲面，如果可以写成单支的显函数，直接使用命令 ezmesh 或 ezsurf 画 图，否则必须先化成参数方程。 例 ２ 绘制二元函数
z=
sin( xy) xy
的三维表面图。 程序一 [x,y]=meshgrid([-3:0.2:3]); z=(sin(x.*y)+eps)./(x.*y+eps); surf(x,y,z) %使用 surf 画图，要求 x,y,z 是同维数的矩阵 程序二 ezsurf('sin(x*y)/(x*y)') % 使用符号函数画图 程序三 z=@(x,y) sin(x*y+eps)/(x*y+eps); % 定义匿名函数 ezsurf(z) %使用匿名函数画图
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
下面将对这些算法模型进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。
它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。
在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。
整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。
3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。
与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。
非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。
它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。
5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。
图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。
它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。
遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。
总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
数学建模
3 大学生数学建模竞赛的作用与意义
卓金武（Steven），MathWorks公司中国区应用 工程师。曾3次获全国大学生数学建模竞赛一等奖， 2次获国际大学生数学建模竞赛二等奖
魏永生，国内首家数学建模公司-北京诺亚数学 建模科技有限公司创始人，在2003年获得了大学生 数学建模竞赛国家二等奖，2005年荣获了国际数学 建模竞赛的一等奖。创业理念是为直接和潜在客户 提供一种前所未有的数学建模优化及数学模型解决 方案，真正为客户实现投资收益的最大化、生产成 本费用的最小化
中外数据库：知网、万方、维普资讯、Elserive、 Springlink 、EI、ISI Web of Knowledge等等 论坛：数学中国、matlab中文论坛、CSDN论坛、 小木虫、人大经济论坛等等 搜索引擎：、Google、Google学术等
6 如何在数学建模竞赛中取得好成绩
如何分析问题的，模型是什么，用什么方法求解，
最后得结论是什么
6 如何在数学建模竞赛中取得好成绩
合理的队员组合：队长综合协调、编程、写作 各有分工 充分的准备和训练：兵家有云，不打无准备之
2012 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和 澳门特区)及新加坡的1284所院校、21219个队（其中 本科组17741队、专科组3478队）、63600多名大学生 报名参加本项竞赛
3 大学生数学建模竞赛的作用与意义
1、培养创新意识和创造能力 2、训练快速获取信息和资料的能力 3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能 4、培养团队合作意识和团队合作精神 5、增强写作技能和排版技术 6、荣获国家级奖励有利于保送研究生 7、荣获国际级奖励有利于申请出国留学 8、更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式
数 学 建模
美赛数学建模常用方法
美赛数学建模常用方法Mathematical modeling is an essential tool in the field of applied mathematics and is widely used in the modeling and analysis of real-world problems. 数学建模是应用数学领域中的一种重要工具，广泛应用于对现实世界问题的建模和分析。
There are several commonly used methods in mathematical modeling, including but not limited to differential equations, optimization, statistical analysis, and simulation. 在数学建模中有几种常用的方法，包括但不限于微分方程、优化、统计分析和模拟。
Differential equations are often used to describe how quantities change over time. 微分方程经常用于描述数量随时间的变化。
Optimization involves finding the best solution from a set of possible solutions, based on specific criteria or constraints. 优化涉及在一组可能的解决方案中找到基于特定标准或约束条件的最佳解决方案。
Statistical analysis is used to make inferences and predictions about data, using techniques such as regression analysis, hypothesis testing,and data visualization. 统计分析用于使用回归分析、假设检验和数据可视化等技术对数据进行推断和预测。
初中数学建模思想的策略研究讲座
专题讲座初中数学建模思想的策略研究张思明一．什么是数学建模？1.1 数学建模（Mathematical Modeling ）是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称，有代表的定义如下：（ 1 ）、普通高中数学课程标准[4] 中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容 .（ 2 ）、叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为，数学建模(Mathematical Modeling) 就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些“ 规律” 建立起变量、参数间的确定的数学问题( 也可称为一个数学模型) ，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。
两种定义的区别在于课程标准对数学建模的定义没有强调建立特定的解决问题的数学模型。
数学建模的过程中当然会运用数学思想、方法和知识解决实际问题，但仅仅如此很难称得上是“数学建模”。
处理很多事情，比如法律和组织上的问题，常常会用到分类讨论的思想、转化的思想、类比的思想，而并没有建立数学模型，这就不能说是进行了数学建模。
这里所谈（实际上，同大部分人认为的一样）的数学建模，其过程是要建立具体的数学模型的。
什么是数学模型？根据徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中所谈到，所谓“数学模型”（Mathematic Model ）是一个含义很广的概念，粗略的讲，数学模型是指参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一个数学结构。
广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。
本论文所谈到的数学建模，其过程一定是建立了一定的数学结构。
数学模型与数学建模 简介
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至 少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就 化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只 要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
了三十并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十分钟到家，问此人共步换 显行然一了是种多由想长于法时节，省问了题从就相遇迎点刃到而会解合了点。，假又如从
间？
请思他 那 分 会到会考合会合的 么 钟一点合点妻 这 时下返点，子 一 间，回需故遇 天 从本相开相到 他 何题遇5遇分他 就 而解点时钟答后 不 来这他。中似仍 会 ？一已而隐段步载 提乎此含路行着前条人了的了他回提哪件缘二开家前些故十不往了了假，五够三会。设故分十合提哦由钟分地前相。钟？。点的遇到点，十。达
间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说， 在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没 被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线
的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。
D
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样
清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水 温不能太高，否不则妨可会以烫提手出以，下但简也化不假设能：太低，否则不干净。由 于想节省开支，（子餐1的）大馆水小老池、、板材空料想气相了吸同热解不一计池，只热考水虑到盘子底吸可热以，盘洗多少盘 子，请你帮他建（模2）分盘析子初一始下温这度与一气问温题相同。，洗完后的温度与
数学建模教材目录
数学建模教材目录1982 年以来国内正式出版的数学建模教材、译著及竞赛辅导材料，及与数学建模相关的数学实验教材（仅据各地告知的统计）：1982: 1. E. A. Bender, 《数学模型引论》，朱尧辰、徐伟宣译，科学普及出版社.1985: 2. 近藤次郎，《数学模型》，宫荣章等译，机械工业出版社.3. C. L. 戴姆, E. S. 艾维著,《数学构模原理》，海洋出版社.1987: 4. 姜启源，《数学模型》，高等教育出版社.5. 任善强，《数学模型》，重庆大学出版社.1988: 6. M. Braun, C. S. Coleman, D. A.Drew,《微分方程模型》，朱煜民、周宇虹译，国防科技大学出版社，（本书为W.F. Lucas 主编的Modules in Applied Mathematics 一书的第一卷）7. 谌安琦，《科技工程中的数学模型》，中国铁道出版社.1989: 8. 江裕钊、辛培清，《数学模型与计算机模拟》，电子科技大学出版社.1990: 9. 杨启帆、边馥萍，《数学模型》，浙江大学出版社，.10. 董加礼、曹旭东、史明仁，《数学模型》，北京工业大学出版社.11. 唐焕文、冯恩民、孙育贤、孙丽华，《数学模型引论》，大连理工大学出版社.1991: 12. 姜启源，《数学模型（第二版）》，高等教育出版社，.13. H. P. Williams, 《数学规划模型建立与计算机应用》，国防工业出版社.1993: 14. 李文，《应用数学模型》，华中理工大学出版社.15. 叶其孝主编，《大学生数学建模竞赛辅导教材》，湖南教育出版社.16. 寿纪麟，《数学建模- 方法与范例》，西安交通大学出版社.1994: 17. 叶其孝主编，《数学建模教育与国际数学建模竞赛》，《工科数学》杂志社.18. 濮定国、田蔚文主编，《数学模型》，东南大学出版社.1995: 19. 欧阳亮，《系统科学中数学模型》，山东大学出版社，.20. 陈义华，《数学模型》，重庆大学出版社.21. 朱思铭，李尚廉，《数学模型》，中山大学出版社.22. 蔡常丰，《数学模型建模分析》，科学出版社.1996: 23. 徐全智，杨晋浩，《数学建模入门》，电子科技大学出版社.24. 沈继红、施久玉、高振滨、张晓威，《数学建模》，哈尔滨工程大学出版社.25. 任善强、雷鸣，《数学模型》，重庆大学出版社.26. 齐欢，《数学模型方法》，华中理工大学出版社.27. 王树禾，《数学模型基础》，中国科学技术大学出版社.28. 李尚志主编，《数学建模竞赛教程》，江苏教育出版社.29. 南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班编，《数学建模与实验》，河海大学出版社.1997: 30. 谭永基，俞文ci，《数学模型》，复旦大学出版社，.31. D. Burghes, 《数学建模- 来自英国四个行业中的案例研究》，叶其孝、吴庆宝译，世界图书出版公司，1997.32. 叶其孝主编，《大学生数学建模竞赛辅导教材（二）》，湖南教育出版社.33. 刘来福，曾文艺，《数学模型与数学建模》，北京师范大学出版社.34. S.J.Brams, W.F.Lucas, P.D.Straffin,Jr.,《政治及有关模型》，国防科技大学出版社，（本书为W. F. Lucas 主编的Modules in Applied Mathematics一书的第二卷）。
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—— 基于统筹方法的数学建模
1
基于统筹方法的数学建模
一、统筹图的有关概念 二、统筹图的要求及其检验方法 三、统筹图的分析方法
2
一、统筹图的有关概念
（一）事项的概念 （二）紧前工序与紧后工序的概念
3
（一）事项的概念
一道工序以一条有向边来表示，有向边的权即为 此工序的长度，表示完成该工序所需的时间。
3. 找统筹图中关键路线的方法
(1)计算每个事项的最早出发时间和最迟到达时间； (2)找出图中最早出发时间和最迟到达时间相同的所有事项； (3)按时间由小到大连接这些事项的工序即组成关键路线。
26
（一）最短工期
（A）事项最早出发时间及其计算方法
事项最早出发时间是指事项后面的工序最早什么时间可以开工， 或者等价地，该事项前面的工序最早什么时间可以完工。因而 统筹图中各事项的最早出发时间是由前向后推算的。由最早出 发时间的含义可知，最终事项的最早时间也就是完成整个工程 的最短时间，即工程的最短工期。
D是F的紧前工序。
由关系(1)-(4)可得如关系表：
工序
ABCDE FG
紧前工序 - A A - C，D D B，C
17
（二）如何画出正确的统筹图
2. 根据这些关系画出相应的统筹图：
由关系(1)得图(a)：
由关系(2)得得图(d)
图（a）
图（d）
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（二）如何画出正确的统筹图
2. 根据这些关系画出相应的统筹图：
所以应再添加虚工序，合并成如图(i)
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（二）如何画出正确的统筹图
为了适应每件事情总有“一个”开始和“一个”结束的思 维习惯，我们可以将两个初始事项合并为一，三个最终事项也 可并成一个。这样就形成如下图的统筹图(图(j))
图（j）
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（三）如何检查统筹图有无圈
1. 穷竭法 即“跟踪”每一个首尾相连的有向线段序列，看它是否回 到起点。这种方法对简单的统筹图是有效的，但是当统筹图中 包括有大量的工序时，这种做法很难确保检查了所有的有向线 段序列而没有遗漏。 2.有向线段删去法 这是检查统筹图有没有圈的普遍而简便的方法。 “有向线段删去法”具体步骤如下： (1)从统筹图中找寻初始事项； (2)删去该事项和从该事项出发的所有工序； (3)在由此得到的新的统筹图中找寻新的初始事项，重复上 述步骤(1),(2)。若能把图中的所有工序全部删去，则此统筹图 没有圈；反之，则原图中包含圈。
（Ｂ）事项最迟到达时间及其计算方法
事项最迟到达时间是在规定事项后面各工序最迟完工时间的条 件下，该事项前面的工序最迟什么时间必须完工，或等价地， 该事项后面的工序最迟什么时候必须开工。因而统筹图中各事 项的最迟到达时间是由后向前推算的。
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（一）最短工期
例3：对下图求关键路线：
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（一）最短工期
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二、统筹图的要求及其检验方法
（一）统筹图的要求 （二）如何画出正确的统筹图 （三）如何检查统筹图有无圈
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（一）统筹图的要求
正确的统筹图要求：（1）整个统筹图只有一个初始事项 和一个最终事项；（2）统筹图无圈。所谓“圈”是图中从某 个事项出发经过若干首尾相连的有向线段又回到起点的一个 工序序列。
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（二）如何画出正确的统筹图
解： 1. 根据题目给出的必须遵循的装配顺序，列出各工序之间的 关系： (1)“在安装并校正前后轮之前组装车架”
B和C的紧前工序是A； (2)“车闸的安装于前后轮装好之后再做”
G的紧前工序是B和C； (3)“连接飞轮和轮盘间的链条要在后轮和中轴装好之后再进行”
C和D是E的紧前工序； (4)“先装中轴，再装脚蹬”
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（一）最短工期
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（一）最短工期
(3) 找出最早出发时间和最迟到达时间相同的事项： 1，3，4，6。
(4) 将这些事项按时间由小到大连接它们的工序依次排列出 来，就得到统筹图的关键路线：1-3-4-6，最短工期为80。
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（二）缩短工期问题
工程的最短工期由关键路线长度决定，因此可以推出，要 缩短工期必须想办法缩短关键路线上工序的时间。要注意两个 问题： (1) 能否缩短某个工序的时间要从实际出发； (2) 缩短了关键路线上的工序后，新的统筹图的关键路线可能 会改变。要对改变后的工程网络图进行检验。
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三、统筹图的分析方法
（一）最短工期 （二）缩短工期问题
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（一）最短工期
1. 关键路线的概念
对一张统筹图，所谓路线就是从初始事项到最终事项的一个首 尾相连的工序序列，而路线中包含的工序的时间总和称为该路 线的长。统筹图中最长的路线称为关键路线。
2. 关键路线的重要性
工程的最短工期等于统筹图中关键路线的长，即关键路线的长 度等于最快完成所有的工序所需的时间
×
图(c)
图(d)
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（二）如何画出正确的统筹图
同样要对工序4进行讨论，当把它拼到统筹图图(d)时，也要 加进一个虚工序，得到的正确的统筹图如下：
图(e)
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（二）如何画出正确的统筹图
例2：自行车的装配问题 下图标出了自行车有关零件的名称。要把一堆自行车零件组 装成一辆自行车，主要有以下几个工序： A--组装车架，包括装前叉、车把和前后挡泥板； B--安装并校正前轮； C--安装并校正后轮（含飞轮）； D--安装中轴，包括装轮
如果说要求（1）是一种“表达形式上”的要求，而且也 易满足，那么要求（2）“统筹图无圈”的要求则是“本质性” 的。这是因为统筹图是一个有向图，有向图的圈与前述的无 向图的圈不同。统筹图中一旦出现圈，由于它表示工序上互 为前提，故在实践中无法实现。
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（二）如何画出正确的统筹图
例1：下表是某个机床要加工的5种零件的先后的次序关系， 试根据表格画出相应的统筹图来。
假设洗茶杯要1分钟，找茶叶并放入茶杯要1分钟，烧开 水要5分钟，而最后的冲茶要1分钟。经过分析，我们把完成 “以茶待客”这个任务用下图表示：
其中的A-洗茶杯、B-找茶叶并放入茶杯、C-烧开水、D-冲茶 7
（二）紧前工序与紧后工序的概念
从上面的统筹图可以读出各个事项发生的先后次序： （1）事项一定要在事项完成后才能做，也就是说，放茶 叶前一定要先洗好茶杯，即：事项是事项的紧前工序，事件 是事项的紧后工序； （2）事项一定要在、都完成的情况下才能开始。也就是 说，冲茶前一定要先放好茶叶并且烧好开水。由此可见，对 每一个事项来说，只有在指向该事项的所有工序都已完成的 条件下，从该事项出发的工序才可以开始动手做。
统筹图的表示工序先后的次序关系的原则是： 一个工序只有当它的所有紧前工序都完成后，
才可以开工。 或者说，对每一个事项来说，只有在指向该事
项的所有工序都已完成的条件下，从该事项出发的 工序才可以开始开工。
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（二）紧前工序与紧后工序的概念
引例：这里我们以一个“以茶待客”这个任务的完成过 程来理解统筹图及工序、事项、初始(最终)事项、紧前(紧后) 工序等相关概念。
有向边的起点和终点分别表示该工序的开始和 结束，称为事项；
前接工序的完工事项即为后继工序的开工事项。
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（二）紧前工序与紧后工序的概念
统筹图的最重要功能：表示所要作的事项的先 后次序关系。若工序的终点是工序的起点（如下图 所示），则称工序是工序的紧前工序，工序是工序 的紧后工序。
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（二）紧前工序与紧后工序的概念
图（g）
因为C并不是F的紧前工序，所以这样合并使错误的， 这里就要添加虚工序，如图(g)
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（二）如何画出正确的统筹图
最后要做的是合并图(g)和图(d)，我们很容易想到的是添 加一个虚工序，合并成如图(h)。但仔细观察一下，我们会发 现这样合并是错误的：因为D并不是G的紧前工序。
×
图（h）
图（i）
工件编号 1 2 3 4 5 紧前工序 确的统筹图
先看零件5的情况，可以画出统筹图图(a)；对于零 件3的情况，可以画出统筹图图(b)；
图(a)
图(b)
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（二）如何画出正确的统筹图
现在要把图(a)与(b)拼在一起，但千万不可画成图(c)的样 子，因为工件5不以工件2作为紧前工序，必须加进一个虚工 序，可以画出统筹图图(d)。虚工序只不过是用来帮助表示有 关工序的先后次序关系。
盘和大腿； E--在轮盘和飞轮间连接
链条； F--安装左、右脚蹬； G--安装前后车闸和车座。
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（二）如何画出正确的统筹图
对于一个熟练的装配工，完成各个工序所需要的时间如下：
工序
ABCDEFG
时间（分） 7 5 7 7 5 4 10
如果仅由一个人完成全部组装工作至少需要45分钟，这在 集体化生产的今天显然是不可取的。现在安排两个工人合作 组装一辆自行车，每道工序只能由一人完成，请你为这两个 工人安排一个组装的工序流程，使他们在最短时间内装配好 这辆自行车。并请算出最短时间。
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书面作业
教材 P114-115 第 1、2、3 、4 题 要求：1）解答题，写出具体解法；
2）程序设计题，写出用有关软件实现的、 并且是调试通过的程序。
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知识回顾 Knowledge Review
由关系(3)得图(b)：
由关系(4)得得图(c)
图（b）
图（c）
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（二）如何画出正确的统筹图
接下来要做的就是将这些分开的图合并成一个图，在此过 程中就要适当的添加虚工序。
合并图(a)和图(b)，得图(e)
图（e）
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（二）如何画出正确的统筹图
而图(e)和图(c)就不能简单地合并成如图(f)
×
图（f）