第四章 运输问题

产量
煤矿
甲1 甲2 乙 丙 丁1 丁2
A 16 16 13 22 17 17 50
B 14 14 13 19 12 12 60
C 19 19 20 23 25 25 50
D M 0 M 0 M 0 50
需求量 30 20 70 30 10 50 210
210
OR2
31
例题3：最优解：
1
运价 地区
产量
A3
(6) (4) (3) 0 3
A4 （3) 1 (0) (-3) 0
vj
3 1 0 -3
OR2
27
例2计算检验数
σij=cij-(ui+vj), 所有σij ≥0 ，已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui A1 0 0 (2) 0 A2 (3) 0 0 （ 1） A3 (1) (1) (3) 0 A4 （2) 0 (2) (3) vj
需要？ 航线 起点 终点 每天航班数
1 ED
3
2 BC
2
3 AF
1
4 DB
1
OR2
38
例5 城市之间航行天数表
. Cij A B C D E F
A 0 1 2 14 7 7 B 1 0 3 13 8 8 C 2 3 0 15 5 5 D 14 13 15 0 17 20 E 7 8 5 17 0 3 F 7 8 5 20 3 0
OR2
11
例1 初始方案（续4）
圈定C23
B1 B2 A1 8 7
A2 4 7
A3 /3 /1
销量 3 2 1
B3 B4 产量
/1 2 1 /3 /5 9 4 1
9 6 41
43 5
OR2
12
例1 初始方案（续5）
圈定C22
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7 /1 2 1 A2 4 /1 /3 /5 9 4 1 A3 /3 /1 9 6 4 1
第四章 运输问题
本章要求： 掌握运输问题的数学模型 掌握运输问题的求解方法 化产销不平衡问题为平衡问题 学会用计算机求解
OR2
1
4.1运输问题的数学模型
运输问题一般表述为： 某企业有m个产地（生产厂）Ai，其产量 分别为ai, i=1,2,…m, n个销地（销售商） Bj，其销售量分别为bj, j=1,2,…n,从Ai到Bj 的每单位物资的运费为Cij.要求拟定总运 费最小的调运方案 。
OR2
2
运输表
.
销地
产地 B1 B2 … A1 C11 C12 … A2 C21 C22 … … …… … Am Cm1 Cm2 … 销量 b1 b2 …
Bn 产量 C1n a1 C2n a2 …… Cmn am bn
OR2
3
运输问题的数学模型
设从Ai 到Bj的运输量为xij,（假定产销平衡）
则总运费：
100
OR2
23
例2 解：
引入虚拟销地B4，（或理解为仓库）， 就地“销售”，运费为零
B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 4 5 0 70 A2 8 3 2 0 40 A3 7 5 6 0 50 A4 5 1 2 0 20 销量 30 40 30 80 180
180
OR2
24
例2 求初始方案：（P128）
上表显示：载货船共需91条，此船何来？
A
B
港口 到达 开出 余缺
1
2
1
F 调度中心
C
A 0 1 -1 B 1 2 -1 C2 0 2
E3 D
D3 1 2
若无空驶，则91条船刚好够用，E
0
3
-3
但虚线箭头都是空驶
F101
OR2
41
例五 问题分析（续2）
所需91条货船要经调度而来，有的可在 一个港口卸货后装运（如一条船从E到D 后再起程赴B）。若港口没有空船，则要 从其它港口调度而来。（规模效益）
180
OR2
25
例2 初始方案：
.
A1 A2 A3 A4 销量
B1 B2 B3 B4 产量
30 10 10
20 30 40
30 70
30
40
50 50
20
30 80 180
180
OR2
26
例2检验初始方案
计算位势ui+vj
B1 B2 B3 B4 ui
A1
6 4 (3) 0 3
A2
(5) 3 2 (-1) 2
4
9-（2）=7 6-（-2）=8 1
3
1
3
σ 21=-1
OR2
17
方案调整：
σij < 0 处，增加运输量，可节约运费。故
做如下调整：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
1
1
A2 +1 1-1 3 5 9
A3 3-1 1+1
4
销量 3 2 4 5
OR2
18
新方案：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
1
A2 4 7
A3 /3 4
销量 3 2
B3 B4 产量
/1 2 1 5 /5 9 4
9 6 41
43 5
OR2
10
例1 初始方案（续3）
圈定C32
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7 /1 2 1 A2 4 7 5 /5 9 4 A3 /3 / 1 9 6 4 1
销量 3 2 1 4 3 5
25
5
30
30
2
32
10 10
20
88
28
28
538
25 30 15 45 11 126
126
OR2
37
例题5 航运调度问题
某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F 之间的四条航线，已知各航线的起点、终点及 每天所需的航班数如下表。又知各城市之间的 航行天数，假定船只型号相同，装卸货时间各 一天，问该公司至少要配备多少条船才能满足
在运费表中找出最小元素，尽最大 可能用完一个厂的产量，或满足一个商 家的销量。得到满足者用线划去。
逐次寻找最小元素，直至分配完毕
注意：如填写一个数字同时满足了 一厂一商，则需在同行或同列中填写一 个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字。
OR2
7
Biblioteka Baidu
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
B1 B2 B3 B4 产量 A1 8 7 3 2 1
销量 3 2 1 43 5
OR2
13
例1初始方案——初始基可行解
中心数字为分配的运输量
B1 B2 B3 B4
A1
1
A2
135
A3 3 1
销量 3 2 4 5
此方案费用为40
产量 1 9 4
OR2
14
4.2.2 最优性检验
最优性检验与单纯形法原理一致，计算 方法有位势法和闭回路法，这里讲位势 法。
位势法是任意给出一组数ui和vj，称之为 位势，有数字的格满足：ui+vj=cij
没数字的格计算： σij=cij-(ui+vj)
OR2
15
位势计算： ui+vj
先填写初始方案相应的运费，任意给出
一个ui或vj值，推出其它位势值。
计算ui+vj，填于空格处
B1 B2
B3 B4 ui
A1 （3） （5） 3 （-1） 2
10.55 10.8 11 11.1
25 30 15 45
34
例四.分析：
可用线性规划，但用运输问题更简单 要决策的问题是各季度生产量和交货量
设xij表示第i季度生产第j季度交货的台数
因加班时间生产成本不同，故要区别开 来，三四季度可加班，视同增加两个季度 需求量合计115台，生产能力合计126台， 供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。
A2 （5） 7
5
14
A3 2
4 （2） （-2） 1
vj
1
3
1
-3
OR2
16
检验数计算： σij=cij-(ui+vj)
B1 A1 8-（3）=5 A2 4-（5）=-1 A3 2-2=0
vj 1
B2
B3
7-（5）=2 3-3=0
B4
ui
2-（-1）=3 2
7-7=0 4-4=0
5-5=0
1-1=0
4季度正常生产 M M M 11.1 0 28
4季度加班生产 M M M 14.1 0 8
需求量
25 30 15 45 11 126
126
OR2
36
例四 结果：
生产 交货
. 生产
1季度正常生产 2季度正常生产 3季度正常生产 3季度加班生产 4季度正常生产 4季度加班生产
需求量
闲置 产量
1 2 3 4 能力
OR2
20
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui A1 6 3 0 3 A2 0 1 0 0 A3 0 0 6 7 vj
OR2
21
4.3产销不平衡问题
产销不平衡是最常见的现象，此类问题 可以转化为产销平衡的模型，而后求解。
nm
minZ= ∑∑ Cij xij
产量约束：
n
∑xij
=
j=1
ai
i=1
i=1,2,…m,
销量约束： ∑jm=x1 ij = bj j=1,2,…n,
非负性约束：i=1 xij ≥0
OR2
4
4.2表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
OR2
煤矿
甲1 甲2 乙 丙 丁1 丁2
A
50
50
B
20
10 30 60
C 30 20 0
50
D
30
20 50
需求量 30 20 70 30 10 50 210
210
OR2
32
4.4运输问题的计算机求解
AB：QM软件包，在module中选择 transportation,在file中点击new,输入数据， 点击solve,出现结果。
1
A2 1
359
A3 2 2
4
销量 3 2 4 5
此方案费用为：13+1 4+3 5+51+2 2+4 2=39
OR2
19
新方案检验
新方案相应的运费填于表上,给定位势初 值，计算各位势值。
B1 B2 B3 B4 ui A1 （2） （4） 3 （-1）0 A2 4 （6） 5 1 2 A3 2 4 （3） （-1）0 vj 2 4 3 -1
产量大于最小需求；小于最大需求。而标准型 是：产量=销量。
处理办法：设想一个虚拟煤矿D，生产50万吨， 但这个产量只能供应可有可无的最高需求部分， 于是各地的需求也应分为两个部分：基本需求、 机动需求
虚拟产量的运输费用为零，但它对于基本需求 来讲，运费为无穷大。
OR2
30
例题3：建模：
1
运价 地区
OR2
35
例四.建模：
成本 交货
. 生产
12
闲置 产 3 4 能力 量
1季度正常生产 10.55 10.67 10.79 10.91 0 30
2季度正常生产 M 10.8 10.92 11.04 0 32
3季度正常生产 M M 11 11.12 0 20
3季度加班生产 M M 14 14.12 0 8
OR2
28
例题3：弹性需求问题
设有三煤矿供应四地区，资料如下：
运价 地区
产
煤矿
甲 乙 丙 丁量
A
16 13 22 17 50
B
14 13 19 15 60
C
19 20 23 25 50
最低需求 30 70 0 10
最高需求 50 70 30 不限
OR2
29
例题3：解题思路：
设法转化为标准型
本题产量160万吨，最低需求110万吨，最高需 求无限。实质上比较现实的最高需求210万吨
用最小元素法，但零视为最大元素。（？）
A1 A2 A3 A4 销量
B1 B2 B3 B4 6 /30 4 /10 5 0/30 8 3 /10 2 / 30 0 7 5 6 0/50 5 1 /20 2 0 30 40 30 80 50
20 10
产量 70 60 30 40 10 50 20 180
OR2
39
例5 问题分析
问题要求的是在保证需要的前提下， 至少需要多少船只。
所需船只包括两个部分：载货船、空
驶船 。
航线 航行 装卸 合计 航班 载货
天数 天数
数 船数
1 17 2 19 3 57
2 3 2 5 2 10
3 7 291 9
4 13 2 15 1 15
OR2
40
例5 问题分析（续1）
运输问题产销平衡模型，实质上就是一 个求解运输问题的标准型。
解决的办法是：增加一个虚拟的产地或 销地，从而变成标准型——产销平衡问 题。
OR2
22
例题2.供大于求的运输问题
运费及产销量表
A1 A2 A3 A4 销量
B1 B2 B3 6 45 8 32 7 56 5 12 30 40 30
产量 70 40 50 20 180
OR2
33
4.5 运输模型的应用
例题4：某机床厂定下一年合同分别于各 季度末交货。已知各季度生产成本不同， 允许存货，存储费0.12万元/台季，三、 四季度可以加班生产，加班生产能力8台/ 季，加班费用3万元/台
季度 正常生产能力 单位成本（万元）交货台数
1 30 2 32 3 20 4 28
OR2
A2 4 7 5 /5 9 4
A3 2 4 9 6 4 销量 3 2 4 5
OR2
8
例1初始方案（续1）
圈定C31
B1 B2 B3 B4 产量 A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5 /5 9 4 A3 /3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 5
OR2
9
例1初始方案（续2）
圈定C13
B1 B2 A1 8 7
5
例题1
某建材公司有三个水泥厂A1、A2、A3， 四个经销商B1、B2、B3、B4，其产量、 销量、运费如下表：
销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
87321
A2
47519
A3
24964
销量 3 2 4 5 14
OR2
6
4.2.1求初始调运方案
用最小元素法（也可用西北角法或vogel 法）给出初始基可行解：