一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件
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一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件
在上面第1楼的帖子中,证明了这样一个定理:
第1楼帖子中定理 正整数 M 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是:M 的素因子分解式中,所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。
注意,这个定理中说的是“整数平方和”,不是“正整数平方和”,所以,像 22039+=,
2
2
0749+= ,2
2
021441+= 这样的两整数平方和,都算是符合定理要求的。
如果我们希望把上面这种带 0 的整数平方和的例子排除在外,把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”,那么,定理又会是怎么样的呢? 为了证明这样的定理,下面先证明一个引理。
引理 若有 222z y x =+ ,其中 z y x ,, 都是正整数,1),(=y x ,
则必有正整数 q p , ,1),(=q p ,而且 q p , 一奇一偶,使得 2
2
q p z += 。
证 y x , 不会都是奇数,否则 22y x + 是形为 24+n 的数,不可能等于 2z 。又因为
1),(=y x ,y x , 也不会都是偶数,所以 y x , 必定一奇一偶,不妨设 x 是奇数,y 是
偶数,这时 z 显然也是奇数,而且 x z > ,1),(=z x 。
因为 x z , 都是奇数,x z > ,所以
2
x z + ,
2
x z - 显然都是正整数。 这时有
2
2
22
2
2
)2
(2
2
)2
)(
2
(y y x z x z x z ==
-=
-+ 。 因为 y 是偶数,所以
2
y
是整数。又因为 1),(=z x ,所以 1)2,2(
=-+x
z x z ,所以2)2(y 中的任何一个素因子,或者全部在 2x z + 中,或者全部在 2x z - 中。由于 2
)2
(y 中
的素因子的幂次都是偶数,所以
2
x z + ,
2
x z - 中的素因子的幂次也都是偶数,可见
2
x z + ,
2
x z - 都是完全平方数。
设 2
x z p +=
,2
x z q -=
,因为
2
x z + ,
2
x z - 都是完全平方数,所以 q
p ,都是正整数,而且有 z x z x z q p =-+
+=
+2
2
2
2
,x x z x z q p =--
+=
-2
2
2
2
。
假如 1),(>=d q p ,则 1),(222>=d q p ,22q p z += ,22q p x -= 就有公因子 12>d ,与 1),(=z x 矛盾,所以必有 1),(=q p 。
假如 q p , 都是奇数或 q p , 都是偶数,则 22q p z += ,22q p x -= 显然都是偶数,与 1),(=z x 矛盾,所以 q p , 必定是一奇一偶。
定理 正整数 M 能表示成两个正整数平方和的充分必要条件是要满足下列两条: (1)M 的素因子分解式中,所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。
(2)如果 M 的素因子分解式中,不含有形为 14+n 的素因子,则必有 M 22z = ,其中 z 是正整数。 证 先证明充分性。
如果 M 中不含有形为 14+n 的素因子,则 M 22z =22z z += ,显然这时 M 可以表示成两个正整数的平方和。
如果 M 中含有形为 14+n 的素因子,再加上已知 M 中形为 14-n 的素因子的幂指数都是偶数,只要仿照第1楼帖子中定理的推导过程,就可证明这时 M 能表示成两个正整数的平方和。 再证明必要性。
设已知 M 能表示成两个正整数的平方和,有 M 22y x += 。
由第1楼帖子中定理可知,这时 M 中所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。所以只要证明“如果 M 中不含有形为 14+n 的素因子,则必有 M 22z =”就可以了。
因为 M 中不含有形为 14+n 的素因子,而所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数,所以,M 只有两种可能:或者有 M 22z = ,或者有 M 2z = 。
下面用反证法证明:
当 M 中不含有形为 14+n 的素因子时,不可能有 M 2
2y x +=2z = 。
假设有 M 2
2y x +=2z = ,其中 z y x ,, 都是正整数。
设 d y x =),( ,将 z y x ,, 都除以 d ,则有 2
22)()()(d
z d y d x =+ ,1),
(
=d
y d
x 。
所以,下面只要考虑 1),(=y x 的情形就可以了。
在满足 2
2
y x +2z =,z y x ,, 都是正整数,1),(=y x 的解中,总可以找到 z 最小的一组解。显然 1≠z ,所以必有 2z z < 。
因为 22
y x +2
z =,z y x ,, 都是正整数,1),(=y x ,所以根据上面的引理,可知必