一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件

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浙教版七年级下数学第四章因式分解好题精选及答案

浙教版七年级下数学第四章因式分解好题精选题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共15小题）1．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）2．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）3．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）4．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．15．化简：，结果是（）A．B．C．D．6．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n 是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若x3+2x2﹣mx+n可以分解为（x+2）2（x﹣2），则m，n的值分别是（）A．m＝4，n＝8 B．m＝﹣4，n＝8 C．m＝4，n＝﹣8 D．m＝﹣4，n＝﹣89．下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（）（1）（m3+m2﹣m）﹣1；（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）；（3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）A．1个B．2个C．3个D．4个10．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）11．若关于x的多项式x2+mx+1可分解成（x+n）2，则n等于（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．212．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（）A．60 B．50 C．25 D．1513．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：南、爱、我、济、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南14．下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）A．x2﹣3x+2 B．x2﹣x+1 C．2x2﹣xy﹣y2D．x2+3xy+y215．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25 B．20 C．15 D．10第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共9小题）16．因式分解：1﹣4a2＝．17．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式例如，由图（1）可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为．18．已知xy＝，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝．19．已知a＝2018x+2017，b＝2018x+2018，c＝2018x+2019，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．20．已知m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+1＝．21．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则＝．22．已知a，b，c是△ABC的三边，且a4﹣a2c2＝b4﹣b2c2，那么△ABC的形状是．23．因式分解：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝．24．分解因式：x3+3x2﹣4＝．评卷人得分三．解答题（共16小题）25．分解因式：（1）m2﹣4mn+4n2（2）2x2﹣18．26．分解因式（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2；（2）（a2+9）2﹣36a2（3）25m2﹣（4m﹣3n）2；（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．27．问题背景：对于形如x2﹣120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x ﹣60）2，对于二次三项式x2﹣120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2﹣120x加上一项602，使它与x2﹣120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2﹣40x+351；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长．28．定义：任意两个数a，b，按规则c＝﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“机智数”．（1）若a＝1，b＝2，直接写出a，b的“机智数”c；（2）如果，a＝m2+2m+1，b＝m2+m，求a，b的“机智数”c；（3）若（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？29．阅读题．材料一：若一个整数m能表示成a2﹣b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，3＝22﹣12，9＝32﹣02，12＝42﹣22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M＝x2+2xy＝（x+y）2﹣y2，（x，y是整数），所以M也是”完美数”．材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F （n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F （18）＝＝．请解答下列问题：（1）8（填写“是”或“不是”）一个完美数，F（8）＝．（2）如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”．（3）若一个两位数n的十位数和个位数分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F（n）的最大值．30．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b＜）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．（1）用代数式表示草坪的面积；（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当a＝15，b＝2.5时草坪的面积．31．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？32．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y233．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K 是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．34．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．35．一个能被11整除的自然数称为“一心一意数”，它的特征是去掉个位数字后，得到一个新数，新数减去原数的个位数字的差能被11整除，若所得差仍然较大不易判断，则可以再把差去掉个位数字，继续进行下去，直到容易判断为此，如：42581去掉个位是4258，4258减去1的差是4257，4257去掉个位后是425，425减去7的差是418，418去掉个位8后是41，41减去8的差是33，显然33能被11整除，所以42581是“一心一意数”．（1）请用上述规律判断2018和20180116是否是“一心一意数”；（2）一个能被66整除的自然数称为“祥和数”，已知一个四位“祥和数”（千位数字是a，十位数字是b，百位数字和个位数字都是c，0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），求的值．36．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为，m的值为；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．37．我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”．如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．（1）请判断42356是否为“超越数”（填“是”或“否”），若+4c＝13k（k为整数），化简除以13的商（用含字母k的代数式表示）．（2）一个四位正整数N＝，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：F（4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．38．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a，b的代数式表示S1＝，S2＝；（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：；（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．39．发现与探索．（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解①a2﹣12a+20②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7③a2﹣6ab+5b2（2）根据小丽的思考（图2）解决下列问题．①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a2+12a﹣8的最大值．40．计算（ax+b）（cx+d）＝acx2+adx+bcx+bd＝acx2+（ad+bc）x+bd，倒过来写可得：acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．我们就得到一个关于的二次三项式的因式分解的一个新的公式．我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果．这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．如图1所示．示例：例如因式分解：12x2﹣5x﹣2解：由图2可知：12x2﹣5x﹣2＝（3x﹣2）（4x+1）请根据示例，对下列多项式因式分解：①2x2+7x+6②6x2﹣7x﹣3参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．B 10．C 11．A 12．B 13．C 14．B15．A 二．填空题（共9小题）16．（1﹣2a）（1+2a）17．（a+b）（2a+b），18．﹣25 19．3 20．2 21．﹣3 22．等腰三角形或直角三角形．23．（a+1）100 ．24．（x﹣1）（x+2）2．三．解答题（共16小题）25．解：（1）m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2；（2）2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）．26．解：（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2；＝﹣3x（x2+2xy+y2）＝﹣3x（x+y）2；（2）（a2+9）2﹣36a2＝（a2+9+6a）（a2+9﹣6a）＝（a+3）2（a﹣3）2；（3）25m2﹣（4m﹣3n）2＝（5m）2﹣（4m﹣3n）2，＝（5m+4m﹣3n）（5m﹣4m+3n）＝3（3m﹣n）（m+3n）；（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1）＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．27．解：（1）x2﹣40x+351＝x2﹣40x+400﹣49＝（x﹣20）2﹣49＝（x﹣20+7）（x﹣20﹣7）＝（x﹣13）（x﹣27）；（2）∵一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，∴这个长方形的长为：＝＝a+6b，即这个长方形的长是a+6b．28．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝，∴c＝＝，即a，b的“机智数”c是；（2）∵a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c＝，∴c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m；（3）∵c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m，c＝﹣m为一个整数，∴m＝1或m＝﹣1（舍去），即m的整数值是1．29．解：（1）∵8＝32﹣12，∴8是一个完美数，∵8＝1×8＝2×4，∴F（8）＝＝，故答案为：是，；（2）设m＝a2﹣b2，n＝c2﹣d2，其中a，b，c，d均为整数，则mn＝（a2﹣b2）（c2﹣d2），＝a2c2﹣a2d2﹣b2c2+b2d2，＝（a2c2+2abcd+b2d2）﹣（a2d2+2abcd+b2c2），＝（ac+bd）2﹣（ad+bc）2，∵a，b，c，d均为整数，∴ac+bd与ad+bc也是整数，即mn是“完美数”．（3）∵x+y能够被8整除，且1≤x≤y≤9，x，y都是整数，∴x+y＝8或16，∴n＝79或97或88或71或17或26或62或35或53或44，∵n为“完美数”，∴n为79或97或88或71或17或35或53或44，其中，79＝1×79，F（79）＝，97＝1×97，F（97）＝，88＝1×88＝2×44＝4×22＝11×8，F（88）＝，71＝1×71，F（71）＝，17＝1×17，F（17）＝，35＝1×35＝5×7，F（35）＝，53＝1×53，F（53）＝，44＝1×44＝2×22＝4×11，F（44）＝，∴F（n）的最大值是．故答案为：．30．解：（1）剩余部分的面积为（a2﹣4b2）平方米；（2）当a＝15，b＝2.5时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（15+5）（15﹣5）＝200（平方米）．31．解：（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042，∴28和2020是“和谐数”；（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．32．解：（1）x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a＝4a（x2﹣12x+32）＝4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．33．（1）解：31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；故答案为：是；（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z+100y+60+x，∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．34．解：（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），当x＝21，y＝7时，x+y＝28，x﹣y＝14，∴可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，∴，得，即m的值是56，n的值是17．35．解：（1）2018去掉个位是201，208减去8的差是200，200去掉个位后是20，20减去0的差是20，20显然不能被11整除，所以2018不是“一心一意数”；20180116去掉个位是2018011，2018011减去6的差是2018005，2018005去掉个位后是201800，201800减去5的差是201795，201795去掉个位5后是20179，20179减去5的差是20174，20174去掉个位是2017，2017减去4的差是2013，2013去掉个位后是201，201减去3的差是198，显然198能被11整除，所以20180116是“一心一意数”；（2）∵是祥和数∴是66的倍数，即也是2的倍数，也是11的倍数．∴c是偶数∵能被11整除的正整数特征被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位上的数之和的差能被11整除∴a+b﹣2c＝11k且0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9∴a+b﹣2c＝11，0≤a+b≤18∴c＝2，则a+b＝15∴＝36．解：解方程组得：，即另一个因式为x﹣7，m＝﹣21；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，则2x2+3x﹣k＝（x﹣4）（2x+a），2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣8）x﹣4a，所以，解得：a＝11，k＝44，即另一个因式是2x+11，k＝44，故答案为：x﹣7，﹣21．37．解：（1）∵4235+4×6＝4259且4259不能整除13∴4235不是超越数．∵+4c＝13k∴10a+b+4c＝13k∴10a+b＝13k﹣4c∵＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c）∴＝10k﹣3c（2）由题意得d＝5，a＝c，∴N＝1000a+100b+10c+5∵N能被13整除∴设100a+10b+c+4×5＝13k∴101a+10b+20＝13k，且a正整数，b，k为非负整数，1≤a≤4∴a＝2，b＝9，k＝24 或a＝3，b＝8，k＝31，或a＝4，b＝7，k＝38∴F（N）＝|2+25﹣18|＝9，或F（N）＝|3+25﹣24|＝4，或F（N）＝|4+25﹣28|＝1∴F（N）最小值为1．38．解：（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2﹣b2，图2用长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），故阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；故答案是：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）观察图1和图2中阴影部分面积是相等的，故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）216﹣1＝（28﹣1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝15×17×（28+1）因为28+1是整数，故216﹣1既能被15整除，又能被17整除．39．解：（1）根据小明的解答将下列各式因式分解①a2﹣12a+20解原式＝a2﹣12a+36﹣36+20＝（a﹣6）2﹣42＝（a﹣10）（a﹣2②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+12解原式＝（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+16﹣16+12＝（a﹣5）2﹣22＝（a﹣7）（a﹣3）③a2﹣6ab+5b2解原式＝a2﹣6ab+9b2﹣9b2+5b2＝（a﹣3b）2﹣4b2＝（a﹣5b）（a﹣b）（2）①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．a2﹣12a+20解原式＝a2﹣12a+36﹣36+20＝（a﹣6）2﹣16∵无论a取何值（a﹣6）2都≥0∴代数式（a﹣6）2﹣16≥﹣16，∴a2﹣12a+20的最小值为﹣16．②∵无论a取何值﹣（a+1）2≤0∴代数式﹣（a+1）2+8小于等于8，则﹣（a+1）2+8的最大值为8．﹣a2+12a﹣8．解原式＝﹣（a2﹣12a+8）＝﹣（a2﹣12a+36﹣36+8）＝﹣（a﹣6）2+36﹣8＝﹣（a﹣6）2+28∵a取何值﹣（a﹣6）2≤0，∴代数式﹣（a﹣6）2+28≤28∴﹣a2+12a﹣8的最大值为28．40．解：由题意可知：①2x2+7x+6＝（x+2）（2x+3）②6x2﹣7x﹣3＝（2x﹣3）（3x+1）。

一个整数表示成两个整数平方和的唯一性

一个整数表示成两个整数平方和的唯一性
朱一心
【期刊名称】《首都师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(036)006
【摘要】对于一个可以表示成两个整数平方和的整数,通过其素因数分解式,给出平方和的不同表示方法计算公式,因此给出一个正整数可以唯一表示成两个整数的平方和的充要条件.
【总页数】6页(P1-5,10)
【作者】朱一心
【作者单位】首都师范大学数学科学学院,北京 100048
【正文语种】中文
【中图分类】O156
【相关文献】
1.相继两个正整数平方和中的素数方幂 [J], 管训贵
2.两个连续正整数平方和中的素数方幂 [J], 李中
3.整数可表示成两整数立方和的一个充要条件 [J], 郭凤书
4.整数矩阵的平方和表示 [J], 田正平
5.高斯整数环上矩阵的平方和表示 [J], 田正平;杨炳良
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数论中的重要问题

数论中的重要问题近年来，数论作为数学的一个重要分支领域，受到了越来越多的关注和研究。

数论涉及到整数的性质和关系，探讨了许多有趣且具有实际应用的问题。

本文将介绍数论中的几个重要问题，并简要探讨它们的意义和解决方法。

一、费马小定理费马小定理是数论中的一项基本定理，它表明对于任意的素数p和整数a，满足a^p ≡ a (mod p)。

其中，"≡"表示同余关系。

费马小定理在密码学和密码破解中有重要应用，可以用于判断一个数是否为素数，并且可以保护密码的安全性。

二、素数分布问题素数分布问题是数论中的一个经典问题，研究素数在整数集中的分布规律。

具体来说，就是探讨素数的数量增长趋势及其分布的规律。

著名的素数定理给出了素数的分布近似公式：在不大于x的范围内，素数的个数约为x/ln(x)。

然而，迄今为止，仍然没有找到素数的精确分布规律，这也是当今数论研究的一个重要难题。

三、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数论中的一道著名未解问题，至今未能得到证明或证伪。

该猜想提出：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（例如，8=3+5）。

虽然一些特殊情况已经得到了证明，但对于一般情况的证明仍然困难重重。

解决该问题对于数论和素数研究具有重要意义。

四、费马大定理费马大定理是数论中的一个重要问题，最早由费马于17世纪提出，并长期以来成为数学的一个未解之谜。

该定理表明对于任意的大于2的整数n，满足a^n + b^n = c^n的整数解a、b、c不存在。

该问题经过近400年的努力，直到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

费马大定理的证明对于数论研究的发展产生了重要影响。

五、拉格朗日四平方和定理拉格朗日四平方和定理也是数论中的一道经典问题，它提出：每个正整数都可以表示为不超过四个的平方数之和。

例如，可以表示为1^2+1^2+1^2+2^2。

这一定理具有实际应用价值，例如在密码学领域中用于生成加密密钥。

拉格朗日四平方和定理的证明经历了多年的努力，直到1797年由法国数学家拉格朗日给出了完备的证明。

费马平方和定理的证明

费马平方和定理的证明费马平方和定理，这名字听上去就很高大上吧？其实说白了，就是个关于整数的数学游戏。

想象一下，如果你有一堆整数，比如说1、2、3、4……然后你想把它们的平方加起来，嘿，结果是个完全平方数。

哎，这可不是随便能做到的。

费马大哥可真是个有趣的人，他信誓旦旦地说，任何一个大于零的整数，都可以表示成两个平方数的和。

听起来很简单，但真要深入研究就会发现，背后可是个复杂的世界。

咱们得搞清楚这俩平方数是啥意思。

想象一下，1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9，以此类推。

现在，假设你想找到两个这样的平方数，让它们加起来等于某个整数。

比如说，5可以表示为1的平方加上2的平方（1+4）。

你看，这不就简单得多了嘛！但问题来了，费马说的“大于零的整数”可不是随便的，得找那种很难缠的数字。

在数学界，费马的这条定理就像一颗宝石，吸引着无数的数学家去追寻真相。

很多人开始尝试去找例子，看看能不能证明这玩意儿。

有人觉得，哎呀，这定理可能是对的。

毕竟大多数数字都能满足条件。

可越往深处一探，越发现事情没有那么简单。

就像我们逛街时，看到一件衣服特别好看，试穿后却发现不合身，真是让人郁闷。

说到这里，咱们就不得不提到一些特别的数字。

比如说，负数。

费马说的可都是正整数，负数就像是在派对上不受欢迎的客人，根本没有机会进入。

还有那些完全平方数，比如1、4、9，它们就像是数学界的小明星，总能引人瞩目。

于是，很多人开始从这些小明星入手，试图找到与之相关的神秘关系。

想象一下，大家围在一起，热火朝天地讨论，像是在解锁一款游戏的最终Boss。

经过多年的研究，数学家们终于找到了一些有趣的规律。

他们发现，某些数字的组合确实可以形成平方和。

比如，37就能表示成36加1，也就是6的平方加1的平方。

就像我们拼图一样，把这些数字拼凑在一起，慢慢显露出真相。

难怪费马当年会说：“我有个绝妙的证明，但字数不够写在这本书上。

”哈哈，这可真是让人哭笑不得。

随着时间的推移，更多的数学家加入了这个游戏。

不定方程

数论的一个分支，它有悠久的历史与丰富的内容。

所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。

1969年，L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》，较系统地总结了这方面的研究成果。

近十多年来，这个领域更有重要进展。

虽然如此，从整个地说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。

另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。

一次不定方程最简单的一次不定方程是二元一次不定方程(1)式中α1,α2，n是给定的整数，α1α2≠0。

在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α1,α2)能整除n，并当(1)有解时，可用辗转相除法来求(1)的一组解。

设(α1,α2)=1，则(1)的全部整数解可表为(2)式中x0,y0为(1)的一组解,t为任意整数。

称(2)为方程(1)的通解。

（1）式的复解对于不定方程：AX-BY=1.我们知道，只要（A,，B）=1，就必然有整数解。

猜想：当A<B时，有解X，Y。

当A>B时，X与Y互换位置。

即：AX-BY=1，A'Y-BX=1；A<B<A'。

是否也有X，Y的共同解。

例如：A<B时：B=17，A=7时，X=5，Y=2.。

即：7×5-17×2=1。

A>B时即A'>B：B=17，A=43时，X=5，Y=2。

即：43×2-17×5=1。

目前没有发现反例。

例如：1，B=5，A=3，A'=11，X=2，Y=1.即3×2-5×1=1；11×1-5×2=1。

2022-2023学年第二学期泰州市姜堰区初一数学期中复习试卷及答案

（1）（2）
20 先化简，再求值：（a+b）（b-a）-a（a-2b）+（a-2b）2，其中a=﹣1，b= ．
21．如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC（ABC的各顶点都在格点上，小正方形的边长为1）．
（1）画出△ABC中边BC上的高线AD；（提醒：别忘了标注字母）
（2）平移△ABC一次，使点A到点A1，画出平移后的△A1B1C1；
1．下列计算正确的是（）
A．x2·x3=x6B．a3+a3=2a6C．（-2x3）2=-4x5D．（-m）5÷（-m）3=m2
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法逐项计算判断即可求解．
【解答】解：A．x2·x3=x5，故该选项不正确，不符合题意；
B．a3+a3=2a3，故该选项不正确，不符合题意；
解答】解：0．0000007=7×10-7．
故答案为：7×10-7．
【点评】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
8．计算：42n·（）2n+1=____________（n为正整数）．
【答案】
【解析】
【分析】先逆用同底数幂相乘变形为42n·( )2n·( )，再逆用积乘方法则计算即可．
C．如图，∠1与∠2可能互余．
故该选项正确，符合题意；
D．如图，∠1与∠2不一定相等．
故该选项不正确，不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了同旁内角的定义，掌握定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．
4．代数式55+55+55+55+55化简的结果是（）

2.1必要条件与充分条件2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

的充分条件.
练习：自测与提升
1.下列各题中，试判断是的什么条件.

பைடு நூலகம்
(1): = ( ≠ 0), : 2 = ;

(2)对于反比例函数 = , > 0, : > 0, : 值随值的增大而减小；
(3):函数的图象关于轴对称，:函数 = 2 .
2.用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理：
条件关系的判定
例3在下列各题中，试判断是的什么条件.
思考交流
请举出初中数学中的一些充
(1): ⊆ , : ∩ = ;
(2): = , : || = ||;
要条件的命题，并与同学交
(3):四边形的对角线相等，:四边形是平行四边形.
流，
解(1)因为命题“若 ⊆ ,则 ∩ = 为真命题，并且“若 ∩ = ,则 ⊆ ′′ 也为真
关系为_________.
(1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行：
(2)若 > , < 0,则 < ;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(4)如果1 , 2 是一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)的两个实数根，那么1 + 2 = − .
2.1必要条件与充分条件
字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若,则"和“是"两种形式.
当命题表示为“若,则"时，是命题的条件，是命题的结论.当命题“若,则"是真命
题时，就说由推出,记作 ⇒ .
2.1必要条件与充分条件
一、必要条件与性质定理
实例分析
在初中数学中，我们学习过一些性质定理，例如：

初等数论不定方程

初等数论不定方程一、知识归纳：所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。

1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。

定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

平方和分解式的证明

平方和分解式的证明平方和分解式的证明:平方和分解式是指一个正整数可以拆分成几个正整数的平方和的形式，如 $5=1+4$，$13=9+4$ 等。

下面我们来证明这个定理。

证明:假设一个正整数 $n$ 可以表示成平方和的形式，即 $n=a_1^2+a_2^2+...+a_k^2$，其中 $a_1,a_2,...,a_k$ 是正整数。

下面我们要证明的是，对于任意正整数，都可以表示成这种形式。

首先我们来证明的是每个奇素数可以表示成平方和的形式。

对于任意奇素数 $p$，我们知道，模 $4$ 余数只有两种可能：$1$ 或 $3$。

如果模$4$ 余数为 $1$，我们可以将 $p$ 写成两个整数的平方和的形式，即$p=1^2+(\frac{p-1}{2})^2$。

如果模 $4$ 余数为 $3$，我们可以写成四个整数的平方和的形式，即 $p=1^2+1^2+1^2+(\frac{p-3}{4})^2$。

接下来，我们要证明每个正整数都可以表示成平方和的形式。

我们可以用数学归纳法来证明这个定理。

当 $n=1$ 时，显然 $n=1^2$。

假设当 $n=k$ 时，可以写成平方和的形式。

即 $k=a_1^2+a_2^2+...+a_k^2$。

现在我们要证明当 $n=k+1$ 时，也可以写成平方和的形式。

我们将 $k+1$ 分成两个数，一个数是最大的小于等于 $\sqrt{k+1}$ 的平方数，即$m^2$，另一个数为 $k+1-m^2$。

对于 $m^2$，我们可以利用假设，将它表示成平方和的形式，即$m^2=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{l}^{2}$。

将这两项相加，可以得到：$$k+1=m^2+(k+1-m^2)$$$$=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{l}^{2}+(k+1-m^2)$$这样，我们就把 $k+1$ 表示成几个正整数的平方和。

因此，我们可以得到结论：对于任意正整数，都可以表示成几个正整数的平方和。

初中数学重点梳理：完全平方数

完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。

正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。

在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。

本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。

知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

（2）除以3余0或余1；反之不成立。

（3）除以4余0或余1；反之不成立。

（4）约数个数为奇数；反之成立。

（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。

初三上学期《因式分解》能力提升卷 1

初三上学期<因式分解>能力提升卷1一．选择题（共12小题）1．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（）A．50 B．100 C．98 D．97 3．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）4．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×10175．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）6．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 7．化简：，结果是（）A．B．C．D．8．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z10．下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+2x+4 C．﹣（﹣a）2﹣b2 D．﹣a2+b211．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 二．填空题（共18小题）13．把多项式2x2y﹣16xy+32y分解因式的结果是．14．已知xy=，x+y=5，则2x3y+4x2y2+2xy3=．15．分解因式：﹣xy2+4x=．16．已知a﹣b=3，ab=﹣2，则a2b﹣ab2的值为．17．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，则该三角形是三角形．18．已知关于x的二次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为．19．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+1=．20．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．21．若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．22．已知x2+x+1=0，则x3﹣x2﹣x+7=23．已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为．24．已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为．25．分解因式：a2+2ab+b2﹣4=．26．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．27．给出几个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1其中能够分解因式的是（填上序号）．28．把多项式9x3+6x2y+xy2分解因式的结果是．29．若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是30．已知a，b，c是△ABC的三边，且a4﹣a2c2=b4﹣b2c2，那么△ABC的形状是．三．解答题（共10小题）31．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？32．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．33．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y234．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．35．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为，m的值为；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．36．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数“．（1）36是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？37．请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解．38．甲、乙两个同学分解因式x2﹣4x+m+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．39．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a，b的代数式表示S1=，S2=；（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：；（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．40．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DE=b（a＞b）．（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．初三上学期<因式分解>能力提升卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故选：D．2．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（）A．50 B．100 C．98 D．97【解答】解：∵993﹣99=99×（992﹣1）=99×（99+1）×（99﹣1）=99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．3．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5） D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）【分析】A、利用完全平方公式分解；B、利用提取公因式a2进行因式分解；C、利用十字相乘法进行因式分解；D、利用提取公因式5xy进行因式分解．【解答】解：A、4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2，故本选项错误；B、a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；C、（x﹣2）（x﹣5）=x2﹣7x+10，故本选项错误；D、10x2y﹣5xy2=xy（10x﹣5y）=5xy（2x﹣y），故本选项正确；故选：D．4．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×1017【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可．【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452=（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）=1.1111111×1017．故选：D．5．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），=b（x﹣3）（b+1）．故选：B．6．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【分析】设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p 的值．【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣（a+2）x+2a，∴﹣p=﹣a﹣2，2a=﹣6，解得：a=﹣3，p=﹣1．故选：C．7．化简：，结果是（）A．B．C．D．【分析】将所求式子的分子分母前两项提取20122，整理后分子提取2010，分母提取2013，约分后即可得到结果．【解答】解：原式====．故选：A．8．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项，且异号．完全平方公式的特点：两个数的平方项，且同号，再加上或减去这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：①原式=（2x+y）（2x﹣y），能分解因式；②原式=2x2（x+2y）2，能分解因式；③两个数的平方项，且异号，不能分解因式；④原式=（x+3y）（x﹣2y），能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式．则不能分解因式的有2个．故选：B．9．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．【解答】解：原式=（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），∴另一个因式是2x+y﹣z．故选：D．10．下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+2x+4 C．﹣（﹣a）2﹣b2D．﹣a2+b2根据公式法分解因式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2=（a±b）2的公式特点，把四个选项进行分析可得到答案．【解答】解：A、﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；B、x2+2x+4=x2+2x+22有三项，考虑完全平公式分解，由于中间的项2x不是x与2的2倍，所以不能用公式法分解，故此选项错误；C、﹣（﹣a）2﹣b2=﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；D、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故此选项正确．故选：D．11．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．【解答】解：依据新运算可得①2=1×2，则，正确；②24=1×24=2×12=3×8=4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1，正确；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），如64=43=8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．12．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）=x2+bx﹣2x﹣2b=x2+（b﹣2）x﹣2b=x2﹣ax﹣1，∴b﹣2=﹣a，﹣2b=﹣1，∴b=0.5，a=1.5，∴a+b=2．故选：A．二．填空题（共18小题）13．把多项式2x2y﹣16xy+32y分解因式的结果是2y（x﹣4）2．14．已知xy=，x+y=5，则2x3y+4x2y2+2xy3=﹣25．15．分解因式：﹣xy2+4x=﹣x（y+2）（y﹣2）．16．已知a﹣b=3，ab=﹣2，则a2b﹣ab2的值为﹣6．17．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，则该三角形是等边三角形．18．已知关于x的二次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为x2+2.5x+．【分析】设另一个因式为x2+ax+b，根据多项式乘以多项式法则进行计算，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设另一个因式为x2+ax+b，则2x3+3x﹣k=（2x﹣5）（x2+ax+b）=2x3+（2a﹣5）x2+（2b﹣5a）x﹣5b，所以，解得：a=2.5，b=，即另一个因式为x2+2.5x+，故答案为：x2+2.5x+．19．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+1=2．【解答】解：∵m2+m﹣1=0，∴m3+2m2+1=m（m2+m﹣1）+（m2+m﹣1）+2=m×0+0+2=2，故答案为：2．20．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为9．【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，求出m、n后代入即可．【解答】解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，∴﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，∴m=3﹣a∴3m﹣n=3（3﹣a）﹣（﹣3a）=9﹣3a+3a=9，故答案为：9．21．若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为﹣12．22．已知x2+x+1=0，则x3﹣x2﹣x+7=9【解答】解：x3﹣x2﹣x+7=x3+x2+x﹣2x2﹣2x﹣2+9=x（x2+x+1）﹣2（x2+x+1）+9=0﹣0+9=9．答案：923．已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为．24．已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y的值为0.36．【分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵x+y=0.2，x+3y=1，∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，则原式=（x+2y）2=0.36．故答案为：0.3625．分解因式：a2+2ab+b2﹣4=（a+b+2）（a+b﹣2）．26．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为3．27．给出几个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1其中能够分解因式的是②③④（填上序号）．28．把多项式9x3+6x2y+xy2分解因式的结果是x（3x+y）2．29．若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是930．已知a，b，c是△ABC的三边，且a4﹣a2c2=b4﹣b2c2，那么△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．【分析】移项后分组，分解因式，即可得出a=b或a2+b2=c2，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出即可．【解答】解：a4﹣a2c2=b4﹣b2c2，a4﹣a2c2﹣b4+b2c2=0，（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0，∴（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0 ∵a，b，c是△ABC的三边，∴a﹣b=0或a2﹣b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案为：等腰三角形或直角三角形．三．解答题（共10小题）31．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？【分析】按照新概念的定义，进行验证即可．【解答】解：（1）∵28=82﹣62，2020=5062﹣5042，∴28和2020是“和谐数”；（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2=4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．32．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为1，其它为0的数；（2）先表示这个任意的n（n≥3）位“轴对称数”：=A×10n+B×10+A，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；（3）设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），根据与k的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设100a+10b+a+k=45c，化为90a+11a+10b+k=45c，所以11a+10b+k能同时被45整除，分情况计算可得结论．【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A=A×10n+10B﹣10A=10（A×10n﹣1+B﹣A），∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；（3）解：设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），∵与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，∴设100a+10b+a+k=45c，101a+10b+k=45c，90a+11a+10b+k=45c，∴因为101a+10b+k能同时被5和9整除，所以11a+10b+k能同时被5和9整除，即11a+10b+k的值为0或45或90或135，又1≤a≤4，0≤b≤9，∴当a=1，b=3，k=4时，这个三位“轴对称数”是131．当a=1，b=8，k=4时，这个三位“轴对称数”是131．当a=2，b=2，k=3时，这个三位“轴对称数”是222．当a=3，b=1，k=2时，这个三位“轴对称数”是313．当a=4，b=0，k=1时，这个三位“轴对称数”是404．当a=4，b=9，k=1时，这个三位“轴对称数”是494．所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．33．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a=4a（x2﹣12x+32）=4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2=（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）=（x+4y）2（x﹣4y）2．34．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x ﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．【分析】（1）根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题，注意本题答案不唯一；（2）根据因式分解的方法和等号左右两边对应相等，可以求得m、n的值．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y），当x=21，y=7时，x+y=28，x﹣y=14，∴可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=（x+p）（x+q）（x+r），∵当x=27时可以得到其中一个密码为242834，∴27+p=24，27+q=28，27+r=34，解得，p=﹣3，q=1，r=7，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=（x﹣3）（x+1）（x+7），∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=x3+5x2﹣17x﹣21，∴，得，即m的值是56，n的值是17．35．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．【分析】求出方程组的解，即可求出答案；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：解方程组得：，即另一个因式为x﹣7，m=﹣21；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，则2x2+3x﹣k=（x﹣4）（2x+a），2x2+3x﹣k=2x2+（a﹣8）x﹣4a，所以，解得：a=11，k=44，即另一个因式是2x+11，k=44，故答案为：x﹣7，﹣21．36．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数“．（1）36是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？【分析】（1）可根据神秘数的定义解决．（2）可利用平方差公式解决【解答】解：设36是x和x﹣2平方差得到的∴36=x2﹣（x﹣2）236=4x﹣4x=10∴36是10和8的平方差得到的∴36是神秘数（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2=4k2+8k+4﹣4k2=4（2k+1）∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．37．请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解．【分析】添加4x或﹣4x，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：添加4x，得4x2+4x+1=（2x+1）2，添加﹣4x，得4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2．38．甲、乙两个同学分解因式x2﹣4x+m+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．【分析】直接利用多项式乘法进而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵甲看错了b，所以a正确，∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，∴a=6，∵因为乙看错了a，所以b正确∵（x+1）（x+9）=x2+10x+9，∴b=9，∴a+b=6+9=15．39．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a，b的代数式表示S1=a2﹣b2，S2=（a+b）（a﹣b）；（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．【分析】（1）图1用大正方形的面积去掉小正方形的面积，图2用长方形的面积计算公式；（2）因为两个图形的阴影部分面积相等，可以根据第（1）问列出等式；（3）利用所得到的平方差公式分解因式后进行说明．【解答】解：（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2﹣b2，图2用长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），故阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；故答案是：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）观察图1和图2中阴影部分面积是相等的，故a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）216﹣1=（28﹣1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=15×17×（28+1）因为28+1是整数，故216﹣1既能被15整除，又能被17整除．40．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DE=b（a＞b）．（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b 的值．【分析】（1）结合图示，由线段间的和差关系进行计算即可；（2）图中阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积；或者把阴影部分分割为两个矩形的面积进行计算；（3）利用（2）中的平方差公式进行计算．【解答】解：（1）AG=a﹣b；（2）能．a2﹣b2或a•（a﹣b）+b•（a﹣b）；a2﹣b2=a•（a﹣b）+b•（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）由题意，得a﹣b=16①，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，∴a+b=60②，由①、②方程组解得a=38，b=22．故a的长为38cm，b的长为22cm。

数学归纳法证明平方和公式

数学归纳法证明平方和公式数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。

其中，平方和公式是一种经典的数学公式，用于计算自然数的平方和。

下面，我们将介绍如何使用数学归纳法证明平方和公式。

首先，让我们回顾一下平方和公式的表达式：1 + 2 + 3 + ... + n = (n(n+1)(2n+1))/6。

这个公式可以用数学归纳法来证明。

当n=1时，显然有1 = 1，所以等式左边为1，右边为(1 × 2 ×3) ÷ 6 = 1，等式成立。

接着，我们假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = (k(k+1)(2k+1))/6。

现在，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

考虑等式左边的和：1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)。

根据假设，前面的和为(k(k+1)(2k+1))/6。

我们可以将(k+1)展开为k + 2k + 1，然后将其代入等式左边的和中，得到：1 +2 +3 + ... + k + (k+1) = (k(k+1)(2k+1))/6 + k + 2k + 1接下来，我们对等式右边进行化简：(k(k+1)(2k+1))/6 + k + 2k + 1 = ((2k + 3k + k) + 6k + 12k + 6) / 6= (2k + 9k + 13k + 6) / 6= ((k+1)(k+2)(2k+3)) / 6因此，我们得到了当n=k+1时等式右边的表达式。

由于假设当n=k时等式成立，因此根据数学归纳法，当n为任意正整数时平方和公式都成立。

通过数学归纳法证明平方和公式，我们不仅可以得到正确的结果，而且还可以清晰地展示证明过程，从而更好地理解数学定理的含义和适用范围。

费马平方和定理拉格朗日四平方和定理

费马平方和定理费马平方和定理：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1。

第一步“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。

”第一步的证明是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的一种:而若将与·互换位置，即可得。

第二步“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。

”假设a^2 + b^2能被p^2+q^2整除，且后者为素数。

则p^2 + q^2能整除:(pb-aq)(pb+aq) = p^2b^2 - a^2q^2 = p^2(a^2+b^2) - a^2(p^2+q^2).由于p^2+q^2是素数，因此它能整除两个因子之一。

假设它能整除pb-aq。

由于:(a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2\,可推出p^2+q^2能整除(ap+bq)^2。

于是等式能被p^2+q^2的平方整除。

两边除以(p^2+q^2)^2得：因此其商能表示为两个平方数之和。

如果p^2+q^2能整除pb+aq，则利用等式同样可证。

第三步“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。

”假设x能整除a^2+b^2，且其商的分解式为p_1p_2\cdots p_n。

则a^2+b^2 = xp_1p_2\cdots p_n。

如果所有的因子p_i都能表示为两个平方数之和，则我们可以用p_1、p_2、等等去除a^2+b^2，并使用第二步的结论，可得每一个商都能表示为两个平方数之和。

除到只剩x的时候，可得x也能表示为两个平方数之和，矛盾。

因此，如果x不能表示为两个平方数之和，则至少有一个素数p_i 也不能表示为两个平方数之和。

第四步“如果a和b互素，则a^2 + b^2的所有因子都能表示为两个平方数之和。

叶果洛夫定理证明

摘要：叶果洛夫定理是数论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，一个整数平方数可以表示为两个整数的平方和的形式。

本文将对叶果洛夫定理进行证明，并探讨其相关性质。

一、引言叶果洛夫定理（雅可比-叶果洛夫定理）如下：定理：设$ n $为一个正整数，如果$ n $可以表示为$ n = 4^a(8b + 7) $的形式，其中$ a $和$ b $为非负整数，那么$ n $的任意平方数都可以表示为两个整数的平方和。

二、证明证明分为两部分：首先证明如果$ n $满足条件，那么$ n $的任意平方数都可以表示为两个整数的平方和；其次证明满足条件的$ n $存在。

1. 证明过程（1）假设$ n = 4^a(8b + 7) $，其中$ a $和$ b $为非负整数。

（2）设$ m $为任意正整数，那么$ m^2 $可以表示为$ m^2 = 4^k(8b' + 7) $的形式，其中$ k $和$ b' $为非负整数。

（3）由于$ m^2 $是$ n $的倍数，因此$ m^2 $也满足条件，即$ m^2 $可以表示为两个整数的平方和。

（4）设$ m^2 = x^2 + y^2 $，其中$ x $和$ y $为整数。

（5）将$ m^2 $代入$ n $的形式，得到$ 4^k(8b' + 7) = x^2 + y^2 $。

（6）由于$ 4^k $和$ 8b' + 7 $都是整数，因此$ x^2 + y^2 $也是$ n $的倍数。

（7）由$ n $的任意性，可知$ n $的任意平方数都可以表示为两个整数的平方和。

2. 存在性证明（1）首先证明$ n = 4^a(8b + 7) $的平方数可以表示为两个整数的平方和。

（2）设$ n^2 = x^2 + y^2 $，其中$ x $和$ y $为整数。

近世代数教案

近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。

本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。

如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。

教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。

每节配有3—5题常规练习作业。

每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。

整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。

本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。

教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。

主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。

2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。

3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。

4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。

5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。

两数平方和问题的性质探讨

两数平方和问题的性质探讨在数学中，“两数平方和”是一个常见的问题，平方和问题可以表达为：已知正整数$a$和$b$，如何求出它们的平方和，即$a^2+b^2$。

本文将从两个方面对平方和问题的性质，以及应用等进行详细探讨。

一、平方和问题的定义平方和问题指的是已知正整数$a$和$b$，求出它们的平方和，即$a^2+b^2$。

这个问题是一个很有意思的数学题目，有很多重要性质。

二、性质与结论（1）平方和问题中，正整数$a$和$b$一定存在唯一的解，即$a^2+b^2$。

（2）平方和问题是一个线性方程，两个正整数$a$和$b$可以用一条直线表示，即$y=ax+b$。

（3）平方和的取值范围是$[2, +\infty]$。

当$a, b$越大时，平方和越大。

（4）平方和的数学归纳法：设$a_n=a_{n-1}+1$，$b_n=b_{n-1}+1$，则$a_n^2+b_n^2=(a_{n-1}+1)^2+(b_{n-1}+1)^2=a_{n-1}^2+2a_{n-1}+1+b_{n-1}^2+2b_{n-1}+1=(a_{n-1}^2+b_{n-1}^2)+2(a_{n-1}+b_{n-1})+2$。

（5）平方和的费马小定理：若$a, b$是整数，且$a^2+b^2$是平方数，则有$a^2+b^2$等于$(a+b)(a-b)$。

（6）平方和的一类特殊解：当$a=b$时，$a^2+b^2=2a^2$。

三、应用（1）实际应用：平方和问题在计算机编程中，可以用来求解两点之间的距离，当$a$和$b$分别代表两点在横坐标和纵坐标上的坐标值时，$a^2+b^2$则表示两点间的距离。

（2）理论应用：平方和问题还有着深刻的代数结构和数论结论，是有效的判定问题的工具，广泛应用在图论、几何和其他数学理论当中。

本文基本上就是对平方和问题的性质、结论以及应用进行了一般性介绍。

有关平方和问题，我们还应该深入研究其中的更多内容，以更好地服务科学研究。

初等数论第六章平方和

144 第六章平方和本章中要研究整数用整数的平方数之和表示的可能性，即对于给定的整数n ，是否存在整数x 1，x 2，x 3，x 4，使得n = x 12 + x 22，n = x 12 + x 22 + x 32，n = x 12 + x 22 + x 32 + x 42成立？以下，“平方和”或“平方数之和”是指“整数的平方数之和”。

第一节二平方之和定理1 若正整数n 可以表示成两个整数的平方之和，则在它的标准分解式k k p p p n ααα 2121=中，形如4k + 3的素因数的指数是偶数。

证明设n = x 2 + y 2，p i 是n 的形如4k + 3的素因数。

记p α =i a i p ，则p α∣n ，p α + 1|/n ，x 2 + y 2 ≡ 0 (mod p α)。

(1) (ⅰ) 若p |/y ，则存在整数y '，使得yy ' ≡ 1 (mod p )，于是由式(1)得到(xy ')2 + 1 ≡ 0 (mod p )，即 -1∈QR (p )。

因此由第五章第五节定理3推论，有p = 2或p ≡ 1(mod 4)，这是不可能的。

(ⅱ) 若p ∣y ，则由式(1)可知p ∣x ，以及22)()(py p x +≡ 0 (mod p α - 2)。

(2) 下面说明，α必是偶数，否则，将导致矛盾。

若α = 2m + 1，则类似于上面的推导，依次得到145 2222)()(p y p x +≡ 0 (mod p α - 4)。

2323)()(p y p x+≡ 0 (mod p α - 6)。

22)()(m m p y p x +≡ 0 (mod p )。

(3) 若p m p y|/，则由结论(ⅰ)可知p ≡ 1 (mod 4)，这不可能，所以p m + 1∣y ，从而p m + 1∣x ，于是p α + 1 = p 2(m + 1)∣n ，这与式(1)矛盾。

数论学习笔记（10）：勒让德两平方数之和定理

数论学习笔记（10）：勒让德两平⽅数之和定理这次说⼀下⾼斯整数的⼀个应⽤，就是证明勒让德两平⽅数之和定理。

我们已经讨论过哪些正整数能表⽰成两平⽅数之和的问题，现在我们关⼼这种表⽰⽅法的数量。

先给个定义：给定正整数 n ，则满⾜ n=a^2+b^2 的整数对 (a,b) 的个数记作 R(n) 。

注意，这⾥ a,b 可以是负数，⽽且 a,b 交换⼀下看作不同的解。

例如，我们有 R(45)=8 ，因为 a^2+b^2=45 整数解有 8 组： (3,6),(6,3),(3,-6),(6,-3),(-3,6),(-6,3),(-3,-6),(-6,-3) 。

勒让德两平⽅数之和定理给出了⼀个⾮常简单的计算 R(n) 的公式：设 n 的所有正约数中，有 d_1 个数模 4 余 1 ，有 d_3 个数模 4 余 3 ，则有为了证明此式，我们先⽤⾼斯整数的知识计算左边。

第⼀步先把 n 当成⾼斯整数，对它进⾏素因数分解。

当然在此之前要先把 n 分解为普通素数的乘积：其中各个 p_i 均为 4k+1 型素数，各个 q_i 均为 4k+3 型素数。

下⼀步把它进⼀步分解为⾼斯素数的乘积。

注意到所有 4k+3型素数已经是⾼斯素数，不⽤再分解，⽽ 2=-i(1+i)^2,p=x^2+y^2=(x+yi)(x-yi) ，于是把每个 p_i 写成 (x_i)^2+(y_i)^2 的形式，结果就是这样⼦：注意，这⾥有些素数不是上篇⽂章⾥说的“规范的”⾼斯素数，这个⽆所谓。

⽽如果能将 n 表⽰成 a^2+b^2 的形式，则有于是，⽅程 n=a^2+b^2 的每⼀组整数解 (a,b) 都对应着 n 的⼀个约数 a+bi 。

然⽽，这不是⼀⼀对应关系：取 n 的⼀个约数a+bi ，必须满⾜ n/(a+bi)=a-bi 才能说 (a,b) 是 n=a^2+b^2 的⼀组解。

我们还需要进⼀步讨论：设 n=(a+bi)(a-bi) ，则 a+bi,a-bi 的素因⼦分解形式如下：（吐个槽：26 个英⽂字母快⽤光了...）接下来利⽤ a+bi,a-bi 为共轭复数的条件来卡范围。