立体几何中的距离问题

立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题

集美中学数学组 刘 海 江

一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？

1、两点间的距离：连接两点的线段的长。

求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得

（2）用公式，),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则|AB|= 。

（3）利用向量的模，|AB|=|AB … （4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜,＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为 。

2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。 求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。

（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。

(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射

影的长，再由勾股定理求出所求的距离。

（4）利用公式：A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为 。 基本思想是将点线距转化为点点距。

3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）

（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和____________的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

求法： ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此

距离；

②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足ααα⊥∈∉O A ,,，

则点A 到平面α的距离||n d = （ 是平面α的法向量 ）

（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。

（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等） 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）

4、两个平行平面的距离

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。

求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）

（两个平行平面时，一个平面上任意两点到另一个平面的距离都相等）

5、异面直线的距离（难点）

（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做___________。公垂线夹在异面直线间的部分，叫做______________。公垂线段的长度叫做____________。

（2）任意两条异面直线__________________公垂线，公垂线段长是分别连结两条异面直线 上的点的线段中________________。（两平行线间的距离略）

求法：

（1） 利用距离公式：已知两条异面直线b a ,所成的角为θ，AA '是b a ,的公垂线，A '

在a

上，A 在b 上，在b a ,上分别取E ，F ，已知A 'E=m ，AF=n ，EF=l ，则公垂线AA '的长度=d 。

（2）利用向量，点A b B a ∈∈,，向量b n a n ⊥⊥,，则两条异面直线b a ,的距离 d =

空间的距离主要指以下八种：（1）两点间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两平行线间的距离；（5）两异面直线的距离；（6）平面的平行直线与平面间的距离；

（7）两个平行平面的距离；（8）两点间的球面距离。八种距离都是指两个点集的元素之间距离的最小值。八种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离。在八种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线的距离是难点。

二、练一练，写一写，这些题目你能独立完成吗？

1、 直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，a AA AC ==1，

则点A 到平面BC A 1的距离是 [ ]

A 、a

B 、a 2

C 、a 2

2 D 、a

3 2、在ABC ∆中，AB=15，︒=∠120BCA 。若ABC ∆所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的

距离都是14，则P 到α的距离是 [ ]

A 、13

B 、11

C 、9

D 、7

3、设P 是︒60的二面角βα--l 内一点，⊥PA 面a ，⊥PB 平面β，A 、B 分别为垂足，PA=4，PB=2，则AB 的长是 [ ]

A 、32

B 、52

C 、72

D 、24

4、将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是 [ ]

A 、36

B 、35

C 、33

D 、3

2 5、 平面直角坐标系xOy 中，A(-2,3),B(3,-2),将平面沿x 轴折成120 的二面角，则折后A ，

B 两点间的距离为 [ ]

A 、112

B 、11

C 、 25

D 、以上均不对

6、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，则异面直线11C A 与1AB 间的距离

为 。

7、已知异面直线a 、b 的公垂线段AB 的长为10cm ，点A 、M 在直线a 上，且AM=5cm

若直线a 、b 所成的角为︒60，则点M 到直线b 的距离是________ ___。

8、在1200

的二面角内，放一个半径为5㎝的球，切两个半平面于A ，B 两点，那么这两点

在球面上的最短距离是 。

９、已知空间三点A （1，１，１），B （－１，０，４），C （２，－２，３）则△ＡＢＣ的

面积是 。

10、已知正方形ABCD 边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD 且PD=1，E 、F 分别是AB 和

BC 的中点。

① 求D 点到平面PEF 的距离；

② 求直线AC 到平面PEF 的距离。

11、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，

① 求点A 到直线C B 1的距离；

② 求点A 到平面1BD 的距离。