数学物理方法第一章

N y Z平面 o ξ z x
图1.2 两复平面点对应关系
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§1.2 复变函数 为简单，这里不作严格定义。简单说，复变函数 就是以复数z为自变量的函数。
f z u ( x , y ) i ( x , y )
（ 式中 u ( x , y ) 和 x , y） 是x，y的实函数。我们讨论 的并不是普遍的复变函数，而是后面我们要讨论 的解析函数。如果对于z的每一个值，ω各取一个 值，则称ω为单值函数，否则为多值函数。
i
n

z
n
e
i
0 2 k
n
( k 0,1, 2, , n 1)
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例1.3 计算下列数值（a、b为实常数） （1）
a ib
；（2）3 i ；（3） i i
解：（见document 1.3）
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4、无穷远点 复平面上模为无穷大的点称为无穷远点。如图2， 复平面z上的点与任意半径球面上的点（除原点北 极外）一一对应，因此复平面上的无穷远对应球 面（复球面）上的顶点（北极点），亦即复平面 上无穷远点就一个。
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解析函数所代表的变换的保角性，是有条件的， 这就是只在f′(z) 0处才一定有保角性。在f′(z) = 0 的点，由于argf′(z)没有确定值，因而变换可能保 角也可能不保角。巧妙利用变换在f′(z) = 0处的不 保角性，可以把z平面上的复杂图形变换为ω平面 上的简单图形。
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调和函数 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 解析函数的实部u(x, y)和虚部(x, y)满足C-R条件， 两式分别对x和y求导： x y y x
, u u
两式相加得：
u
2 2
u
2
x
u
2 2
2


2
yx
,
u
2
y
2
u y
2）y → 0，x = 0，
这样有：
因此有：
f ( z ) lim
z 0
lim
y 0

i
u x

y
,
u y

x
这两个方程称为科希－里曼方程。它是函数可导 的必要条件，所以又称科希－里曼条件（简写为 C-R条件）。
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例1.5 证明C-R条件在极坐标（，）中的表示式 为： u 1 1 u
2


2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。
2 2


2
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例1.7 u(x, y) = xy是一个调和函数，求它的共轭调 和函数及所组成的解析函数。 解：见document 1.7
z x iy
y 复平面z z
几何表示：一个复数可用平面上一个点 或一个矢量表示，如图1所示。 注意：矢量的起点可以不在原点，因此 长度和方向都相同的矢量表示同一个复 数。x轴和y轴分别称为实轴和虚轴，复 数z和平面上的点一一对应，这样的平 面称为复平面。复数z可以用来表示复 平面上的矢量。明显，z与z关于实轴 对称。
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例1.4 计算下列数值（a和b为实常数，x为实变数） （1） ；（2） ；（3）
co s ix
sin a ib ln 解：（见document 1.4）( 1)
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§1.3 导数 1、区域 区域：满足一定条件的点的集合称为区域B。其满 足：（1）全由内点组成；（2）具有连通性。即 点集中的任何两个点都可以用一条折线连接。 边界点：本身不属于区域，边界点的全体称为区 域的边界C。 边界的正向：如果沿边界走，区域在左方，则走 向称为边界的正向。 闭区域：B与C所组成的点集。 连续和一致连续：（略）
z1 z 2 1 e z1 z2
i 1
2e

n
i 2
1 2e e
i 1 2
i 1 2

1e 2e
i 1 i 2
1 2

复数的n（整数）次幂：
z
e
i

n
e
n
in
复数的n（自然数）次根： n z n e n 若0是z的辐角的某一值，则可取n个不同的值：
x
2

y
2
0
可见，解析函数的实部（或虚部）可以解释为某 平面静电场的电势。电势的等值线称为等势线， 电场线与等势线相互正交。因此，如果将解析函 数的实部（或虚部）解释为某平面静电场的电势， 那么解析函数的虚部（或实部）的等值线就是该 静电场的电力线（电场线）。因此，解析函数也 称为静电场的复势。
§1.1 复数与复数运算 1、复数定义 设x和y为两个实数，而
i 1（即i2
= -1），则：
z x iy
称为复数。其中x称为z的实部，记为：Rez；y称 为z的虚部，记为：Imz。 而 x iy 称为 z x iy 的复共轭，记为：z。
2
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2、复数表示 代数表示：
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1 多值函数与枝点 我们以 z 为例来讨论。令z = ei，。对于0 2，则在复平面z上，(,)和(, + 2)是同 一个点。而在复平面ω上，当则 0时，有：
1 e
i

2
2
e
i
2
2
是两个不相等的值。z = 0（ = 0）点是一特殊点， 只有一个值。这样 z 在这一点，多值函数 的点称为多值函数 的枝点（还有另一个 z 枝点，） 。
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例1.6 已知解析函数f(z)的实部，求虚部和这个函 数f(z)。 解：见document 1.6
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解析函数的几何解释 函数ω = f(z)可以看着是复平面z上一个区域到复平 面ω上相应区域的变换（或映射）。一般说来，它 将复平面z上区域内的曲线族变为复平面ω上相应 区域内的曲线族。如果f(z)是该区域的解析函数并 满足条件f′(z) 0，这种变换将平面z区域内过任意 一点的两条曲线变为复平面ω上相应区域内过相应 点的两条曲线后，在相应点上保持曲线间夹角不 变。特别地，处处相互正交的曲线族变为处处相 互正交的曲线族。所以，满足f′(z) 0的解析函数 ω = f(z)是复平面z到复平面ω的保角变换。这也称 为解析函数的变换性质。
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若z绕枝点n周回到原处，而多值函数也刚好回到 原值，则我们称该枝点为n – 1阶枝点。显然，z = 0点是多值函数 z 的一阶枝点，因z转两圈 后，ω的值才还原。
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解析函数的物理解释 物理量有标量和矢量，因此有标量场和矢量场。 例如电势场、温度场、气压场均为标量场，其几 何描述用等势线、等温线、等高线描绘；例如静 电场、力场为矢量场，它们用力线描绘。
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对于二维平面无源静电场，其电势(x, y)满足拉普 2 2 拉斯方程：


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解： （见document 1.5）
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§1.4 解析函数 在区域B内每一点都是可导的函数称为B内的解析 函数。 定理 对于区域B上的连续函数ω = f(z)，其为解析 的充要条件是满足C-R条件。（证明略） 解析函数的实部和虚部不是独立的。知道了其中 之一，就可根据C-R条件确定另一个。
2 2
x1 iy 1 x 2 iy 2

x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
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复数的乘除用指数式更方便！
数学物理方法
第一章 复变函数 一、基本要求： 1、熟悉复数的基本概念和基本运算； 2、了解复变函数的定义，连续性； 3、了解多值函数的概念；
4、掌握复变函数的求导方法及C-R方程；
5、了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解 析函数的表示式。
二、本章重点：
复变函数的运算、C-R条件、解析函数。
1
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x y ; co s
2 2
x

; sin
y

y tan x
复数“零”的辐角没有明确意义。
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i 指数式表示： z e
。
并有：
z e

i
及（欧拉公式）
e
i
co s i sin
因此我们有：
z x iy co s i sin e
z1 z 2 x1 iy1 x 2 iy 2 x1 x 2 i y1 y 2
复数乘除：
z 1 z 2 x1 iy 1 x 2 iy 2 z1 z2
x1 x 2
y 1 y 2 i x1 y 2 x 2 y 1 x1 x 2 y 1 y 2 x2 y2

x
图1.1 复数几何表示
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三角式表示：若改用极坐标（，）代替直角坐 标， cos , y sin ，则有： x