几何光学 第二章 球面和球面系统

2.3 物平面以细光束经折射球面成像
图 2-5
如图2 5，球心C处放置的具有小孔的屏（称光阑）限制了物方各点 以细光束成像，它使物空间以C为中心，CA为半径所做的球面A1 AA2 上的每一点均成像于同心球面A1' A' A2' 上。但物方垂直于光轴的平BA的 像并不是过A'点并垂直于光轴的平面，因为物平面上的Ｂ点可看作是 由球面上的Ａ 沿辅光轴ＣＡ 移动ｄl得到。由折射球面物、像之间的 １ １ 关系可知，对于当物点沿光轴移动时，像点一定沿同方向移动。因此
引子：讨论到对有限大小的物体成像时，自然就涉及到 像的放大率和正倒问题——相反，对点物只有成像位置 的问题。 几何光学中所用的放大率有三种： 1 横向（垂轴）放大率β——垂轴小物体成像时，像 的大小与物的大小之比； 2 轴向放大率α——表征像点与对应的物点沿轴移动 量之比； 3 角放大率γ——折射前后的一对光线与光轴夹角之 间的比值。
U ' U I I ' sin I ' L' r r sin U '
从以上公式可见，尽管A点发出的具有相同U角的光线经球面折射后在像方 交光轴与同一点A’，但轴上点A发出的具有不同U角的光线经球面折射后将有不 同的L’值，即不交光轴于同一点，因而像方光束失去同心性，成像是不完全的， 这是成像的像差之一，称球差。如图2-2所示
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
设法消去i和I’，并引用对近轴光线成立的简单关系
h lu l ' u '
得到
1 1 1 1 n '( ) n( ) Q r l' r l n ' n n ' n l' l r n ' n n ' u ' nu h r
拉氏公式
根据转面公式组可直接写出整个系统的拉氏公式，即
J n1 y1u1 n '1 y '1 u '1 n2 y2u2 nk ykuk n 'k y 'k u 'k
此式表明，拉氏不变量J 对整个系统的每一个面的每一空 间都是不变量。 这是一个表征光学系统性能的重要特征量。J 值大，表示 系统能对物体成像的范围大，能对每一物点以大孔径角成 像。——这一方面表示光学系统能传输光的能量大，另一 方面孔径角越大，系统分辨物体细节的能力越强，即传递 的信息密度越大。 所以，J 值大的系统具有更高的性能。
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’Fra Baidu bibliotek B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
③以上三种放大率之间存在关系

**上述三种放大率公式对于任何系统都是适用的。
④拉氏公式
nyu n' y' u' J
上式表明一对物像平面内，J值是一个常量，称拉氏不 变量。该不变量将在以后有重要应用。
2.4 反射球面

反射球面又称球面镜，是光学系统中常用的光学零件。 由于反射定律只是折射定律在n’＝－n时的待殊情况， 故球面镜成像的有关公式可从折射球面的相应公式中直 接得到。即 y' l' 1 1 2 y l l' l r dl ' 2 r dl f ' f 2 u' 1 n n u f' f
第二章 球面和球面系统
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
概念与符号规则 轴上物点经单个折射球面成像 物平面以细光束经折射球面成像 反射球面 共轴球面系统
2.1 概念与符号法则
用于光学成像或者收集和传递光能的光学系统，绝大部 分由折射球面（以透镜为基本单元）组成。同时为达到其 他有关目的，还常包含有平面和反射球面等光学表面。
n ' n 此， r 是一个表征折射球面光学特性的量，称为 折射球面的光焦
度，记为

n ' n r
另一方面，光焦度一定时，像的位置与物点位置有关。
焦距：无穷远轴上物点被折射球面所成的像点称为像方焦距 或者后焦点，以F‘表示；这时的像距称为像方焦距或后焦距， 记为f’。反之，对应于像方无穷远光轴上的物点称为物方焦 距或前焦点，以F表示，相应的物距记为f,称为物方焦距或前 焦距。如图2-3所示
以上公式对任何光学系统都是适应的
关于焦距的几点讨论： 1 当像方焦距为正，即f’>0时，像方焦点在顶点之又，由 实际的光线汇聚成实焦点，反之，若f’<0时，像方焦点在 顶点之左，由发散光线的延长线相交而成的虚焦点。如图 所示
2 焦距（以后，凡不加说明均指像方焦距）或光焦 度的正负决定了折射球面对光束折射的汇聚和发散 特性；当光焦度为正是，对光束起汇聚作用，当光 焦度为负时对光束起发散作用。 3 折射球面的像方和物方焦距总是具有相反符号， 即像方焦点和物方焦点总是位于顶点两侧，且虚实 相同。 4 凡平行于光轴入射的光线，经球面折射后必定通 过像方焦点；凡经过物方焦点的光线，经球面折射 后，必平行于光轴射出。
折射球面成像特性的讨论 ①β＜0时，y’与y异号，l’与l异号，表明成倒像，物与像位于 球面的两侧，虚实相同； β>0时，相反；
β值仅与物像位置有关，因而当平面物成像时，像必相似于物 体。
②折射球面的轴向放大率α恒为正值，即dl’与dl同号，当物沿 着某方向移动时，像总沿相同方向移动；α的大小也与物体位 置有关，且因为α与β不等，不能对立体物给出相似的立体像。
图 2-2
如果图2-2中A点发出并入射于球面的光线与光轴的夹角很小，那么这 种靠近光轴的光线称为近轴光线。对此有
sin i i sin u u
所以有
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
由上面一组公式可得出，不论u取何值，l’总为定值。 这说明轴上点发出的很靠近光轴的同心光束经球面折射后 仍为同心光束，即轴上点以细光束经过单个球面所成的像 是完善的，像的位置由l’所决定。这种由近轴光线所成的 像称为高斯像。 讨论光学系统近轴区成像性质和规律的光学称为高斯 光学或近轴光学
图 2-8
实际的光学系统，绝大部分是共轴球面系统，主要由球面透镜组 成。也常应用一些如平面镜、棱镜和平行平板之类的光学零件， 不过它们在系统中并不对高斯成像特性产生影响，只是为了达到 某些其它目的而设置的，如转折光路。 由k个面组成的一个共轴球面光学系统的结构，由下列结构参数 所唯一确定：
rk (1)各球面的曲率半径
n2 n'1 , n3 n'2 ,, nk 1 n'k u2 u '1 , u3 u '2 ,, uk u 'k 1 y y ' , y y ' ,, y y ' k k 1 2 1 3 2 l2 l '1 d1 , l3 l '2 d 2 ,, lk l 'k 1 d k 1 h2 h1 d1u '1 , h3 h2 d 2u '2 ,, hk hk 1 d k 1u 'k 1
；
(k个面之间共有k－1个间隔)； (由k个面共隔开k＋1种介质)。
(2)各表面顶点之间的间隔 dk (3)各表面间介质的折射率 k
n
已知结构参数，要计算光线的光路和像的位置、大小，除了把单 个表面的公式重复应用于系统的每一个面之外，还必须实现从一 个面到下一个面的量值转换。
由图2-8很容易得到下面的转换关系
放大率转面公式
n l ' l ' l 'k 1 1 2 n 'k l1l2 lk n1u1 n ' u ' k k n 'k 2 n1 n1 1 n 'k
1 2 k 1 2 k 1 2 k
1 反射面只是折射面在 n ' n 的特殊情况 2 平面是半径为无穷大的球面
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
反射球面成像特点： 球面镜的物、像方焦点是重合在一起的； 具有负焦距（f ’< 0，但是光焦度φ>0）的凹面镜反有实 焦点，对光束起会聚作用；f ’> 0的凸面镜具有虚焦点， 对光束起发散作用；
用横向放大率β的正负来判断像的正倒和虚实是与折射 球面一致的，具有普遍性；
球面镜的轴向放大率α恒小于零，表示当物点沿光轴移 动时，像点恒沿相反方向移动。
为使确定光线位置的参量具有确切的含义，并推导出适应于所有 可能的情况的一般公式，必须对这些量及其有关量给出某种符号规 则。 符号规则
1 沿轴线段：如L、L’和r,以界面顶点为原点，如果由原点到光线与光轴的 交点和到球心的方向与光线的长波方向相同，其值为正，反之为负。光 线的传播方向规定为自左向右。 2 垂轴线段：如h，在光轴之上为正，之下为负。 3 光线与光轴的夹角U和U’：以光轴为始边，从锐角方向转到光线，顺时 针转者为正，逆时针转者为负。 4 光线和法线的夹角I、I’和I”：以光线为始边，从锐角方向转到法线，顺时 针者为正，逆时针者为负。 5 表面间隔d:由前一面的顶点到后一面的顶点，其方向与光线的方向相同 者为正，反之为负。在纯折射系统中，d恒为正值。
①横向放大率β:
y ' l 'r nl' y l r n' l
②轴向放大率α:
dl ' nl' n' 2 2 dl n' l n u' l n 1 γ u l ' n'
2
③角放大率γ:
只要求得光轴上一对物像共轭点的截距l和l’后，就可求 得三种放大率——只与像的位置有关，而与像的大小无 关。
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
第一个公式中为 Q 不变量，称为阿贝不变量，它表明，当物点位 置一定时，一个球面的物空间和像空间的值Q 相等。第二个公式给 出了折射球面物、像位置之间的关系。第三个公式给出了经球面折 射前后的近轴光线与光轴夹角之间的关系。
由公式
n ' n n ' n l' l r
的值有关，因
n ' n 可知，对于给定物距l 的物点，像的位置仅与 r
2.2 轴上物点经单个折射球面成像


1 光路计算公式
问题 给定：球面半径r和两边的介质折射率n、n’ 已知：入射光线坐标L和U 求出：折射光线的坐标L’和U’
在图中分别应用正弦定律与△AEC和△A’EC，再根据图中故有关系
U I U ' I '
并结合结合定律，可导出
Lr sin I sin U r n sin I ' sin I n'
' B点的像点B'必定位于A1和C之间，即物平面BA的像是一相切于A'点，
并以比球面A1' A' A2'曲率更大的曲面。由此可见，平面物体即使以细光束 经折射球面成像也不可能得到完善的平面像，这也是成像的像差之一， 叫像面弯曲。
如果物平面是靠近光轴很小的垂轴平面， 那么可认为其像面是平的、完善的，称为高 斯像面。这种靠近光轴能以细光束成完善像 的不大区域称为近轴区。