历年高等数学期末考试试题

2008-2009学年第一学期期末试题一、填空题（每题5分，共30分）1．曲线1ln()y x e x=+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x ye xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________3．设()f x 连续，且2140()x f t dt x -=⎰，则(8)______f =4．积分20sin n xdx π=⎰___________________5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6．曲边三角形y =0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________二．选择题（每题3分，共15分）1．当0x +→）()A 1- ()B ()C 1 ()D 1-2. 若1()(21)f x x x⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则()f x 在（ ）处不连续()A 3x = ()B 2x = ()C 12x =()D 13x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ）()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π是极大值()C (0)f 是极大值，()2f π也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2f π也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ）()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--，5．极限2133lim ()n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2213x dx -⎰ ()B 1203(31)x dx -⎰ ()C 221(31)x dx --⎰ ()D 120x dx ⎰三、计算题（每题6分，共36分） 1．x x → 2.2(1)xxe dx x +⎰ 3．设()y f x =为单调函数， 且二阶可导，()g x 为其反函数，若(1)2,f =(1)3f '=-,(1)2f ''=, 求(2)g ''. 4．若曲线)(x f y =由2211,t t x y ==⎰⎰确定，，求该曲线对应于01t ≤≤的弧长。

5. 求微分方程2cos tan y x y x '+=满足(0)0y =的特解。

6．设曲线32x aty t bt⎧=⎪⎨=-⎪⎩在1t =处切线斜率为13, 试确定,a b 使曲线与x 轴所围图形的面积最大四．综合题（1题7分，2、3题6分，共19分，） 1．设21()lim sin[(2)(2)]t x f x t g x g x t t→∞=+-，其中()g x 可导， （1）证明：()(2)f x xg x '=；（2）若()g x 的一个原函数为ln(1)x +，求1()f x dx ⎰.2．设)(x f 在0=x 的某邻域内可导，且(0)1,(0)2f f '==，求11(1cos )1lim[()]n nn f n-→∞3．设()f x 是周期为2的连续函数，证明：2()2()()x g x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是周期为2的函数。

五．附加题（共20分，本题的得分记入总分）1．设()f x 在[0,1]连续，(0,1)可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明：(0,1)ξ∃∈，使得()1f ξ'=.2．设()f x ''在[2,4]上连续，且(3)0f =，证明：(2,4)ξ∃∈，使得42()3()f f t dt ξ''=⎰2008-2009学年第二学期期末试题一、选择题（每题3分，共15分）1．下列结论正确的是（ ）()A 若(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则(,)x f x y '，(,)y f x y '在00(,)x y 处一定连续。

()B 若(,)f x y 在00(,)x y 处沿任意方向的方向导数都存在，则00(,)x f x y '，00(,)y f x y '存在； ()C 若00(,)x f x y '存在，则一元函数0(,)f x y 在00(,)x y 处连续，所以00lim (,)x x f x y →存在；()D 若00(,)x f x y a '=，00(,)y f x y b '=，则00(,)x y dzadx bdy =+；2．设(,,)f x y z 具有一阶连续偏导数，且(,,)0f x y z >，曲面∑为椭球面2222221x y z a b c++=的外侧在第二卦限内的部分，则下列积分小于零的是（ ）()(,,)A f x y z ds ∑⎰⎰ ()(,,)B f x y z dxdy ∑⎰⎰()(,,)C f x y z dzdx ∑⎰⎰ ()(,,)D f x y z dydz ∑⎰⎰3．设幂级数(1)nn n a x ∞=+∑在2x =-处条件收敛，则此级数在2x =处（ ）()A 条件收敛 ()B 绝对收敛 ()C 发散 ()D 收敛性不能确定4．设α为非零实数，则级数22(1)ln nn n nα∞=--∑（ ）()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与a 有关5．设函数(,)u x y 在平面有界闭区域上具有二阶连续偏导数，且满足2(,)0u x y x y ∂≠∂∂， 2222(,)(,)0u x y u x y x y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的（ ） ()A 最大值点和最小值点都在D 的内部 ； ()B 最大值点和最小值点都在D 的边界上；()C 最大值点在D 的内部，最小值点都在D 的边界上； ()D 最小值点在D 的内部，最大值点都在D 的边界上。

二、填空题（每题3分，共15分）1．曲面3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程是______________________ 2．积分112102(,)(,)I dx f x y dy dx f x y dy =+⎰⎰在极坐标系下的累次积分为____________________________ 3．设()f u 具有连续导数，且4()4f u du =⎰，L为半圆周y ，起点为(0,0)A ，终点为(2,0)B ，则22()()Lf x y xdx ydy ++=⎰_______________________________4．设L 为正向闭曲线2x y +=，则L axdy bydxx y -=+⎰_____________________5．设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的付立叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其中系数3b 的值为________________三、计算题（每题8分，共48分） 1．设(,)z z x y =由方程ln x z z y =所确定，求z y∂∂ 2．设2222:x y z a ∑++= ，求2(sin )xy z ds ∑+⎰⎰ 3．求(sin )x z dVΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z与z =所围的区域4．若()f x 具有连续的导数，曲线积分()[1]()Lf x ydx f x dy x +-⎰与路径无关，且1(1)2f =，求()f x5．计算242(1)xzdydz yzdzdx z dxdy ∑-+-⎰⎰，其中∑为曲线0yz e x ⎧=⎨=⎩(0)y a ≤≤绕z 轴旋转而成的曲面的上侧6．求级数2()ln(32)f x x x =--在1x =-处展开成幂级数，并指出收敛域四、综合与证明题（选作两题，每题11分，共22分）1．设22(,)f x y x xy y =-+，L 为抛物线2y x =自原点至点(1,1)A 的有向弧段，n 为L 的切向量顺时针旋转2π角所得的法向量，f n∂∂表示(,)f x y 在曲线L 上点(,)M x y 处沿法向量n 的方向导数，计算L fds n∂∂⎰2．设闭曲面∑上任一点{},,x y z 处的法向量为{},,P Q R ，Ω为∑所围成的闭区域， （1）证明：22()P Q R P Q R dV x y z∑Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ （2）利用（1）中所得的结论计算：2244x y ∑++⎰⎰，其中222:14z x y ∑++=3.．设()f x 在0x =的某领域内连续，且0()lim 1x f x x→=，{}2222(,,)x y z x y z t Ω=++≤ （1）计算4()limt F t t π→ 其中()F t =f dxdydz Ω⎰⎰⎰ （2）问λ为何值时，级数111()n F n n λ∞='∑收敛 4．设∑为曲面(,)y f x y =的上侧，∑的正向边界曲线为Γ，(,,)P x y z 在∑及其边界Γ上有一阶连续偏导数，证明：(,,)P P dzdx dxdy P x y z dx Z y Γ∑∂∂-=∂∂⎰⎰⎰考生注意：第四大题如选作两个以上，可酌情加分，但卷面总分不得超过100分。

2009-2010学年第一学期期末试题一. 填空题（每题3分，共15分）1．设()f x =，则(0)f '=______________________2．若函数)(x y y =与sin y x =在(0,0)点处相切，0()limx f x x→=____________ 3．积分22[ln(x -++=⎰______________________4．积分21xxe dx e +⎰=_________ 5．111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭_______________________。

二．选择题（每题3分，共15分）1．1x =是函数12111()101x x e x f x x x -⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩的（ ）间断点。

（A ）可去 (B) 跳跃 (C) 无穷 (D)振荡2．0→x 时，与243x 等价的无穷小量是（ ）(A)(B) ()ln 1x x +- (C)1 (D) x +3. 若1x →时，()(1)f x f -与3(1)x -为等价无穷小量，则在1=x 处()f x （ ） (A) 连续，但不可导 (B) 可导，但0)1(≠'f(C),0)1(='f 但)1(f 不是)(x f 的极值 (D) ,0)1(='f 且)1(f 是)(x f 的极小值 4．设()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''><，x ∆为x 在0x 点处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）()A 0dy y <<∆ ()B 0y dy <∆< ()C 0y dy ∆<< ()D 0dy y <∆<5.设()f x 为连续的奇函数，且0()()xx f t dt ϕ=⎰，(2)a ϕ=，32()4af x dx =-⎰ （A) 3(3)(2)4ϕϕ=-- (B) 5(3)(2)4ϕϕ=(C) 3(3)(2)4ϕϕ-= (D) 5(3)(2)4ϕϕ-=--三、计算题（每题8分，共48分） 1．30sin cos limx x x xx→- 2.22arctan (1)xdx x x +⎰3．若221cos 0sin ()t x t y f u du -⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰ 其中()f u 可导，求22d y dx . 4．设221()x t f x e dt -=⎰，求1()I xf x dx =⎰5. 设()f x 是以π为周期的连续函数，求20sin ()n xf x dx π⎰6. 若)(x f 在[0,]2π上连续，且240()sin (2)f x x f x dx π+=⎰，求20()f x dx π⎰四．综合题（共22分，选作三题）1．若()f x 在0x =的邻域内可导，且0()lim 1x f x x →=，求0ln cos()xx x t dt →- 2. 设 101nn x a dx x=+⎰ （1）写出n a 的递推关系式； （2）证明：lim 0n n a →∞=(3) 证明：111111(1)ln 2234n n+-+-++-+=3. 设数列{}n x 满足101x <<，11n x += （1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（2）计算1sin 12lim nx n n n x x +→∞⎛⎫⎪⎝⎭4. 设()f x 在[0,1]上有连续的导数，且(0)0f =，证明[0,1]ξ∃∈，使得1()()f f x dx ξ'=⎰2009-2010学年第二学期期末试题一、选择题（每题3分，共15分）1．下列命题正确的是（ ）()A 若00(,)x f x y '存在，则函数0(,)f x y 在00(,)x y 处连续，所以00lim (,)x x f x y →存在；()B 若(,)f x y 在00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在，则00(,)x f x y '，00(,)y f x y '存在； ()C 若00(,)1x f x y '=，00(,)2y f x y '=，则00(,)2df x y dx dy =+；()D 若00(,)1x f x y '=，00(,)2y f x y '=，则(,)f x y 沿{}1,1的方向导数00(,)x y ul∂=∂2．设321(cos )I x y x dv Ω=-⎰⎰⎰，2232(sin )I x y x y z dv Ω=+⎰⎰⎰ 3223(cos )I z x xy dv Ω=+⎰⎰⎰，其中{}222(,)1x y x y z Ω=++≤，则（ ）321()A I I I >> 123()B I I I >> 213()C I I I >> 312()D I I I >>3．设()f t 是连续的奇函数，区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤， 则 （ ）()A ()0Df x y dxdy +=⎰⎰； ()B ()0Df x y dxdy -=⎰⎰；()C (2)0Df x y dxdy +=⎰⎰； ()D (2)0Df x y dxdy -=⎰⎰4．设1nn u∞=∑条件收敛，且1limn n nu u ρ+→∞=，则（ ）()A 1ρ= ()B 1ρ=- ()C 1ρ> ()D 1ρ<5.函数22(,)235f x y x xy y =-++在(0,0)点处（ ）()A 取得极大值 ()B 取得极小值 ()C 不取得极值 ()D 不能确定二、填空题（每题3分，共15分）1．力22F i j k =-+在向量i j k α=++上的分力为（ ） 2．级数11112!3!!n +++++=（ ）3．设l 为正向圆周221x y +=，则2Lxdy ydx -=⎰（ ）4．设曲线2222:0x y z R x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩，则22()x y z dl Γ++⎰=（ ）5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-上定义为32,10,(),01,x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩则()f x 的付立叶级数在1x =处收敛于（ ） 三、计算题（每题10分，共50分） 1.计算二重积分211xdx ⎰⎰2.设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，求2zx y ∂∂∂.3. 设l 是从1(1,)2A 沿22y x =到(2,2)B 的弧段，计算222l x x dx dy y y -⎰ 4.计算曲面积分323232()()()xy dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.5．设()y y x =满足微分方程322xy y y e '''-+=，且其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =-+在该点的切线重合，求函数()y y x =四、综合与证明题（20分）1．证明：若{}n a 单调递减，且0n a >，证明：2211n n n na a a ∞+=-∑收敛 （6分）2．设04a π=，122arctan (1)(1)n n Dn ya dxdy x y -=++⎰⎰，1,2,n=其中{}(,)0,01D x y y x x =≤≤≤≤ （1）求n a ；（2）求幂级数nn n a x∞=∑的收敛域及和函数 （6分）3．设P 为椭球面222:10S x y z yz ++--=上的动点，若S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，（1）求点P 的轨迹C ；（2）计算I ∑=，其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分 （8分）2010-2011学年第一学期期末试题一、填空题（每题5分，共30分） 1．20lim[1ln(1)]xx x →++=（ ）2．若ln t x t y t t⎧=⎨=⎩，则1t dy dx ==（ ）3．11x dx e =+⎰（ ） 4．201ln dx x x+∞=⎰（ ） 5．方程0y y ''+=的通解是（ ）6．设()y f x =由33332x y y x ++-=确定，则()f x 的极大值点为（ ） 二、选择题（每题3分，共15分）1．下列函数在其定义域内无界的是（ ）()A 2x xe- ()B 21ln(1)x x +()C 2sin x x ()D 21sin x x 2．设(0)0f =且0(1cos )lim 2x f x x α→-=，若(0)0f '=，则（ ） ()A 2α=； ()B 2α>； ()C 2α<； ()D 不能确定3．曲线22ln()1x y x x =+-渐近线的条数为（ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．设0lim ()0x f x →=，0lim ()0x g x →=，则0()lim()x f x g x →''存在是0()lim ()x f x g x →存在的（ ）()A 必要条件 ()B 充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件5．设2,0()sin 1,0x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，0()()x x f t dt ϕ=⎰，则（ ）()A ()x ϕ是()f x 的一个原函数； ()B ()x ϕ在(,)-∞+∞上不连续； ()C ()x ϕ在(,)-∞+∞上可导，但不是()f x 的原函数；. ()D ()x ϕ在(,)-∞+∞上连续，但不是()f x 的原函数；.三、计算题（每题7分，共35分）1．设凹函数()f x 具有连续的二阶导数，在(0,0)处()f x 的曲率半径为2，且与2y x =相切，求20lim ()x x f x →2．若1sin ln xtdt x t>⎰成立，求 x 的取值范围3．已知1x y e =，2x y x e =+，23xy x e =+为某二阶非齐次微分方程的三个解，求该微分方程的通解4．从10m 深的井中，把10kg 的水匀速上提，若每升高1m ，漏掉0.25kg 的水，计算把水从井底提高到井口外力所做的功？5．设()y y x =满足cos sin y y x x '-=-，(0)0y =，求曲线()y y x =与x 轴在[0,]π内所围成平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积？ 四、综合题（每题10分，共20分）1．已知()g x 是以T 为周期的连续函数，且(0)1g =，且20()()xf x x tg t dt =-⎰，求2．设()f x 可微，()1,()1,22f f ππ-==-()g x 为()f x 的反函数，且满足 ()221sin 3()1cos f x xtg t dt dt t ππ--+=+⎰⎰, 求22()f x dx ππ-⎰五、附加题（共10分）1．若()f x 在[0,1]具有连续的二阶导数，且20()lim1x f x x→=，(1)2f =， 证明：(0,1)ξ∃∈使得()3f ξ''=2011-2012学年第二学期期末考试试题一、选择题：（每题4分，共20分）1、设L 为圆周221x y +=，方向为顺时针，则2Lxdy ydx -⎰（ ）()A 3π ()B -3π ()C 12π ()D 12π-2、设22()(2)(2)f x ax x by y =--，则(,)f a b （ ）()A 不是极值 ()B 不能确定是极值； ()C 是极小值 ()D 是极大值；3、设(,)z f x y =在(0,0)的领域内连续，0x y A →→=，0A ≠则（ ）()A (0,0)点是(,)f x y 的极值点，且(,)f x y 在(0,0)可微； ()B (0,0)点是(,)f x y 的极值点，但(,)f x y 在(0,0)不可微； ()C (0,0)点不是(,)f x y 的极值点，但(,)f x y 在(0,0)可微； ()D (0,0)点不是(,)f x y 的极值点，且(,)f x y 在(0,0)也不可微；4、设()y f x =与sin y a x =（0a ≠）在(0,0)相切，且()f x 的一阶导数连续，则级数11(1)()nn f n∞=-∑（ ） ()A 绝对收敛 ()B 条件收敛 ()C 发散， ()D 敛散性与a 有关5、设级数1nn a∞=∑条件收敛，则11()lim()nkk k nn kk k aa aa =→∞=-+∑∑的值为（ ）()A 0 ()B 1 ()C 1- ()D 不存在二、填空：（每题4分，共20分）（1）曲面2221x y z yz ++-=与平面20y z -=的交线在xoy 面的投影曲线为______；（2）1arcsin 0arcsin _______yydy xdx π-=⎰⎰；（3）设曲线L 为,(01)y x x =≤≤，其质量密度分布为x ye+，则L 的质量为_________；（4）设有向曲线L 为cos ,()22y x x ππ=-≤≤，起点为(,0)2π，终点为(,0)2π-则2sin()______x y Lxy dx e dy +=⎰；（5）设0n a >，且1lim (1cos )1pn n n a n →∞-=，若1n n a ∞=∑收敛，则p 的取值范围是______；三、设(,)xz f x ye =，其中f 存在二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂；（10分） 四、计算221DI dxdy x y =+⎰⎰，其中22:14D x y ≤+≤，x y ≤≤；（10分）五、计算(x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中222222:1;1x y z x y z ⎧++≤⎪Ω+≤⎨⎪≥⎩（10分） 六、计算曲线积分22(23)42(1)I x zdydz yzdzdx z dxdy ∑=-++-⎰⎰，其中∑是旋转曲面2)z z e =≤≤的下侧；（10分） 七、将函数()arctan(1)f x x =+在1x =-处展开幂级数，并指出收敛域；（10分）八、设()2()n n xf x nf x '=，（n 为正整数），且21(1)!n n f n +=，求级数1()n n f x ∞=∑的和；（10分）2012—2013学年第一学期期末试题一、填空题：（每个小题5分，共25分）1．函数sin ln ()1x x f x x =-的可去间断点是________2．设2cos(1)()1)(1)xx f x x e x e -=-+-（，则(1)________f '=3．设22233312lim n n n nn→∞+(++)=______ 4．设()f x 连续，arctan 0()xf t dt x =⎰，则(0)______f =5．设 320y y y '''-+=的通解为________ 二、选择题：（每个小题3分，共15分）1．曲线2ln (1)(2)x y x x x =---的渐近线条数为______条()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 42．下列函数在区间其定义域内无界的是______()A()B 2x ()C()D3．设对任意的(,)x ∈-∞+∞，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=， 则lim ()______x f x →∞()A 存在且一定等于零 ()B 存在当不一定等于零()C 一定不存在 ()D 不一定存在4．设函数()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)6f f f ++=，则必[0,2]ξ∃∈使得，()f ξ等于________()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 65．设222x y +=，23[1()]a y '=+，2()b y ''=，则________()A a b = ()B 2a b = ()C 3a b = ()D 9a b =三、解答题：（共60分） 1． 求极限 0sin ln(1sin )limln(1sin )x x x x x →-+-+ （8分）2． 设()y y x =由方程arctany x =所确定，求dydx（ 8分） 3． 设()f x 可导，且cot 1()()1,lim[]2()n x n f x n f e f x π→∞+==，求 ()f x （8分） 4. 计算：2(1)xxe dx x +⎰（ 8分） 5.计算：20a⎰(0a >) （7分）6．计算：微分方程22()20y x dy xydx -+=的通解（7分）7．若方程2ln (1)0x x k x --=恰有两个不同的根，求k 的取值范围？ (7分) 8．求曲线1)2y x =≤≤绕x 轴旋转所得旋转体的体积和侧面积 (7分) 四、附加题：（共20分） 1．设1()()()x f x x ex x ϕ-=-，其中()x ϕ在[0,1]上二阶可导,(0)0ϕ=, (1)0ϕ≠,（1）问1x =是否为()f x 的极值点，(1,0)点是否为()f x 的拐点？说明你的理由； （2）证明：(0,1)ξ∃∈使得，()0f ξ'''=2．设()f x 在[0,)+∞上可导，且20()1x f x x ≤≤+,证明：0ξ∃>使得，2221()(1)f ξξξ-'=+2012—2013学年第二学期期末试题一、选择题（每题3分，共15分）1、(,)(0,0)lim_____x y xyx y →=+()A 0 ()B 1 ()C -1 ()D 不存在；2、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的____()A 充分但不必要 ()B 必要但不充分()C 充分必要 ()D 既不充分也不必要；3、设()f x 为连续函数，1()()ttyF t dy f x dx =⎰⎰，则(2)____F '=()A 2(2)f ()B (2)f ()C (2)f - ()D 04、直线1011x y z-==绕z 轴旋转一周所得旋转面的方程为____ ()A 2221x y z +-= ()B 2221x y z --= ()C 2221x y z -+= ()D 222x y z +=；5、函数2()f x x =在[,]ππ-上展开成傅里叶级数，其中_____n b =()A 1 ()B 1-()C 0 ()D 1n二、 填空题（每题3分，共15分）1、已知6,3,3,(,)6a b c a b π====，且,c a c b ⊥⊥，则()____a b c ⨯=2、函数z xy =在点(,)x y 处沿方向(cos ,sin )l αα=的最大方向导数为______3、设l 为周长为a 的椭圆22143x y +=，则22(234)_____lxy x y ds ++=⎰ 4、设Ω是由球面2221x y z ++=围成的闭区域，则222222ln(1)z x y z dV x y z Ω+++++⎰⎰⎰_______=5、设积分2()Lx y dx x ydy ϕ+⎰与路径无关，其中(0)0ϕ=，()y ϕ具有一阶连续的导数，则(1,2)2(0,1)()______x y dx x ydy ϕ+=⎰三、 计算（每题10分，共70分）1、若f 具有连续的二阶偏导数，且22(,)xyz f x y e =+，求2z x y∂∂∂2、求旋转抛物面22z x y =+与平面1x y z +-=之间的最短距离； 3、计算),D y dxdy +其中22:D x y x +≤4、计算VzdV ⎰⎰⎰，其中Ω是曲面z =与z =所围成的区域5、22()xy ds ∑+⎰⎰其中:z ∑=及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；6、设l 是由(,0)A a 到(0,0)O 得上半圆22(0)x y ax y +=≥， 计算(sin )(cos )x xle y my dx e y m dy -+-⎰；7、求级数1(21)2nn n ∞=+∑的和；四、选作（共10分） 1、计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中2222:()()()x a y b z c R ∑-+-+-=的外侧；2013—2014学年第一学期期末试题一、填空题（每题3分，共24分） 1、20lim(1ln(1))______xx x →++=2、函数sin ln ()1x xf x x =-的可去间断点是________3、2cos(1)()(1)e (1)e ,xx f x x x -=-+- 则(1)_______f '=4、设,0(x)sin ,0ax e x f b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导，则____,______a b ==5、设()f x 连续，arctan 0()xf t dt x =⎰，则(0)_____f =6、设222x y += ，232(1()),()a y b y '''=+= ，则2____a b -= 7、232(sin ________x -+=⎰8、设320y y y '''-+=的通解为________ 二、简答题（每题8分，共48分） 1、设()y f x = 是由2cos()1x yexy e +-=-所确定，求()y f x =在(0,1)的切线方程；2、讨论323x y x=- 的渐近线； 3、若曲线()y f x =由参数方程sin ,cos ttx e t y e t ==所确定，求该曲线对应于02t π<<的弧长； 4、若0sin (),xtf x dt tπ=-⎰求0()d f x x π⎰5、3221(1)dx x +∞+⎰；6、已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2()()1xF x f x x=+ 求()f x ； 三、证明题与综合题（每题7分，共28分）1、已知某曲线过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求曲线方程2、若方程2ln (1)x x k x =-恰有两个不同的根，讨论k 得取值范围； 3、曲线21(0)2y x x =≥ 上一点M 处作切线，曲线及x 轴围成的面积为131）切点M 坐标； 2）过点M 的切线方程3）上述平面绕2x = 旋转一周得到的旋转体的体积； 4、证明 当1x <时，(1)1xe x -≤ 附加题：（20分）1．求2100031n n-=∑的整数部分；2．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()0f x ''>，且0x ∃使得0()0f x <，又lim ()0x f x α→-∞'=<，lim ()0x f x β→+∞'=>，证明：()f x 有且仅有两个零点。