历年高等数学期末考试试题

2008-2009学年第一学期期末试题

一、填空题（每题5分，共30分）

1．曲线1ln()y x e x

=+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y

e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________

3．设()f x 连续，且21

40

()x f t dt x -=⎰

，则(8)______f =

4．积分

20

sin n xdx π

=⎰

___________________

5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6

．曲边三角形y =

0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________

二．选择题（每题3分，共15分）

1．当0x +→

）

()

A 1- ()

B ()

C 1 ()

D 1-2. 若1()(21)f x x x

⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

，则()f x 在（ ）处不连续

()A 3x = ()B 2x = ()C 12x =

()D 13

x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ）

()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π

是极大值

()C (0)f 是极大值，()2f π

也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2

f π

也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，

12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ）

()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--，

5．极限2

1

33lim (

)n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2

2

13x dx -⎰ ()B 1

2

03(31)x dx -⎰ ()C 2

2

1

(31)x dx --⎰ ()

D 1

20

x dx ⎰

三、计算题（每题6分，共36分） 1

．x x → 2.2

(1)

x

xe dx x +⎰ 3．设()y f x =为单调函数， 且二阶可导，()g x 为其反函数，若(1)2,f =

(1)3

f '=-

,(1)2f ''=, 求(2)g ''. 4．若曲线)(x f y =

由221

1

,t t x y ==⎰

⎰

确定，

，求该曲线对应于01t ≤≤的弧长。

5. 求微分方程2

cos tan y x y x '+=满足(0)0y =的特解。

6．设曲线3

2

x at

y t bt

⎧=⎪⎨=-⎪⎩在1t =处切线斜率为13, 试确定,a b 使曲线与x 轴所围图形的面积最

大

四．综合题（1题7分，2、3题6分，共19分，） 1．设21

()lim sin

[(2)(2)]t x f x t g x g x t t

→∞

=+-，其中()g x 可导， （1）证明：()(2)f x xg x '=；

（2）若()g x 的一个原函数为ln(1)x +，求

1

()f x dx ⎰

.

2．设)(x f 在0=x 的某邻域内可导，且(0)1,(0)2f f '==，求1

1

(1cos )1lim[()]n n

n f n

-→∞

3．设()f x 是周期为2的连续函数，证明：2

()2()()x g x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是周期为2

的函数。

五．附加题（共20分，本题的得分记入总分）

1．设()f x 在[0,1]连续，(0,1)可导，且(0)(1)0f f ==，1()12

f =，证明：(0,1)ξ∃∈，使得()1f ξ'=.

2．设()f x ''在[2,4]上连续，且(3)0f =，证明：(2,4)ξ∃∈，使得4

2

()3()f f t dt ξ''=⎰

2008-2009学年第二学期期末试题

一、选择题（每题3分，共15分）

1．下列结论正确的是（ ）

()A 若(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则(,)x f x y '，(,)y f x y '在00(,)x y 处一定连续。

()B 若(,)f x y 在00(,)x y 处沿任意方向的方向导数都存在，

则00(,)x f x y '，00(,)y f x y '存在； ()C 若00(,)x f x y '存在，则一元函数0(,)f x y 在00(,)x y 处连续，所以0

0lim (,)x x f x y →存在；

()D 若00(,)x f x y a '=，00(,)y f x y b '=，则00(,)

x y dz

adx bdy =+；

2．设(,,)f x y z 具有一阶连续偏导数，且(,,)0f x y z >，曲面∑为椭球面222

2221

x y z a b c

++=的外侧在第二卦限内的部分，则下列积分小于零的是（ ）

()(,,)A f x y z ds ∑

⎰⎰ ()

(,,)B f x y z dxdy ∑⎰⎰

()

(,,)C f x y z dzdx ∑

⎰⎰ ()(,,)D f x y z dydz ∑

⎰⎰

3．设幂级数

(1)

n

n n a x ∞

=+∑在2x =-处条件收敛，则此级数在2x =处（ ）

()A 条件收敛 ()B 绝对收敛 ()C 发散 ()D 收敛性不能确定

4．设α为非零实数，则级数

2

2

(1)

ln n

n n n

α∞

=--∑（ ）

()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与a 有关

5．设函数(,)u x y 在平面有界闭区域上具有二阶连续偏导数，且满足

2(,)

0u x y x y ∂≠∂∂， 2222

(,)(,)

0u x y u x y x y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的（ ） ()A 最大值点和最小值点都在D 的内部 ； ()B 最大值点和最小值点都在D 的边界上；

()C 最大值点在D 的内部，最小值点都在D 的边界上； ()D 最小值点在D 的内部，最大值点都在D 的边界上。