实分析学习感悟(一)

实分析学习感悟（一）

1. 何为分析学？顾名思义，就是把需要研究的数学对象(函数、积分等)分解成一些小块，得到一些局部化的东西，分别估计之，再以某种方式拼成一个整体的结果，从而实现对整个研究对象的定量估计。

2. 调和分析关心函数的定量性质，以及这种定量性质在各种算子作用下的变化，所以调和分析中的定理常以“xx算子在xx函数空间上的有界性”的形式出现。

3. 覆盖定理是证明各种弱型估计的常用手法。

4. H-L极大算子的性质是简单明了的，所以我们常常希望将待研究的算子能被H-L极大算子控制住，从而将问题转化。

5. 调和分析应用于PDE的研究有着本质障碍。一方面，调和分析理论已研究清楚的算子大多是线性的，或者是“可线性化的算子”；另一方面，人们用来处理振荡积分的手段还很有限。

6. 从技术上讲，stationary phase method本质上就是分部积分。

7. 在调和分析中，我们希望充分挖掘底空间的对称性，Fourier变换就是一个很好的例子。这一思想在经典奇异积分理论中体现得淋漓尽致，个人认为这方面最精彩的介绍当属Stein于1970年的著作《奇异积分与函数的可微性》。