浙江大学数学分析考研试题

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浙江大学大二数学专业《数学分析(二)》考试A卷及答案

数学分析（二）课程考试A 卷适用专业考试日期：试卷所需时间120分钟闭卷试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共12分）1、若lim 0n n na a →∞=≠，则级数n a ∑收敛。

（）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0baf x dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x ≡。

（）3、若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=，则00lim lim (,)x x y y f x y a →→=。

（）4、级数2(1)sin nn n x ∞=-+∑在[0,2]x π∈上一致收敛。

（）5、级数,n n a b ∑∑均发散，则级数min(,)n n a b ∑也发散。

（）6、若在可积，则在可积。

（）二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数1x e x-在0x =处的幂级数展开式为。

2、函数222(,)y f x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为、、。

3、定积分211(sin 2)x ex dx --+⎰等于。

4、若反常积分11x dx xα+∞-+⎰收敛时，则α的取值范围是。

5、幂级数2nn x n∑的收敛半径和收敛区域分别为、。

6、函数2x 在(,)ππ-上展开成傅立叶级数为。

三、计算题：（共4小题，每小题5分，共20分）1、1ln eex dx ⎰ 2、1201x dx -3、1xe + 4、!lim lnnn n n→∞四、（10分）计算由sin ,0,2,0y x x x y π====所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

院系：专业班级：姓名：学号：装订线五、（10分）求幂级数1nn nx ∞=∑的和函数()s x ，并利用该结果求级数12nn n∞=∑的值。

六、（10分）判别：（1）级数3!n n n n∑是否收敛；（2）级数2nx n n+∑在[0,1]x ∈上是否一致收敛。

浙江大学数学分析参考解答

浙江大学数学分析 1．计算定积分：20sin xdx π⎰解：22001cos 21sin cos 2242x xdx dx xdx πππππ-==-=⎰⎰⎰2．假设f(x)在[0,1]Rieman 可积，13()2f x dx =⎰，求11lim 4ln[1()]nn i i f n n →∞=+∑ 解：利用可积的定义和Taylor 展开作2222221111101201220111ln(1)()2()1114ln[1()]4()2()4()13()()2max{()}11lim |2()|2lim |max{|()|}|2lim ||0li nnnni i i i ni nn x n n n x i i x x x o x i f i i in f f f o n n n n n n n i f f x dx nn f x i f f x n n n n =====≤≤→∞→∞→∞≤≤==+=-++=++==≤==∑∑∑∑∑⎰∑∑同理，2211()1m 4()0,lim 4ln[1()]23n nn n i i i f i n o f n n n →∞→∞===⇒+=∑∑3．设a,b,c 是实数，b>-1,c ≠0,试确定a,b,c ，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：不断利用L ’Hospital 法则30032320000322200ln(1)lim(sin )0,0lim 00sin cos cos sin cos limlim lim limln(1)3ln(1)31112sin 1cos 12lim lim .033616xbx x x x x x x b x x t ax x c dt tb ax x ax x x a x x x a xc t x x x dt t x a x a x b x x c →→→→→→→→+-=≠⇒==---+-====+++⇒=⎧⎪=⎪-==⇒=⎨=⎰⎰不难得到⎪⎪⎩4． f(x)在[a,b]上连续，对于1[,],[,],|()||()|2x a b y a b f y f x ∀∈∃∈≤，求证：[,],()0a b f ξξ∃∈=证明：利用实数系的几个定理就可以了000[,],(1)()0,(2)()0,{},lim ()0{}{}{}lim ,()[,]()lim ()lim ()0n n n n n n n n n x yn x a b f x f x x f x x x y y y f x a b f y f x f y →∞→∞→→∞∈=≠==⇒===不妨设则命题得证则根据题意，可以得到一个序列然后,有界，所以不难得到存在一个收敛的子列由于在连续，5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且()af x dx +∞⎰收敛，证明：存在数列{}[,)n x a ⊂+∞，使得满足，lim ,lim ()0n n n n x f x →∞→∞=+∞=(2) 设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且()af x dx +∞⎰收敛，问：是否必有lim ()0n n f x →∞=，为什么？证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。

浙江大学2011-2012数学分析(2)-试卷及答案(baidu-word版)(K12教育文档)

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浙江大学20 11 —20 12 学年春夏学期《数学分析(Ⅱ）》课程期末考试试卷（A)课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷,允许带___笔____入场考试日期： 2012 年 6 月 18 日，考试时间: 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

考生姓名：学号：所属院系： _一、计算下列各题: ( 每题5分，共35分 )1. 22()(02)()(02)2222()(02)()(02)ln(1)lim lim 4.sin ln(1)ln(1)lim =lim 4.sin sin x y x y x y x y xy xy xx xy xy x y x xy x→→→→+==++⋅⋅=，，，，，，，，【方法一】：【方法二】： 2. 22222221(1)()()12.(1)1(1)11zxy x y y z x xxy x x x x y xy ∂--+-∂=⋅==-∂-+∂+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭， 3. 1:(){r t t t =，平行，并求该点处的切线方程.22(1){1}{121}=120 1.{111}1111(2)(1)1.2323s t t n s n t t t s P x y z ==-⋅-+=⇒==-=-=-曲线的切向量，，，平面的法向量，，，由于切线与平面平行，则：切向量，，切点，，，因此，切线方程为：4.121433411fl i j l i j l ∂=+=-=∂有连续偏导数，，；且在点，23.fl ∂=-∂求：12124334(1){}{}55554334+11+() 3.555579.(2)(12)79.ll f f f f f f x y x y l l f fx yf fP dz dx dy dx dy x y-∂∂∂∂∂∂=⋅⋅==⋅⋅-=-∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂=+=+∂∂与、同方向的单位向量分别为，、，，则：，因此，，在点，处的全微分为：5.11132132010()()().y y I dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx --=+=⎰⎰⎰⎰，，，6. 112222222211222211111111111(1)1()1()().28284111lim [(1)].4nn nn n n n u eo o on n nn nn n n n n u e n n+∞+∞→+∞==⎛⎫⎛⎫=-+=+++-+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑则，，而收敛，因此，原级数收敛7. 2224.3C x y z xds C x y z ⎧++=⎨++=⎩⎰计算：，其中：(1) 1.1(2)()22.3CC C O d C r I x y z ds ds r ππ====++===⎰⎰曲线为圆，原点到平面的距离的半径根据对称性，二、计算题：（每题8分，共48分)8.()()()()1111112011112111(11).111()..(1)()()ln 1.(11)(1)1122()12122n n n n x nn n n n n n n n n n n n n f x x x n n f x nx nx nx dx x x x xf x f x x x x xn n f n n ∞∞++==∞∞∞∞--====∞∞+===-++''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭'=⇒=+--<<--==++∑∑∑∑∑∑⎰∑∑令：，则：级数的收敛区间为，则：而因此，故，22ln 2.=-9. ()()12211122221222221112222(1)2.(2)222.42()(1).xy xy xy xy xy xy xy xy xy zxf ye f x z x yf xe f e f xye f ye yf xe f x y xyf x y e f xye f xy e f ∂=+∂∂=-++++-+∂∂=-+-+++ 10. 2244().1.Dx y dxdy D x y ++=⎰⎰计算：其中是由曲线所围区域14442(cos sin )223002tan 22444440000cos (1)()sin 114sin cos sin cos 11((2)00 1.2Du x r x y dxdy d r dr y r d d u du u u u x x r y πθθπθπθθθθθθθθθπθ-+=+∞+∞=⎧+=⎨=⎩+===+++⎫=-=⎪⎭⎧=∂⎪≤≤≤≤⇒⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令：，则：令：，1112222202224000)()()4()4(cos sin 1112211DD uy r D x y dxdy x y dxdy d r u du uu u πππθθθθθθ+∞=∂+=+=++==+⎫=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，设由曲线所围区域中第一象限部分为，根据区域的对称性，0+∞=⎪⎭11.()2222221(0)211cos 0cos 201112.241(sin )4sin cos 2422.2zzx y z z z u xxu z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy ππθππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为偶函数，因此，【方法一】：令：【方法二】：()12011200211cos 2cos 222011cos 202(1)2(1)2()22(1)2(2)2.2sin 4sin 44(1)2.z z z e z dze z e ze dz e e I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρππππππθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-⎡⎤=---=---=⎢⎥⎣⎦===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【方法三】：12.22(xdydz ydzdx x y ∑+=++⎰⎰(){x y z x =，，()()133322222222222222222252222222213222222(1)()()()33330.()(2):(01).z P Q R x y z x y z x y z x y z x y z P Q R x y zx y z x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyI xy zxy εε-∑+∑===++++++++---∂∂∂++==∂∂∂++∑++=<<++++=-+++⎰⎰设，，，则：添加曲面，取外侧则：()()111222213223222233331111140334.3(.)xy z zP Q R xdydz ydzdx zdxdy dxdydz x y z x y zxdydz ydzdx zdxdy dV επεπεεε-∑Ω∑∑++≤+⎛⎫∂∂∂++=+++ ⎪∂∂∂⎝⎭++=+++==⋅⋅=Ω∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：为、之间的空间区域13. 222()()().1Ly z dx z x dy x y dz L x y z -+-+-++=⎰求曲线积分：其中是球面 222(1)(1)(1)4x y z z -+-+-=与的交线，从轴正向看为逆时针方向.2221:00..DDx y z L x y z L D x y z Storkes I dS dS x y z y zz xx y⎧++=++=⎨++=⎩∂∂∂===-∂∂∂---⎰⎰曲线，记平面上由曲线所围成的区域为，方向向上根据公式，三、证明题:(9分、8分，共17分）14.(1)()(2)()(00)(00)(3)().x y f x y f x y f f f x y ，在原点连续；，在原点处的偏导数，和，存在；，在原点不可微12222233()(00)22222223()(00)22200()1()(1)()lim0.4()()()lim 0.().()()(00)(2)(00)lim lim 1(00) 1.(3)lim x y x y x y x x x xy xy x y x y x y xy x y f x y x y f x f x f f x x →→∆→∆→∆→≤+=++⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪+⎝⎭∆-∆====-∆∆，，，，由于，因此，则：故，，在原点处连续，0，，；同样，，22220022222220()(00)(00)(00)()lim[()()]()lim .[()()](1)().x y y y k x x f x y f f x f y x y x y x y k x y k k f x y ∆→∆→∆→∆=∆∆→∆∆--∆-∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=∆+∆+，，，，而极限与有关，故，上式极限不存在；因此，，在原点处不可微15. (1){()}().n f x D f x 叙述函数列在区间上一致收敛于的定义(1)00()(){()}().(2)[]()()[]()[]00[]()().10[]0[n n N n N x D f x f x f x D f x a b S x S x x y x y S x S y N n N x εεαβαβαβεδαβδεεαδ∀>∃>>∀∈-<'⊂'∀>∃>∀∈''-<-<∀>∃=>>∀∈对，，当时，对均有，，则称函数列在上一致收敛于对任意，，，由于在，上连续，则：在，上一致连续，因此，对，，对、，，当时，有因此，对，，当时，对1()()]1()()()().0 1.[]()()().n n n n nS x S x S n S x S x S x n S x S S x n n x x n βθθεθαβ⎡⎤'+--⎢⎥⎣⎦''''=+⋅-'-=+<<<，都有，其中：在上因此，，一致收敛于。

2009--浙大数学分析考研_及答案

= lim
1
x2 2
1.4、 ( x y ) sgn( x y )dxdy ，其中 D [0,1] [0,1] 。
D
解答：原式= =
dx
0 1 0
1
x
0 x
( x y )dy dy ( x y )dx
0 0
1
y
dx
0
( x y )dy dx ( x y )dy
0

2
总结而有
t e tx f ( x)dx C
0

t e tx [ f ( x) C ]dx
0

t e tx [ f ( x) C ]dx t e tx [ f ( x) C ]dx
0 A
A

所以

2

2
。
t 0
lim t e tx f ( x)dx C
tx而写下txtx上可积而有界设为m于是对上述任意的tx总结而有txdx上不一致连续
浙江大学 2009 年数学分析考研试卷答案
1、计算： 1.1、解答：
cos 2 x sin 2 x dx a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x tan 2 x dx 2 a b 2 tan 2 x
b a
dx dx ) n ( )n n n ( f ( x)) (1 )
1
1
1
由的任意性知
n
(2 ) n 1 1 , 当n . 1
lim(
b
a
dx )n 1 n ( f ( x))
x

浙江大学2000年研究生数学分析试题参考答案

浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限1(1)lim xx e x x→-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-==== 求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。

二．（共10分）1．设K ab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim,)0(0试证明‘证： K ab a f f f b f ab a f b f b a b a ==--+-=--+-+-→→→→ )()0()0()(lim )()(lim2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+分析：考虑函数)()()(2x f x f x F b a -+=+即可三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S分析：S=2S-S2．试证明∑∞==11)(n xnx s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分） 1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求yvx v du ∂∂∂∂,,分析：用隐函数组的方法求解； 2．设2)()d yx y F y x x=，求)1(F '分析：dt dx dx y F tty t y yxyx yxyx ⎰⎰⎰-=+=1cos cos 0cos 0cos 232222)(五．（共30分） 1．计算定积分2sin cos 1cos x x I dx xπ=+⎰分析：令t=cosx ，I=0。

数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷

校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
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闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
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请给出反例。二、（共 30％）
6
博士家园系列内部资料
（A）（5％）设
f (x) =
x x
+ +
2 1
，数列
{xn
}
由如下递推公式定义：
x0
= 1 ， xn+1
=
f (xn ) ，
(n = 0 ，1， 2 ，
)
，求证：
lim
n→∞
x
n
=
2。
（B）（5％）求 lxi→m∞⎜⎜⎝⎛
cos
1 x
⎟⎟⎠⎞ x2
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )

浙江大学1999年——2008年数学分析

2
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个．四、（20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、（20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性．五、（10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、（15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ．（1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；

浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案

浙江大学20 10 -20 11 学年春夏学期《数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名：学号：所属院系： _一、计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2.(122)().f x y z gradf =，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为： 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的 211.n Fourier n +∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：， 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).BD ππ-点沿直线到点，22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导，且当时，则：。

浙江大学99-06年研究生数学分析试题

浙江大学1999年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→-n nn n Limn 二．在xy 平面上求一点,使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最小三．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ,其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域四．设)(x f 在>x 时连续,3)1(=f ，并且⎰⎰⎰+=x yxydt t f y dt t f x dt t f 111)()()(,)0,0(>>y x ，试求函数)(x f五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及,则对A,B 之间的任意数μ，可找到数列a x n →,使得μ=)(n z Limf六．设∑===<≤nk k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n nnk kk s n ns a a -≥-∑=11 七．设函数f 在nab v a f f f b a n n vn -=+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：)}()(ln 1exp{∞→-=⎰n dx x f a b ba并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21202=+-⎰ππ )1(>r 八．从调和级数 +++++n131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．(共10分）（1）求极限10(1)limxx e x x →-+（2）设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求二．（共10分）1．设Kab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim ,)0(00试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续,()f x ''在(,)a b 内存在,试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．(共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S2．试证明∑∞==11)(n xn x s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分)1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求y vx v du ∂∂∂∂,, 2．设2)()d yx y F y x x =,求)1(F '五．(共30分)1．计算定积分2sin cos 1cos x xI dx x π=+⎰2．求以曲面22y x e z --=为顶,以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧,求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n 的和 3．计算广义积分⎰-10)1ln(dx xx浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）（1)求极限10(1)limxx e x x →-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ,这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛,以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。

浙江大学 2019 年数学分析考研试题

y
dx
在 x ≥ 0 上一致收敛.（注：此为试卷原题，但疑似是 dy ）
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三、(15′ ) 对于函数 f : R → R, 证明 f 在 R 上连续的充分必要条件是，对于 R 上任意 a, b,
{x : f (x) > a} 和 {x : f (x) < a} 都是开集合.
四、(15′ ) 对于函数 f : [a, b] → R, 证明函数 |f (x)| 在 [a, b] 上黎曼可积的充分必要条件是，函数
f 2 (x) 在 [a, b] 上黎曼可积.
五、(15′ )
（1）(5′ ) 叙述 R 上的聚点定理；（2）(10′ ) 使用聚点定理证明闭区间上的连续函数一致连续.
时,∀n ≥ 1, 有 |fn (x) − fn (y )| < ε; 又设函数列 {fn (x)} 在 [a, b] 上逐点收敛, 证明 {fn (x)} 在 [a, b] 上一致收敛.
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3. (10′ ) 计算
∫
0
1
ln x
(1 + x)
2 dx.
4. (15′ ) 计算
∫∫ x2 dxdy,
D
其中 D 是由 A (x1 , y1 ) , B (x2 , y2 ) , C (x3 , y3 ) 三点围成的三角形闭区域.
二、(15′ ) 证明
I (x) =
∫
0
∞
x 2 e −x
3
2 2
浙江大学 2019 年数学分析考研试题
一、计算题 (50′ )
1. (10′ ) 计算 In =
0
∫
n
( x )n xa−1 1 − dx. n

浙江大学 (西溪校区) 数学分析 1999年

浙江大学数学分析1999一．求下列极限1。

x x x 2tan 4)(tan lim π→ 2。

)2cos 4cos 2(cos lim n x x x x ∞→ 二．证明若数列{a n }收敛,则{na a a n +++ 21}也收敛,并举例说明反之不真。

三．计算积分 1。

⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1 2。

dx x x x ⎰+π02cos 1sin 四．试证明当x>-1时成立下列不等式x x xx ≤+≤+)1ln(1 五．试求级数∑∞=++01212n n n x 的收敛区间,和函数,并求级数∑∞=+1)12(21n n n 的和。

六．试证明级数∑∞=151sinn n x 在x ∈(0,∞)上非一致收敛七．设⎪⎩⎪⎨⎧==u v u y u v u x sin cos 求x u , x v 八．求1222222≤++c z b y a x 和22a x +22by ≥22c z 所交部分的体积。

九．求x-2y+2z 在条件2x +2y +2z =1下的极值。

十．求含参变量积分⎰-+2cos 1cos 1ln πx dx acox x (a <1) 十一．求证设D 为3R 中区域u,v 在D 上二阶连续可微,则(1)dV u v v u D ⎰∆-∆)(=⎰∂∂∂-∂∂D dS n u v n v u )( 其中为体积元素,D ∂为D 的边界,dS 为面积元素,n∂∂沿D 的外法向。

(2)U(p)=-⎰⎰∂∂∂+∆D D dS r n u udV r 141141ππ_⎰∂∂∂D dS r n )1(41π 其中202020000)()()(),,,(z z y y x x r z y x p -+-+-==(3)若=∆u 0，在D 内成立，则⎰∂=∂∂D ds x u 0，从而有⎰∂=B uds a p u 241)(π，其中球B=B(P,Q)。

浙大数学分析

浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限1(1)limxx e x x→-+(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-==== 求二．（共10分）1．设K ab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim,)0(0试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn 的和S2．试证明∑∞==11)(n xnx s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分） 1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求yvx v du ∂∂∂∂,,2．设2)()d yx y F y x x=，求)1(F '五．（共30分） 1．计算定积分2sin cos 1cos x x I dx xπ=+⎰2．求以曲面22yx e z --=为顶，以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧，求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdyy z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n的和 3．计算广义积分⎰-1)1ln(dx xx浙江大学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析一、（共30％）（A ）（10％）用“δε-语言”证明03)1)(2(lim1=---→x x x x ；（B ）（10％）给出一个一元函数f ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；（C ）（10％）设),(y x f 为二元函数，在),(00y x 附近有定义，试讨论“),(y x f 在),(00y x 处可微”与“),(y x f 在),(00y x 附近关于x 、y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。