浅谈向量在中学几何中的应用

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向量在中学数学中的应用

向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。

向量在中学数学解题中的巧用

例２
如图２，已知三菱锥Ｄ一｝Ｃ的侧棱ＯＡ，Ｄ，ＯＣ两两垂直，且ＯＡ＝ｌ，＝ＯＣ＝２Ｅ是ＤＣ的中点。，
．
‘ ．
－ｌ｝Ｉ已 ∞ ６，ｌ：ａ知＝。丽又０
ＡＢ为正三角形，Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝２ＡＣＣＡＢ。
’
．
在ＲＡＮｔＣＢ中，加＝２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃｏ１４）（，－，连结ＭＣ，作Ｎ＿ＭＣ￣Ｈ。，ｉＨＬ－
曾经在高中数学教学中解决一些立体几何和代数问题时，我们仅仅应用本书中的定理、公理、直线的位置关系，直线与平面之间的关系等。如果现在我们重视用空问向量概念来解决问题的话，在空间中解决和证明较难的一些问题时就会变得较为容易，而且还能提高学生的思维能力、分析能力和空间想象能力。解（）作Ｄ上Ｃ垂足为Ｄ，连接Ａ，由侧面１：ＯＳＣ为等要直角三角形，ＡＪ０，如图ｌＢ０－，以０为标原点，ＯＡ为轴正方向，建立直角坐标系ｘｚ。ｙ
丽．：，０
相交直线Ｓ、Ａ垂赢，所以ＯＧ上平面ＳＢ。ＥＢＡ
一
ＡＢ＝２，Ｂ２２，Ｓ＝Ｂ＝３Ｃ＝４ＡＳ √。
（）求证：．上Ｃ；１
ＯＧ与一Ｓ的夹角记为Ｄ，Ｓ与平面ＳＢ所成的角ＤＡ

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向量的教育和心理学

向量的教育和心理学向量在教育和心理学中的应用向量是数学中的一种重要工具，在物理学、工程学、计算机科学等领域中得到广泛应用。

但是，向量在教育和心理学领域中也有着重要的作用。

一、向量在教育中的应用1. 统计学习理论统计学习理论是一种通过数学模型来研究数据分析和机器学习的方法。

其中，向量空间模型起着关键作用。

在这个模型中，每个样本可以用一个向量表示，不同样本之间的距离和角度可以用向量之间的夹角来度量。

通过这种方法，可以将大量的数据进行分类和预测，从而实现机器学习。

2. 数学教育向量也是数学教育中的一个重要内容。

在中学数学中，向量的基本概念和运算是必须掌握的内容。

向量的几何意义和应用可以帮助学生更好地理解数学概念。

同时，向量的坐标表示和运算可以用来解决许多实际问题，如三角形的面积计算、直线的交点求解等等。

3. 多元统计分析在大学教育中，向量还可以用于多元统计分析。

多元统计分析是一种利用多个变量来分析数据的方法。

其中，向量可以表示多个变量的行为和关系，通过向量之间的夹角和长度等指标，可以对数据进行分类、相似度比较等操作。

二、向量在心理学中的应用1. 人格测量在心理学中，向量可以用于人格测量。

人格是人内在的个性特征，它通过行为、情感、思考等方面的表现来体现。

通过将不同特征用向量表示，可以得到一个综合评估的向量，用来比较不同个体之间的差异。

这种方法可以帮助心理学家更好地理解和描述人格类型，从而更好地指导治疗和辅导。

2. 聚类分析在聚类分析中，向量的角度和长度可以用来比较数据之间的相似度。

通过聚类分析，可以将相似的数据分为一组，从而促进对数据的理解和应用。

3. 实验设计在心理学实验设计中，向量可以表示独立变量和依赖变量之间的关系。

例如，在比较实验中，可以将被试群体的反应用向量表示，通过向量之间的距离和角度比较不同条件下的实验结果，从而得到比较结果。

总结从以上分析可以看出，向量不仅在工程、计算机等领域有着广泛应用，而且在教育和心理学领域中也起着重要作用。

数学(本科)毕业论文题目汇总

数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。

试论导函数、原函数的一些性质。

ﻫ２。

有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。

ﻫ3。

数学中一些有用的不等式及推广.4。

函数的概念及推广.ﻫ5。

构造函数证明问题的妙想。

6.对指数函数的认识。

ﻫ7。

泰勒公式及其在解题中的应用。

8。

导数的作用。

9。

Ｈiｌbert空间的一些性质。

ﻫ10。

Banaｃｈ空间的一些性质。

ﻫ１1。

线性空间上的距离的讨论及推广。

12。

凸集与不动点定理．ﻫ１3。

Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。

最佳逼近问题。

ﻫ１5。

线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。

1７。

泛函分析中的不变子空间。

ﻫ19.范数的概念及性质．２0。

正交与正交基的概念。

22。

隐函数存在定理的再证明。

ﻫ２3.线性空间的等距同构。

2１。

压缩映像原理及其应用.ﻫ24。

列紧集的概念及相关推广。

２５。

Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。

26。

Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。

27。

重积分与累次积分的关系.28。

可积函数与连续函数的关系。

２９。

有界变差函数的概念及其相关概念。

ﻫ30。

绝对连续函数的性质。

3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。

33。

可测函数的定义及其性质。

ﻫ３４．分部积分公式的32。

可测函数与连续函数的关系。

ﻫ推广。

35。

Fatoｕ引理的重要作用。

36.不定积分的微分的计算。

ﻫ37。

绝对连续函数与微积分基本定理的关系。

ﻫ3８。

Ｓchwartz 不等式及推广。

39。

阶梯函数的概念及其作用.40。

Fourｉer级数及推广。

ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。

ﻫ42。

Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。

44。

数学分析中的构造法证题术,43。

函数的各种收敛性及它们之间的关系。

ﻫ4５。

用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。

微积分与辩证法49。

在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。

向量在中学中的应用问题研究报告

向量在中学中的应用问题研究报告一、引言向量是数学中的基本概念之一，它既有大小，又有方向，为解决许多实际问题提供了重要的工具。

在中学阶段，向量既是数学知识的重要组成部分，也是解决物理、工程等实际问题的重要工具。

本报告将探讨向量在中学中的应用问题，以期帮助学生更好地理解和应用向量。

二、向量的基本概念向量是一个有方向的量，表示物体运动或力的作用。

在数学中，向量可以用有向线段来表示，其大小（或长度）和方向分别由线段的长度和角度确定。

在中学阶段，学生需要掌握向量的加法、数乘、向量的模、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等基本概念和运算方法。

三、向量的应用1.力的合成与分解：在物理中，力是一个向量，可以用向量来表示。

力的合成与分解是向量的重要应用之一。

通过向量的加法，可以求出多个力的合力；通过向量的数乘和向量积，可以求出分力。

这为解决力学问题提供了重要的方法。

2.速度和加速度：速度和加速度是物理学中的重要概念，它们都是向量。

通过向量的数乘和加法，可以计算出物体在一段时间内的位移和速度变化，进而求出加速度。

这为解决运动学问题提供了重要的工具。

3.力的矩：在物理学中，力矩是一个向量，表示力对物体转动作用的量。

通过向量的数量积和向量积，可以求出力矩的大小和方向，进而研究物体的转动。

4.电路分析：在电路分析中，电流、电压、电动势等都是向量。

通过向量的加法、数乘和数量积，可以计算出电路中的电流、电压和电动势等参数。

这为解决电路问题提供了重要的方法。

四、结论通过以上分析可以看出，向量在中学中的应用非常广泛。

学生应该深入理解向量的基本概念和运算方法，掌握向量的加法、数乘、向量的模、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等基本运算，以便更好地应用于解决实际问题中。

同时，教师也应该注重向量的应用教学，通过实例让学生更好地理解向量的应用价值。

向量在中学数学中的应用

向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。

比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。

由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。

通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。

在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。

立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。

最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。

数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。

对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。

由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。

另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。

但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。

有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。

此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。

向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。

而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。

最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。

平面向量论文：对《平面向量》的理解

平面向量论文：对《平面向量》的理解向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

高中数学新教材将《平面向量》作为必修内容引入，所以这部分内容的教学对于我们中学教师来说是很重要的。

向量是既有大小，又有方向的量，是具有优良运算通性的体系，但向量所关注的不是“数”的简单扩大，而是“量与运算”的扩充，这对于学生更好地建立代数与几何的关系，尽早了解现代数学思想和方法将会打下一个坚实的基础。

向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合：一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。

同时，向量在物理等许多领域有非常重要的作用，因此，向量是解决数学问题和实际问题的有力工具，是中学数学的重要概念之一。

在中学数学中向量分“平面向量”和“空间向量”两章，本文就“平面向量”一章的教学重点和难点以及“平面向量”与代数、几何、三角等知识的交汇应用作一粗探。

首先通过物理背景或数学背景的介绍，使学生懂得向量是既有大小又有方向的量，而向量还可以进行加减法运算。

通过实例，使学生掌握向量与数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义及充要条件。

在教学中，我体会到平面向量的基本定理及坐标表示是全章的重要内容之一。

因为平面向量基本定理是说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，是向量线性运算的最高级体现。

该定理是平面向量坐标表示的理论基础。

而向量的坐标表示是平面向量的基本定理的直接应用，是一种重要的数学思想方法，即数形结合。

向量的坐标表示的引入，使向量的运算完全代数化，是数与形的完美结合。

这样很多几何问题的证明，就转化为学生熟知的代数运算。

这是向量的重要作用之一，也是学习向量的重要目的之一。

在平面向量数量积及运算律这一节，重点应使学生掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，并能运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，处理有关长度、角度和垂直的问题。

浅谈向量法求二面角

则｛【
ｍ．＝ｏ
￣
ｙ－，，（／３，１１，＝Ｉ则Ｊ＝、ｌ－，）
的中点，Ｃ。的一点ＪＣ＝ｏ面Ａ面ＡＢ所成的腥Ｃ上￣Ｆ２．求ＤＡＢ
二面角．
所以ｍ３，ＩｎＩ＝＇，魂・＝ａ１＝魂，ｖ－ｍｌ３
ｆ．－Ｊ￣－ｎｏ
设平面Ａ的一个法向量为肼：，）Ｙ，，
大小为。ｃ。ｒｃ
３
．
・
方法三将二面角转化为二面角的两个面的法向量所成的
角或其补角．倒３如图３正三棱柱Ａ曰ｌｌｌＡ＝ａＢ＝ａＤＢ，ＣＣ中Ａ３，Ｃ２，是Ｃ
＝
，
－＿ｌｌ汹０一２
以＝
￣ａ，、Ｖ，）０，ｍ，／口０（ａ，￣０，口，，Ｏｋｏ，Ｃ２）Ｆｎｎ，ｕｎ＇，ｋｕｖ
，所
３
．以二面角Ａ咫一的所一ｃ
（。）＇，ａ（）孚，＇（ａ孚Ａ０，，－２￣２－＝
所以ｃｓ．：ｏ＜ｍ＞
、了．／ｎ／、了
：
５
．
故面ＡＤＦ一与面ＡＡ１ｊ引９所成的二面角ａｃ。ｒｃｓ
）
．
评注利用向量法求二面角常用以上三种方法．注意利用方
法二时，面角的面内垂直于棱的向量一定要以垂足为起点或二

浅谈用向量法求三角形面积

浅谈用平面向量求三角形面积新编中学数学教材在内容上增加了平面向量，这就给中学数学增加了一个全新的解题工具和方法，平面向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它是联系众多知训的桥梁，因此以平面向量为工具成为高考的一个亮点，本文就结合实例谈谈如何应用平面向量解决三角形面积：结论1：在ABC ∆中，()11,y x AB =，()22,y x AC =，则三角形ABC 的面积：122121y x y x S ABC -=∆ 证明：由()11,y x AB =，()22,y x AC =222221212121cos yx yx y y x x AC AB A +++==π<<A 0 A A 2cos 1sin -=∴ 故 22222121122122222212121211sin yx yx y x y x y x y x y y x x A ++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-=又ABC ∆的面积A S 21⋅=1221222221211221222221212121y x y x y x y x y x y x y x y x S ABC -=++-++=∴∆ 用上述结论可以解决很多问题。

例1、ABC ∆的三个顶点是()0,5-A ，()3,3-B ，()2,0C ，求ABC ∆的面积。

解：由()3,8-=AB ，()2,5=AC ，得()231532821211221=⨯--⨯=-=∴∆y x y x S ABC 结论2：在ABC ∆中，m AC AB =⋅，且θ=，则三角形ABC 的面积：θtan AC S ABC⋅=∆证明：θθsin 21==∆S ABCθθθθtan cos sin cos 21AC =⋅=例2：已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA ，32=⋅AC AB且030=，则AOB ∆的面积为（）（A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）31 解：因32=⋅AC AB30=则ABC ∆的面积：1333221tan =⨯=⋅=∆θAC S ABC 又0=++OC OB OA ，可得O 为ABC ∆的重心∴AOB ∆的面积3131==∆∆ABC AOB S S 故选D 引申：在ABC ∆中，3=⋅BC AB ，ABC ∆的面积⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,23S ，则AB和BC 夹角的取值范围是（）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππθ=⋅，由θθθtan 23tan 321tan =⨯⨯=⋅=∆AC S ABC 由题意得23tan 2323≤≤θ 1tan 33≤≤∴θ 解得46πθπ≤≤，故选B 结论3：平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于证明：设a ，b 的夹角为θ，由条件得b a =θcos2cos 1sin ==-=∴θθSOAB⋅=⋅=∴∆θ=例3、已知ABC∆中，向量()0066sin,24sin=BA，()0032sin,58sin3=BC，求ABC∆的面积。

中学数学认识向量与直线的位置关系

中学数学认识向量与直线的位置关系在中学数学中，向量和直线是非常重要的概念。

向量既有大小又有方向，可以表示一个物体的位移或力的大小与方向。

而直线则是由一系列点无限延伸而成的，可以用来表示很多几何图形或者物体的方向和位置。

在数学中，我们经常需要研究向量和直线之间的位置关系，这对于理解几何学和应用数学有着重要的作用。

一、向量的表示和运算在研究向量和直线的位置关系之前，我们先了解一下向量的基本表示和运算。

向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

在平面上，一个向量可以由其在x轴和y轴上的分量表示，例如a = (a1, a2)，其中a1表示x方向上的分量，a2表示y方向上的分量。

向量之间可以进行加法和减法运算。

向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。

向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即a - b = a + (-b)，其中-b表示向量b的相反向量。

二、向量和直线的位置关系在几何学中，我们常常需要研究向量和直线之间的位置关系，可以分为以下三种情况：1. 向量在直线上：如果一个向量与直线重合或者平行，那么我们说向量在直线上。

这意味着向量的方向和直线的方向相同或者相似。

可以通过向量的坐标表示来判断向量是否在直线上。

2. 向量与直线相交：如果一个向量与直线相交且不在直线上，那么我们说向量与直线相交。

这意味着向量的起点和终点分别位于直线的两侧。

可以通过向量的终点坐标来判断向量是否与直线相交。

3. 向量与直线平行或共线：如果一个向量与直线平行或共线，那么我们说向量与直线平行或共线。

这意味着向量和直线的方向相同或者相似，但不一定重合。

三、向量和直线的应用向量和直线的位置关系不仅在几何学中有着应用，还在实际问题中起着重要的作用。

以下是一些向量和直线的应用示例：1. 位移向量：我们可以使用向量来表示物体的位移。

向量在中学数学知识体系中应用论文

向量在中学数学知识体系中的应用【摘要】为了加深对向量思想方法的理解，提高学生的数学思维品质，本文介绍了向量在函数、不等式、平面几何、平面解析几何、立体几何等知识体系中的巧妙运用。

【关键词】中学数学向量知识体系向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。

兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁而富有新意，有深刻的几何、物理背景。

向量思想方法在教学中的渗透，对提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，提高学生数学素质，实现中学数学课程目标等具有很强的现实意义。

向量在初中引入到高中阶段的深入，这深刻体现了向量在整个中学数学中占有特别重要的位置。

高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。

为了使学生进一步提高向量思维方法的领悟能力，需要通过一些实际案例的学习和分析，阐述与交流来提高对向量思想方法体现的理解力，对向量思想方法渗透的感知力，对向量思想方法运用的辨析力。

下面主要举例说明向量思想方法在中学数学中的典型运用。

1.向量在函数中的运用向量与函数表面看来没什么联系，但是深入思考可知向量的模和向量的数量积是联系向量与函数的纽带。

比如函数中求最值问题，就可以采用向量的两个不等关系来进行联系，其，其二。

运用向量思想方法求解函数最值问题时，就应该首先想到上面的两个不等式，运用函数与向量的关系，可以引导学生把向量思想运在解决函数问题，进而加深学生对向量的认识。

案例1 已知,求的最小值。

分析：从所求的式子的特点，可以发现可分别构造向量进行求解。

解：构造向量，则当且仅当同时平行即时等号成立。

解得：评注：由上案例可知，运用向量求函数的最大值的最大优点是解法简单、有规律、较容易理解、易于掌握。

2.向量在不等式的运用向量可以用几何表示（即用有向线段表示）也可以用代数表示（即用坐标表示）。

因此我们必须把图形和数字牢牢的联系起来，也是说向量和图形可以相互转化，用代数方法研究。

平面向量在中学数学中的应用

即ｙ一 √ ＋ｚ＋１一，ｘ／一ｚ＋１的值
分别对应复数２，２（＋ｉ，已知２、１）
ＱＰ一
在区问（１１内．一，）
÷ ，ｌ一２，复数．ｌ求
２应用平面向量证明三角公式
例１
￣ｚ＋口＋／
由（）（）两式得１。２
ＣＯＳ（一）一ｃ口ｏｓ＋ｓｎａｉ￣．口ｏｓｃｉｓｎ￣
已知口．ｃ为正数．求函数Ｙ一ｂ，
￣ｆ — ）＋ｂ的最小值．／（
应用平面向量处理等式或不等式
的 “形到形 ” 的推理方法。而降低了思维难从
度．题变得有章可循．一步减轻了学生的解进负担．应用平面向量处理立几之外的数学问题．往也可以收到化繁为简、化难为易和综往合应用的效果．
求证：日（ ‘＋ｂ）口 ‘ （。＋ｂ）＞（＋ｂ）．口２
证明
构造向量Ｐ一（。ｂ）ｑ一口．，
（ｂ．０日＋ｂ）口，）贝（。一（・。一ｌ。ｑｌＰｑ）ｌｌＰ，ｃｓ０≤ ｌｌｑｌ一（＋ｂ）日ｏＰｌ日（。＋ｂ）．。日，为不相等的正数，．－ｂ
ｑ一（ｂ。口，ｆ），则
例
２
对于

浅谈空间向量在立体几何中的应用

浅谈空间向量在立体几何中的应用引言：在高中数学中，向量既有代数的抽象也有几何的直观，其中的“数”与“行”完美结合的特点使得我们可以运用向量解决立体几何中某些复杂的问题。

正因为有向量的知識，解决立体几何一类的问题的时候就可以弥补部分同学在空间想象能力不足的缺陷，这在一定程度上降低了立体几何的做题难度。

一、向量在立体几何中的作用空间向量是高中数学教材中后来添加的新内容，它的功效就在于能够取代之前在传统教材中的地位，从目前的效果可以看出，它的作用是多方面的，主要涉及到垂直问题，角度问题，以及法向量之间的计算应用问题等。

1.空间向量的作用（1）证明垂直，面对线面垂直以及面面垂直的问题的时候，在算出法向量的基础上，通过证明直线平行于法向量即可得出结论；还有想要证明面面垂直的结论，证明出两平面的法向量是垂直的，即可得出最终的结论。

（2）计算角度，求二面角的精髓就在于转换两个法向量之间的角度来计算；立体几何中的平行问题是通过向量的基本定理进行验证的。

2.平面法向量（1）法向量，指的是与已知平面垂直的向量值，这个是可以根据坐标位置的确定有多个的，就我们使用的经验来讲一般是选择最为方便的那个来操作的。

（2）法向量的计算，根据一般情况建立适当的平面直角坐标轴，假设所知平面的法向量为m（a，b，c），在所在平面内找到两个相交的直线S，T，同时运用法向量来定义他们。

因为法向量垂直于所在平面，所以必定也垂直S，T，利用垂直向量点乘为零列出方程组。

由于有三个未知数a，b，c，通常是假设其中一个是较特殊的值，再求出另外两个的值。

二、向量在立体几何中的实际运用空间向量作为新鲜血液，解决几何问题时更具优势，解题者思维能清晰明了。

这样的方法不仅节省时间还能够简单地解决问题。

1.立体几何的证明和计算问题主要分成二大板块：位置问题和度量问题。

位置问题就是线线，线面之间的关系等；度量关系就是线线之间，线面之间的角度问题。

（1）证明问题1）假设在一个空间里有任意的一点O点，以及和O点不共线的E，F，G三点，假如：（其中x+y+z=1），则四点M，E，F，G共面。

浅谈向量与空间解析几何

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第２７卷第４期
湖北师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｕｅＮｒａＵｉｒｔＮｔｒｃｎｅｏｒａｏｂｉｏｍｎｅｓｙ（ａａＳｉｃ）Ｈｌｖｉｕｌｅ
Ｖ０．７１２Ｎｏ４，０７．２０
一一一一一一
一
解１ ‘Ａ）．Ｂ＝｛，５４Ａ ‘ 一５一，｝，Ｃ＝｛４一８ ‘ ＢＸＣ＝｛４２０，Ａ一，４，｝．ＡＡ．一２，４，｝ＩＢ×Ａ＝２ √ ＣＩ４ｌ２
１
‘ ．
．
一
一
一
三角形ＡＣ的面积Ｓ＝．ｌＢＸＩ１．ＢＡｔＩｃ＿２２４
浅谈向量与空间解析几何
黄振华
（北师范学院数学系，北黄石湖湖４５０）３０２
摘要：根据作者从事《解析几何》课程的教学体会，学生习作过程中忽视向量的作用的现象提出警示，对阐明了向量在解决空间问题中的优势，向量思想是解析几何学的灵魂，学好《要解析几何》程就必须牢牢把课
・
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边上的高为２Ｓ
ｃ上的高为
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例２已知四面体的四个顶点为ｓｏ６４，（，，）Ｂ一，１一）Ｃ１一１４计算从顶 … （，，）Ａ３５３，（２１，５，（，，）

用向量方法解决数学问题

用向量方法解决数学问题将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。

这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。

首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。

其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。

向量具有很好的“数形结合”特性。

一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。

而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。

可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。

它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。

使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。

第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。

其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。

在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。

几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。

矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。

对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。

同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。

如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。

第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。

关于高中向量的相关知识板块

关于高中向量的相关知识板块作者：杨国栋来源：《理科考试研究·高中》2013年第05期高中数学从理念和内容都有了很大的变化，其中向量成为高中数学新课程中的重要内容.向量运算要注重物理背景，与数的运算类比，几何意义以及多种表示方法的类比的教学，向量应用要强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用.作为高中执教的一线老师，笔者觉得很有必要对向量部分在高中数学的应用做进一步的研究分析，深入领会新教材，更好地组织好高中数学教学.一、高中向量知识的相关知识点概况在高考试题中，涉及平面向量的考查在注重基础知识和概念的同时，逐渐加强了综合性及难度.对平面向量的考查主要有四个方面：（1）主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算.（2）考查向量坐标表示，向量的线性运算.（3）同其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力.如向量与解三角形相结合的题目，向量与三角函数结合的题目，向量与解析几何结合的题目等.（4）考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题.如解析几何题，可借助向量垂直的充要条件进行求解.二、高中向量知识的学习的必要性向量在解决数学问题时显现出强大的工具性，向量方法既是数学思想方法的体现，又是问题解决的一种方法途径，向量知识与其他知识产生联系，为解决很多抽象的数学问题提供简便的方法，具有普遍性、广泛性、有效性.向量法在代数问题和几何问题中均有体现，充分体现了向量解决问题的优越性.（1）学习向量有助于学生感受数学的应用价值；（2）学习向量有助于学生进一步理解数学运算，发展运算能力；（3）学习向量有助于学生掌握处理几何问题的有效方法；（4）学习向量有利于拓宽学生解题思路；有利于与高等教育衔接.（5）学习向量有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，培养学生的数形结合的思想.三、高中向量知识的相关数学思维（一）强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用.作为现代数学的重要基础，向量进入高中数学知识体系后，不仅成为支撑数学学科的重要知识，也是学习和研究许多重要数学问题的通性通法的强有力的工具.学生还不能应用向量知识来解决遇到的问题，应注意在教学中强化向量的工具性，抓住学生培养实践能力和创新精神的黄金时机，帮助学生树立向量的应用意识.（1）充分挖掘课本中有关公式、定理、例题中向量的应用，让学生在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识.（2）在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性，再通过逐渐再现向量与解析几何、立体几何、三角知识、数列等的交汇处向学生渗透向量在解题中的应用.（3）在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性.（4）教师要善于引导学生在向量方法和传统方法之间进行对照，让学生自然而然感到向量知识解决问题的简捷和方便，比如求解空间角与距离，传统方法需要作——证——算，但对于不容易作出的角与距离，空间向量则简单易行，向量的运算、向量和空间法向量在求解距离和角度方面比传统方法更简单.（二）引导学生认真体会向量法的思想实质注重通性通法，淡化特殊技巧是近几年高考新命题的重要理念之一，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁.著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.在学完向量内容后，要引导学生反思，重新概括研究思路，使学生体会数学中研究问题的思向量在中学数学教学及解题中的应用研究想方法.重视向量思想实质的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担，提升学生的数学思维水平.（三）注重数学思想方法的教学（1）数形结合的思想方法.在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在应用向量解决问题过程中更要培养学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，利用向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，以加深理解知识要点，增强应用意识.（2）化归转化的思想方法.向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决.（3）分类讨论的思想方法.分类讨论问题是高中数学一个难点，在向量的应用中有不少体现，如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在向量b方向上的投影随着它们之间的夹角是锐角、钝角、直角，有正数、负数和零三种情形，教师借助向量的应用让学生体会分类讨论在高中数学的广泛应用，进一步强化学生分类讨论的能力.综上所述，本文注重研究向量在教学及解题中的应用，突出向量在高中数学的工具性，文章从对课程标准及学习理论的基本认识出发，先分析了向量的相关知识板块，探讨了高中引入向量的必要性.向量是现代数学重要的概念，向量自身具有文化价值、教育价值、实用价值等，在生产实践中有着广泛的应用，是初等数学与高等数学的衔接点.希望本文的研究对广大高中数学教育工作者有所帮助.。

向量数量积的应用

向量数量积的应用
发表时间：2012-08-27T15:36:49.357Z 来源：《数学大世界(教育导向)》2012年第3期供稿作者：文志平
[导读] 向量是高中数学新教材第4 册内容，它既能体现形的直观位置特征，又具有数的运算性质，是数形结合的一个典范
四川省成都石室中学文志平
向量是解决数学问题的一种重要工具，由于向量融数、形于一体，因而成为中学数学知识的一个交汇点. 向量
的引入，揭示了数学知识之间的横纵联系，进一步发展和完善了中学数学知识结构体系，拓宽了研究和解决问题的思维通道，也为激发和培养学生的探索精神和创新意识提供了更广泛的途径，而向量的数量积作为向量的一个重要知识点，在中学数学中有着广泛的应用，本文试图用向量数量积为工具，来探究一些问题的解决.
一、处理角的问题
例题：推导两角差的余弦公式：cos(α − β ) = cosα cos β + sinα sin β
证明：在平面直角坐标系xOy 内做单位圆O ，以 Ox为始边做角α, β ，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A, B ，则OA = (cosα,sinα),OB = (cos β,sin β )。