点乘双根法
立足基础，强化能力
立足基础，强化能力———一堂高考试题探究课及其体会冯英杰（江苏省运河中学，２２１３００） 在中国高考评价体系新背景下，２０２０年新课改的高考数学命题紧紧围绕着“四层”、“四翼”，在全面的基础上，注重能力素养的考查，极大地助力了高中育人方式的改革和学生的综合发展．特别是２０２０年山东省高考数学压轴题，是一大亮点．高考评价体系是具有两面性．一方面，它可以评价考生的素质．以“四层”为考查内容，含有“核心价值、核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，考查考生素质内涵；以“四翼”为考查要求，包括“基础性、综合性、应用性、创新性”，检测学生素质水平度；另一方面，它可以指导和评价高考命题，提高高考命题水准，促进教育改革．下面以我在２０２１届高三复习中的一堂关于本题的探究课为例，谈谈中国高考评价体系中“四层”、“四翼”的一些具体体现及教学感想．１ 案例呈现例 （２０２０年山东数学卷）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为槡２２，且过点Ａ（２，１）．（１）求Ｃ的方程：（２）点Ｍ，Ｎ在Ｃ上，且ＡＭ⊥ＡＮ，ＡＤ⊥ＭＮ，Ｄ为垂足．求证：存在定点Ｑ，使｜ＤＱ｜为定值．（前一天出示问题，第二天课上评析）１．１ 解法探究 各显神通师：这道高考压轴题是解析几何题，题目背景考生十分熟悉，是直线与椭圆相结合的一道综合题，看似平淡无奇，但平淡中不乏惊喜，第一问易得椭圆方程为：ｘ２６＋ｙ２３＝１．第二问题设新颖，设问巧妙，对考生的分析问题、探究问题、解决问题的能力区分度明显，促进了高校对人才的选拔需求，哪位同学来展示一下？生１：我用的是韦达定理，!!"#$%&'()"#*%&'()设点Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）．因为ＡＭ⊥ＡＮ，∴→ ＡＭ·→ＡＮ＝０，即（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０． ①当直线ＭＮ的斜率存在时，设方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，如图１．代入椭圆方程消去并整理得：（１＋２ｋ２）ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２－６＝０．根据ｙ１＝ｋｘ１＋ｍ，ｙ２＝ｋｘ２＋ｍ，代入①，整理可得：（ｋ２＋１）ｘ１ｘ２＋（ｋｍ－ｋ－２）（ｘ１＋ｘ２）＋（ｍ－１）２＋４＝０．整理化简，得（２ｋ＋３ｍ＋１）（２ｋ＋ｍ－１）＝０．∵Ａ（２，１）不在直线上，∴２ｋ＋ｍ－１≠０．∴２ｋ＋３ｍ＋１＝０，ｋ≠１．于是ＭＮ的方程为ｙ＝ｋｘ－()２３－１３，过定点Ｅ２３，－()１３．当直线ＭＮ的斜率不存在时，可得Ｎ（ｘ１，ｙ１），如图２．代入（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）．得（ｘ１－２）２＋１－ｙ２２＝０．结合ｘ２１６＋ｙ２１３＝１，解得ｘ１＝２（舍），ｘ１＝２３．此时直线ＭＮ过点Ｅ２３，－()１３．由于ＡＥ为定值，且△ＡＤＥ为直角三角形，ＡＥ为斜边，所以ＡＥ中点Ｑ满足｜ＱＤ｜为定值．·６８·《数学之友》 ２０２１年第８期ＡＥ长度的一半１２２－()２３２＋１＋()１３槡２＝槡４２()３由于Ａ（２，１），Ｅ２３，－()１３，故由中点坐标公式可得Ｑ４３，()１３，故存在点Ｑ４３，()１３，使得｜ＤＱ｜为定值．师：太棒了，此种方法是解决定点问题的常规方法，求直线过定点本质还是求直线的方程，设出直线ＭＮ的方程ｙ＝ｋｘ＋ｍ以后，只要找出两个参数ｋ，ｍ的关系即可，结合条件ＡＭ⊥ＡＮ，使用韦达定理，运用设而不求的方法，列出含有参数ｋ，ｍ的代数式，化简可得ｋ，ｍ的关系，从而求出定点．值得注意的是，最后要检验斜率不存在的情况．解析几何本质是用代数的方法解决几何问题，考纲要求掌握直线与二次曲线的位置关系，与之对应的一次与二次的方程问题，韦达定理为处理二次方程根问题的有力工具，因此韦达定理在解析几何中占有重要的位置，本题还能不能从不同的角度考虑？．生２：若直线ＭＮ斜率存在，设直线ＭＮ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），将直线方程ｙ＝ｋｘ＋ｍ代入椭圆方程ｘ２＋２ｙ２－６＝０，消去ｙ并整理，得（１＋２ｋ２）ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２－６＝０．又因为ｘ１和ｘ２为方程的两根，所以ｘ２＋２（ｋｘ＋ｍ）２－６＝（１＋２ｋ２）（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）．所以（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＝ｘ２＋２（ｋｘ＋ｍ）２－６（１＋２ｋ２）．令ｘ＝２，可得（２－ｘ１）（２－ｘ２）＝４＋２（ｋｘ＋ｍ）２－６（１＋２ｋ２）＝２（２ｋ＋ｍ－１）（２ｋ＋ｍ＋１）（１＋２ｋ２）．同理可得（１－ｙ１）（１－ｙ２）＝２（２ｋ－ｍｙ＋１）（２ｋ＋ｍ－１）１＋２ｋ２．因为ＡＭ⊥ＡＮ，所以→ ＡＭ·→ＡＮ＝０．即（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０．即（２ｋ＋ｍ－１）（２ｋ＋３ｍ＋１）１＋２ｋ２＝０．当２ｋ＋ｍ－１＝０时，ＭＮ过Ａ（２，１），不合题意；当２ｋ＋３ｍ＋１＝０时，ＭＮ过２３，－()１３；若直线ＭＮ斜率不存在，则直线ＭＮ的方程为ｘ＝２３，可得Ｍ２３，()５３，Ｎ２３，－()５３，满足ＡＭ⊥ＡＮ．综上直线ＭＮ过定点Ｅ２３，－()１３．下同方法一．师：非常好，此种方法也是以求直线ＭＮ方程为目标，由ＡＭ⊥ＡＮ入手，根据数量积可以得到（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０，进而联想到一元二次方程的两根式与一般式的关系，结合赋值，找到两个参数ｋ，ｍ的关系，从而求得定点．可以称为点乘双根法，此法思维发散，运算工整，要求考生有敏锐的观察想象力和扎实的数学基本功，本题还有没有其他方法？生３：椭圆方程ｘ２６＋ｙ２３＝１可化为：（ｘ－２）２＋２（ｙ－１）２＝－４［（ｘ－２）＋（ｙ－１）］．设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），直线ＭＮ方程为ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）＝１，则（ｘ－２）２＋２（ｙ－１）２＝－４［（ｘ－２）＋（ｙ－１）］［ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）］．整理可得（２＋４ｎ）ｙ－１ｘ()－２２＋４（ｍ＋ｎ）ｙ－１ｘ－２＋（１＋４ｍ）＝０．因为ｙ１－１ｘ１－２和ｙ２－１ｘ２－２为方程的两根，故由韦达定理可得ｙ１－１ｘ１－２·ｙ２－１ｘ２－２＝１＋４ｍ２＋４ｎ．又因为ＡＭ⊥ＡＮ，所以ｋＡＭ·ｋＡＮ＝－１．所以１＋４ｍ２＋４ｎ＝－１，即ｎ＝－ｍ－３４．所以直线ＭＮ方程为ｍ（ｘ－２）－ｍ＋()３４（ｙ－１）＝１．所以ＭＮ过定点Ｅ２３，－()１３．下同方法一．师：非常完美，此种方法同法二，也是以（ｘ１－２）（ｘ２－２）＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０为基点发散，巧妙设取直线ＭＮ方程ｍ（ｘ－２）＋ｎ（ｙ－１）＝１，利用“１”结合椭圆方程构造齐二次式，韦达定理找到两个参数ｍ，ｎ的关系，从而求得定点．这种齐次化方法除了具有想象力和创造力外，一方面需要能对直线的方程有深入的理解，另一方面需要扎实的代数变形和运算技巧，希望大家谨记；还有其他解法吗？生４：设Ｄ（ｍ，ｎ），直线ＭＮ的倾斜角为α，·７８·《数学之友》 ２０２１年第８期则直线ＭＮ的参数方程为ｘ＝ｍ＋ｔｃｏｓα，ｙ＝ｎ＋ｔｓｉｎ{α带入椭圆方程ｘ２＋２ｙ２－６＝０，可得（１＋ｓｉｎ２α）ｔ２＋（２ｍｃｏｓα＋４ｎｓｉｎα）ｔ＋ｍ２＋２ｎ２－６＝０．所以（ｍ－２）２＋（ｎ－１）２＝ｍ２＋２ｎ２－６１＋ｓｉｎ２α．（ ）由ｋＡＤ·ｋＭＮ＝－１，可得ｎ－１ｍ－２ｔａｎα＝－１．所以ｔａｎα＝ｍ－２１－ｎ．所以ｓｉｎ２α＝ｔａｎ２α１＋ｔａｎ２α＝（ｍ－２）２（ｍ－２）２＋（ｎ－１）２．代入（ ），化简可得ｍ－()４３２＋ｎ－()１３２＝８９．故存在点Ｑ４３，()１３使得｜ＤＱ｜为定值．师：我完全赞同你的高见，数学大师陈省身说过：“数学的魅力在于人们不用蛮力而简捷解题”．此法采用直线的参数方程ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓα，ｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ{)α（其中ｔ为参数）是选修内容，参数ｔ的几何意义为有向线段的数量．本题从射影定理｜ＤＭ｜·｜ＤＮ｜＝｜ＡＤ｜２作为突破口，联想到直线的参数方程恰好可以处理线段的积问题，再利用垂直关系和同角三角函数的基本关系，消去变量α即可到ｍ，ｎ的关系，一气呵成，妙不可言！师：请大家整理一下这一问共有多少种解法？其中哪几种是通法，哪几种是特技？（教师在刚才几位学生叙述时板书下来，供学生对比、整理）．生５：生３用的是特技，其余三种是通法，分别设点、设线和利用参数方程．师：嗯，我们既要掌握通法，也要关注特技，请大家将收获与感悟整理下来，认真反思．２ 思考与启示２．１ 一道高考好题既要下有托底上不封顶，还要考查灵活 本题第一问比较基础，属于送分到位，第二小问有很强的综合性，考查的比较灵活，既有保底，又不封顶，考生第一步要先求出直线ＭＮ过定点Ｅ；第二步再根据定点Ｅ得到△ＡＤＥ为Ｒｔ△ＡＤＥ，斜边ＡＥ为定长，而斜边中线ＤＱ等于斜边的一半，从而求得定点Ｑ．第一步的处理是本题的关键，设计的知识点为直线过定点问题，是高考的常考内容，如果本题增加一个过渡问直线直线ＭＮ过定点，难度下降很多，但作为压轴题就会显得乏味俗套，在目前的教育模式下，这类过定点问题已经被题海战术搞得机械化了，很多考生都能不假思索得心应手的处理，因而区分度不会好，失去了为高效选拔人才的功能．而隐去这个台阶，本题就灵动起来了，考生需要结合条件分析联想，仔细寻找这个突破口．求直线过定点问题虽然是常规问题，但从不同的角度入手，解答过程也不尽相同，精彩纷呈．２．２ 拾级而上，抽象推广能否分析出直线ＭＮ过定点是本题的重要转折点，回头再进一步探究，椭圆以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边必过定点Ｅ，定点Ａ可以为椭圆上任意一点斜边还过定点吗？根据上述方法，经过计算，不难发现：（１）若点Ａ（ｘ０，ｙ０）在椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上，则以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边直线恒过定点．根据类比推理，椭圆具有这样的性质，那双曲线和抛物线是不是也具有类似的性质呢？顺着这条思路，也可以推得：（２）若点Ａ（ｘ０，ｙ０）在双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上，则以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边直线恒过定点；（３）若点Ａ（ｘ０，ｙ０）在抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上，则以定点Ａ为直角顶点的内接直角三角形的斜边直线恒过定点Ｐ（２ｐ＋ｘ０，－ｙ０）．２．３ 改进教法，反哺教学高考是中学教师日常教学的风向标，只有认真研究高考试题才能把握住教学中的重难点，少走弯路．高考评价体系已经从单一的“考查内容”，向“考查内容、要求、载体”三位一体的评价模式转变，从传统的“知识立意”“能力立意”向“四层”“四翼”转变．因此，在教学中，教师要坚持基础性、综合性、应用型和创新型，引导学生夯实基础知识，注重个学科之间的相互关联，形成网状知识框架，采用靠近生活、融入社会、紧跟时代的素材，鼓励学生理论与实践相结合，用知识解决实际问题，合理创设情境，让学生发现新问题，寻找新规律，探索新知识．·８８·《数学之友》 ２０２１年第８期。
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x 2 y 2例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b2 线OD ，求 D 的轨迹方程.= 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ，⎧ y = kx + m⎪联立⎨ x 2 ⎪⎩ 2b 2 y 2b2 1 化简可得:(2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2, y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 )m 2 - 2b 2k 2x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2+1 + 2k 2 +1 =0∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y对比于1 2 0y 0 y 0⎨ 20 00 0y y ⎧- x 0 = k y = kx + m ，则⎪ y 0x 代入* 中，化简可得： x 2 + y 2= 2b 2. 3 ⎪ 0 + y = m ⎪ y 0 ⎩ 0解法二（齐次式）：⎧ mx + ny= 1 ⎧ mx + ny = 1 ⎪ ⎪ 设直线Q 1Q 2 方程为 mx + ny = 1，联立⎨ x 2 + y 2 =⇒ ⎨ x 2 + y 2- =⎪⎩ 2b2b21⎪⎩ 2b2 b21 0x 2 y22x 2 y 2 2 2 2 22b 2 + (m x + ny ) b 2= 0 化简可得: 2b 2 + m x b 2- n y- 2mnxy = 0 整理成关于 x , y x , y 的齐次式： (2 - 2b 2n 2 ) y 2 + (1- 2m 2b 2 ) x 2 - 4mnb 2xy = 0 ，进而两边同时除以 x 2，则2 2 2 2 2 21- 2m 2b 2(2 - 2b n )k - 4mnb k +1- 2m b= 0 ⇒ k 1k 2 =2 - 2b 2n 21- 2m 2b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 k 1k 2 = -1，2 - 2b 2n2= -1∴3 = 2b 2 (m 2 + n 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于1 2⎧x 0= my 0 y 0⎪ x 2 + y 22mx + ny = 1，则⎨ 0 0y 代入* 中，化简可得： x 2+ y 2= b 2 .3 0 = n ⎪ x 2 + y 2 ⎩ 0 0例 2：已知椭圆 x 2 + 24= 1，设直线l 不经过点P (0,1) 的直线交于 A , B 两点，若直线 PA , PB 的斜率之和为-1，证明：直线l 恒过定点.⎩ ⎩解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标 新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(0,1) ⇒ (0, 0)⎧ x ' = x ⎧ A → A ' 所以⎨ y ' = y -1 ⇒ ⎨B → B '原来 k + k = -1⇒y 1 -1 + y 2 -1 = -1 则转换到新坐标就成为： y 1 ' + y 2 '= -1PAPBx x x ' x ' 1 21 2即k 1 '+ k 2 ' = -1设直线l 方程为： mx '+ ny ' = 1原方程： x 2 + 4 y 2 = 4 则转换到新坐标就成为： x '2 + 4( y '+1)2= 4展开得： x '2 + 4 y '2+ 8 y ' = 0⎨⎪x' ⎩ ⎩ 构造齐次式： x '2 + 4 y '2+ 8 y '(mx '+ ny ') = 0整理为： (4 + 8n ) y '2 + 8mx ' y '+ x '2= 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n )k '2+ 8mk '+1 = 0所以 k '+ k ' = -8m= -1 所以 2m - 2n = 1 ⇒ m = n + 1124 + 8n 21 x '而 mx '+ ny ' = 1 ∴(n + )x '+ ny ' = 1 ⇒ n (x '+ y ') + -1 = 0 对于任意 n 都成立.2 2⎧x '+ y ' = 0则： ⎪⇒ -1 = 0 ⎩ 2⎧ x ' = 2 ⎨ y ' = -2，故对应原坐标为⎧ x = 2 ⎨ y = -1所以恒过定点(2, -1) .x 2例 3：已知椭圆y 2+ = 1，过其上一定点 P (2,1) 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 8 2圆于 A , B 两点，证明：直线 AB 斜率为定值.解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(2,1) ⇒ (0, 0)所以⎧x ' =x - 2⇒⎧A →A '⎨y '=y -1⎨B →B '⎩⎩原来k +k = 0 ⇒ y1-1+y2-1= 0 则转换到新坐标就成为：y1'+y2'= 0PA PB x - 2 x -1 x ' x '1 2 1 2即k1 '+k2' = 0设直线 AB 方程为： mx '+ny ' = 1原方程： x2 + 4 y2 = 8 则转换到新坐标就成为： (x '+ 2)2 + 4( y '+1)2 = 8 展开得： x '2 + 4 y '2 + 4x '+ 8 y ' = 0构造齐次式： x '2 + 4 y '2 + 4x '(mx '+ny ') + 8 y '(mx '+ny ') = 0整理为： y '2 (4 + 8n) +x ' y '(4n + 8m) + (1 + 4m)x '2 = 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n)k '2 + (4n + 8m)k '+1+ 4m = 0所以 k '+k ' =-4n + 8m= 0 所以 n =-2m1 2 4 +8n1而mx '+ny ' = 1 ∴mx '+ (-2m) y ' = 1 ⇒mx - 2my -1 = 0 .所以k =21平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值.21 2 1 1 2 2 1 2 1 21 二，点乘双根法例 4：设椭圆中心在原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左右顶点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 ,OF 2 中点分别为 B 1 , B 2 ，且△AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形.（1） 求其椭圆的方程（2） 过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.x 2y 2解：（1） + = 20 4（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为： y = k (x + 2) ， P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 )因为 PB ⊥ QB，则，22PB 2 QB 2 =0所以(x - 2, y )(x - 2, y ) = 0 ⇒ (x - 2)(x - 2) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 *⎧ y = k (x + 2) ⎪2 2 2现联立⎨ x 2+ y 2 = ⇒ x ⎩ 20 4+ 5k (x + 2) - 20 = 0则方程 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 可以等价转化(1+ 5k 2)( x - x )( x - x ) = 012即 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(x - x )(x - x )令 x = 2 ， 4 + 80k 2- 20 = (1+ 5k 2)( x 1 - 2)( x 2 - 2) ⇒ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) =80k 2 -16 1+ 5k 2令 x = -2 ， 4 + 0 - 20 = (1+ 5k 2)( x + 2)( x + 2) ⇒ ( x + 2)( x + 2) = -161 2 1 21+ 5k 21结合(x1 - 2)(x2- 2) +k (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 *化简可得：80k 2 -161+ 5k 2+-16= 01+ 5k 280k 2 -16k 2 -16 = 0 ⇒ 64k 2 =16 ⇒k 2 =1∴k =±1 4 2所以直线l 方程为： y =± 1(x + 2) . 22。
数学分析：点乘双根法
数学分析：点乘双根法知识与方法1．预备知识（二次函数的两根式）：一般地，设=++≠f x ax bx c a 02)()(，若一元二次方程++=ax bx c 02有两根x 1和x 2，则必有=−−f x a x x x x 12)()()(， 即++=−−ax bx c a x x x x 122)()(.2．点乘双根法：若我们将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于x 的一元二次方程++=ax bx c 02≠a 0)(，并且假设该方程的两根为x 1和x 2，现在我们要计算−−x t x t 12)()(这个量，此时当然可以将其展开，利用韦达定理来进行计算，但更简单的操作方法是利用二次函数的两根式，得出++=−−ax bx c a x x x x 122)()(，并在两端同时令=x t ，即可得到++=−−at bt c a t x t x 122)()(，从而−−=++ax t x t at bt c122)()(，这样就求出了我们想要的量，这种技巧叫做“点乘双根法”，其一般的步骤是“化两根式→赋值→求得结采”.【例题】已知抛物线=>E y px p :202)(的焦点为F ，A y 1,0)(>y 00)(为抛物线E 上一点，=AF 45 （1）求p 和y 0的值；（2）过F 作两条互相垂直的直线与抛物线E 交于另外两点B 和C ，证明：直线BC 过定点. 【解析】（1）由题意，=+=AF p 2415，解得：=p 21，所以抛物线C 的方程为=y x 2，将A y 1,0)(代入=y x 2得：=y 102，又>y 00，所以=y 10. （2）解法1：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B y y ,112)(，C y y ,222)(，易得直线AB 和AC 斜率均存在，因为⊥AB AC ，所以−−⋅=−−−y y y y 11111122212，从而++=−y y 11112)()(①，联立⎩=⎨⎧=+y xx my t2消去x 整理得：−−=y my t 02②，因为y 1和y 2是方程②的两根，所以−−=−−y my t y y y y 122)()(，令=−y 1得：+−=−−−−m t y y 11112)()(，所以++=+−y y m t 11112)()(代入式①得：+−=−m t 11，所以=+t m 2，故直线BC 的方程为=++x my m 2，即=++x m y 12)(，所以直线BC 过定点−2,1)(.解法2：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B x y ,11)(，C x y ,22)(，联立，消去x 整理得：①，则和是方程①的两根，所以，令=y 1得：−−=−−m t y y 11112)()(，所以−−=−−y y m t 11112)()(联立消去y 整理得：−++=x t m x t 20222)(②，则x 1和x 2是方程②的两根，所以−++=−−x t m x t x x x x 212222)()()(令=x 1得：−−+=−−t m t x x 12111222)()(，所以−−=−−+x x t m t 11121222)()(，由（1）知点A 的坐标为1,1)(，所以=−−AB x y 1,111)(，=−−AC x y 1,122)(， 由题意，⊥AB AC ，所以⋅=−−+−−=AB AC x x y y 111101212)()()()(， 从而−−++−−=t m t m t 121022)()(整理得：+−−−=t m t m 120)()(，所以=−t m 1或=+t m 2， 若=−t m 1，则直线BC 的方程为=+−x my m 1 即=−+x m y 11)(，显然直线BC 过点A ，不合题意， 所以=+t m 2，从而直线BC 的方程为=++x my m 2， 即=++x m y 12)(，故直线BC 过定点−2,1)(.【反思】当涉及到−−x t x t 12)()(或−−y t y t 12)()(这种结构计算时，就可以考虑使用点乘双根法，这是一种能够降低计算复杂度的优越算法.强化训练1.（★★★★）椭圆+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、B ，离心率为，=AB .（1）求椭圆的方程；（2）过F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若⋅+⋅=AC DB AD CB 8，求k 的值. 【解析】（1）由题意，==AB a 2=a又椭圆的离心率eb ， 故椭圆的方程为+=x y 32122. （2）由（1）可得A )(，B)，−F 1,0)(，所以直线l 的方程为=+y k x 1)(，设C x y ,11)(，D x y ,22)(，则=+AC x y 3,11)(，=−−DB x y 3,22)(，=+AD x y 3,22)(，=−−CB x y 3,11)(，从而⋅+⋅=+−−++−−AC DB AD CB x x y y x x y y 333312122112)()()()(=−+−+−=−−=−−++x x x x y y x x y y x x k x x 3362262211112212112121212122)()(，由题意，⋅+⋅=AC DB AD CB 8，所以−−++=x x k x x 62211812122)()(，故+++=−x x kx x 11112122)()(①，联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+x y y k x 321122)(消去y 整理得：+++−=k x k x k 3263602222)(②，因为x 1和x 2是方程②的两根，所以+++−=+−−k x k x k k x x x x 32636321222222)()()()(③，在③中取=−x 1可得：+++=−k x x 32114212)()(，又由方程②的韦达定理，+=−k x x k 32362122，代入①得：⎝⎭++ ⎪+⋅−=−⎛⎫−k k k k 323213642222，解得：=k2.（★★★★）已知椭圆+=C x y 42:122和点P 1,1)(，过点P 且斜率为2的直线与椭圆C 交于A 、B 两点.（1）求⋅PA PB 的值；（2）直线l 过点P 与椭圆C 交于不与A 、B 重合的M 、N 两点，若⋅=⋅PA PB PM PN ，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意，直线AB 的方程为−=−y x 121)(，即=−y x 21，设A x y ,11)(，B x y ,22)(联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=−x y y x 4212122消去y 整理得：−−=x x 98202①，则x 1和x 2是方程①的两根，所以−−=−−x x x x x x 9829122)()(，令=x 1可得−−=−x x 911112)()(，故−−=−x x 911112)()(从而⋅=−−=−−=PA PB x x x x 91151151212)()(.（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为=x 1，代入椭圆C的方程可求得=y所以⎝⎭⎪ ⎪⋅=−=≠⋅⎛⎫PM PN PA PB 2111，不合题意， 当直线l 斜率存在时，设其方程为−=−y k x 11)(，即=+−y kx k 1，设M x y ,33)(，N x y ,44)(， 联立⎩⎪=+−+=⎨⎪⎧x y y kx k142122消去y 整理得：++−+−−=k x k k x k 12412140222)()()(②，则x 3和x 4是方程②的两根，所以++−+−−=+−−k x k k x k k x x x x 124121412342222)()()()()()(令=x 1可得++−+−−=+−−k k k k k x x 1241214121134222)()()()()()(， 所以+−−=−k x x 12111234)()(从而+⋅=−−=+⋅−−=+k PM PN x x k x x k 121111112343422)()()(，因为⋅=⋅PA PB PM PN所以+=+k k 1291522，解得：=±k 2，因为M 、N 不与A 、B 重合， 所以≠k 2，故=−k 2，从而直线l 的方程为=−+y x 23.。
双根法是优化解析几何运算的又一利器
例 １ （２０１２ 年高考重庆卷第 ２０ 题） 如图 １ 所示，
设椭圆的中心为原点 Ｏ，长轴在 ｘ 轴上，上顶点为 Ａ，
左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，线段 ＯＦ１，ＯＦ２ 的中点分别为 Ｂ１，Ｂ２，且 △ＡＢ１Ｂ２ 是面积为 ４ 的直角三角形．
（１） 求 该 椭 圆 的 离 心
率和标准方程；
（２） 过 Ｂ１ 作直线 ｌ 交椭
ｘ２ ＋ ５ｘ ＋ ６，且 Ｓ ＝ ｛０，１，２，…，１９９４｝ ，ａ ∈ Ｓ，ｆ（ ａ） 能被
６ 整除，具有这样性质的 ａ 的个数是 ． 解 ① 估计：ｆ（ａ） ＝ ａ２ ＋ ５ａ ＋ ６ ＝ ａ（ａ ＋ ５） ＋ ６．
设 ａ ∈ Ｓ，ｆ（ａ） 被 ６ 整除，即 ａ（ａ ＋ ５） 被 ６ 整除的数，
２０ ＝ ０ 与（２ － ｘ１ ） （２ － ｘ２ ） ＋ ｋ２（ ｘ１ ＋ ２） （ ｘ２ ＋ ２） ＝ ０，
因为 ｘ１ ，ｘ２ 是方程 ｘ２ ＋ ５ｋ２ ( ｘ ＋ ２ ) ２ － ２０ ＝ ０ 的两根，
所以 ｘ２ ＋ ５ｋ２ ( ｘ ＋ ２ ) ２ － ２０ ＝ （１ ＋ ５ｋ２ ） （ ｘ － ｘ１ ） （ ｘ －
在
Ｃ２
上，得 ３
２
＋
ｂ
２ １
＋
２ ｂ２１
＝ １，解得 ｂ２１
＝
３．因此
Ｃ２
的方程为 ｘ２ ６
＋
ｙ２ ３
＝ １．
显然 ｌ 的斜率不为 ０，故可设 ｌ 的方程为 ｘ ＝ ｍｙ ＋
３ ．点 Ａ (ｘ１ ，ｙ１ ) ，Ｂ (ｘ２ ，ｙ２ ) ，
ìïïｘ ＝ ｍｙ ＋
由 íｘ２ îïï ６
＋
ｙ２ ３
＝
３， 得 ( ｍ２
高中解析几何简化计算之点乘双根法
（ Ⅰ）
设 P（ m，0）
则→PA = （ →PA·P→B
x1 =（
，－Am（ ，xy1 ，1 ）y1，）P→，BB=（
x1 － m） （ x2 －
x2 ，y2 ） ， （ x2 － m，y2 m） + y1 y2
）， =（
x1
－
m）
（
x2
－
m） + k2 （ x1 － 1） （ x2 － 1） ．
解题技巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
131
高中解析几何简化计算之点乘双根法
◎陈俊健 （ 广西南宁市第三中学（ 青山校区） ，广西 南宁 530021）
【摘要】高中解析几何在求解圆锥曲线与直线问题的时 候，通常需要联立方程，利用韦达定理去求解． 利用韦达定 理进行运算求解时，稍不注意就容易出错． 在求解点乘或者 斜率乘积为定值，甚至求 x1 x2 ，y1 y2 的时候，我们可以改进 解法，引入 点 乘 双 根 法，避 开 韦 达 定 理，简 化 计 算，减 少 失误．
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 （ a ＞ b ＞ 0） 上，且椭圆的
离心率为
1 2
．
（ 1） 求椭圆 C 的方程．
（ 2） 若 M 为椭圆 C 的右顶点，点 A，B 是椭圆 C 上不同
的两点（
均异于
M）
且满足直线
MA
与
MB
斜率之积为
1 4
．
试判断直线 AB 是否过定点？ 若是，求出定点坐标； 若不是，
定理进行繁杂计算的过程，达到简化计算、提高解题速度的
效果，下面举例说明．
例 1 （ 2018 年西南四省名校高三第一次大联考） 已知
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一、圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值且OQ 11OQ 2，过原点O 作直线Q 1Q 2的垂D (X, V0)，设直线 Q 1Q 2 方程为 V= kx +m ，V = kx + m X 2 V 2 化简可得: ——+ — = 1 〔2b 2 b 2(2b 2k 2 + b 2)x 2 + 4kmb 2x + 2b 2(m 2 一b 2) = 0，所以2b 2(m 2 + b 2)b 2(m 2 -2b 2k 2)解法二（齐次式）:w r k r第十讲 锥曲线齐次式与点乘双根法V = kx +m ，x]—0-二kV代入*中， 化简可得: x 2 -0- + V = mV 0x x 2V = --0-x + T- + V 对比于V VX 2 V 2 一例1：4%为椭圆乐+b=1上两个动点,线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设Q ",V j Q 2a 2,V 2）x 2 y 2 x 2 y 2----------- 1 ---------(mx + ny )2 = 0 化简可得 --- 1 ------------ m 2x 2 一 n 2y 2 一 2mnxy = 02 b 2 b 22 b 2 b 2整理成关于 X , J X , J 的齐次式：(2 - 2b 2n 2)y 2 + (1 - 2m 2b 2)x 2 - 4mnb 2xy = 0，进而两边同时除以x 2，则1 -2 m 2 b 2(2 一 2b 2n 2)k 2 一 4mnb 2k +1 一 2m 2b 2 = 0 n k k = ---------1 2 2 - 2 b 2 n 2因为OQ 1 OQ OQ 1 OQ 所以kk =—1:.3 = 2b 2(m 2 + n 2)・・・*设直线Q 1Q 2方程为mx + ny=1，又因为直线Q1Q2方程等价于为y-y 0 =-x0- (x - x )y0x x 2y = -i x + t- + y对比于mx + ny = 1，则<x--------- 0—x 2 + y 0 (y2i代入*中，化简可得：x 2 + y 2 = -b2. x 2 , ____ __ .一例2：已知椭圆了+y2 =1，设直线,不经过点P(0，D的直线交于A，B两点若直线PA, PB的斜率之和为-1，证明：直线/恒过定点.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:即 k 「+ k 2' ―-1设直线l 方程为：mx '+ ny ' = 1原方程：X 2+ 4y 2 = 4则转换到新坐标就成为：x '2 + 4(y '+1)2 = 4 展开得：x '2 + 4y '2 + 8y' = 0构造齐次式：x '2 + 4y '2 + 8y '(mx '+ ny ') = 0 整理为：(4 + 8n )y '2 + 8mx'y '+ x '2 = 0 两边同时除以 x '2，则(4 + 8n )k '2 + 8mk '+1 = 08 m 1所以 k + k = ---- = —1 所以 2 m — 2 n — 1 n m — n + —1 2 4 + 8 n 2 , ,< ,1 ............................................. x’ “八而 mx + ny = 1「. (n + -)x + ny = 1 n n (x + y ) + --1 = 0 对于任意 n 都成立.x 2 y 2 ~ _ _例3：已知椭圆7 + 4- = 1，过其上一定点尸(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭所以原来 k pA +k pB =T ny -1, y -1 —t —+——x1—-1则转换到新坐标就成为：十,二一1 12x'+ y' — 0x ' n --1 — 0 [2x' = 2 t c ，故对应原坐标为 y =-2x = 2 1所以恒过定点(2,-1). y = -1即(0,1) n (0,0)8 2圆于A ,B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:旧坐标 新坐标即(2,1) n (0,0)所以原来『女。
第11讲 点乘双根法(解析几何)(解析版)
第11讲 点乘双根法知识与方法在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0) 的结构, 常规 方法是将它展开, 再结合韦达定理化简整理, 也可以利用“点乘双根法”进行整体处理, 达到简化运算, 快速解题的目的.1.方法介绍所谓的“点乘双根法”, 是指构建双根式，整体处理含 (x 1−x 0)(x 2−x 0) 或 (y 1−y 0)(y 2−y 0) 等类似结构的计算问题.2.理论基础二次函数 f(x)=ax 2+bx +c 的双根式. 若一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两根 x 1,x 2, 则f(x)=a (x −x 1)(x −x 2), 取 x =x 0, 可得 f (x 0)=a (x 1−x 0)(x 2−x 0).3.适用类型x 1x 2, y 1y 2,(x 1−m )(x 2−m ),(y 1−m )(y 2−m ), 或 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等形式. 4.解题步骤化双根式 → 赋值 → 整体代入.典型例题下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤.【例1】 已知点 M (x 0,y 0) 是拋物线 y 2=2px(p >0) 上一定点, 以 M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 △MAB , 则动直线 AB 过定点 (x 0+2p,−y 0).【证明】设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=0（∗) 显然直线 AB 不与 x 轴平行，设其方程为 x =my +t . 步骤 1: 化双根式联立 {y 2=2px x =my +t, 得 y 2−2pmy −2pt =0, 方程两根为 y 1,y 2, 则 (y 1−y )(y 2−y )=y 2−2pmy −2pt (1)联立 {y 2=2px x =my +t , 得 x 2−(2t +2m 2p )x +t 2=0, 则 (x 1−x )(x 2−x )=x 2−(2t +2m 2p )x +t 2 (2)步骤 2: 赋值在(1)中, 令 y =y 0, 则 (y 1−y 0)(y 2−y 0)=y 02−2pmy 0−2pt (4) 在(2)中, 令 x =x 0, 则 (x 1−x 0)(x 2−x 0)=x 02−(2t +2m 2p )x 0+t 2 (5)步骤 3: 整体代入即 t 2−(2p +2x 0)t +x 02−m 2y 02+y 02−2pmy 0=0,即 [t −(x 0−my 0)]⋅[t −(x 0+my 0+2p )]=0, 所以 t =x 0−my 0 或 t =x 0+my 0+2p ,情形一：当 t =x 0−my 0, 即 x 0=my 0+t 时, 说明点 M 在直线 AB 上, 不合题意;情形二：当 t =2p +x 0+my 0, 即 x 0+2p =m (−y 0)+t 时, 直线 x =my +t 过定点 (x 0+2p,−y 0). 综上所述：直线 AB 恒过定点 (x 0+2p,−y 0).通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少, 实际上运算量已经減少了很多.【例2】 设椭圆中心在原点 O , 长轴在 x 轴上，上顶点为 A , 左右顶点分别为 F 1,F 2,线段 OF 1,OF 2 中点分别为 B 1,B 2, 且 △AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形. (1) 求椭圆的方程;(2) 过 B 1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点, 使 PB 2⊥QB 2, 求直线 l 的方程.【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0), 右焦点为 F 2(c,0).因为 △AB 1B 2 是直角三角形, 又 |AB 1|=|AB 2|, 故 ∠B 1AB 2 为直角, 因此 |OA|=|OB 2|, 得 b =c2.结合 c 2=a 2−b 2 得 4b 2=a 2−b 2, 故 a 2=5b 2,c 2=4b 2 , 所以离心率 e =c a =25√5 . 在 2Rt ABB ∆ 中, 12OA B B ⊥, 故 22,1221||||22MBB B cS B B OA OB OA b b =⋅=⋅=⋅= 由题设条件 2,4AB B S ∆=, 得 24b =, 从而 22520a b ==.因比, 所求椭圆的标准方程为221204x y +=; (2) 显然直线 l 不与 x 轴垂直，设 l 的方程为 ()()1122(2),,,,y k x P x y Q x y =+, 因为 22PB QB ⊥, 则 220PB QB ⋅=,所以 ()()()()()()2112212122,2,022220(*)x y x y x x kx x -⋅-=⇒--+++=联立 22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩因为 12,x x 是方程的两根, 所以 ()()()2222125(2)2015x k x k x x xx ++-=+--,令 2x =, 得 ()()()()()2221212280164802015222215k k k x x x x k-+-=+--⇒--=+, 令 2x =-, 得 ()()()()()21212216402015222215k x xx x k -+-=+++⇒++=+,代入 (*), 得 22280161601515k k k--+=++, 化简可得: 22221801616064164k k k k --=⇒=⇒=, 所以 12k =±, 故直线 l 方程为: 1(2)2y x =±+. 【例3】 设 ,A B 分别为椭圆 22132x y += 的左、右顶点, 过左焦点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 ,C D 两点. 若 8AC DB AD CB ⋅+⋅=, 求 k 的值. 【答案】k =【解析】设点 ()()1122,,,C x y D x y , 由 (1,0)F - 得直线 CD 的方程为 (1)y k x =+,由方程组 22(1)12y k x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去 y , 整理得 ()2222236360k x k x k +++-=. 由韦达定理可得 22121222636,2323k k x x x x k k-+=-=++. 因为(A B , 所以AC DB AD CB ⋅+⋅())())11222211,,x y x y x y x y =⋅-++⋅-1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++8=由 8AC DB AD CB ⋅+⋅=, 得 ()()21212111x x k x x +++=-.因为 12,x x 是方程 ()2222236360k x k x k +++-= 的两根, 所以()()()()()()()2222221212236362323k xk x k k x x x x k x x xx +++-=+--=+--令 0x =, 则 ()22123623k kx x -=+, 所以 21223623k x x k -=+ 令 1x =-, 则 ()()()()222212236362311k k k k x x+-+-=+++所以 ()()12241123x x k ++=-+因为 ()()21212111x x kx x +++=-,所以 222223641,22323k k k k k--=-=++, 解得k = 【例4】设 ,A B 为曲线 2:4x C y = 上两点, A 与 B 的横坐标之和为 4 .(1) 求直线 AB 的斜率;(2) 设 M 为曲线 C 上一点, C 在 M 处的切线与直线 AB 平行, 且 AM BM ⊥, 求直线 AB 的方程.【答案】 (1) 1； (2) 7y x =+【解析】(1) 设 ()()1122,,,A x y B x y , 则 2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+= 于是直线 AB 的斜率 12121214y y x x k x x -+===-.(2) 由 24x y =, 得 2xy '=.设 ()33,M x y , 由題设知312x =, 解得 32x =, 于是 (2,1)M 因为 AM BM ⊥, 所以 0MA MB ⋅=, 即 ()()()()121222110x x y y --+--=. 设直线 AB 的方程为 y x m =+, 因为点 ,A B 在直线 AB 上, 所以 1122,y x m y x m =+=+,所以 ()()()()121222110x x x m x m --++-+-=.由 24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩得 2440x x m --=. 由 16(1)0m ∆=+>, 得 1m >-.()()21244x x m x x x x --=--在 (1) 式中, 令 2x =, 得 ()()212242422m x x -⨯-=--在(1)式中, 令 1x m =-, 得 ()()212(1)4(1)411m m m x m x m --⨯--=+-+-∴()()()()12122211x x x m x m --++-+-222424(1)4(1)40m m m m =-⨯-+--⨯--=,解得 7m =, 或 1m =- (舍）, 所以直线 AB 的方程为 7y x =+.强化训练1. 椭圆 22:143x x C +=, 若直线 :l y kx m =+ 与椭圆 C 交于 ,A B 两点 (,A B 不是左右顶点）, 且以直线 AB 为直径的圆恒过椭圆 C 的右顶点. 求证：直线 l 恒过定点, 并求出该点的坐标. 【答案】 2,07⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设椭圆的右顶点为 ()()1122(2,0),,,,C A x y B x y , 则 ()()1212220,(*)CA CB x x y y ⋅=--+=联立 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 整理得: ()()222348430k x mkx m +++-=, 因为 12,x x 是方程 ()()222348430k x mkx m +++-= 的两个根, 所以()()()()()2222123484334(1)k xmkx m k x x x x +++-=+--取 2x =, 得 ()()()()()2221243416433422k mk m k x x +++-=+--,所以 ()()22122161642234k mk m x x k++--=+ (2). 取 m x k =-, 并两边同时乘以 2k , 可得 2221212231234m m m k y y k x x k k k -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭ (3). 将（2和(3)整体代入 (*), 得2222221616431203434k mk m m k k k ++-+=++, 即 2241670k mk m ++=, 即 (72)(2)0,2m k m k m k ++=∴=- 或 27m k =-, 当 2m k =- 时, 直线 :(2),l y kx m k x l =+=- 过点 (2,0)C , 不合题意; 当 27m k =- 时, 直线 2:7l y kx m k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭, 显然 l 恒过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭.2. 已知椭圆 2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的右焦点为 (1,0)F , 过 F 且与 x 轴垂直的弦长为 3 .(1) 求椭圆标准方程;(2) 直线 l 过点 F 与满圆交于 ,A B 两点, 问 x 轴上是否存在点 P , 使 PA PB ⋅ 为定值?若存在, 求出 P 的坐标; 若不存在, 说明理由.【答案】 (1) 22143x y +=; (2) 见解析 【解析】 (1)易得椭圆标准方程为 22143x y +=; (2) 当直线 l 的斜率存在时, 设为 k , 则直线 l 的方程为 (1)y k x =-, 设 ()()1122(,0),,,,P m A x y B x y , 则 ()()()22221234(1)1234x k x k x x x x +--=+-- (1).()()1122,,,PA x m y PB x m y =-=-()()()()()()21212121211(2)PA PB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--在(1)中令 x m =, 得 ()()22212234(1)1234m k m x m x m k+----=+, (3) 在(1)中令 1x =, 得 ()()12291134x x k---=+, (4) 把(3)4代入(2)并整理得()()22224(1)931243m k m PA PB k --+-⋅=+所以()224(1)931243m m---=, 得 118m =, 此时 13564PA PB ⋅=-.当直线 l 的斜率不存在时, 33111,,1,,,0228A B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 仍有 13564PA PB ⋅=-. 综上所述, P 的坐标为 11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭. 3. 已知椭圆 2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点, 直线 :3l y x =-+ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T . (1) 求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标;(2) 设 O 是坐标原点, 直线 l 平行于 OT , 与椭圆 E 交于不同的两点 ,A B , 且与直线 l 交于点P . 证明: 存在常数 λ, 使得 2||||||PT PA PB λ=⋅, 并求 λ 的值.【答案】 (1) (2,1); (2) 45λ=, 【解析】 (1) 22163x y +=, 点 T 坐标为 (2,1), 过程路.(2) 由已知可设直线 l 的方程为 1(0)2y x m m =+≠, 由方程组 1,23y x my x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 可得 223213m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以 P 点坐标为 222282,1,||339m m PT m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, 设点 ,A B 的坐标分别为, ()()1122,,,A x y B x y , 由方程组 2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 可得 ()22344120x mx m ++-= (1) 而 12,x x 是 ()22344120x mx m ++-= 的两根, 所以()()()2212344123x mx m x x x x ++-=-- (2)方程(2)的判别式为 ()21692m ∆=-, 由 0∆>, 解得22m -<<. 由(2)得 212124412,33m m x x x x -+=-= 所以1122|||2323m m PA x x ==--=-同理22||3m PB x =--, 所以 1252222433m m PA PB x x ⎛⎫⎛⎫=----⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ②中令223mx =-，得()2212222232424123223333m m m m m m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 得21222822339m m x x m ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2109PA PB m =，故存在54λ=，使得2||||||. {PT PA PB λ=⋅。
【经典高考】高考数学 圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。
二次根式的乘除法-知识讲解(提高)
二次根式的乘除法—知识讲解（提高）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1。
乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除1. 计算：（1）（2014秋•闵行区校级期中）×（﹣2）÷．（2）221282aa a a a a ÷⨯【答案与解析】解：（1）×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．(2)原式=221282aa a a a a ÷⨯222222222222224 2.a aa a a aa a a a a =÷⨯=⨯⨯=【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三：【变式】b ba b a x x b a -÷+⋅-5433622222【答案】原式=22225214633a b x a b x a b b --⨯⨯⋅÷+=225()()552 263()21812a b a b x b bb x a b a b-+⋅⋅==+-2.计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()× (a＞0).【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、最简二次根式3.已知0<a<b,化简2232232a b b ab aa b a b a b+-+-+.【答案与解析】原式=222()()a b b aa b a b a b+--+=1()()()a b b a a ba b ab a b a b+-⨯+⨯-++=1a b ab-+【总结升华】2a a=成立的条件是a>0;若a<0,则2a a=-.4. 观察下列等式：第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣， 第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：a n = ；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n = ．【思路点拨】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a 2==﹣，a 3==2﹣，a 4==﹣2，…由此得出第n 个等式：a n ==﹣； （2）将每一个等式化简即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣， 第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2， ∴第n 个等式：a n ==﹣； （2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣） =﹣1． 故答案为=﹣；﹣1．【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．举一反三： 【变式】若2323+-的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值. 【答案】2(23)(23)==2+3=7+43(23)(23)++-+原式（） 又因为整数部分是a ，小数部分是b-则a=13，b=4362222∴-+=-⨯-+-=33110031313(436)(436)a ab b-。
第11讲 点乘双根法(解析几何)(解析版)
第11讲 点乘双根法知识与方法在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)的结构, 常规 方法是将它展开, 再结合韦达定理化简整理,也可以利用“点乘双根法”进行整体处理, 达到简化运算, 快速解题的目的.1.方法介绍所谓的“点乘双根法”, 是指构建双根式，整体处理含 或 (x 1−x 0)(x 2−x 0)(y 1−y 0) 等类似结构的计算问题.(y 2−y 0)2.理论基础二次函数 的双根式. 若一元二次方程 f (x )=ax 2+bx +c ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两根 , 则, 取 , 可得 x 1,x 2f (x )=a (x−x 1)(x−x 2)x =x 0f (x 0)=a (x 1−x 0)(x 2−x 0).3.适用类型, 或 等形式.x 1x 2, y 1y 2,(x 1−m )(x 2−m ),(y 1−m )(y 2−m )PA ⋅PB 4.解题步骤化双根式 赋值 整体代入.→→典型例题下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤.【例1】 已知点 是拋物线 上一定点, 以M (x 0,y 0)y 2=2px (p >0)M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 , 则动直线 过定点 △MAB AB .(x 0+2p,−y 0)【证明】设 , 由 , 得 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)MA ⋅MB =0(x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=0（∗)显然直线 不与 轴平行，设其方程为 .AB x x =my +t 步骤 1: 化双根式联立 , 得 , 方程两根为 , 则 {y 2=2px x =my +ty 2−2pmy−2pt =0y 1,y 2(y 1−y )(y 2−y )=y 2−2pmy (1)−2pt 联立 , 得, 则 {y 2=2px x =my +t x 2−(2t +2m 2p )x +t 2=0(x 1−x )(x 2−x )=x 2−(2t +2m 2p )x +t 2(2)步骤 2: 赋值在(1)中, 令 , 则 (4)y =y 0(y 1−y 0)(y 2−y 0)=y 20−2pmy 0−2pt 在(2)中, 令 , 则 (5)x =x 0(x 1−x 0)(x 2−x 0)=x 20−(2t +2m 2p )x 0+t 2步骤 3: 整体代入即 ,t 2−(2p +2x 0)t +x 20−m 2y 20+y 20−2pmy 0=0即 ,[t−(x 0−my 0)]⋅[t−(x 0+my 0+2p )]=0所以 或 ,t =x 0−my 0t =x 0+my 0+2p 情形一：当 , 即 时, 说明点 在直线 上, 不合题意;t =x 0−my 0x 0=my 0+t M AB 情形二：当 , 即 时, 直线 过定点 t =2p +x 0+my 0x 0+2p =m (−y 0)+t x =my +t .(x 0+2p,−y 0)综上所述：直线 恒过定点 .AB (x 0+2p,−y 0)通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少, 实际上运算量已经減少了很多.【例2】 设椭圆中心在原点 , 长轴在 轴上，上顶点为 , 左右顶点分别为 O x A F 1,F 2,线段 中点分别为 , 且 是面积为 4 的直角三角形.OF 1,OF 2B 1,B 2△AB 1B 2(1) 求椭圆的方程;(2) 过 作直线 交椭圆于 两点, 使 , 求直线 的方程.B 1l P ,Q PB 2⊥QB 2l【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为 , 右焦点为 .x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)F 2(c ,0)因为 是直角三角形, 又 , 故 为直角, 因此 ,△AB 1B 2|AB 1|=|AB 2|∠B 1AB 2|OA |=|OB 2|得 .b =c2 结合 c2=a 2−b 2 得 4b 2=a 2−b 2, 故 a 2=5b 2,c 2=4b 2 , 所以离心率 e =在 中, , 故 2Rt ABB ∆12OA B B ⊥22,1221||||22MBB B cS B B OA OB OA b b =⋅=⋅=⋅=由题设条件 , 得 , 从而 .2,4AB B S ∆=24b =22520a b ==因比, 所求椭圆的标准方程为 ;221204x y +=(2) 显然直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ,l x l ()()1122(2),,,,y k x P x y Q x y =+因为 , 则 ,22PB QB ⊥220PB QB ⋅=所以 ()()()()()()2112212122,2,022220(*)x y x y x x k x x -⋅-=⇒--+++=联立 22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩因为 是方程的两根, 所以 ,12,x x ()()()2222125(2)2015x k x k x x xx ++-=+--令 , 得 ,2x =()()()()()2221212280164802015222215k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令 , 得 ,2x =-()()()()()21212216402015222215k x xx x k -+-=+++⇒++=+代入 (*), 得,22280161601515k k k --+=++化简可得: , 所以 ,22221801616064164k k k k --=⇒=⇒=12k =±故直线 方程为: .l 1(2)2y x =±+【例3】 设 分别为椭圆 的左、右顶点, 过左焦点 且斜率为 ,A B 22132x y +=F 的直线与椭圆交于 两点. 若 , 求 的值.k ,C D 8AC DB AD CB ⋅+⋅=k 【答案】 k =【解析】设点 , 由 得直线 的方程为 ()()1122,,,C x y D x y (1,0)F -CD (1)y k x =+,由方程组 , 消去 , 整理得 .22(1)12y k x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2222236360k x k x k +++-=由韦达定理可得 .22121222636,2323k k x x x x k k -+=-=++因为,(A B 所以AC DB AD CB⋅+⋅()()11222211,,x y x y xy x y =+⋅-+⋅--1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++8=由 , 得 .8AC DB AD CB ⋅+⋅=()()21212111x x k x x +++=-因为 是方程 的两根, 所以12,x x ()2222236360k x k x k +++-=()()()()()()()2222221212236362323k xk x k k x x x x k x x xx +++-=+--=+--令 , 则 , 所以 0x =()22123623k kx x -=+21223623k x x k -=+令 , 则 1x =-()()()()222212236362311k k k k x x+-+-=+++所以 ()()12241123x x k ++=-+因为 ,()()21212111x x k x x +++=-所以 , 解得222223641,22323k k k k k--=-=++k =【例4】设 为曲线 上两点, 与 的横坐标之和为 4 .,A B 2:4x C y =A B (1) 求直线 的斜率;AB(2) 设 为曲线 上一点, 在 处的切线与直线 平行, 且 , M C C M AB AM BM ⊥求直线 的方程.AB 【答案】 (1) 1； (2) 7y x =+【解析】(1) 设 , 则 ()()1122,,,A x y B x y 2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=于是直线 的斜率 .AB 12121214y y x x k x x -+===-(2) 由 , 得 .24x y =2x y '=设 , 由題设知, 解得 , 于是 ()33,M x y 312x =32x =(2,1)M 因为 , 所以 , 即 .AM BM ⊥0MA MB ⋅=()()()()121222110x x y y --+--=设直线 的方程为 , 因为点 在直线 上,AB y x m =+,A B AB 所以 ,1122,y x m y x m =+=+所以 .()()()()121222110x x x m x m --++-+-=由 得 . 由 , 得 .24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩2440x x m --=16(1)0m ∆=+>1m >-()()21244x x m x x x x --=--在 式中, 令 , 得 (1)2x =()()212242422m x x -⨯-=--在(1)式中, 令 , 得 1x m =-()()212(1)4(1)411m m m x m x m --⨯--=+-+-∴()()()()12122211x x x m x m --++-+-,222424(1)4(1)40m m m m =-⨯-+--⨯--=解得 , 或 (舍）, 所以直线 的方程为 .7m =1m =-AB 7y x =+强化训练1. 椭圆 , 若直线 与椭圆 交于 两点 22:143x x C +=:l y kx m =+C ,A B (,A B 不是左右顶点）, 且以直线 为直径的圆恒过椭圆 的右顶点. 求证：直线AB C 恒过定点, 并求出该点的坐标.l【答案】 2,07⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设椭圆的右顶点为 ,()()1122(2,0),,,,C A x y B x y 则 ()()1212220,(*)CA CB x x y y ⋅=--+=联立 , 整理得: ,22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()222348430k x mkx m +++-=因为 是方程 的两个根, 所以12,x x ()()222348430k x mkx m +++-=()()()()()2222123484334(1)k xmkx m k x x x x +++-=+--取 , 得 ,2x =()()()()()2221243416433422k mk m k x x +++-=+--所以 (2).()()22122161642234k mk m x x k++--=+取 , 并两边同时乘以 , 可得 m x k =-2k 2221212231234m m m k y y k x x k k k -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭(3).将（2和(3)整体代入 (*), 得,2222221616431203434k mk m m k k k ++-+=++即 , 即 或 ,2241670k mk m ++=(72)(2)0,2m k m k m k ++=∴=-27m k =-当 时, 直线 过点 , 不合题意;2m k =-:(2),l y kx m k x l =+=-(2,0)C 当 时, 直线 , 显然 恒过定点 .27m k =-2:7l y kx m k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭l 2,07⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知椭圆 的右焦点为 , 过 且与2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F F x 轴垂直的弦长为 3 .(1) 求椭圆标准方程;(2) 直线 过点 与满圆交于 两点, 问 轴上是否存在点 , 使 l F ,A B x P PA PB ⋅为定值?若存在, 求出 的坐标; 若不存在, 说明理由.P【答案】 (1) ; (2) 见解析22143x y +=【解析】 (1)易得椭圆标准方程为 ;22143x y +=(2) 当直线 的斜率存在时, 设为 , 则直线 的方程为 ,l k l (1)y k x =-设 , 则()()1122(,0),,,,P m A x y B x y ()()()22221234(1)1234x k x k x x x x +--=+--(1).()()1122,,,PA x m y PB x m y =-=-()()()()()()21212121211(2)PA PB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--在(1)中令 , 得 , (3)x m =()()22212234(1)1234m k m x m x m k+----=+在(1)中令 , 得 , (4)1x =()()12291134x x k ---=+把(3)4代入(2)并整理得()()22224(1)931243m k m PA PB k --+-⋅=+ 所以, 得 , 此时 .()224(1)931243m m---=118m =13564PA PB ⋅=- 当直线 的斜率不存在时, , 仍有 .l 33111,,1,,,0228A B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13564PA PB ⋅=- 综上所述, 的坐标为 .P 11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭3. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点, 直线 与椭圆 有且只有一个公共点 .:3l y x =-+E T (1) 求椭圆 的方程及点 的坐标;E T (2) 设 是坐标原点, 直线 平行于 , 与椭圆 交于不同的两点 , O l OT E ,A B 且与直线 交于点 . 证明: 存在常数 , 使得 , 并求 l P λ2||||||PT PA PB λ=⋅λ的值.【答案】 (1) (2) ,(2,1);45λ=【解析】 (1) , 点 坐标为 , 过程路.22163x y +=T (2,1)(2) 由已知可设直线 的方程为 ,l 1(0)2y x m m =+≠由方程组 可得 1,23y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩223213m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以 点坐标为 , 设点 的坐标分别为, P 222282,1,||339m m PT m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,A B ,()()1122,,,A x y B x y 由方程组 , 可得 (1)2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()22344120x mx m ++-=而 是 的两根, 所以12,x x ()22344120x mx m ++-= (2)()()()2212344123x mx m x x x x ++-=--方程(2)的判别式为 , 由 , 解得 .()21692m ∆=-0∆>m <<由(2)得 212124412,33m m x x x x -+=-=所以1122||233m m PA x x ==-=-同理, 所以22||3m PB x =-1252222433m m PA PB x x ⎛⎫⎛⎫=----⎪⎪⎝⎭⎝⎭②中令，得223mx =-得()2212222232424123223333m m m m m m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 21222822339m m x x m ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故存在，使得2109PA PB m =54λ=2||||||.{PT PA PB λ=⋅。
向量的点乘和叉乘以及几何意义
向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。
2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。
（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。
3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。
（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。
（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。
二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。
2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。
高考数学90个考点90个专题专题《以斜率和为约束或目标的几种必会套路》解析版
高考数学90个考点90个微专题《斜率和为约束或目标的几种必会套路》【考点辨析】直线与圆锥曲线相交的综合问题是每年高考的必考点，而以斜率积为背景更是重点考查。
其通常采取设而不求法来处理，设而不求法又分为逐个消元法、齐次化法、点乘双根法，定比分点点差法，而其中逐个消元法是最常用的方法，其步骤为设直线、联立、化简约束条件、化简目标式子，求解的过程就是逐个消元的过程。
此问题的难点是变量多，步骤长，只要按特定的顺序逐个消元即可化解。
【知识储备】（1）一动点两定点背景下①代数的斜率和与几何的互相转化，②代数的斜率差与几何的互相转化③代数的斜率积与几何的互相转化，④代数的斜率商与几何的互相转化(2)两动点一定点背景下①代数的斜率和与几何的互相转化，②代数的斜率差与几何的互相转化③代数的斜率积与几何的互相转化，④代数的斜率商与几何的互相转化【典例剖析】类型一：以斜率和为目标式子例1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，以M(1,0)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2-1=0相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点N(3,2)，过点M任作直线l与椭圆C相交于A,B两点，设直线AN,BN的斜率分别为k1,k2，求证：k1+k2为定值．【解析】【答案】解：(Ⅰ)椭圆离心率e=ca=63，则a2=32c2，圆(x-1)2+y2=b2与直线x-y+2-1=0相切，则圆心(1,0)到直线x-y+2-1=0的距离b=d=|1-0+2-1|1+(-1)2=1，即b=1，a2=3，∴椭圆C的标准方程x23+y2=1；(Ⅱ)①当直线斜率不存在时，由x=1x23+y2=1，解得x=1，y=±63，不妨设A1,6 3，B1,-63，由k1+k2=63-21-3+-63-21-3=2，②当直线的斜率存在时，设点A(x1,y1).B(x2,y2)，设直线l：y=k(x-1)，联立椭圆整理得：(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0，由韦达定理可知：x1+x2=6k23k2+1，x1⋅x2=3k2-33k2+1，k1+k2=2-y13-x1+2-y23-x2=[2-k (x 1-1)](3-x 2)+[2-k (x 2-1)](3-x 1)x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=2kx 1x 2-(4k +2)(x 1+x 2)+6k +12x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=2(12k 2+6)12k 2+6=2，∴k 1+k 2是否为定值2．例2.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且过点A (0,1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l 经过点P (2,-1)且与椭圆C 交于不同的两点M ，N 试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．【解析】【答案】解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且过点A (0,1)．∴c a =32b =1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)假设存在满足条件的点Q (t ,0)，当直线l 与x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，∴直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为y +1=k (x -2)，由y +1=k (x -2)x 24+y 2=1,可得(1+4k 2)x 2-(16k 2+8k )x +16k 2+16k =0，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则x 1+x 2=16k 2+8k 1+4k 2，x 1x 2=16k 2+16k 1+4k 2，且Δ>0，解得：k <0，∵k QM +k QN =y 1x 1-t +y 2x 2-t=(kx 1-2k -1)(x 2-t )+(kx 2-2k -1)(x 1-t )(x 1-t )(x 2-t )=2kx 1x 2-(2k +1+kt )(x 1+x 2)+2(2k +1)t x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2=(4t -8)k +2t4(t -2)2k 2+8(2-t )k +t 2，要使对任意实数k ∈(-∞,0)，k QM +k QN 为定值，则只有t =2，此时，k QM +k QN =1，∴在x 轴上存在点Q (2,0)，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1．类型二：以斜率和为限制条件例3.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点B (0,1)，A 为其左顶点，且直线AB 的斜率为12．(1)求E 的方程;(2)不经过B 点的直线l 与E 相交于C ，D 两点，若两直线BC ，BD 的斜率之和为-1，求直线l 所过的定点．【解析】【答案】解：(1)由题意可知直线AB 的方程为y -1=12x ，即x -2y =-2．当y =0时，得x =-2，所以a =2，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点B (0,1)，则b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)设直线BC 与直线BD 的斜率分别为k 1，k 2．若直线l 与x 轴垂直，设直线l :x =t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得C ，D 的坐标分别为t ,4-t 22 ，t ,-4-t 22，则k 1+k 2=4-t 2-22t -4-t 2+22t=-1，得t =2，不符合题设．从而可设直线l :y =kx +m (m ≠1)．将y =kx +m 代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0．由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0．设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1．而k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2．由题设k 1+k 2=-1，则(2k +1)x 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=0，即(2k +1)⋅4m 2-44k 2+1+(m -1)⋅-8km4k 2+1=0，解得k =-m +12或m =1(舍去).当且仅当m >-1时，△>0，于是直线l :y =-m +12x +m ，即y +1=-m +12(x -2)，所以直线l 过定点(2,-1)． 例4.已知抛物线C ：y 2=4x ，过点P (1,2)作直线PM ，PN 分别交C 于M ，N 两点，且使∠MPN 的角平分线与y 轴垂直，问：直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【解析】【答案】解：(1)将点P 的纵坐标y P =2代入y 2=2px 中，解得x P =2p，所以P 2p ,2 .则点P 到准线l 的距离为d =2p +p 2，所以|OP |2=|AB |22+d 2，所以22+2p 2=1+p 2+2p2，解得p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知直线PM ，PN 的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数，易知P (1,2).设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，直线PM ：y =k (x -1)+2，k ≠0．由y =k (x -1)+2,y 2=4x ,整理得k 2x 2-(2k 2-4k +4)x +(k -2)2=0，其中Δ>0，则k ≠1．已知此方程一个根为1，所以x 1×1=(k -2)2k 2=k 2-4k +4k 2，即x 1=k 2-4k +4k 2，同理x2=k2+4k+4k2，所以x1+x2=2k2+8k2，x1-x2=-8kk2=-8k，所以y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2] =k(x1+x2)-2k=k⋅2k2+8k2-2k=8k，所以k MN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1，所以直线MN的斜率为定值-1．【教考衔接】练1.椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 长轴长为22，左右焦点分别为F 1和F 2，A 为椭圆C 上一点，且AF 1 ⋅F 1F 2 =0，AF 1 =22．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 2,-2 作直线交椭圆C 于E ，F 两点，若点N 2,0 ，求证：直线NE ，NF 的斜率之和为定值．【详解】(1)椭圆C 长轴长为22，所以2a =22，a =2，因为A 为椭圆C 上一点，所以AF 1 +AF 2 =22，又AF 1 =22，所以AF 2 =322，因为AF 1 ⋅F 1F 2 =0，所以AF 1 2+F 1F 2 2=AF 2 2，即222+2c 2=322 2，解得c 2=1，由a 2=b 2+c 2，知b 2=1，所以椭圆C 的方程x 22+y 2=1.(2)设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，N 2,0 ，当直线的斜率不存在时，x =2与椭圆C 有且只有一个交点，不合题意C ，当直线的斜率存在时，设EF 的方程为y =k x -2 -2，所以联立方程y =k x -2 -2x 22+y 2=1，整理得2k 2+1 2-42k k +1 x +4k 2+8k +2=0，所以Δ=32k 2k +1 2-42k 2+1 4k 2+8k +2 =-32k -8>0，k <-14，由韦达定理得x 1+x 2=42k k +1 2k 2+1，x 1x 2=4k 2+8k +22k 2+1，y 1+y 2=k x 1+x 2 -22k -22=-22k +12k 2+1，k NE +k NF =y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1x 2+y 2x 1-2y 1+y 2 x 1x 2-2x 1+x 2 +2y 1x 2+y 2x 1=k x 1-2 -2 x 2+k x 2-2 -2 x 1=2kx 1x 2-2k +1 x 1+x 2 =-4k2k 2+1k NE +k NF =y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1x 2+y 2x 1-2y 1+y 2 x 1x 2-2x 1+x 2 +2=-4k 2k 2+1-2×-22k +12k 2+14k 2+8k +22k 2+1-2×42k k +1 2k 2+1+2=1直线NE ，NF 的斜率之和为定值1.练2.已知双曲线C :x 22-y 2=1,过点P (2,1)的两条直线l 1,l 2与双曲线C 分别交于A ,B 两点(A ,B 两点不与点P 重合),设直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,若k 1+k 2=1,证明:直线AB 过定点.证明:当直线AB 的斜率不存在时,点A ,B 关于x 轴对称.设A (x 0,y 0),B (x 0,-y 0),则由k 1+k 2=1,解得y 0-1x 0-2+-y 0-1x 0-2=1,即-2x 0-2=1,解得x 0=0,不符合题意,所以直线AB 的斜率存在.不妨设直线AB 的方程为y =kx +t ,代入x 22-y 2=1,整理得(2k 2-1)x 2+4ktx +2t 2+2=0(2k 2-1≠0),依题意Δ>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4kt 2k 2-1,x 1x 2=2t 2+22k 2-1,由k 1+k 2=1,得y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=1,即kx 1+t -1x 1-2+kx 2+t -1x 2-2=1,整理得(2k -1)x 1x 2+(t -2k +1)(x 1+x 2)-4t =0,所以(2k -1)·2t 2+22k 2-1+(t -2k +1)·-4kt2k 2-1 -4t =0,整理得t 2+(2k -2)t +1-2k =0,即(t -1)(t +2k -1)=0,所以t =1或t =1-2k .当t =1时,直线AB 的方程为y =kx +1,经过定点(0,1);当t =1-2k 时,直线AB 的方程为y =k (x -2)+1,经过定点P (2,1),不符合题意.综上,直线AB 过定点(0,1).练3.已知斜率为2的直线交抛物线y 2=x 于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，求证：(1)线段AB 的中点在一条定直线上(2)1k OA +1k OB为定值(O 为坐标原点，k OA 、k OB 分别为直线OA 、OB 的斜率)【详解】(1)设直线方程为y =2x +b ，联立y 2=x ，得4x 2+4b -1 x +b 2=0，故x 1x 2=b 24,x 1+x 2=1-4b 4且Δ=1-8b >0即b <18，故y 1+y 2=2x 1+x 2 +2b =1-4b 2+2b =12，则y 1+y 22=14，故线段AB 的中点坐标为1-4b 8,14 ，一定在直线y =14上.(2)y 1y 2=2x 1+b 2x 2+b =4x 1x 2+2b x 1+x 2 +b 2=4×b 24+2b ⋅1-4b 4+b 2=b 2，1k OA +1k OB =x 1y 1+x 2y 2=x 1y 2+x 2y 1y 1y 2=x 12x 2+b +x 22x 1+b y 1y 2=4x 1x 2+b x 1+x 2 y 1y 2=b 2+b -4b 24b2=12，故1k OA +1k OB为定值.练4.已知平面直角坐标系中，动点M 到F 1,0 的距离比M 到y 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过R 2,0 且斜率为k 的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，k ≠0，O 0,0 .①求OA ⋅OB的值；②若D m ,0 ，m <0，且满足直线DA 和直线DB 的斜率之和恒为0，求m 的值.【详解】(1)设M x ,y ，则x -12+y 2=x +1，当x ≥0时，x -1 2+y 2=x +1，∴y 2=x +1 2-x -1 2=4x ；当x <0时，x -1 2+y 2=-x +1，∴y 2=0，∴y =0；可以检验，上述方程就是点M 的轨迹方程.∴E 的方程为y 2=4x x ≥0 和y =0x <0 .(2)①直线AB 的方程为：y =k x -2 k ≠0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，易知直线AB 与y =0x <0 无交点，联立y =k x -2 y 2=4x得，y 2-4k y -8=0，Δ=16k2+32>0恒成立，∴y 1+y 2=4k，y 1y 2=-8，∴x 1x 2=y 1y 2 216=4，∴OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=4+-8 =-4，②k AD +k BD =y 1x 1-m +y 2x 2-m=0，即y 1x 2-m +y 2x 1-m =0，∴y 1y 2k +2-m +y 2y 1k +2-m =0∴2k y 1y 2+2-m y 1+y 2 =0，∴-16k +2-m 4k =0，∴m =-2.练5.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点N 3,12 ，左焦点F 1-3,0 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D 4,0 作任意直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，x 轴上是否存在定点M 使得直线MA ，MB 的斜率之和为0？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由.【详解】(1)设椭圆的焦距为2c ，则c =3，又因为椭圆经过点N 3,12 ，所以3a 2+14b2=1，又a 2-b 2=(3)2，所以a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)假设在x 轴上存在定点M m ,0 使得直线MA ，MB 的斜率之和为0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 m ≠x 1,m ≠x 2 ，①当直线l 不是x 轴时，可设l :x =ty +4，与x 24+y 2=1联立，并整理得t 2+4 y 2+8ty +12=0，Δ=64t 2-48t 2+4 >0，即t 2>12，y 1+y 2=-8t t 2+4，y 1⋅y 2=12t 2+4，依题意有k MA +k MB =y 1x 1-m +y 2x 2-m =0，即y 1⋅x 2-m +y 2x 1-m =0，∵x 1=ty 1+4，x 2=ty 2+4，代入上式得2t ⋅y 1y 2+4-m y 1+y 2 =0，∴2t ⋅12t 2+4+4-m ⋅-8tt 2+4=0，解得m =1，即在x 轴上存在定点M 1,0 使得直线MA ，MB 的斜率之和为0；②当直线l 为x 轴时，M 1,0 也符合直线MA ，MB 的斜率之和为0.综上所述，存在点M 1,0 使得直线MA ，MB 的斜率之和为0.练6.已知动点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和M 到定直线l :x =4的距离的比是常数12．(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹即曲线C 的形状．(2)过A 1,-32作两直线与抛物线y =mx 2(m >0)相切，且分别与曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ的斜率分别为k 1，k 2．①求证：1k 1+1k 2为定值；②试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【详解】(1)解：由动点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和M 到定直线l :x =4的距离的比是常数12，因为MF =(x -1)2+y 2，点M (x ,y )到定直线l :x =4的距离为x -4 ，根据题意，可得(x -1)2+y 2x -4=12，整理得x 24+y 23=1，所以点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1.(2)解：①证明：设过点A 1,-32 与抛物线y =mx 2相切的直线方程为y =k (x -1)+32，其中k ≠0，联立方程组y =k x -1 +32y =mx 2，整理得mx 2-kx +k +32=0，则Δ=(-k )2-4m k +32=0，整理得k 2-4mk -6m =0，由直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1,k 2是方程k 2-4mk -6m =0的两个实数根，可得k 1+k 2=4m ,k 1k 2=-6m ，则1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1k 2=-23，所以1k 1+1k 2为定值-23.②设直线PQ 的方程为x =ty +n ，且P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，联立方程组x =ty +nx 24+y 23=1，整理得(3t 2+4)y 2+6tny +3n 2-12=0，可得y 1+y 2=-6tn 3t 2+4,y 1y 2=3n 2-123t 2+4，因为1k 1+1k 2=-23，可得x 1-1y 1+32+x 2-1y 2+32=-23，即ty 1+n -1y 1+32+ty 2+n -1y 2+32=-23，化简可得2t +23 ⋅3n 2-123t 2+4+n +32t ⋅-6tn 3t 2+4+3n -12 =0，即4n 2+24n =9t 2+48t +28，所以4(n +3)2=(3t +8)2，所以n =32t +1或n =-32t -7，当n =32t +1时，可得x =ty +32t +1=t y +32 +1，此时PQ 恒过定点1,-32 与点A 重合，舍去；当n =-32t -7时，可得x =ty -32t -7=t y -32 -7，此时PQ 恒过定点-7,32，综上所述，直线PQ 恒过定点-7,32.。
赋值法（点乘双根法）解决圆锥曲线大题
赋值法（点乘双根法）解决圆锥曲线大题这个方法的核心就是二次方程有然后我们就可以对赋值然后得出有关的式子，具体说是这一类式子例如令，可以得到即令得同乘移项化简得到的值那么为什么令？(赋值的方法)首先对比与的关系，调整系数乘得，与对比，得出则可得这与把和打开再带入联立得出的，相比是不是运算量小了很多运用前提:目标式子是对称结构，即全部可以用，表示的式子，而且是相乘的式子即的形式对于非对称结构我在上一篇文章有讲看看这个方法在有关考题的运用题1：(吉林一中等五校2018联考)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为 (1)求椭圆标准方程(2)是否存在过点的直线与椭圆交于不同两点，且满足，若存在,求出直线的方程；若不存在，请说明理由.(1)(2)考试参考答案：当直线斜率不存在时，，不符合题意当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立与得解得或，因为所以解得满足故存在符合题意的直线，其方程为用赋值法做：当直线斜率不存在时，，不符合题意当直线斜率存在时，设直线的方程为，则联立与得令得即令得化简得则故解得带入满足故存在符合题意的直线，其方程为对比两种方法，明显第二种的运算量要小微信圈子，交易担保，放心买，投稿交流小程序题2：已知是坐标原点，若椭圆的离心率为，右顶点为上顶点为，的面积为 (1)求椭圆方的标准方程(2)已知点，为椭圆上两动点，若，证明：直线恒过定点.解:(1)(2)设 ,则又即整理得联立直线与得令得即令化简得则化简得解得故直线恒过定点看这比用韦达定理的代出来是不是要快题3(2013天津)：设椭圆的左焦点为，离心率为，过点 ,且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 (1)设分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若 ,求直线的斜率的值.解:(1)(2)由(1)得当斜率不存在时,设 ,则此时，故斜率必存在设则又则化简得联立与得令整理得令整理得故化简得得总结：通过赋值可快速得出这类式子的值可以很好地简化大题的运算，但是赋值不能得出单独的，所以遇到单独的是无法赋值得出的，还是老老实实联立韦达吧，或者因式分解成的形式，这也是这个方法的局限赋值法(点乘双根法)解决圆锥曲线大题。
向量点乘和叉乘运算法则
向量点乘和叉乘是向量运算中常见的两种运算法则。
它们在物理学、工程学和计算机图形学中得到广泛应用，用于描述向量之间的关系和进行向量运算。
向量点乘运算法则，也被称为内积或数量积，是指两个向量之间的乘积。
设有两个三维向量A和B，它们分别表示为：A = (A₁, A₂, A₃)B = (B₁, B₂, B₃)两个向量的点乘运算可以记作A·B，计算公式为：A·B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃点乘运算的结果为一个标量，表示两个向量之间的相似度。
点乘运算有以下几个性质：1.交换律：A·B = B·A。
即两个向量的点乘运算结果与向量的顺序无关。
2.结合律：(A·B)·C = A·(B·C)。
即点乘运算满足结合律。
3.分配律：A·(B+C) = A·B + A·C。
即点乘运算与向量的加法满足分配律。
点乘运算可以判断两个向量之间的夹角关系。
设夹角为θ，则点乘运算可以表示为：A·B = |A||B|cosθ其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示向量A和B之间的夹角。
根据点乘运算的结果，可以判断夹角的大小、方向和两向量之间的正交性。
向量叉乘运算法则，也称为外积或向量积，是指两个向量之间的乘积。
设有两个三维向量A和B，它们分别表示为：A = (A₁, A₂, A₃)B = (B₁, B₂, B₃)两个向量的叉乘运算可以记作A×B，计算公式为：A×B = (A₂B₃ - A₃B₂, A₃B₁ - A₁B₃, A₁B₂ - A₂B₁)叉乘运算的结果为一个向量，其方向垂直于参与运算的两个向量，并遵循右手法则。
叉乘运算有以下几个性质：1.反交换律：A×B = -B×A。
即叉乘运算不满足交换律。
2.结合律：(A×B)×C = A×(B×C)。
齐次化妙解圆锥曲线(学生版)
齐次化妙解圆锥曲线题型1定点在原点的斜率问题题型2定点在原点转化成斜率问题题型3定点不在原点之齐次化基础运用题型4定点不在原点的斜率问题题型5定点不在原点转化为斜率问题题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用题型7齐次化妙解之等角问题题型8点乘双根法的基础运用题型9点乘双根法在解答题中的运用题型1定点在原点的斜率问题圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y=kx+b，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将x1+x2和x1⋅x2代入，得到关于k、b的式子．解法不难，计算量较为复杂．如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少．“齐次”即次数相等的意思，例如f x =ax2+bxy+cy2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x 中每一项都是关于x、y的二次项．如果公共点在原点，不需要平移．1直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于A x1 , y1，求k OA+k OB , k OA⋅k OB．(用m , n表 , B x2 , y2示)1直线mx+ny=1与椭圆x24+y23=1交于A x1 , y1 , B x2 , y2，求k OA⋅k OB(用m , n表示)．2抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．3不过原点的动直线交椭圆x24+y23=1于A、B两点，直线OA、AB、OB的斜率成等比数列，求证：直线l的斜率为定值．4已知直线y=kx+4交椭圆x24+y2=1于A，B两点，O为坐标原点，若k OA+k OB=2，求该直线方程．5设Q1，Q2为椭圆x22b2+y2b2=1上两个动点，且OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，求D的轨迹方程．题型2定点在原点转化成斜率问题圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。
双根法优化解析几何运算
双根法优化解析几何运算1.双根法使用类型：形如12121212,,()(),()()x x y y x t x t y t y t ++++或者,MA MB MA MB ⋅⋅（其中1212,,,x x y y 分别为直线与曲线交点,A B 的横纵坐标）2.双根法理论基础：设12,x x 为一元二次方程20ax bx c ++=的两根则212()()ax bx c a x x x x ++=--（其意义为将一个二次多项式进行因式分解）引例.设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：222280161601515k k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为2，直线20x y -+=与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆交于,A B 两点，若22OA OB OA OB +=-，求直线l 与y 轴交点的纵坐标的取值范围.2.已知椭圆22143x y +=，若直线l 与椭圆交于,A B 两点，（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.3. 设00(,)P x y 是抛物线22y px =上的一个定点，,A B 是抛物线上两点，且PA PB ⊥，证明：直线AB 恒过定点00(2,)p x y +-.4.已知椭圆E ：错误！未找到引用源。
双根点乘法
双根点乘法
双根点乘法（也称为点积或内积）是向量空间中的一个操作，它接受两个向量作为输入，并返回一个标量。
在二维空间中，双根点乘法的定义如下：
给定两个二维向量A = (a1, a2) 和B = (b1, b2)，它们的双根点乘法定义为：
A ·
B = a1 ×b1 + a2 ×b2
在三维空间中，给定两个三维向量A = (a1, a2, a3) 和 B = (b1, b2, b3)，它们的双根点乘法定义为：
A ·
B = a1 ×b1 + a2 ×b2 + a3 ×b3
双根点乘法具有以下性质：
交换律：A ·B = B ·A
分配律：(A + B) · C = A ·C + B ·C
与标量乘法兼容：(kA) ·B = k(A ·B) = A ·(kB)
结果是一个标量，而不是一个向量。
当且仅当两个向量垂直时，它们的双根点乘法为0。
双根点乘法在许多领域都有应用，包括计算几何、物理和机器学习等。
例如，在机器学习中，双根点乘法常用于计算两个向量之间的相似度或夹角。
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圆锥曲线——点乘双根法
适用类型：类似12x x ，12y y ，()()12x t x t ++，()()12y t y t ++或MA MB ⋅uuu r uuu r ,MA MB ⋅uuu r uuu r （其
中12x x ，12y y 是直线与曲线的两个交点的横纵坐标，,A B 是直线与曲线的两个交点）以及可转化为上述结构的问题
理论基础：二次曲线的双根式，若一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则()()2
12ax bx c a x x x x ++=--具体步骤：化双根式→赋值→变形代入
2.（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上,上顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ，且12AB B V 是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.
3.（2014辽宁）圆22
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三
角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P .（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于,A B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
.。