流体力学-第六章1-2

该封闭周线内所有涡束的涡通量之和。 w v v u u w udx vdy wdz dydz dzdx dxdy y z z x x y C A
汤姆逊定理： 在理想流体运动中，若质量力有势，流体满足正压条件，对某一封闭的流体 线的速度环量值不随时间而变化。即流体线上的环量等于常数（环量守恒定 理）
D 0 Dt
根据斯托克斯定理： 流体线内部区域的旋涡强度也不随时间变化，即原先是有旋的流体，则永远有旋，若 原先无旋则永远无旋。这说明，流场中的旋涡不可能凭空产生、也不可能凭空消失。 因为理想流体没有粘性，不存在切向应力，不能传递旋转运动，既不能让不旋转的 流体微团旋转起来，也不能使已经旋转的流体微团停止旋转。另外，正压性流体和 质量力有势的流场等压面与等密度面是平行的，不会产生对流。
zx
1 u w 2 z x
1 w v x 2 y z
y
.
1 u w 2 z x
z
1 v u 2 x y
由此可见，流体微团各速度分量的第一项是平移速度分量，第二是线变形 运动、第三项是角变形运动、第四项是旋转运动，流体运动的线速度就是 有以上各项分量所引起的。
§1 流体微团的运动分析
u1 u xx x1 xy y1 xz z1 y z1 z y1
1、平移项 2、线变形项 3、角变形项 4、旋转变形项
v1 v yy y1 yx y1 yz z1 z x1 x x1
w1 w zz z1 zx x1 xy y1 x y1 y x1
v u x y
必须指出，有旋流动和无旋流动仅有流体 微团本身是否发生旋转来决定，而与流体
微团本身的运动轨迹无关。
第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动
§1 流体微团运动分析
§2 流体旋涡运动的基本理论
§3 平面势流问题
§4 几种简单的不可压缩流体的平面流动
§5 平面无旋流动的叠加
§6 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件
关于速度间断面上的旋涡问题
abcda U 2l U1l l U 2 U1 0
z 0 2 x y
1 v u U1 U 2 U 2 U1 0
§2 流体漩涡运动的基本理论
四、汤姆逊定理——环量守恒定理
为移动、转动和发生变形运动三部分。
1、移动 2、线变形运动 3、角变形运动 4、旋转
§1 流体微团的运动分析
平移速度分量 线性变形率 角变形速度 旋转角速度
u
xx
u x
v
yy
w
v y
zz
w z
xy
.
1 w v 1 v u yz 2 y z 2 x y
曲线称为涡线。与流线一样，涡线也不能相交和折转，不定常时涡线形状 随时间而变。
dx
x

dy
y

dz
z
3、涡管 —— 过涡场中任意一封闭曲线上所有 点作涡线，形成一个管状柱面，称为涡管。
§2
流体旋涡运动的基本理论
4、涡束——过涡管截面上所有点之涡线总体，称为涡束。涡束内部的流体可以像刚 体旋转那样，流体各微团都以相同的角速度作圆周运动；也可以是宏观上并不作圆 周运动而流体微团绕自身轴线旋转的有旋流场。 5、旋涡强度（涡通量）——穿过任意面积上的法向涡量与面积 的乘积定义为旋涡强度，也称为涡通量
di 2i dAi di 2i dAi
任意曲线上的环量等于所围面积
A 中的旋涡强度
v u udx vdy x y dxdy 2 z dA C A A
以上斯托克斯定理只在单连通域的流场中成立
§2 流体漩涡运动的基本理论
处理
§3 平面势流问题
二、速度势函数
1、速度势函数

存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
速度的三个分量的关系为：
v u x y
w v y z
根据数学分析可知，满足以上条件的充分必要条件就是，存在某一函数
1、微元面积上的斯托克斯定理
d u AB dx vBC dy uCD dx vDA dy
v u d x y dxdy 2z dA
d 2z dA dI
§2 流体漩涡运动的基本理论
2、任意平面面积
A 上的斯托克斯定理
§2 流体旋涡运动的基本理论
一、流体旋涡运动的基本概念
由于流体在流动中存在粘性，所以自然界中的流体运动一般都是有旋的。
流体的旋涡运动分两种情况： 1、流体作圆周运动的旋涡运动 2、流体宏观流动并无明显旋转或 圆周运动，但流体微团的角速度不 为零。
§2
流体旋涡运动的基本理论
流体在整个流场中作旋涡运动，或者局部流场区域中存在绕自身轴线旋转的
§2 流体漩涡运动的基本理论
六、毕奥——沙伐尔定理
涡强为 的直线涡段 AB 对垂直距离为 h 的任意位置 P 点处之诱导速度为：
V 4
式中：
sin dl , r L r 2 dl
sin dl, r sin
h r sin
dl
rd sin d
V
4 4
sin rd L r 2 sin d 2 d 1 sin 1 r 4 1 h d
§2 流体漩涡运动的基本理论
sin rd V 2 L 4 r sin d 4 cos1 cos 2 4
§4 几种简单的不可压缩流体的平面流动
§5 平面无旋流动的叠加
§6 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件
§3 平面势流问题
一）平面流动
平面流动必须满足的条件： 1、平面上任何一点的速度、加速度都平行所在平面，无垂直该平面的分量 存在 2、相互平行的所有平面上的流动情况完全一样 3、实际情况不存在平行平面完全一样的流动，然 而这类问题完全可近似地作为二元流动问题来
§2 流体漩涡运动的基本理论
理想流体从静止开始运动前，由于静止
流场中每一条封闭周线的速度环量都等
于零，而且没有漩涡，所以在流动中环 量仍然等于零没有旋涡。 理想流体从静止开始流动后，由于某种 原因流场中产生了漩涡，有了速度环量， 则根据汤姆逊定理，在同一瞬间必然会 产生与此环量大小相等方向相反的旋涡，
.
v u z 2z x y
有涡量存在的流场称为涡量场。
2 rotV V
§2
流体旋涡运动的基本理论
P 可作一条曲线，使
2、涡线 —— 涡量场中，任一瞬时 t ，过任一点 曲线上每一点的切线与该点处的流体微团的涡量
之方向一致。这样的
第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动
§1 流体微团运动分析
§2 流体旋涡运动的基本理论
§3 平面势流问题
§4 几种简单的不可压缩流体的平面流动
§5 平面无旋流动的叠加
§6 叶栅的库塔-儒可夫斯基公式和库塔条件
§1 流体微团的运动分析
一、流体微团运动的分析
刚体运动一般可分解为移动和转动两部分，而流体微团的运动一般可以分解
流体力学
（第六章 流体的无旋流动和有旋流动）
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第六章，第七章
6-1，6-2，6-8 7-1，7-3，7-7
作业
7-11，7-18，7-22 第12周交
目
前言 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
绪论 流体的物理性质及作用力 流体静力学 流体运动学 流体动力学的基本原理 流体的有旋流动和无旋流动 相似原理和量纲分析 粘性流体力学 气体动力学
§1 流体微团的运动分析
二、流体的有旋流动和无旋流动
1、流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动。
2、流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动。
3、在无旋流动中角速度为零，即 x y z 0 所以每一流体微 团都满足下列条件：
w v y z
u w z x
dI 2n dA 2n dA
I 2n dA 2n dA
A A
§2
流体旋涡运动的基本理论
二、速度环量
速度环量的定义：速度环量 为速度 V 沿流场中任意封闭曲线 C 的线 积分
VS dS V cos dS V dS udx vdy wdz
C
V ds 2 dA
n A
§2 流体漩涡运动的基本理论
4、斯托克斯定理推得的结论
若区域内处处无旋，则区域周边的环量等于零； 若区域内处处有旋，则区域周边的环量一般不等于零； 若曲线上的环量不等于零，则所围区域内必定有旋；
若曲线上的环量等于零，则所围区域内不一定是无旋的。
§2 流体漩涡运动的基本理论
流体微团，于是便在该流场中形成一个用角速度表示的涡量场。在涡量场中引进 涡线、涡管、涡束和涡通量。 1、涡量、涡量场 涡量是流体微团的旋转角速度的两倍
w v x 2 x y z
.
u w y 2 y z x
3、空间任意曲面
A 上的斯托克斯定理
w v v u u w udx vdy wdz dydz dzdx dxdy y z z x x y C A
关于非单连通域问题
b'dbaea'b' 0
b'dbaea'b' b'db ba aea' a'b' 0
b'db C
ba a'b'
aea' C'
C Байду номын сангаасC '
包围机翼的任意封闭曲线上的环量等于机翼周线上 的环量值
§2 流体漩涡运动的基本理论
斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理：
1、它可以将对涡量的研究转化为对速度环量的研究，即将面积分转变为
线积分。
2、速度环量是否为零也可以决定流动是有旋还是无旋。
3、在用速度环量来判断流动是否有旋时必须注意：包围某区域的环量为 零，该区域内不一定是无旋流动，因为有可能有反向旋转的涡量存在。
§2 流体漩涡运动的基本理论
C C C C
速度环量是标量，它的正负号不仅与速度的 方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。 为统一起见， 特规定沿封闭周线绕行的正方 向为逆时针方向。被包围面积的法线的正方 向应与绕行的正方向成右手螺旋系统。
§2 流体漩涡运动的基本理论
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理为：当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于
以保持流场的总环量等于零。
§2 流体漩涡运动的基本理论
五、亥姆霍兹旋涡定理
亥姆霍兹第一定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永 远保持为有相同流体质点组成的涡管。 亥姆霍兹第二定理：在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。 亥姆霍兹第三定理：在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管 的旋涡强度不随时间而变化，永远保持定值。
对无限长直线涡

2
1
d r 4
sin 1 h d
1
1 0,2
V 2h 4h
对半限长直线涡
1 2 , 2
V 2R
V
对圆形涡环
第六章 流体的有旋流动和无旋涡运动
§1 流体微团运动分析
§2 流体旋涡运动的基本理论
§3 平面势流问题