晶体结构的周期性和点阵

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§1·2 空间点阵
平面点阵的单位：以平移向量为边画出的平行四边形。 素单位：只包括一个点阵点的单位 复单位：包括两个及以上点阵点的单位
平面点阵格子的取法
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§1·2 空间点阵
设构成素单位两边的向量为a, b, 平面点阵对应的 平移群为 Tmn=ma + nb (m,n=0,±1,±2,…)
非真子群——只含恒等元素的一阶群{E} 和该群本身
真子群——其它子群. 如C3v群中：
Eˆ,Cˆ3,Cˆ32
Eˆ ,
ˆ
' v
Eˆ ,
ˆ
" v
Eˆ ,ˆ
''' v
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§1·2 空间点阵
在对称操作下，子群具有群的特征，即均能满足
等同点系一
等同点系二
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平面点阵
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§1·2 空间点阵
C1坐标：(0,0,0), (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2) C2坐标：(3/4,3/4,3/4), (1/4,1/4,3/4), (1/4,3/4,1/4), (3/4,1/4,1/4)
多。 (2)每个点阵点必须有相同的环境。
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§1·2 空间点阵
晶体的空间点阵理论的提出基于一个假设，即晶体是无限大的。 由于实际晶体的大小远超出晶体结构的重复周期，可以认 为晶体构造是在三维空间无限伸展。
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§1·2 空间点阵
如：H2O 的C2v群是阿贝尔群——它的群表相对于主 对角线是对称的.
NH3 的C3v群则是非对易群——它的群表对于主 对角线不对称.
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§1·2 空间点阵
4. 群的阶和子群 群的阶——群中元素得数目 C2v: 四阶群； C3v: 六阶群 子群——群中所包含的小群
玻璃体在熔化的过程中逐渐变软，直至成为液体。
这是因为玻璃体内部连接各原子的化学键不同，因此 断裂这些化学健所需的温度也不同，这样玻璃体也就 没有一定的熔点。
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§1·1 晶体的特征
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§1·1 晶体的特征
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点阵格子
– 简单(P，Primitive or Simple)格子 – 体心(I，Body Centered )格子 – 面心(F，Face Centered)格子 – 底心(C，C Centered)格子
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§1·2 空间点阵
平移群是反映结构周期性的代数形式 点阵是反映结构周期性的几何形式 向量a的长度|a|称之为点阵参数。
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§1·2 空间点阵
点阵可分为三类：
1)直线点阵 所有的点阵点都排列在一条直线上。 直线点阵中连接相邻两点的向量a称之为单位矢量。
阵点的位置矢量(lattice vector)为：R = ma
直线点阵对应的平移群为 Tm= m a (m=0,±1,±2,…)
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§1·1 晶体的特征
(4) 规则的多面体外形（自范性）
这是晶体的微观对称性在宏观上的反映。
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§1·1 晶体的特征 (4) 规则的多面体外形（自范性）
NaCl
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2015/3/26
§1·1 晶体的特征
(5) 能使X射线、电子等发生衍射
群的四个条件. 母群的阶是其子群的阶的整数倍：
母群阶(h)/子群阶(g)=正整数(k)
5. 共轭元素和群的类
共轭元素：若X和A是群G中的两个元素.有 X-1 AX=B, B仍是G中的元素. 则称A和B为共轭元素.
类：群中相互共轭的元素的一个完整集合.
恒等元素自成一类，不与其它元素共轭.
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在平行石墨层面的方向与垂直石墨层面的方 向上电导率相差104数量级。
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§1·1 晶体的特征
方解石晶体加热时的膨胀是不均匀的，它顺着 结晶轴膨胀，在与结晶轴垂直的方向上反而缩 小 (晶体的体积还是增加的)。
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§1·1 晶体的特征
金刚石结构中的等同点系 NaCl结构中的等同点系
金刚石的空间点阵 NaCl的空间点阵
具有不同结构的晶体可以有相同的空间点阵(空间格子)，如NaCl和金刚石。 由同种物质或元素构成的晶体可以有不同的空间点阵，如金刚石和石墨。
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§1·2 空间点阵
一个点阵的平移方式T1，T2，…，Tm,…有无 穷多种。
晶体的各向异性由在不同的方向 上晶体内部的原子排列形式不同 产生的。
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§1·1 晶体的特征
同质多象
由在不同的方向上晶体内部的 原子排列形式不同产生的。
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2015/3/26
§1·1 晶体的特征
(3) 敏锐的熔点
从晶体的步冷曲线可 以看出，把熔化的晶 体溶液降温时，体系 的温度在溶点将保持 一段时间的恒定；
ห้องสมุดไป่ตู้
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§1·2 空间点阵
归结为两类： 素单位：每个单位中包含一个点阵点者 复单位：每个单位中包含2个或2个以上的点阵点。
设构成素单位两边的向量为a, b, c，空间点阵对 应的平移群为 Tmnp=ma + nb +pc (m,n,p = 0,±1,±2,…)
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§1·2 空间点阵
3)空间点阵
R = ma + nb + pc
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点阵参数：a, b, c
, ,
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§1·2 空间点阵
空间点阵是任意选择三个不相平行的单位矢量进 行划分，由于选择单位矢量不同，划分的方式 也不同，可以有无数种形式。
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石墨结构平面层
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§1·2 空间点阵
定义： 等同点 — 具有相同物质组成和几何环境的质点。 点阵(lattice)-- 空间中几何环境相同的点形成的无限阵列，即一种
按连接其中任意两点的向量进行平移后而能复原的点
按定义，点阵必须具有如下性质 (1)点阵包含的点的数目必须无限
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§1·2 空间点阵
(0,0,0)
P 阵点数：8 x 1/8=1
(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0,1/2,1/2) F 阵点数: 8 x 1/8 + 6 x 1/2 = 4
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(0,0,0) (1/2,1/2,1/2) I 阵点数：8 x1/8 + 1 = 2
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§1·2 空间点阵
2) 平面点阵
平面点阵所有的点阵点都排列在一个平面内。
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§1·2 空间点阵
判断一组点是否为点阵，最简单有效的方法是连接其 中任意两点的矢量进行平移，只有能够复原才为点阵。
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平 移 群 不 能 用 构 成复单位两边的向量来描述 (为什么？)。
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§1·2 空间点阵
平面格子：按照向量a，b把全部平面点阵点用直 线联接起来所得的图形
素格子：对应于素单位的格子 复格子：对 应 于 复单位的格子
点阵参数 确定了单 位和格子 的形状。
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§1·1 晶体的特征
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2015/3/26
§1·2 空间点阵
晶体是三维空间上原子具有周期性排列的固体，晶 体的性质(自范性、均匀性、各向异性等)都是 晶体周期性的表现。
研究晶体结构必须对其周期性进行抽象概括。
石墨的晶体结构
2)缔合性
G中的各元素之间的运算满足乘法结合律. 即(AB)C=A(BC).
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§1·2 空间点阵
3) 主操作: 即G中具有单位元素，它与G中任一 元素满足ER=RE=R.
4) 逆操作：即有逆元素. G 中任一元素R均有逆元 素R-1, R-1亦属G中,且RR-1 =R-1R=E
玻璃体在降温过程中 虽然降温的速度有所 不同，但是并没有平 台出现。
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§1·1 晶体的特征
晶体的熔化过程： 当温度升高时，热振动加强。当温度到达溶点时，热
振动提供了足够的能量使化学键断裂，于是晶体熔化 了。 晶体内部的周期性结构，保证了各原子的连接方式都 相同。因此，各部分熔化所需的温度是相同的。
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§1·2 空间点阵
3)空间点阵
空间点阵的点阵点分布在三度空间。 点阵单位：空间点阵可选择三个互不平行的单位矢量
a, b, c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位 点阵参数或晶胞参数：矢量a, b, c 的长度|a|，|b|，|c|
及其相互间的夹角α，β，γ (右手定则)
a＝|a|，b＝|b|，c＝|c| α＝b∧c，β=c∧a，γ＝a∧b
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§1·2 空间点阵
点阵
– 直线点阵 – 平面点阵 – 空间点阵
点阵格子
– 简单(P，Primitive or Simple)格子 – 体心(I，Body Centered )格子 – 面心(F，Face Centered)格子 – 底心(C，C Centered)格子
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第一章 晶体结构的周期性和点阵
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§1·1 晶体的特征
晶体是由原子，分子或离子在空间按一定规律周期 重复排列构成的固体物质。
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§1·1 晶体的特征
(1) 均匀性: 晶体内部各个部分的宏观 性质是相同的。例如有着相同的 密度，相同的化学组成。
这些平移满足群的定义，这个群称之为平移群。
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§1·2 空间点阵
1. 群的定义 若A,B,C…的集合G={A,B,C…},同时满足下列 四个条件<或基本性质>，则称集合G为群.
1) 封闭性
若A和B是G中任意两个元素<或对称操作>， 则有AB=C及A2 =D, C和D仍属于G中的元素.
2. 群的举例 G={i, -1, -i, +1} 其中i= 1
封闭性：群中任两元素相乘必是群元素之一
结合律：i(-1)(-i)=i[(-1)(-i)]=-1
单位元素： +1
逆元素：i (-i) (-1) (-1) (+1) (+1)
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§1·2 空间点阵
3. 对易群(阿贝尔群) 群中所有元素的乘积均满足交换律, 即AB=BA
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§1·1 晶体的特征
(2)各向异性:晶体中不同的方向上有 不同的物理性质。
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§1·1 晶体的特征
例如 云母片上蜡的熔化图形呈椭圆形，
说明不同方向上的导热速度不同。
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§1·1 晶体的特征
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§1·2 空间点阵
(a)Cu (b)石墨 (c)Se (d)NaCl (e)伸展聚乙烯
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§1·2 空间点阵
2) 平面点阵
平面点阵所有的点阵点都排列在一个平面内。
位置矢量：R = ma + nb 点阵参数(lattice parameter)：a, b,
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§1·2 空间点阵
平移满足群的定义，这个群称之为平移群。
证明：(I) 封闭性，TiTj=Tk (II) 主操作，T1存在 (III) 逆操作，Ti的逆操作T-i也存在 (IV)结合律，(TiTj)Tk=Ti(TjTk)
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§1·2 空间点阵
点阵
– 直线点阵 – 平面点阵 – 空间点阵
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§1·2 空间点阵
Cl: (0,0,0), (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2)
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Na: (1/2,0,0), (0,1/2,0) (0,0,1/2), (1/2,1/2,1/2)
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§1·2 空间点阵