拉普拉斯变换及其逆变换表
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数＼（f(t)＼），其拉普拉斯变换＼（F(s)＼）定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt＼其中＼（s ＝＼sigma ＋j\omega\）是一个复变量，＼（＼sigma\）是实部，＼（＼omega\）是虚部，＼（j\）是虚数单位。
下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数＼（u(t)＼），当＼（t ＜ 0\）时，＼（u(t) ＝ 0\）；当＼（t ＼geq 0\）时，＼（u(t) ＝ 1\）。
它的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}u(t) ＝＼frac{1}｛s}＼指数函数＼（e^｛at}＼），其拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}e^｛at} ＝＼frac{1}｛s a}＼正弦函数＼（sin(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼余弦函数＼（cos(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。
那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数＼（F(s)＼）转换回时域中的函数＼（f(t)＼）。
拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。
例如，对于形如＼（F(s) ＝＼frac{A}｛s a}＼）的函数，其反变换为＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼）。
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式11n 1n nn11m 1m mmas a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- （m n >）式中系数n1n 1a ,a ,...,a ,a-，m1m 1b ,b ,b ,b - 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n1i iinnii2211ss cs s c s s c s s c s s c )s (F 式中，Sn 2S 1S ，，， 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c is s i-=→或is s i)s (A )s (B c='=式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]t s n 1i i n 1i i i 11i e c s s cL )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())s s ()s s ()s s ()s (B s F n1r r 1---=+=nnii1r 1r 111r 11r r 1rss cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)s (F )s s (lim c r1s s r-=→)]s (F )s s ([dsdlim c -=)s (F )s s (dsd lim !j 1c -=)s (F )s s (dsdlim )!1r (1c --=原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=s s cs s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c L e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-= （F-6）。
拉氏变换及反变换
2. f (t) eatu(t) (指数函数)
f
(t)
0
（t 0）
et （t 0）
F(s)= ℒ [eat ] eatestdt 0 ℒ [ejt ] 1 s j
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t) (t) （单位脉冲函数）
(t)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
u(t) t0
lim s 1 s s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
例3
I (s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
Ui(s) H(s) I(s)
I(s)=Ui(s)H(s)= ℒ[ui(t)] H(s)
=ℒ eat (t)
（5）作Laplace反变换得
1 R Ls
s
1
a
1 L
s
1 R
L
零状态响应电流
i(t)= ℒ-1[I(s)]
1
(e a t
Rt
e L )
(t)
L ( R a)
L
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
的
拉
t
1/s2
普 拉
n!
tn
sn+1
1
斯
e-at
s+a
变 换
1
te-at
(s+a)2
表
tne-at
n!
(s+a)n+1
积分拉普拉斯变换公式表
积分拉普拉斯变换公式表一、拉普拉斯变换的定义。
设函数f(t)在t≥slant0上有定义，若广义积分F(s)=∫_0^+∞f(t)e^-stdt（s是一个复参量）在s的某一区域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，记为F(s)=L[f(t)]，而f(t)称为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为f(t)=L^- 1[F(s)]。
二、一些常见函数的拉普拉斯变换。
1. 单位阶跃函数u(t)- 定义：u(t)=<=ft{begin{array}{ll}0, t < 0 1, t≥slant0end{array}right.- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=∫_0^+∞1× e^-stdt=(1)/(s)，(s > 0)2. 指数函数f(t)=e^at（a为常数）- 拉普拉斯变换：L[e^at]=∫_0^+∞e^ate^-stdt=∫_0^+∞e^-(s - a)tdt=(1)/(s - a)，(s > a)3. 正弦函数f(t)=sin(ω t)（ω为常数）- 拉普拉斯变换：- 已知sin(ω t)=frac{e^iω t-e^-iω t}{2i}- L[sin(ω t)]=(1)/(2i)<=ft((1)/(s - iω)-(1)/(s + iω))=(ω)/(s^2)+ω^{2}，(s>0)4. 余弦函数f(t)=cos(ω t)（ω为常数）- 拉普拉斯变换：- 已知cos(ω t)=frac{e^iω t+e^-iω t}{2}- L[cos(ω t)]=(1)/(2)<=ft((1)/(s - iω)+(1)/(s + iω))=(s)/(s^2)+ω^{2}，(s > 0)三、拉普拉斯变换的性质及相关公式。
1. 线性性质。
- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，a,b为常数，则L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 微分性质。
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表1. 表A-1 拉氏变换的基本性质1 L [ af ( t )] aF ( s )齐次性线性定理L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) 叠加性L [ df ( t )]sF ( s ) f ( 0 )L [ ddt2 f ( t )dt 2] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ）L d n f ( t ) ndt ns n F ( s ) s n k f ( k 1 ) ( 0 )k 1f ( k 1 ) ( t ) d k 1 fdt( t )k 12 微分定理一般形式初始条件为0 时L [ d n f ( t )dt n] s n F ( s )L[ f (t )dt ]F ( s)s [ f (t )dt ]t 0s[ 2L[ f ( t)( dt ) ] 2 F ( s)s 2f (t) d t ]t 0s[2f (t )(dt ) ]t 0s共n个共n个L[ f (t)(dt )n ] F ( s)s nnk 1 s1n k 1[ f (t)(dt ) n ] t 0一般形式共n个3 积分定理初始条件为0 时L[ f ( t)( dt) n ]F ( s)s nTs4 延迟定理（或称t 域平移定理）L[ f (t T)1(t T )] e F ( s)精品资料精品资料5衰减定理（或称 s 域平移定理）L[ f (t )eat] F ( s a)6终值定理lim f ( t )lim tssF ( s)lim f (t ) lim sF(s)7初值定理t 0 s8卷积定理tL[ f 1( t) f 2 ( ) d ]tL[ f 1( t ) f 2 ( t) d ]F 1 (s) F 2 ( s )2. 表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表序号拉氏变换 F(s)时间函数 f(t)Z 变 换 F(z)1 1δ(t)11 2 1 eTsT( t)(t nT )zn 0z 1 1 1(t )z sz 11 4 s2tTz ( z 1)21 t 5 s32T 2z(z 1) 2( z 1)1 t n6 n 1lim( 1) z n ( aT ) sn!a 0n!a z e17 s aeatzz e1 atTze 8 ( s a) 2tea at( z e(1 eaT )2aT) z9s(s a)1 e(z 1)( z 2 3n)3 naTaT e aT精品资料2m m 1n 1b aat btz z 10(s11a)(s b)e esin tz eaTz ebTz sin T s2 2z22 z cos T 1scos tz( z cos T )12 s2z 2 2 zcos T 1atzeaTsin T13 (s a)2 2e sin t z22 ze aTcos T e2 aTs a14 22e atcos tz2zeaTcos T( s 15s a)1 (1 / T ) ln aat / Tz22zeaTz z acos T e2 aT3.用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=]['- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk kn n nndt t f d t f fss F s dt t f dL f sf s F s dtt f d L f s sF dtt df L ）（初始条件为0时)(])([s F sdt t f dL nnn=3积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时n n n ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ1序号拉氏变换F(s)时间函数f(t) Z 变换F(z)1 1δ(t) 12 Tse--11∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21s t2)1(-z Tz5 31s 22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n t n)(!)1(lim 0aTn n n a e z z a n -→-∂∂- 7 as +1 at e - aTe z z-- 8 2)(1a s +atte-2)(aT aT e z Tze ---9 )(a s s a+ at e --1))(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ))((b s a s ab ++-btatee---bTaT e z ze z z ----- 11 22ωω+s t ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω 13 22)(ωω++a s t e atωsin - aTaT aT e T ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1- T t a /az z -23． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换及其逆变换表
n
F ( s)
L[ f (t )dt ]
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )(dt ) 2 ]
共n个
2 F ( s ) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )(dt ) ]t 0 s2 s2 s
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )(dt ) n ]t 0 s k 1 s
B( s ) b s b s b s b F (s ) A(s ) a s a s a s a
m m 1 m m 1 1 n n 1 n n 1 1 0
0
（n m）
式中系数 a
0
, a ,..., a , a ， b , b ,b , b 都是实常数； m, n 是正整数。按
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
拉普拉斯变换及其反变换表表a1拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式初始条件为0时3积分定理一般形式初始条件为0时4延迟定理或称域平移定理5衰减定理或称域平移定理6终值定理7初值定理8卷积定理2
拉普拉斯变换及其反变换表
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质
1 线性定理 齐次性 叠加性
c c t t c t c e c e (r 2)! (r 1)!
拉普拉斯反变换公式表
拉普拉斯反变换公式表在数学中，拉普拉斯变换和反变换是常常被用到的数学工具。
它们是将时间域中的函数转变为复平面上的函数，并在解决微分方程、信号分析等领域中发挥着至关重要的作用。
其中，拉普拉斯反变换作为将复平面上的函数转变成时间域中的函数的数学工具，更是无法被替代的。
下面是拉普拉斯反变换公式表：1. $L^{-1}\{\frac{1}{s-a}\}=e^{at}$这是最基本的拉普拉斯反变换公式，其中$a$为一个实数。
2. $L^{-1}\{\frac{1}{(s-a)^n}\}=\frac{t^{n-1}e^{at}}{(n-1)!}$这也是一个经典的公式，其中$n$为一个正整数，$a$为一个实数。
3. $L^{-1}\{\frac{1}{s^2+a^2}\}=\frac{1}{a}sin(at)$这是一个很有用的公式，它与振动系统有关。
其中$a$为一个正实数。
4. $L^{-1}\{\frac{s}{s^2+a^2}\}=cos(at)$这是由公式3导出的，是一个很有用的公式。
5. $L^{-1}\{\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\}=sin(\omega t)$这是一个与谐振子有关的公式，其中$\omega$为一个正实数。
6. $L^{-1}\{\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}\}=\frac{1}{\omega}cos(\omega t)-\frac{1}{\omega^2}sin(\omega t)$这是一个由公式4和公式5导出的公式，也与谐振子有关。
7. $L^{-1}\{\frac{1}{s^2-b^2}\}=\frac{1}{2b}e^{bt}sinh(bt)$这是一个与阻尼振动系统有关的公式，其中$b$为一个正实数。
8. $L^{-1}\{\frac{1}{s(s^2-b^2)}\}=\frac{1}{2b}e^{bt}\left(cos(b t)-sinh(b t)\right)$这是一个由公式4和公式7导出的公式，也与阻尼振动系统相关。
(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质12．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni iin n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2） 或is s i s A s B c ='=)()(（F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts ni i i e c -=∑1(F-4)4② 0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r r s s s s s s s B s F ---=+Λ=n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r ss r -=→ )]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它能够将时域中的函数转换到复频域中，从而使许多问题的分析和求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实变量 t 的函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s 是一个复变量，通常表示为 s ＝σ ＋jω，σ 是实部，ω 是虚部，j 是虚数单位。
常用的函数拉普拉斯变换有很多，下面列举一些常见的例子。
单位阶跃函数 u(t)，其定义为 t ＜ 0 时，u(t) ＝ 0；t ≥ 0 时，u(t) ＝1。
它的拉普拉斯变换为 1 ／ s 。
指数函数 e^at （a 为常数），其拉普拉斯变换为 1 ／（s a) 。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω ／（s^2 ＋ω^2) 。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s ／（s^2 ＋ω^2) 。
单位脉冲函数δ(t)，其拉普拉斯变换为 1 。
这些常见函数的拉普拉斯变换在解决各种问题时经常会用到。
那么，为什么要进行拉普拉斯变换呢？这是因为在时域中分析一些问题可能会比较复杂，而通过拉普拉斯变换将其转换到复频域后，可以利用复频域中的一些特性和方法来简化问题的处理。
例如，在求解线性常系数微分方程时，通过对方程两边进行拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
接下来，我们再看看拉普拉斯反变换。
拉普拉斯反变换是将复频域中的函数 F(s) 转换回时域中的函数 f(t) 。
拉普拉斯反变换的计算方法通常有部分分式展开法和留数法等。
部分分式展开法是将 F(s) 分解为几个简单分式的和，然后根据已知的常见函数的拉普拉斯变换，直接写出对应的时域函数。
例如，如果 F(s) ＝（s ＋ 1) ／（（s ＋ 2)（s ＋ 3) ），可以通过部分分式展开为 A ／（s ＋ 2) ＋ B ／（s ＋ 3) 的形式，然后求出 A 和 B 的值，再根据常见函数的拉普拉斯变换反求出时域函数。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在工程技术和科学研究中，拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具。
它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使许多问题的求解变得更加简便。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义为：对于一个定义在区间 0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量，σ 称为实部，ω 称为虚部。
一些常见的函数的拉普拉斯变换如下：单位阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换为 1/s 。
单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1 。
指数函数 e^（at) 的拉普拉斯变换为 1/（s ＋ a) ，其中 a 为常数。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω/（s^2 ＋ω^2) 。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s/（s^2 ＋ω^2) 。
以上只是一些简单而常见的函数的拉普拉斯变换，实际应用中会遇到更复杂的函数。
拉普拉斯反变换则是将复频域中的函数 F(s) 转换回时域中的函数f(t) 。
拉普拉斯反变换的公式为：＼f(t) ＝＼frac{1}｛2\pi j} ＼int_{＼sigma j\infty}＾｛＼sigma ＋j\infty} F(s) e^｛st} ds\但在实际计算中，通常使用部分分式展开法、留数法等方法来求解拉普拉斯反变换。
部分分式展开法适用于 F(s) 是两个多项式之比的情况。
首先将 F(s) 分解为若干个简单分式之和，然后分别求出每个简单分式的拉普拉斯反变换，最后将它们相加得到 f(t) 。
留数法是通过计算 F(s) e^｛st} 在 s 平面上奇点处的留数来求得拉普拉斯反变换。
拉普拉斯变换具有许多重要的性质，比如线性性质、微分性质、积分性质等。
线性性质指的是对于任意常数 a 和 b ，以及函数 f1(t) 和 f2(t) ，有：＼La f1(t) ＋ b f2(t) ＝ a Lf1(t) ＋ b Lf2(t)＼微分性质表明，如果 F(s) 是 f(t) 的拉普拉斯变换，那么 f'（t) 的拉普拉斯变换为 sF(s) f(0) 。
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换是进行信号分析的重要工具之一，通过将时间域上的函数进行变换，可以将其转化为在复平面上展开的函数。
下面是拉普拉斯变换中一些最基本的函数及其变换结果的表格。
1. 常数函数：f(t)=a
拉普拉斯变换结果：F(s)=a/s
2. 单位冲击函数：f(t)=δ(t)
拉普拉斯变换结果：F(s)=1
3. 单位阶跃函数：f(t)=u(t)
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/s
4. 指数函数：f(t)=e^-αt
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/(s+α)
5. 正弦函数：f(t)=sin(ωt)
拉普拉斯变换结果：F(s)=ω/(s^2+ω^2)
6. 余弦函数：f(t)=cos(ωt)
拉普拉斯变换结果：F(s)=s/(s^2+ω^2)
7. 时域上的微分：f(t)=df(t)/dt
拉普拉斯变换结果：F(s)=sF(s)-f(0)
8. 时域上的积分：f(t)=∫f(τ)dτ
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/sF(s)+f(0)
9. 常见分布函数：f(t)=t^n/n!, n为正整数
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/s^(n+1)
10. 指数衰减信号：f(t)=e^-αt u(t)
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/(s+α)
总结
通过以上的表格可以看出，拉普拉斯变换可以将时域上的函数转换为在复平面上的函数，这种函数在进行信号分析时特别有用。
我们可以通过这种方法来推导出系统的传递函数，从而进一步进行系统稳定性的分析。
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。
下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。
1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/(s + a)4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= s*F(s) - f(0)11. 给定函数f(t)的不定积分Laplace变换：∫f(t)dt 的 Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= 1/s*F(s)12. Laplace变换与乘法定理：L{f(t) g(t)} = F(s)G(s)13. Laplace变换与移位定理：L{f(t-a) u(t-a)} = e^-as F(s)14. Laplace变换与初值定理：f(0+) = lims→∞ sF(s)f'(0+) = lims→∞ s^2F(s) - sf(0+)f''(0+) = lims→∞ s^3F(s) - s^2f(0+) - sf'(0+)15. Laplace变换与终值定理：limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)limt→∞ f'(t) = lims→0 s^2F(s) - sf(0+)limt→∞ f''(t) = lims→0 s^3F(s) - s^2f(0+) -sf'(0+)这是完整版的拉普拉斯变换表，其中列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式，以及常见的拉普拉斯变换定理和公式。
拉普拉斯变换及反变换
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
lim f (t)存在时
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例1
u(t)t0
k2(2 ss1)52(s1)2S13 k1dds(2s5)S12
f(t)L1[F(s])2et3tet t0
例2
F(s)
s2 2s2 (s2)3
k1 (s2)
(s k22)2(s k32)3
等式两边乘 (s 2)3
F(s)(s 2)3 k1(s 2)2 k2 (s 2) k3
k3s2(s22 s)32(s2)3S22
lims11 s s
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i( 0 ) lis ( m 52) li(m 52) 3 s s 1s 2s 1 1 /s1 2 /s
例3
I(s)ℒ [1e-t]1 1 s s1
11 i(t)t ls i0m s(ss1)1
例4：已知F(s)= 1 ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换的基本性质表
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本性质
(1)
利用 ℒ
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
__
1
(s-1)2
二、拉普拉斯反变换
1、由象函数求原函数 f(t)=L-1[F(s)]
（1）利用公式
f(t) 1 2πj
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
拉氏变换与逆变换
L f (n) (t) sn F (s)
18:16
13
例：利用导数性质求余弦函数的象函数。
解：
L[sin(t)]
s2
2
cos(t) 1 d sin(t) dt
L[cos (t )]
L1
d
sin(t)
dt
1
[s s2 2 0]
0
t0 1
12081:106-10-7
5 5
2、单位阶跃函数1(t)
18:16
6
3、单位斜坡（速度）函数
12081:106-10-7
7 7
4、单位抛物线（加速度）函数
12081:106-10-7
8 8
5、幂函数：f(t)=tn
F(s)
L[t n ]
0
t
n
e stdt
n! sn1
6、指数函数： f(t)=eat (a为常数)
1） A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点
2） A(s)=0有，一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点 3） A(s)=0有一对共轭复根
18:16
20
四、拉氏逆变换的部分分式法
设 F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
L-1[aF1(s) + bF2(s) ] = af1(t)+ bf2(t)
18:16
11
例：求函数f(t)=K(1-e-at)的象函数。
解：L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at]
K K s sa
拉普拉斯变换及反变换.ppt
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拉普拉斯变换及其反变换表
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式
1
1
n 1
n n
n
1
1
m 1
m m
m
a s a s a s a
b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++=
=----ΛΛ （m n >）
式中系数n
1
n 1
a ,a ,...,a ,a
-，m
1
m 1
b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按
代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑
=-=-++-++-+-=n
1
i i
i
n
n
i
i
2
2
1
1
s
s c
s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i
s s i
i
-=→
或
i
s s i
)
s (A )
s (B c
='=
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]t s n 1
i i n 1i i i 11i e c s s c
L )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
s s ()s s ()s s ()
s (B s F n
1
r r 1
---=
+Λ
=
n
n
i
i
1
r 1
r 1
1
1
r 1
1
r r
1
r
s
s c
s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -+
+-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)s (F )s s (lim c r
1
s s r
1
-=→
)]s (F )s s ([ds
d
lim
c r 1
s s 1
r 1
-=→- M
)s (F )s s (ds
d lim !j 1c r
1
)
j ()
j (s s j
r 1
-=→-
)s (F )s s (ds
d lim )!1r (1c r
1
)
1r ()
1r (s s 1
1
--=--→
原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+
+-++-+-++-+-=++---n
n
i
i
1
r 1
r 1
1
1
r 1
1
r r
1
r
1
s s c
s s c s s c )s s (c )
s s (c )s s (c L ΛΛΛ t
s n
1
r i i
t
s 1
2
2
r 1
r 1
r r
1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++-+-=Λ （F-6）。