八年级数学分式培优专题
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
八年级分式培优习题
八年级分式培优习题一、填空题1、下列分式中，有意义的分式是（）A、 B、 C、 D、2、下列各分式中，最简分式是（）A、 B、 C、 D、3、下列各分式中，当x取何值时，分式有意义？（）A、 B、 C、 D、4、下列各分式中，分式的值等于零的是（）A、 B、 C、 D、5、下列各分式中，分式的值不存在的是（）A、 B、 C、 D、二、解答题6、请解以下分式方程：（1）（2）61、请解以下分式方程：（1）（2）611、请解以下分式方程：（1）（2）6111、请解以下分式方程：（1）（2）请解以下分式方程：（1）（2）八年级培优计划一、目标：通过培优，使优生更上一层楼，提高优生的学习能力和思维能力，提高他们的竞争意识和一定的应试技巧，但也帮助他们发现不足，进一步提高他们学习的自觉性，以真正取得理想的成绩。
二、具体措施：1、思想方面培优辅差。
做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，让学生觉得老师是重视他们的，激发他们学习的积极性。
了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。
从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。
定期与学生家长、班主任沟通了解学生的家庭、生活、思想等各方面的情况，以利于教师做好学生的思想引导工作。
2、培优辅差内容：数学方面：在讲完新课后，编拟一些较高思维层次的专题知识渗透到教学中，培养优生的发散思维能力、探究能力和创新思维能力。
3、辅差内容：对差生主要从以下几个方面进行：1）认真备课，设计好每一节课的层次教学，利用多种多样的教学手段吸引差生的注意力，让差生有机会表现自己，多设计一些对应差生的问题，提高差生的学习信心。
2）经常与家长，了解差生各方面的情况，对症下药，讲究方法。
3）采用“一帮一”的方法，安排学习优秀的学生对后进生进行辅导训练。
并开展“手拉手”活动，让优生和差生结成对子。
4）注意保持和蔼可亲的态度去面对学生，不能对他们采用强硬的态度和手段。
这样会使他们对老师既亲近又尊重，更愿意接近老师并乐于接受教育。
八年级数学—分式培优练习题(完整答案)精编版
三年级学生每人买 1 支，则只能按零售价付款，需用
2
m
1 元，（ m 为正整数，且
2
m
1
＞100）如果多买 60 支，则可按批发价付款，同样需用 m 2 1 元．设初三年级共有 x 名学
生，则① x 的取值范围是
发价每支应为
；②铅笔的零售价每支应为
元．（用含 x 、 m 的代数式表示） ．
元；③批
14． A 、B 两地相距 20 km ，甲骑车自 A 地出发向 B 地方向行进 30 分钟后，乙骑车自 B 地 出发，以每小时比甲快 2 倍的速度向 A 地驶去，两车在距 B 地 12 km 的 C 地相遇，求甲、 乙两人的车速 .
3 5
2
2
1 x
x
2
1
1
x
4 32, x
x
x
五 化简得 m+n，当 m=2,n=1 时 m+n=3
4 2 , 0 x 1, x 1 0, x 1
x
x
42
六 1 x=-7
,2 x=1 是增根，原方程无解七 24。
分式 (二 )答案
一、选择题
1． A 2． B 3． A
二、填空题
2 4． 3 5．－ 1＜ x ＜
1
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第 n 个式子是 2 7m=3,7 n=5,则 72m-n=
1
01
3 4 2008
2=
3
a
4若
b
a 2 ab b 2 2,则 a 2 b2 =
三 化简
ab 2
3a 2b 2
3
分式培优专题训练
1．（辨析题）不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）A ．10B ．9C ．45D ．902．（探究题）下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c -++=-;④m n m n m m ---=-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．（探究题）不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+ 【题型2：分式的约分】4．（辨析题）分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（技能题）约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．【题型3：分式的定义及有无意义】1．（辨析题）下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b --，23x -，0中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ____。
2．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x + 3．（探究题）当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零． 4．分式24x x -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 5．分式31x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零；B ．分式无意义C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零7．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++ 8．使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±9．（2005．杭州市）当m =________时，分式2(1)(3)32mm m m ---+的值为零． 10．（妙法巧解题）已知13x y 1-=，求5352x xy y x xy y+---的值．1.下列运算正确的是（ ） A.326x xx = B.0=++y x y x C.1-=-+-y x y x D.ba xb x a =++ 2.下列分式运算，结果正确的是（ ） A.n m m n n m =•3454; B.bc ad d c b a =• C . 222242b a a b a a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; D.3334343y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.已知a-b 0≠,且2a-3b=0，则代数式ba b a --2的值是（ ）A.-12B.0C.4D.4或-124.已知72=y x ，则222273223y xy x y xy x +-+-的值是（ ） A.10328 B.1034 C.10320 D.1037 5.如果y=1-x x ,那么用y 的代数式表示x 为（ ） A. 1+-=y y x B. 1--=y y x C. 1+=y y x D. 1-=y y x 7.若将分式x x x +22化简得1+x x ，则x 应满足的条件是（ ） A. x>0 B. x<0 C.x 0≠ D. x 1-≠8.计算：(1)222210522y x ab b a y x -⋅+；（2） 232222)()()(x y xyxy x y y x -⋅+÷-；（3） (3))22(2222a b ab b a a b ab aba -÷-÷+--9.若m 等于它的倒数，求分式22444222-+÷-++m mm m m m 的值；1. 若432zyx ==,求222z y x zxyz xy ++++的值.2. 如果32=b a ，且a ≠2，求51-++-b a b a 的值。
八年级数学培优——分式方程及其应用
第16讲分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【变式题组】⑴12xx--＝12x-－2⑵2xx-＋2＝3(2)xx-⑵14x-－23x-＝32x-－41x-⑷12x+＋242xx-＋22x-＝1【例２】当m 为何值时，分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根?【变式题组】 01．分式方程22x x -+－22x x +-＝2164x -的增根是__________. 02．若分式方程()()611x x +-－1mx -＝1有增根，则它的增根为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1，－1 03．若关于x 的方程23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为___________.04．分式方程1m x +－21x -＝232x -无解，则m 的值为___________.【例３】已知关于x 的方程22x mx +-＝3的解是正数，则m 的取值范围是_________.【变式题组】01．关于x 的方程21x ax +-＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞－1 B ． a ＞－1，且a ≠0 C ．a ＜－1 D ． a ＜－1，且a ≠－202．当m 为何值时，关于x 的方程22m x x --＝1x x +－12x x --的解是正数?【例４】某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?【变式题组】01．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为( )A ．160x ＋()400120%x +＝18 B ．160x ＋()400160120%x -+＝18 C ．160x ＋40016020%x -＝18 D ．400x ＋()400160120%x-+＝1802．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍.⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?03．由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成.⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?演练巩固·反馈提高01．关于x 的分式方程5mx -＝1，下列说法正确的是( ) A ．方程的解是x ＝m ＋5 B ．m ＞－5时，方程的解是正数 C ．m ＜－5时，方程的解是负数D ．无法确定02．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5 03．用换元法解分式方程1x x -－31x x -＋1＝0时，如果设1x x-＝y ，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是( )A ．y 2＋y －3＝0 B ．y 2－3y ＋1＝0 C ． 3y 2－y ＋1＝0 D ． 3y 2－y －1＝004．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x ㎏，根据题意，可得方程( )A ．900300x +＝1500x B ．900x ＝1500300x -C ．900x ＝1500300x + D ．900300x -＝1500x05．若关于x 的分式方程1x a x --－3x＝1无解，则a ＝___________. 06．方程1x x +＋3＝21x +的解为___________. 07．若x ＝1是方程21x a +＋22x a-＝0的解，则a ＝___________. 08．若A ＝1x x -，B ＝231x -＋1，当x ＝___________时，A ＝B ． 09．若x ＝3是方程102x +＋2k ＝0的解，则3k k +－269k -÷23k -的值为___________.10．如果关于x 的方程1＋2x x -＝224m x -的解，也是不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围.11．关于x的分式方程61x-＝()31xx x+-－kx有解，求k的取值范围.12．要使关于x、y的二元一次方程组21620x ayx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a的值.13．某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需要追加预算多少万元?请说明理由.14．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.⑴乙队单独完成这项工程需要多少天?⑵甲队施工一天，需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?培优升级·奥赛检测01．若实数x 、y 、z 满足方程组:122232xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，则有( )A ．x ＋2y ＋3z ＝0B ． 7x ＋5y ＋3z ＝0C ． 9x ＋6y ＋3z ＝0D ．10x ＋7y ＋z ＝002．某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V 1、V 2、V 3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为( )A ．1233V V V ++B ．1231113V V V ++C ．1231111V V V ++D ．1233111V V V ++03．解分式方程31x +＋51x -＝21mx -会产生增根，则m ＝___________. 04．方程()11x x +＋()()112x x ++＋…＋()()120102011x x ++＝1＋1x 的解是___________.05．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________分钟.06．解下列方程:⑴12x x ++－17x +＝23x x ++－16x +⑵432x x +-＋324x x -+＝207．已知方程组22xy x y +＝23，32yz y z -＝－9，53xyzxy yz zx-+＝157恰好有一组解为x ＝a ，y ＝b ，z ＝C ．求a 2＋b 2＋c 2的值.08．设x、y都是整数，1x－1y＝12010.求y的最大正整数的解.09．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台?⑴设购买电视机x台，依题意填充下列表格:项目家电种类购买数量(台)原价购买总额(元)政府补贴返还比例补贴返还总额(元)每台补贴返还金额(元)冰箱40000 13%电视机x 15000 13%⑵列出方程(组)并解答.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?⑵为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?⑶如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使⑵中所有方案获利相同，a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?。
培优专题分式方程培优提高经典例题
1分式方程专题例1：去分母法解分式方程1、()()113116=---+x x x 2 2、、22416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4 4、、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2：整体换元与倒数型换元：1、用换元法解分式方程：（1）6151=+++x x xx （2）12221--=+--x xx x 变式练习：（11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1xy x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=例3：分式方程的（增）根的意义1、若分式方程：024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。
2、关于x 的分式方程131=---xx a x 无解，则a=_________。
变式练习：当m 为时，分式方程()01163=-+--+x x m x x x 有根。
例4一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t 180t；若乙、丙两车合；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t 270t．．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算元计算) )课堂总练习1关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，则m 的取值范围是的取值范围是2．关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________3．若关于x 的方程2111x m x x ++=--产生增根，则产生增根，则 m ＝________________________；；4．k 取何值时，方程x x k x x x x +=+-+2112会产生增根？会产生增根？5.5.当当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？无解？6/某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么万元．去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．）今年甲型号手机每台售价为多少元？（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手台，请问有几种进货方案？机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客应取何值？ 现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？练习一、填空题：1、（12盐外）关于x 的方程4332=-+xa ax 的解为x=1, 则._____=a2、（12成外）若关于x 的分式方程3232-=--x mx x有增根，则m 的值为__________。
八年级分式与分式方程培优专题
八年级分式与分式方程培优专题
1.无论x取何值，分式都有意义的是C。
2.当x=-a时，分式的值为零。
3.当x=2时，分式的值为零。
4.（1）xy+yz+zx/15x+3xy-5y=3，求的值。
2）若x/y=y/z=z/x，求x^3/y^3的值。
5.甲种什锦糖的单价较高，因为10千克A种糖和10千克B种糖混合而成的甲种什锦糖的单价为(10a+10b)/(10+10)=a+b 元/千克，而乙种什锦糖的单价为(100a+100b)/(100+100)=a+b 元/千克，两者单价相同，但甲种什锦糖的混合比例更合理，因此其单价较高。
6.当a-6a+9与|b-1|互为相反数时，(a^2+b^2)/(a^2-b^2)的值为-4.
7.（1）(1/2)x^2-4x+8
2）1/[(x(x+1)(x+2))(x+2)(x+3)(x+9)(x+10)]
8.解方程：x=2或x=-3/2.
9.解方程：x=1或x=-3.
10.如果关于x的方程(-3/2)x-3/(2m)=1有增根，则m的值等于-2.
11.当m=1/2时，关于x的方程2mx^3+2=0会产生增根。
12.设轮船在静水中的速度为v，水流速度为u，则由题意可列出以下方程组：
80/(v+u)+42/(v-u)=7
40/(v+u)+70/(v-u)=7
解得v=28千米/小时，u=6千米/小时。
13.XXX单独完成工程所需的天数为x，乙队单独完成所需天数为y，则由题意可列出以下方程组：
y/x=2
1/x+2/(x+y)=1
解得x=3天，y=6天。
人教版八年级数学上册 第15章 分式 培优训练(含答案)
人教版 八年级数学 第15章 分式 培优训练一、选择题1. 若分式||x －1（x －2）（x ＋1）的值为0，则x 等于 ( ) A ．－1B ．－1或2C ．－1或1D ．12. 计算2x 2－1 ÷1x －1的结果是( ) A.2x －1B.2x 3－1C.2x ＋1D ．2(x ＋1)3. (2020·成都)已知x ＝2是分式方程1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64. 若△÷a 2－1a ＝1a －1，则“△”可能是( ) A.a ＋1aB.a a －1C.a a ＋1D.a －1a5. （2020·抚顺本溪辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ）A ．3000x ＝420080x - B ．3000x ＋80＝4200xC ．4200x ＝3000x －80D ．3000x ＝420080x +6. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A.62103(1)-=x x B.621031=-x C.621031-=x x D.62103=x7. 当分式的值为0时，x 的值是 ( )A .5B .-5C .1或5D .-5或5 8. △△△x △△△x △m x △3△3m3△x △3△△△△△△△m △△△△△△( )A. m <92B. m <92△m ≠32C. m >△94D. m >△94△m ≠△349. 关于x 的方程+=0可能产生的增根是 ( ) A .x=1B .x=2C .x=1或x=2D .x=-1或x=210. 已知=，则的值为 ( ) A .B .C .D .二、填空题11. 计算：y 2x2·x y ＝________．12. （2020·杭州）若分式11x +的值等于1，则x =________．13. 分式32（x ＋1），2x －15（x －1），2x ＋1x2－1的最简公分母是________________.14. 当a ＝________时，关于x 的方程x ＋1x －2＝2a －3a ＋5的解为x ＝0.15. 对于分式x －b x ＋a，当x ＝－2时，无意义，当x ＝4时，值为0，则a ＋b ＝________．16. 当a＝________时，关于x的方程axa－1－2x－1＝1的解与方程x－4x＝3的解相同．三、解答题17. △△△△△△△△aa△b(1b△1a)△a△1b△△△a△2△b△13.18. △△△△△△△△(1△1a△1)÷a2△4a△4a2△a△△△a△△1.19. （2020·襄阳）（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？20. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员到这两个工厂了解情况，获得如下信息:信息一:甲工厂单独加工完成这批新产品比乙工厂单独加工完成这批新产品多用10天;信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.21. 甲、乙两商场自行定价销售同一种商品，销售时得到如下信息:信息1:甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元;信息2:乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比提价前少买1件.(1)该商品在甲商场的原价为元.(2)求该商品在乙商场的原价是多少.(3)甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b;乙商场:两次提价的百分率都是.(a>0，b>0，a≠b)甲、乙两商场中哪个商场提价较多?请说明理由.人教版八年级数学第15章分式培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 因为分式||x－1（x－2）（x＋1）的值为0，所以|x|－1＝0，x－2≠0，x＋1≠0，解得x＝1.2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．解：把x＝2代入分式方程得：1＝1，解得：k＝4．故选：B．4. 【答案】A[解析] △＝a2－1a·1a－1＝（a＋1）（a－1）a·1a－1＝a＋1a.5. 【答案】D【解析】由“原来公司投递快件的能力每周3000件，”可知快递公司人数可表示为3000x人，由“快递公司为快递员更换了快捷的交通工具后投递快件的能力由每周3000件提高到4200件”，可知快递公司人数可表示为420080x+人，再结合快递公司人数不变可列方程：3000x＝420080x+．故选项D正确．6. 【答案】A【解析】本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱列分式方程A ，因此本题选A ．7. 【答案】B [解析] 由分式的值为0，得-5=0，解得x=±5.但当x=5时，x 2-4x -5=0，故舍去，所以分式的值为0时，x 的值是-5.8. 【答案】B △△△△△x △mx △3△3m3△x △3△△x △mx △3△3mx △3△3△△△x △9△2m 2△△△△△⎩⎪⎨⎪⎧9△2m 2>09△2m 2≠3△△m <92△m ≠32△△△B.9. 【答案】C10. 【答案】D [解析] ∵=，∴=6. ∴a+=5.∴a+2=25，即a 2++2=25.∴=a 2++1=24. ∴=.二、填空题11. 【答案】12x12. 【答案】0 【解析】本题考查了分式的值的意义，因为分式11x +的值等于1，所以分子、分母相等，即x ＋1＝1，解得x ＝0，当x ＝0时，分母x ＋1≠0，所以分式11x +的值等于1时，x ＝0，因此本题答案为0．13. 【答案】10(x ＋1)(x －1) [解析] 因为x2－1＝(x ＋1)(x －1)，所以三个分式的最简公分母是10(x ＋1)(x －1)．14. 【答案】±1 [解析] 去分母，得x －a ＝a(x ＋1)．整理，得(a －1)x ＝－2a.当a ＝1时，0·x ＝－2，该方程无解．当a≠1时，x ＝－2a a －1.若x ＝－1，则原分式方程无解，此时－1＝－2a a －1，解得a ＝－1.综上可知，当a ＝±1时原分式方程无解．故答案为±1.15. 【答案】6 [解析] 因为对于分式x －b x ＋a，当x ＝－2时，无意义，当x ＝4时，值为0，所以－2＋a ＝0，4－b ＝0，解得a ＝2，b ＝4，则a ＋b ＝6.16. 【答案】解：(1)方程两边同乘(9x －3)，得2(3x －1)＋3x ＝1.解得x ＝13.检验：当x ＝13时，9x －3＝0，所以x ＝13不是原方程的解． 所以原分式方程无解．(2)方程两边同乘(x －1)(x ＋2)，得x(x －1)＝2(x ＋2)＋(x －1)(x ＋2)．解得x ＝－12.检验：当x ＝－12时，(x －1)(x ＋2)≠0.所以原分式方程的解为x ＝－12.(3)方程两边同乘x(x ＋1)(x －1)，得三、解答题17. 【答案】△△△△△a a△b ·a△b ba △a△1b△1b △a△1b△a b .(4△)△△a△2△b△13△△△△△a b △2×3△6.(6△)18. 【答案】△△(1△1a△1)÷a 2△4a△4a 2△a △a△2a△1·a△a△1△△a△2△2△a a△2.△a △△1△△△△△a a△2△△1△1△2△13.19. 【答案】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据题意，得 120120345x x -=，即1501203x x -=，解得x ＝10． 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际，则45x ＝8． 答：现在每天用水量是8吨．20. 【答案】解:设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品. 依题意得-=10，解得x=40.经检验，x=40是原方程的解且符合题意.1.5x=60.答:甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品.21. 【答案】 解:(1)1(2)设该商品在乙商场的原价为x 元.则-=1，解得x=1.经检验，x=1是原分式方程的解，且符合题意.答:该商品在乙商场的原价为1元.(3)乙商场提价较多.理由:由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为(1+a)(1+b)=(1+a+b+ab)元，乙商场两次提价后的价格为1+2=1+a+b+2元.因为2-ab=2>0，所以乙商场提价较多.。
【教师卷】初中数学八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(培优)(1)
一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大到原来的3倍 B ．缩小到原来的13 C ．保持不变 D ．无法确定A解析：A【分析】将x 变为3x ，y 变为3y 计算后与原式比较即可得到答案．【详解】 222(3)93333()x x x x y x y x y==⨯+++， 故分式的值扩大到原来的3倍，故选：A ．【点睛】此题考查分式的基本性质，正确掌握积的乘方运算，分解因式是解题的关键． 2．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯B ．-77.610⨯C ．-87.610⨯D ．-97.610⨯ C解析：C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】0.000000076=87.610-⨯，故选：C【点睛】此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，n 等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解 3．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =± D ．0m = B 解析：B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可．【详解】解：∵11m m -+=0∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B ．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．4．若使分式2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．0x =C ．1x ≠-D ．2x = A解析：A【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案．【详解】 ∵分式2x x -有意义， ∴x-2≠0，解得：x≠2．故选：A ．【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．5．已知分式34x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3B ．0C ．－3D ．－4A 解析：A【分析】根据分式的值为0的条件可以求出x 的值；分式为0时，分子为0分母不为0；【详解】由分式的值为0的条件得x-3=0，x+4≠0，由x-3=0，得x=3，由x+4≠0，得x≠-4，综上，得x=3时，分式34x x -+ 的值为0； 故选：A ．【点睛】本题考查了分式的值为0的情况，若分式的值为0，需要同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．6．计算()3222()m m m -÷⋅的结果是（ ） A ．2m -B ．22mC ．28m -D ．8m - C解析：C先分别计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：()3222()m m m -÷⋅ ＝()468m m -÷＝()468m m -÷ ＝28m -，故选：C ．【点睛】本题考查单项式除以单项式，积的乘方运算．在做本题时需注意运算顺序，先计算积的乘方，再算除法．7．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④C解析：C【分析】将所给式子化简，根据a 为负整数，确定化简结果的范围，再从所给图中可得正确答案．【详解】 解：2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()a a 111a 1a a 1a 1+⎛⎫÷- ⎪+-++⎝⎭ =()()a a 1a 1a a 1÷+-+ =()()a a 11a 1a a+⋅+- =11a -； ∵a 为负整数，且a 1≠-，∴1a -是大于1的正整数，则1101a 2<<-． 故选C ．本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．8．分式242x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2-或2C ．2D ．1或2C解析：C【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零．【详解】解：依题意，得x 2-4=0，且x+2≠0，所以x 2=4，且x≠-2，解得，x=2．故选：C ．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．下列分式中，最简分式是（ ） A ．211x x +- B ．2211x x -+ C ．2222x xy y x xy -+- D ．21628x x -+ B 解析：B【分析】 最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分；【详解】A 、()()21111111x x x x x x ++==-+-- ； B 、2211x x -+ 的分子分母不能再进行约分，是最简分式； C 、()()22222x y x xy y x y x xy x x y x--+-==-- ； D 、()()()24416428242x x x x x x +---==++ ； 故选：B ．【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题，在解题中一定要引起注意；．10．已知227x ,y ==-，则221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-3D ．3B解析：B【分析】 先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．【详解】原式=()()16333y x y x y x y --+- =()()3633x y y x y x y +-+-=()()333x y x y x y -+- =13x y+， 当227x ,y ==-，原式=112221=-， 故选B ．【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．二、填空题11．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型 解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案．【详解】 解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m+-++÷=2()m n m m m n +⋅-+ =1m n-+， 当m+n=-3时， 原式=13 故答案为：13【点睛】 本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．12．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可．【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，把x=3代入（m-1）x=9，解得：m=4，综上，m 的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 13．已知2510m m -+=，则22125m m m -+=____．22【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+=55m=m2+1然后将原分式适当变形后整体代入计算即可【详解】解：∵m2﹣5m+1=0∴m ﹣5+=05m=m2+1∴m+=5∴2m2﹣5m+=2m2﹣m2解析：22【分析】根据m 2﹣5m+1=0可得m +1m =5，5m=m 2+1，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．【详解】解：∵m 2﹣5m+1=0，∴m ﹣5+1m =0，5m=m 2+1， ∴m +1m=5， ∴2m 2﹣5m+21m =2m 2﹣m 2﹣1+21m =m 2+21m ﹣1 =（m +1m）2﹣3 =52﹣3=25﹣3=22．故答案为：22．【点睛】 本题考查分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解22211()2m m m m+=++． 14．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg ，甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg 产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为______小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为____________．（2）乙型机器人每小时搬运产品_______________kg ．【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品根据甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运所用时间为小时根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运列方程；（2）设乙型机器人每 解析：80060010x x=+80060010y y =+ 【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，根据甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等列方程；设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg 列方程；（2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得80060010x x=+，解方程即可． 【详解】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得 80060010x x=+， 设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，由题意得80060010y y=+， 故答案为：80060010x x=+，80060010y y =+； （2）设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg ，由题意得 80060010x x=+， 解得x=30，经检验，x=30是方程的解，答：乙型机器人每小时搬运产品30kg ．故答案为：30．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意，利用直接设未知数的方法和间接设未知数的方法列方程解决问题，注意：解分式方程需检验．15．观察给定的分式，探索规律：（1）1x ，22x ，33x ，44x ，…其中第6个分式是__________； （2）2x y ，43x y -，65x y ，87x y-，…其中第6个分式是__________； （3）2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…其中第n 个分式是__________（n 为正整数）．【分析】（1）分子是连续正整数分母是以x 为底指数是连续正整数第六个分式的分子是6分母是x6（2）分子是以x 为底指数是连续偶数分母是以y 为底指数是连续奇数第奇数个分式符号是正第偶数个分式符号为负第六个 解析：66x 1211x y - 31(1)n n n b a--【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x ， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nn b a-- 【点睛】 本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键16．23()a -＝______（a≠0），2-=______，1-=______．【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可【详解】=；；【点睛】此题考查了负整数指数幂：a-n=也考查了分母有理化解析：61a 13+ 【分析】 根据负整数指数幂的运算法则计算即可.【详解】23()a -=661a a -==；2-==13；1-=== 【点睛】此题考查了负整数指数幂：a -n =1(0)n a a ≠.也考查了分母有理化. 17．已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________．且【分析】先解分式方程得到x=a+1根据方程的解是负数列不等式a+1<0且a+20求解即可得到答案【详解】解：a+2=x+1x=a+1∵方程的解是负数x≠-1∴a+1<0且a+20解得a<-1且a-解析：1a <-且2a ≠-【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+2≠0，求解即可得到答案．【详解】 解：211a x +=+ a+2=x+1x=a+1， ∵方程的解是负数，x≠-1∴a+1<0，且a+2≠0，解得a<-1，且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．【点睛】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．18．已知114y x-=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为______．【分析】先根据题意得出x-y=4xy 然后代入所求的式子进行约分就可求出结果【详解】∵∴x-y=4xy ∴原式=故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质正确对已知式子进行化简约分正确进行变形是关键 解析：112【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．【详解】 ∵114y x-=， ∴x-y=4xy ， ∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---，故答案为：112． 【点睛】 此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．19．约分：22618m n mn=-________________【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简【详解】故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变 解析：3m n-【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简．【详解】 22618m n mn=-3m n -， 故答案为：3m n -． 【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．20．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．【分析】设慢车的速度为x 千米/小时则快车的速度为12x 千米/小时根据题意可得走过150千米快车比慢车少用小时列方程即可【详解】解：设慢车的速度为则快车的速度为根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了 解析：15011502 1.2x x-= 【分析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用12小时，列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为xkm /h ，则快车的速度为1.2xkm /h ， 根据题意得：1501150x 2 1.2x-=．故答案为：1501150x 2 1.2x-=． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题21．先化简，再求值：213(1)211x x x x x +--÷-+-，其中4x =-． 解析：1x x -；45【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．【详解】 解：213(1)211x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3x x x x x x -+-+-⨯-- =222111(1)3x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=⨯-- 1x x =- 当4x =-时，原式441415x x -===---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．22．先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中12a =，112b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 解析：a b --，32【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()2224422a ab a ab a =--+÷()2222a ab a =--÷a b =--， ∵1122b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴当12a =，2b =-时，原式()13222=---=． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．某商店购进 A B 、两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元（2）商店准备购买A B 、两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A B 、商品的总费用不低于1000元且不高于1060元，那么商店有哪几种购买方案？ 解析：（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个；方案②：购进A 商品65个，B 商品15个；方案③：购进A 商品64个，B 商品16个【分析】（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，列出分式方程求解；（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据题意列出不等式组求出m 的范围，取整数解．【详解】解：()1设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，依题意， 得：30010010x x=+， 解得：5x =， 经检验， = 5x 是原方程的解，且符合题意，1015x ∴+=，答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；()2设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，依题意，得：()()804158051000158051060m m m m m m ⎧-≥⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩，解得：1416m ≤≤， m 为整数，14m ∴=或15或16，∴商店有3种购买方案，方案①：购进A 商品66个，B 商品14个，方案②：购进A 商品65个，B 商品15个，方案③：购进A 商品64个，B 商品16个．【点睛】本题考查分式方程的应用和不等式的应用，解题的关键是掌握根据题意列分式方程和不等式的方法．24．（1）计算：22y x x y x y-++ （2）解方程：4322x x x=+-- 解析：（1）y x -；（2）5x =． 【分析】（1）根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）22y x x y x y-++， =22y x x y-+， =()()x y x y x y +--+，=()x y y x --=-，y x =-；（2）4322x x x=+--， 去分母得()4=32x x --，去括号得436x x =--，移项合并得210x =，系数化1得5x =，当x=5时，25230x -=-=≠，所以x=5是原方程的解．【点睛】本题考查了分式的混合运算及解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简以及掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意解分式方程要验根．25．先化简，再求值：2246221121x x x x x x ++⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭，其中x 取－1、＋1、－2、－3中你认为合理的数． 解析：22(1)x x -+；3x =-；4 【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，再代入求值，即可．【详解】 原式2462(1)2(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++=-÷⎢⎥+-+--⎣⎦ 224(1)(1)(1)(2)x x x x x +-=⋅+-+ ()211x x -=+221x x -=+ 当3x =-时，原式2(3)2431⨯--==-+． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，是解题的关键．26．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ （3）解分式方程：11222x x x++=-- 解析：（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】 （1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a b a c -⋅÷-÷=()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c ÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．27．计算：0212|( 3.14)()2π---+-解析：5【分析】先计算绝对值、0指数、负指数，再加减．【详解】解： 0212|( 3.14)()2π---+-214=+5=【点睛】本题考查了包含绝对值、0指数和负指数的实数计算，准确应用各种法则，熟练计算是解题关键．28．分式计算与解方程：（1）21211a a a a----； （2）121221x x x +=-+． 解析：（1）1a -；（2）13x =【分析】 （1）先对分式变形化成同分母的分式，然后利用同分母分式的运算法则运算即可； （2）利用分式的性质，将分式方程化成整式方程，然后再求解，最后验根得出结果．【详解】解：（1）21211a a a a ----21211a a a a -=+--2211a a a -+=-()211a a -=-1a =-； （2）121221x x x +=-+ 方程两边同乘()()221x x -+，得：()()()()2122122x x x x x ++-+=- 解得：13x =， 检验：当13x =时，()()2210x x -+≠， 所以，原方程的解为13x =． 【点睛】本题考查分式的加减运算及解分式方程，熟练掌握分式运算的法则及解分式方程的方法是解题的关键．。
分式培优训练含答案
分式培优训练含答案专训一：分式求值的方法分式的求值是数学方法运用的考查，既要突出式子的化简计算，又要灵活选用方法。
常见的分式求值方法有设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等。
直接代入法求值需要先化简，再代入参数求值，例如题目a＋2a÷(a＋1)(a－1)+2/(a－1)，其中a＝5.活用公式求值需要熟悉公式，例如题目x2－5x＋1＝(x2＋3xy＋y2)/(2xy)，求x4＋(x4)/(x2＋3xy＋y2)的值。
整体代入法求值需要将分式整体代入，/(x2y2z2)+4/(x+y+z)＝1，且x＋y＋z≠0，求(x+y)/(z+x)+y/(z+y)的值。
巧变形法求值需要巧妙变形，例如题目4x2－4x＋1＝1/(2x)，求2x＋(2x)/(4x2－4x＋1)的值。
设参数求值需要设定参数，例如题目x2－y2＋/(xy＋yz＋xz)＝2/3，y＋z/x＋z＋x＋y＝4/3，求x/y的值。
专训二：六种常见的高频考点本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现。
分式方程是中考必考内容之一，一般考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题。
考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。
分式的概念是指由两个整式相除得到的表达式，分式有意义的条件是分母不能为0.选择题和填空题常考查分式的有、无意义条件。
分式的基本性质包括分式的加减乘除和约分，考试中常以选择题和填空题的形式出现。
1.4x^2 - 2x + 12.分式的有关运算3.下列运算中，正确的个数是(2)4.m^4n^4m^2/n^3 = mnx-y/11 ÷(y-x)/22 = -2mn/(m-n) = n/(m-n)a-b)/(a-2) = 1/25.a-21/2 + 34/a-16.10.计算：(a+1)/(a-2) ÷ 1/(a-1) 的结果是 (B) a-1/a+111.计算：-1/(a+2) + 2/(a^2+2a+2) = -a^2+1/a^2+2a+212.化简：1/(m+1) - 1/(m+2) = -1/(m^2+3m+2)13.(1) (2a^2+2a)/(a-1)^2 + (a-4a^4)/(a-1+a) = (2a^2-2a)/(a-1)2) x^2+2x(1-1/x)/(x-1) = (x+1)/(x-1)选x=3，原式的值为 10/314.先化简：(x^2-1)/(x-1) = x+1整数指数幂15.下列计算正确的是 (B) x^2/x^6 = x^-416.下列说法正确的是 (A) -1/2 + 2 = 3/217.计算(π-3) + (-2)^3 = -1+8 = 718.由2×10^5个直径为5×10^-5cm的圆球体细胞排成的细胞链的长是 5cm19.分式方程 (x+2a)/(x-13) = x-3/(x-3)20.若关于x的方程 (x-1)/(x-2) = 1/a+1 的解为x=3，则a 等于 (C) -221.解分式方程：(x-2)/(x-1) + 1/(x-2) = 1/x，得到 x=322.2x+1/x-3 = 1，得到 x=11.解：原式 = [a/(a+1) + 2/(a-1) - 12/(a+1)(a-1)]，化简后得到 (3a+1)/(a+1)，再代入a=5，得到原式的值为 2/3.2.解：由 x^2 - 5x + 1 = 0，解出x = (5 + √21)/2，代入 x + 1/x = 5，得到 x^2 + 1/x^2 = 23，代入原式，化简得到 (x^2 + 3)/(x^4 + 1) - 2 = 527/4.3.解：将分子化简得到 xy(x+y)/(x+y)^3，代入 x+y=12，xy=9，得到原式的值为 1/8.4.解：将等式两边同时乘以 (x+y+z)，化简得到(xy+yz+zx)/(xyz) + 1 = (x+y+z)/(x+y)(y+z)(z+x)，代入已知条件，化简得到 (x+y+z)/(xy+yz+zx) = 0，所以原式的值为 0.5.解：将等式移项得到 4x^2 - 4x + 1 = 0，化简得到 (2x-1)^2 = 0，解得 x = 1/2，代入原式得到 2.6.解：设k ≠ 0，代入已知条件，解出 x = 2k，y = 3k，z = 4k，代入原式化简得到 2.1.B2.A3.A4.B2.(答案不唯一) a+1/(x+y+z) + y(x+y+z)/(z+x) =(a(x+y+z)+y(x+y+z))/(z+x) = (ax+ay+yz+y^2+z^2)/(z+x)3.26.D4.删除此段落5.解：(1) 原式 = (a+2)(a-2)a+2/[(a-2)(2a-2)] = (a+2)/2(a-2) - 1/(a-2) = (a^2-2)/2(a-2) = -3/2 (a=0) (2) 原式 = (x-11)/[(x-1)(2x-1)] = -1/(2x-1) + 3/(x-1) = (4x-3)/(2x-1)(x-1)6.删除此段落7.解：(1) 最简公分母是15m^2n^2.840n/39m * 2/5mn^2 = -8/13m^2n (2) 最简公分母是(a+1)^2(a-1)。
人教版八年级数学上册第十五章 《分式》培优综合练习【含答案】
人教版八年级数学上册第十五章《分式》培优综合练习一．选择题1．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x＝0B．x＝1C．x≠0D．x≠12．计算：的结果是（）A．B．C．D．3．如果a﹣b＝4，且a≠0，b≠0，那么代数式（﹣b）÷（）的值是（）A．﹣4B．4C．2D．﹣24．分式方程﹣＝0的解是（）A．x＝4B．x＝C．x＝﹣6D．x＝﹣5．如图，在数轴上，表示的值的点可以是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点6．抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（）A．+＝+2B．+＝+2C．＝﹣2D．＝﹣27．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠8D．m＜6且m≠08．已知x﹣＝1，则x2+等于（）A．3B．2C．1D．09．根据如图所示的框图，若输入x＝（）﹣1，y＝，则输出的m的值为（）A．﹣2B．2C．D．﹣0.510．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7B．8C．14D．15二．填空题11．分式和的最简公分母为．12．使代数式有意义的x的取值范围是．13．若a2﹣4a+1＝0，那么＝．14．已知（ab≠0），则代数式的值为．15．若关于x的分式方程﹣＝1的解为正数，且关于y的一元一次不等式组的解集为无解，则符合条件的所有整数a的和为．三．解答题16．化简：（1）x﹣y+；（2）×．17．解方程：（1）＝；（2）+2＝．18．先化简，再求值：，其中x＝﹣6．19．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．20．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？参考答案一．选择题1．由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：D．2．原式＝÷＝•＝．故选：A．3．（﹣b）÷（）＝•＝•＝a﹣b，∵a﹣b＝4，∴原式＝4．故选：B．4．分式方程﹣＝0，去分母得：2（x+2）﹣3x＝0，去括号得：2x+4﹣3x＝0，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．故选：A．5．＝+＝+＝＝1．故选：C．6．设原来每天生产x台呼吸机，根据题意可列方程：+＝﹣2，整理，得：＝﹣2，故选：D．7．原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因为关于x的方程+＝2的解为正数，所以2﹣＞0，解得：m＜6，因为x＝2时原方程无解，所以可得2﹣≠2，解得：m≠0．故选：D．8．∵x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，即x2﹣2+＝1，则x2+＝3，故选：A．9．∵x＝（）﹣1＝2，y＝，∴x≠y，∴m＝y＝．故选：C．10．解不等式组，得，∵不等式组无解，∴a﹣1≤6，∴a≤7．解分式方程，得y＝，∵y＝为非负整数，a≤7，∴a＝﹣1或1或3或5或7，∵a＝1时，y＝1，原分式方程无解，故将a＝1舍去，∴符合条件的所有整数a的和是﹣1+3+5+7＝14，故选：C．二．填空题（共5小题）11．分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）．则它们的最简公分母是2（m ﹣n）．故答案是：2（m﹣n）．12．由题意，得．解得x≠±3且x≠﹣4．故答案是：x≠±3且x≠﹣4．13．∵a2﹣4a+1＝0，∴a﹣4+＝0，则a+＝4，∴原式＝4﹣2＝2，故答案为：2．14．∵（ab ≠0），∴，∴（a 2+b 2）2＝4a 2b 2，∴（a 2﹣b 2）2＝0，∴a 2＝b 2，∴a ＝±b ，当a ＝b 时，＝12019﹣12020＝1﹣1＝0；当a ＝﹣b 时，＝（﹣1）2019﹣（﹣1）2020＝（﹣1）﹣1＝﹣2；故答案为：0或﹣2．15．分式方程﹣＝1的解为x ＝且x ≠，∵关于x 的分式方程﹣＝1的解为正数，∴＞0且≠，∴a ＞0且a ≠1．，解不等式①得：y ＞3；解不等式②得：y ＜a ．∵关于y 的一元一次不等式组的解集为无解，∴a ≤3．∴0＜a ≤3且a ≠1．∵a 为整数，∴a ＝2、3，整数a 的和为：2+3＝5．故答案为5．三．解答题（共5小题）16．（1）原式＝+＝＝；（2）原式＝×＝．17．（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x﹣1）＝6，解得x＝3，检验：x＝3时，（x+1）（x﹣1）＝8≠0，∴分式方程的解为x＝3；（2）两边都乘以x﹣4，得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，解得x＝4，检验：当x＝4时，x﹣4＝0，∴x＝4是分式方程的增根，∴原分式方程无解．18．原式＝×＝﹣＝，当x＝﹣6时，原式＝＝2．19．（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，依题意，得：×＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝180．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，∴m＝16﹣n．又∵n≥10，且m，n均为正整数，∴，，∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．20．（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．。
(完整版)分式经典培优竞赛题
1. 若，试判断是否有意义。
ab a b +--=101111a b -+，2. 计算：a a a a a a 2211313+-+--+-3、解方程：11765556222-++=-+-+x x x x x x 4. 已知与互为相反数，求代数式a a 269-+||b -1的值。
()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
6. 已知，试用含x 的代数式表示y ，并证明。
x y y =+-2332()()323213x y --=6、中考原题： 例1．已知，则M ＝__________。
M x y xy y x y x y x y 222222-=--+-+ 例2．已知，那么代数式的值是_________。
x x 2320--=()x x x --+-111321. 当x 取何值时，分式有意义？2111x x+-3. 计算：4. 解方程：x y y x y x y y x ++-+-242442222x x x x x x x x ++-++=++-++214365875. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。
现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。
问规定日期是多少天？6. 已知，求的值。
43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，x y z x y z+--+29、（6分）已知，求的值．02=-a a 1112421222-÷+--∙+-a a a a a a 21、（6分）设，当为何值时，与的值相等？23111x A B x x ==+--x A B 3、计算（1） (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-y x x y x y x x 21214214121111x x x x ++++++-6、若,试求A 、B 的值.25452310A B x x x x x -+=-+--16、已知，求的值c b a -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+b a c c a b c b a 11111117、已知=0，则= 12--x x 5412x x x ++18、设，则1=abc =++++++++111c ca c b bc b a ab a 19、已知，，，且，求20032=+x a 20042=+x b 20052=+x c 6012=abc 的值cb a abc ac b bc a 111---++20、已知，，，求的值31=+b a ab 41=+c b bc 51=+c a ac acbc ab abc ++1．若的值为,则的值是（ ）73212++y y 8196412-+y y （A ） （B ） （C ） （D ）21-171-71-712．已知,则的值为（ ）x z z y x +=+=531z y y x +-22（A ）1 （B ） （C ） （D ）2323-413．若对于以外的一切数均成立,则的值是（ 3±=x 98332-=--+x x x n x m mn ）（A ）8 （B ） （C ）16 （D ）8-16-4.有三个连续正整数,其倒数之和是,那么这三个数中最小的是（ ）6047（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．若满足,则的值为（ ）d c b a ,,,a d d c c b b a ===2222d c b a da cd bc ab ++++++（A ）1或0 （B ） 或0 （C ）1或（D ）1或1-2-1-6．设轮船在静水中的速度为,该船在流水(速度为)中从上游A 驶往下游v v u <B,再返回A ，所用的时间为T,假设,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回0=u A,所用时间为,则（ ）t （A ） （B ） （C ） （D ）不能确定T 与的大小关系t T =t T <t T >t 二、填空题（每题5分,共30分）7.已知:满足方程,则代数式的值是_____.x 20061120061=--x x2007200520062004+-x x 8. 已知:,则的值为_____.b a b a +=+511ba ab +9.方程的正整数解是_____.71011=++zy x ()z y x ,,10. 若关于的方程的解为正数,则的取值范围是_____.x 122-=-+x a x a 11. 若,则_____.11,11=+=+zy y x =xyz12.设是两个不同的正整数,且,则y x ,5211=+y x ._____=+y x 三、解答题（每题10分,共40分）13． 已知与的和等于，求之值.2+x a 2-x b 442-x x b a ,14．解方程:.708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x 15． 为何值时，分式方程无解？a ()01113=++++-x x a x x x 16． 某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?。
八年级数学分式培优专题
郴州菁华园第二课堂培优班资料专题一 分式知识点一、分式的相关概念【小试牛刀】1．下列各式中，无论x 取何值,分式都有意义的是（ )A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x + 2．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零． 3．分式24x x -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 4．分式31x a x +-中,当x a =-时，下列结论正确的是( ) A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零 5．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++ 【挑战自我】1. 若ab a b +--=10，试判断1111a b -+，是否有意义.知识点二、分式的化简,求分式的值【小试牛刀】1、（1）已知13x y 1-=，求5352x xy y x xy y +---的值． （2) 若432z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值.2、化简下列各式（1）2481124811111x x x x x -----++++ (2）1111(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x x +++++++++++【挑战自我】3、111,,,345ab bc ac abc a b b c c a ab bc ca===+++++已知a 、b 、c 为实数，且求的值。
知识点三、分式在实际问题中的应用【小试牛刀】1、商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克,则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma nbm n++元/千克（平均价）.现有甲乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成；其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成，乙种什锦糖由100元A种糖和100元B种糖混合而成，你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么?【挑战自我】某商店有一架左、右臂不相等的天平,当顾客预购质量为2m千克的货物时，营业员先在左盘上放上m千克的砝码，右盘放货物,待天平平衡后，把货物倒给顾客，然后改为右盘放砝码m千克，左盘放货物,待天平平衡后，把货物倒给顾客，这样顾客两次得到的货物2m千克，你认为这种交易公平吗?试用你所学的数学知识加以解释.【当堂检测】1、如果32=b a ,且a ≠2，那么51-++-b a b a =（ ). 2．已知M x y xy y x yx y x y 222222-=--+-+,则M ＝__________。
八年级数学分式培优专题：公式变形与字母系数方程(含答案)
公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。
公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：（1）当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a =（2）当a =0时，分以下两种情况：<1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。
含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。
下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。
解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+移项，得1262ax bx bc ac -=+()1262212602126a b x bc aca ba b x bc ac a b-=+≠∴-≠∴=+-2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x 的方程a ax b b bx a x-++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。
解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得()b a x ab 222-=-对b a 22-是否为0分类讨论：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。
（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x ab a b=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b=-2是原方程的解。
八年级上册分式解答题(培优篇)(Word版 含解析)
答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨.
（2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，
设2020年垃圾的排放量还需要増加m万吨，
90%，
m 98，
∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
2．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍.若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.
【答案】（1）100；（2）98.
【解析】பைடு நூலகம்
【分析】
（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x万吨，根据题意列方程求出x的值即可；
（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m万吨，根据题意列出不等式，解得m的取值范围即可得到答案.
【详解】
（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x万吨，
，
解得：x=100，
【详解】
解：设规定期限x天完成，则有：
，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
上海风华初级中学八年级数学上册第十五章《分式》经典练习卷(培优专题)
一、选择题1．将分式2+x x y 中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大到原来的3倍 B ．缩小到原来的13 C ．保持不变 D ．无法确定 2．使分式21x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数3．关于x 的一元一次不等式组31,224x m x x x⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程13122my y y y--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9 B ．10 C ．13 D ．144．如图，在数轴上表示2224411424x x x x x x-++÷-+的值的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N 5．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6- 6．化简分式2xy x x +的结果是（ ） A ．y x B ．1y x + C ．1y + D ．y x x+ 7．计算()3222()m m m -÷⋅的结果是（ ） A ．2m - B ．22m C ．28m - D ．8m - 8．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b= B ．11a a b b +=+ C ．2233a b a ab b = D ．232131a a b b ++=-- 9．若方程21224k x x -=--有增根，则k =（ ）A ．4-B ．14-C ．4D ．1410．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为140万元．若设乙型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．4605801x 140x -=-B ．4605801140x x =--C ．4605801x 140x =+-D ．4605801140x x -=- 11．已知1x =是分式方程2334ax a x +=-的解，则a 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．3 D ．3-12．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x+=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组213202y y y a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩的解集为2y <-，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．813．若实数a 使关于x 的不等式组313212x x a x x +⎧+≥⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩有解且最多有4个整数解，且使关于y 的方程3233y a y y --++ 1=的解是整数，则符合条件的所有整数a 的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．114．2a ab b a++-的结果是( )． A ．2a - B ．4a C ．2b a b -- D ．b a- 15．使分式2221x x x ---的值为0的所有x 的值为（ ） A ．2或1- B ．2-或1 C ．2 D ．1二、填空题16．若x ＝2是关于x 的分式方程31k x x x -+-＝1的解，则实数k 的值等于_____． 17．已知实数a 、b 满足32a b =，则a b a b +-_________． 18．当x _______时，分式22x x-的值为负．19．计算：20120192-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 20．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133aa -=；⑤()()321m m m m a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）21．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做8个，甲做160个所用的时间比乙做160个所用的时间多1小时，设甲每小时做x 个零件，列方程为________． 22．要使分式2x x 1+有意义，那么x 应满足的条件是________ ． 23．已知(3)1a a -=，则整数a 的值为______． 24．若关于x 的分式方程232x m x +=-的解是正数，则实数m 的取值范围是_________ 25．方程111x x x x -+=-的解是______． 26．已知1112a b -=，则ab a b-的值是________． 三、解答题27．（1）先化简，再求值：22228424m m m m m m +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中m 满足2430m m ++=．（2）如图，在等边ABC 中，D ．E 分别在边BC 、AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．若3cm CD =，求DF 的长．28．计算．（1）因式分解：243x y xy y ++．（2）解方程：22312442x x x x-=--+-． 29．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划的1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺地多少平方米？30．“圣诞节”前期，某水果店用1000元购进一批苹果进行销售，由于销售良好，该店又以2500元购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍．求该水果店第一次购进苹果的单价．。
八年级数学分式方程培优试卷
八年级《数学培优》分式方程及应用一、选择题:1.若a,b,c 满足a+b+c =0,abc =8,则c 1b 1a 1++的值是( B ) A.正数 B. 负数 C. 0 D.正数或负数2.方程0x 1x 4x 1x 2x 1x x 1x 42=++++++-的解为( A ) A.0 B. 1 C. 2 D.33.若关于x 的分式方程2x a x 5-=有解，则a 的取值范围是（ D ） A.a =5或a =0 B.a ≠0 C. a ≠5 D.a ≠5且a ≠0 4.若关于x 的分式方程1x131x m =-+-的解为非负数，则m 的取值范围是（ C ） A.m >2 B.m ≥2 C. m ≥2且m ≠3 D.m >2且m ≠3 5.已知关于x 的分式方程11x m )1x )(1x (6=---+有增根，则它的增根是（ B ） A.0 B. 1 C. -1 D.1和-16.若分式方程21x m 1x x 3++=+无解,,则m 的值是（ B ） A.-1 B.-3 C.0 D.-27.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米／ 时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米／时， 则可列方程( A )A 、BCD 、8.某项工作，甲单独做需要a 完成，在甲做了c 天(c<a )后,剩下的工作由乙单独完成还需要b 天, 若开始就由甲、乙共同合做，则完成任务需（ B ）A.b a c +B. c b a ab -+C. 2c b a -+D.cb a bc ++ 二、填空题：9. 关于x 的方程2x 34x mx 2x 22+=-+-有增根,则m 的值为 6或-4 ； 10. 若关于x 的方程23x m 3x 2x +-=--有解，则m 的取值范围是 m ≠1 ； 11.已知 关于x 的方程3)x 1x ()x 1x (2x 1x 222-+=+++,则1x 1x ++的值为 21 ； 12.方程6x 4x 5x 3x 4x 2x 7x 5x --+--=--+--的解为 211 ；13.若关于x 的方程6x 5x 2x 3a 2x 12+-=-+-无解,则a 的取值为 -1或2 ； 14.同学们去距离学校120千米的游览区玩,一些学生乘慢车先行1小时后,其余学生乘快车前往,结果同时到达,已知快车速度是快车速度的1.5倍,则快车速度为 60千米/时 .三、解答题:15.已知x 为整数,且9x 18x 2x 323x 22-++-++为整数,求所有符合条件的x 的值 解：)3x )(3x (18x 2()3x (2)3x (29x 18x 2x 323x 22-++++--=-++-++ =3x 2)3x )(3x ()3x (2)3x )(3x (6x 2-=-++=-++ 已知x 为整数，且3x 2-也是整数 ∴ x -3 = ±2或 ±1 ∴x =5或4或1或216.点A ，B 在数轴上，它们表示的数分别是1x x -和22x x 39x 6x -+-，且A ，B 两点关于原点对称， 求x 的值解：由题意 得 1x x -+22x x 39x 6x -+-=0 即0x 3x 1x x =--- 解得 43x = 经检验，43x =是原方程的根，则分式方程的解为43x = ∴ x 的值为4317.已知01x 4x 2=++，且3x 2ax x 21ax x 324=++++，求a 的值 解：∵01x 4x 2=++ ∴ 4x 1x -=+∴ 14x1x 22=+ ∵3x 2ax x 21ax x 324=++++ ∴ 3x 2a x 2x 1a x 22=++++ ∴3a )x1x (2a )x 1x (22=++++ ∴3a 8a 14=+-+ ∴ 14+a =-24+3a 解得 a = 1918．解方程:708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x . 解：708x 11x 5)5x )(4x (1)4x )(3x (1)3x )(2x (1)2x )(1x (1)1x (x 12-+=+++++++++++++ 708x 11x 55x 14x 14x 13x 13x 12x 12x 11x 11x 1x 12-+=+-+++-+++-+++-+++- ∴ 708x 11x 55x 1x 12-+=+- ∴ 708x 11x 5)5x (x x 5x 2-+=+-+ 即 708x 11x 5x 5x 522-+=+ ∴ x 2+11x -708=x 2+5x 解得 x =118经检验， x =118是原方程的根19.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？20.某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲， 丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍， 求1c 11b 11a 1+++++的值. 解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需x 天、y 天、z 天,根据题意得, zy ayz z 1y 11a x +=+⋅=， 得yz )z y (x a +=， ∴yz zx yz x y 1a ++=+ ∴ zx yz x y yz 1a 1++=+ 同理可得 zx yz x y zx 1b 1++=+，zxyz x y x y 1c 1++=+ ∴ zx yz x y x y zx yz x y zx zx yz x y yz 1c 11b 11a 1++++++++=+++++=1zxyz x y x y zx yz =++++ 21.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？ 请说明理由．解：（1）设甲队单独做x 天完成，乙队单独做y 天完成，丙队单独做z 天完成，则解方程组，得经检验，x=10，y=15，z=30是原方程组的解（2）设甲队做一天应付给a 元，乙队做一天应付给b 元，丙队做一天应付给c 元，则有 解方程组，得∴10a =8000（元），15b =9750（元）， ∴由甲队单独完成此工程花钱最少．答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成，（2）由甲队单独完成此工程花钱最少．。
分式培优练习题(完整答案)
分式培优练习题(完整答案)分式(一)一选择1下列运算正确的是（）A-40=1B（-3）-1=1C（-2m-n）2=4m-nD（a+b）-1=a-1+b-13 2分式yz某z某y的最简公分母是（）,,212某9某y8zA72某yz2B108某yzC72某yzD96某yz23用科学计数法表示的树-3.6某10-4写成小数是（）A0.00036B-0.0036C-0.00036D-360004若分式某2某5某62的值为0，则某的值为（）A2B-2C2或-2D2或35计算11112的结果是（）某1某1某11D某某1A1B某+1C6工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派某人挖土，其它的人运土，列方程①72某1某某②72-某=③某+3某=72④3上述所列方程，正确的有（）个某3372某A1B2C3D411某213某y317在,,,,,a中，分式的个数是（）某22某ymA2B3C4D58若分式方程1a某3有增根，则a的值是（）某2a某A-1B0C1D29若111ba,则3的值是（）ababababck，则直线y=k某+2k一定经过（）bcacabA-2B2C3D-310已知A第1、2象限B第2、3象限C第3、4象限D第1、4象限二填空b2b5b8b11,,,,ab0，其中第7个式子是1一组按规律排列的式子：aa2a3a4第n个式子是27m=3,7n=5,则72m-n31042022231aa2abb24若2,则22bab三化简ab23a2b2314cd2d2c23aa2a122a1a1a12某65某2某2某2四解下列各题1已知112a3ab2b113,求的值2若0<某<1,且某6,求某的值aba2abb某某m2n2mn2mn五（5）先化简代数式m2n2mnmn2mn，然后在取一组m,n的值代入求值六解方程12312422某32某1某1某1某1七2022年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？分式(二)一、选择题：1．已知某3yz某yz，则的值是（）2某yz230.5A．11B.7C.1D.732．一轮船从A地到B地需7天，而从B地到A地只需5天，则一竹排从B地漂到A地需要的天数是（）A．12B.35C.24D.473．已知ab6ab，且ab0，则A．2B．22ab的值为（）ab2C．2D．2二、填空题：某m224.若关于某的分式方程无解，则m的值为__________.某3某35.若分式某1的值为负数，则某的取值范围是__________．3某2某y24y226.已知，则的y4y某值为______.2某1y4y1三、解答题：7.计算：2m2n28.计算3m233n2mnmn某24某（1）2（2）nmmnnm某8某169.先化简，后求值：2aa2aa2a,b3(2)()1，其中2223aba2abbabab10.解下列分式方程．1242某1某1某111.计算：（1）112．已知某为整数，且11241某（2）1某1某1某21某41某某1222某182为整数，求所有符合条件的某的值．某33某某913．先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初2三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用m1元，（m为正整数，且m12＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用m1元．设初三年级共有某名学生，则①某的取值范围是；②铅笔的零售价每支应为元；③批发价每支应为元．（用含某、m的代数式表示）．14．A、B两地相距20km，甲骑车自A地出发向B地方向行进30分钟后，乙骑车自B地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A地驶去，两车在距B地12km的C地相遇，求甲、乙两人的车速.2分式(三)一、填空题某y21、在有理式2，，a1，某y，2中属于分式的有.21某32、分式某3的值为0，则某=.3、分式和它的倒数都有意义，则某的取值范围是.4、当某_____时，122(某y)的值为负数；当某、y满足时，的值为；1某33(某y)3y5、若分式的值为4，则某,y都扩大两倍后，这个分式的值为6、当某=时，分式与互为相反数.7、若分式方程1-有增根，则m=.8、要使方程某1某a有正数解，则a的取值范围是9、+.....=_____________10、若=，则分式222=____________abc二、选择题11、已知m、n互为相反数，a、b互为倒数,|某|=2,则A、2B、3C、4D、512.下列式子:（1）mn某2ab的值为（）某babaab某y11；；（2）；（3）caacab某2y2某y（4）某y某y中正确的是（）某y某yA、1个B、2个C、3个D、4个13.下列分式方程有解的是（）20A、=2B、某C、0D、1某114.若分式不论m取何实数总有意义，则m的取值范围是（）某2某m2A、m≥1B、m＞1C、m≤1D、m＜115、晓晓根据下表，作了三个推测：某-1①的值随着某的增大越来越小；某②3-某(某>0)的值有可能等于2；③3-某-1(某>O)的值随着某的增大越来越接近于2．某某-1则推测正确的有()A、0个B、1个C、2个D、3个16.已知分式某y的值是a，如果用某、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b1某y关系（）A、相等B、互为相反数C、互为倒数D、乘积为－1三、解答题21122a2b217、化简：[2+÷(+)]·.aba2b22aba2abb2ab18、当a19、A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.（1）那种玉米的单位面积产量高？314ab4ab,b时，求abab的值.22aba＋b（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？四、探索题20、观察以下式子：111215527533543＞，＜，＞，22132442645555577372＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数2232的变化情况，并证明你的结论.21、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算？22、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？分式（一）参考答案一CACBCCBBAB3n13b20nb二1-7,1，29/5，32，4n5aa三11a2，2，3a1某3ac四1提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab。
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郴州菁华园第二课堂培优班资料
专题一 分式
知识点一、分式的相关概念
【小试牛刀】
1．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）
A ．121x +
B ．21
x x + C ．231x x + D ．2221x x + 2．当x _______时，分式2212
x x x -+-的值为零． 3．分式24
x x -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 4．分式31
x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义
C ．若13
a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零 5．下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A ．2211m m +-
B ．211m m -+
C ．211
m m +- D ．211m m ++ 【挑战自我】
1.
知识点二、分式的化简，求分式的值 【小试牛刀】
1、（1）已知13x y 1-=，求5352x xy y x xy y +---的值． （2） 若4
32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值.
2、化简下列各式
（1）
2481124811111x x x x x -----++++ （2）
1111(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x x +++++++++++K
【挑战自我】
3、111,,,345ab bc ac abc a b b c c a ab bc ca
===+++++已知a 、b 、c 为实数，且
求的值。
知识点三、分式在实际问题中的应用
【小试牛刀】
1、 商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A 种糖的单价为a 元/
千克，B 种糖的单价为b 元/千克，则m 千克A 种糖和n 千克B 种糖混合而成的什锦糖的单价为ma nb m n
++元/千克（平均价）。
现有甲乙两种什锦糖，均由A 、B 两种糖混合而成；其中甲种什锦糖由10千克A 种糖和10千克B 种糖混合而成，乙种什锦糖由100元A 种糖和100元B 种糖混合而成，你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？
【挑战自我】
某商店有一架左、右臂不相等的天平，当顾客预购质量为2m 千克的货物时，营业员先在左盘上放上m 千克的砝码，右盘放货物，待天平平衡后，把货物倒给顾客，然后改为右盘放砝码m 千克，左盘放货物，待天平平衡后，把货物倒给顾客，这样顾客两次得到的货物2m 千克，你认为这种交易公平吗？试用你所学的数学知识加以解释。
【当堂检测】
1、如果3
2=b a ，且a ≠2，那么51-++-b a b a =( ).
2M ＝__________。
3. 当x x 取什么数时，该式子值为零？
4、求()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab
b a -++-÷+-++的值。
5.。