中考数学专题复习(折叠剪切问题)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案： 2 ∶1. 【21】用剪刀将形状如图 1 所示的矩形纸片 ABCD 沿着直线 CM 剪成两部分,其中 M 为 AD 的中点. 用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图 2 中的 Rt△BCE 就是拼成的一个图形. E M D M
m 7 或m
1 2 1 3 1 ， a 2a 0 ，知 m 不符合题意，舍去. 2 2 2
A.
B.
C.
D. 3A 2(1 2)
答案：D 五、折叠后得结论 【15】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三 第 14 题图 角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论： “三角形的 三个内角和等于_______°.”
A
A
B 图1
C
B 图2
C 图3 图4
第 21 题图 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试, (1)用这两部分纸片除了可以拼成图 2 中的 Rt△BCE 把拼好的四边形分别画在图 3、图 4 的虚框内. (2)若利用这两部分纸片拼成的 Rt△BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边 AB 和 BC 的 长分别为 a 厘米、 b 厘米,且 a、 b 恰好是关于 x 的方程 x 2 ( m 1) x m 1 0 的两个实 数根,试求出原矩形纸片的面积. 答案： （1）如图 A M E A M
）
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律 是（ ）
百度文库
答案：C 【14】 如图，已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿 AD 剪 开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
G B F 图a C F 图b 第 6 题图 C F C 图c
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2 答案：B 三、折叠后求长度 【7】如图，已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折 叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且 ED BC ，则 CE 的长是（ ） （A） 10 3 15 （C） 5 3 5 （B） 10 5 3 （D） 20 10 3 F B D C 【11】 如图， 把矩形 ABCD 对折， 折痕为 MN （图甲） ， 再把 B 点叠在折痕 MN 上的 处。 A 答案：D E
A B E
C
D
答案： B 【6】如图 a，ABCD 是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E 是 AD 上一点，且 AE＝6cm。操作： （1）将 AB 向 AE 折过去，使 AB 与 AE 重合，得折痕 AF，如图 b； （2）将△AFB 以 BF 为折痕 向右折过去，得图 c。则△GFC 的面积是（ ） A E D A B D B D A
2 2
E
B
图3
C 第 21 题答案图
B
图4
C
E A B F
H D C G
（2）由题可知 AB＝CD＝AE，又 BC＝BE＝AB＋AE ∴BC＝2AB， 即 b 2a 由题意知 ∴
a,2a 是方程 x 2 (m 1) x m 1 0 的两根
a 2 a m 1 a 2 a m 1
（2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB=2a，问△CMG 的周长是否与点 M 的位置有关？若有 关，请把△CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由.
消去 a，得 解得
2m 2 13m 7 0
3 1 5 答案： （1）先求出 DE= AD ， DM AD ， EM AD 后证之. 8 2 8 （2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG 的周长等于 4a，从而它与点 M 在 CD 边上的位置 无关. 【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长 方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?
D
D． 1 : 3
M C
（2） 第 15 题图 答案：180 （1） 第 17 题图
E
G F B
A
答案：A 第 19 题图 【16】如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则 与
六、折叠和剪切的应用 【19】将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G（如图）. （1）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
答案：D 第 7 题图 四、折叠后得图形 【8】将一张矩形纸对折再对折（如图） ，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展 开后得到的平面图形是（ ）
得到 （ ）
（图乙） ，再延长
交 AD 于 F，所得到的
是
第 8 题图 A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
答案：D 【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能 拼成三角形和梯形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 答案：B 【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图 1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一 部分展开后的平面图形是（ ）
答案：可以切割出 66 个小正方形。 方法一： （1）我们把 10 个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径 为 10.05cm 的圆内，如图中矩形 ABCD。 ∵AB＝1 BC＝10 ∴对角线 AC ＝100＋1＝101＜ 10.05 （2）我们在矩形 ABCD 的上方和下方可以分别放入 9 个小正方形。
2 2 2 ∵ 4 9 16 81 97 ＜ 10.05
25 x 2 (12 x) 2
x 119 24
ABE
5 2 9 2 25 81 106 ＞ 10.05 2
现在总共排了 9 层，高度达到了 9，上下各剩下约 0.5cm 的空间，因为矩形 ABCD 的位置 不能调整，故再也放不下一个小正方形了。 ∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二： 学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按 9 个正方形排成一排，叠 4 层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层 8 个，现在共有 6 层。 （2）在前面的基础上，上下各加 6 个，现在共有 8 层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共 10 层。 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个） 【23】在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的 方法折出菱形 EFGH（见方案一） ， 张丰同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE=∠DAC， ∠ACF=∠ACB 的方法 得到菱形 AECF（见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形 面积较大？ A E B H D G C F （方案一） 第 23 题图 答案： （方案一） B C E （方案二） A F D
S菱形 =S矩形 2 S
1 119 12 5 2 5 2 24
35.21(m)
比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大. 【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：
A.
B.
C.
D.
第 9 题图 答案：D 【10】小强拿了张正方形的纸如图（1） ，沿虚线对折一次如图（2） ，再对折一次得图（3） ，然后 用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( ) 图1
图3
A B C D
第 12 题图
答案：C 【13】如图 1 所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（
∵新加入的两排小正方形连同 ABCD 的一部分可看成矩形 EFGH，矩形 EFGH 的长为 9，高
2 2 2 2 为 3， 对角线 EG 9 3 81 9 90 ＜ 10.05 。 但是新加入的这两排小正方形不能是 每排 10 个，因为：
S菱形 S矩形 4 S
AEH
10 2 3 2 100 9 109 ＞ 10.05 2
答案：B 【17】从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形(如图 1)，然后将剩余部分剪拼成一 个矩形(如图 2)，上述操作所能验证的等式是（ ） 2 2 2 2 A.a –b =(a+b)(a-b) Ｂ.(a–b) = a –2ab+b2 Ｃ.(a+b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 + ab = a (a+b) 答案：A 【18】如图，一张矩形报纸 ABCD 的长 AB＝a cm，宽 BC＝b cm，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将 这张报纸沿着直线 EF 对折后， 矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比， 则 a∶b 等于（ ） ． A． 2 : 1 B． 1 : 2 C． 3 : 1
中考数学专题复习——折叠剪切问题
折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题， 学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题. 一、折叠后求度数 【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） 0 0 0 0 A．60 B．75 C．90 D．95
答案：C 【5】如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线 剪开，拼成如下右图的一座“小别墅” ，则图中阴影部分的面积是 A．2 B．4 C．8 D．10
经检验：由于当 m
m 7 符合题意.
∴ S 矩形 ab m 1 8 答：原矩形纸片的面积为 8cm2. 【22】电脑 CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片， 叫“晶圆片” 。现为了生产某种 CPU 蕊片，需要长、宽都是 1cm 的正方形小硅片若干。如果晶 圆片的直径为 10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片 66 张？请说明你的 方法和理由。 （不计切割损耗）
答案：C 【2】如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D、C 分别落在 D′、C′的位置，若∠EFB＝65°， 则∠AED′等于（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 答案：A 【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以 得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
图（1）
图 （2）
第 3 题图 答案：36° 二、折叠后求面积 【4】如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再 将△AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则△CEF 的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10
2 2 2 （3）同理： 8 5 64 25 89 ＜ 10.05
1 5 12 5 4 6 2 2
30(cm 2 )
（方案二） 设 BE=x，则 CE=12-x
9 2 5 2 81 25 106 ＞ 10.05 2
∴可以在矩形 EFGH 的上面和下面分别再排下 8 个小正方形，那么现在小正方形已有了 5 层。 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共 7 层，新矩形的高可以看成是 7，那么新加 入的这两排，每排都可以是 7 个但不能是 8 个。
2 2 2 ∵ 7 7 49 49 98 ＜ 10.05
AE BE 2 AB 2 25 x 2
由 AECF 是菱形，则 AE =CE
2 2
8 2 7 2 64 49 113 ＞ 10.05 2
（5）在 7 层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是 9，这两层，每排可以 是 4 个但不能是 5 个。
m 7 或m
1 2 1 3 1 ， a 2a 0 ，知 m 不符合题意，舍去. 2 2 2
A.
B.
C.
D. 3A 2(1 2)
答案：D 五、折叠后得结论 【15】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三 第 14 题图 角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论： “三角形的 三个内角和等于_______°.”
A
A
B 图1
C
B 图2
C 图3 图4
第 21 题图 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试, (1)用这两部分纸片除了可以拼成图 2 中的 Rt△BCE 把拼好的四边形分别画在图 3、图 4 的虚框内. (2)若利用这两部分纸片拼成的 Rt△BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边 AB 和 BC 的 长分别为 a 厘米、 b 厘米,且 a、 b 恰好是关于 x 的方程 x 2 ( m 1) x m 1 0 的两个实 数根,试求出原矩形纸片的面积. 答案： （1）如图 A M E A M
）
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律 是（ ）
百度文库
答案：C 【14】 如图，已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿 AD 剪 开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
G B F 图a C F 图b 第 6 题图 C F C 图c
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2 答案：B 三、折叠后求长度 【7】如图，已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折 叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且 ED BC ，则 CE 的长是（ ） （A） 10 3 15 （C） 5 3 5 （B） 10 5 3 （D） 20 10 3 F B D C 【11】 如图， 把矩形 ABCD 对折， 折痕为 MN （图甲） ， 再把 B 点叠在折痕 MN 上的 处。 A 答案：D E
A B E
C
D
答案： B 【6】如图 a，ABCD 是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E 是 AD 上一点，且 AE＝6cm。操作： （1）将 AB 向 AE 折过去，使 AB 与 AE 重合，得折痕 AF，如图 b； （2）将△AFB 以 BF 为折痕 向右折过去，得图 c。则△GFC 的面积是（ ） A E D A B D B D A
2 2
E
B
图3
C 第 21 题答案图
B
图4
C
E A B F
H D C G
（2）由题可知 AB＝CD＝AE，又 BC＝BE＝AB＋AE ∴BC＝2AB， 即 b 2a 由题意知 ∴
a,2a 是方程 x 2 (m 1) x m 1 0 的两根
a 2 a m 1 a 2 a m 1
（2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB=2a，问△CMG 的周长是否与点 M 的位置有关？若有 关，请把△CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由.
消去 a，得 解得
2m 2 13m 7 0
3 1 5 答案： （1）先求出 DE= AD ， DM AD ， EM AD 后证之. 8 2 8 （2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG 的周长等于 4a，从而它与点 M 在 CD 边上的位置 无关. 【20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长 方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?
D
D． 1 : 3
M C
（2） 第 15 题图 答案：180 （1） 第 17 题图
E
G F B
A
答案：A 第 19 题图 【16】如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则 与
六、折叠和剪切的应用 【19】将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G（如图）. （1）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
答案：D 第 7 题图 四、折叠后得图形 【8】将一张矩形纸对折再对折（如图） ，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展 开后得到的平面图形是（ ）
得到 （ ）
（图乙） ，再延长
交 AD 于 F，所得到的
是
第 8 题图 A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
答案：D 【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能 拼成三角形和梯形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 答案：B 【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图 1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一 部分展开后的平面图形是（ ）
答案：可以切割出 66 个小正方形。 方法一： （1）我们把 10 个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径 为 10.05cm 的圆内，如图中矩形 ABCD。 ∵AB＝1 BC＝10 ∴对角线 AC ＝100＋1＝101＜ 10.05 （2）我们在矩形 ABCD 的上方和下方可以分别放入 9 个小正方形。
2 2 2 ∵ 4 9 16 81 97 ＜ 10.05
25 x 2 (12 x) 2
x 119 24
ABE
5 2 9 2 25 81 106 ＞ 10.05 2
现在总共排了 9 层，高度达到了 9，上下各剩下约 0.5cm 的空间，因为矩形 ABCD 的位置 不能调整，故再也放不下一个小正方形了。 ∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二： 学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按 9 个正方形排成一排，叠 4 层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层 8 个，现在共有 6 层。 （2）在前面的基础上，上下各加 6 个，现在共有 8 层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共 10 层。 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个） 【23】在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的 方法折出菱形 EFGH（见方案一） ， 张丰同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE=∠DAC， ∠ACF=∠ACB 的方法 得到菱形 AECF（见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形 面积较大？ A E B H D G C F （方案一） 第 23 题图 答案： （方案一） B C E （方案二） A F D
S菱形 =S矩形 2 S
1 119 12 5 2 5 2 24
35.21(m)
比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大. 【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：
A.
B.
C.
D.
第 9 题图 答案：D 【10】小强拿了张正方形的纸如图（1） ，沿虚线对折一次如图（2） ，再对折一次得图（3） ，然后 用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( ) 图1
图3
A B C D
第 12 题图
答案：C 【13】如图 1 所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（
∵新加入的两排小正方形连同 ABCD 的一部分可看成矩形 EFGH，矩形 EFGH 的长为 9，高
2 2 2 2 为 3， 对角线 EG 9 3 81 9 90 ＜ 10.05 。 但是新加入的这两排小正方形不能是 每排 10 个，因为：
S菱形 S矩形 4 S
AEH
10 2 3 2 100 9 109 ＞ 10.05 2
答案：B 【17】从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形(如图 1)，然后将剩余部分剪拼成一 个矩形(如图 2)，上述操作所能验证的等式是（ ） 2 2 2 2 A.a –b =(a+b)(a-b) Ｂ.(a–b) = a –2ab+b2 Ｃ.(a+b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 + ab = a (a+b) 答案：A 【18】如图，一张矩形报纸 ABCD 的长 AB＝a cm，宽 BC＝b cm，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将 这张报纸沿着直线 EF 对折后， 矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比， 则 a∶b 等于（ ） ． A． 2 : 1 B． 1 : 2 C． 3 : 1
中考数学专题复习——折叠剪切问题
折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题， 学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题. 一、折叠后求度数 【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） 0 0 0 0 A．60 B．75 C．90 D．95
答案：C 【5】如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线 剪开，拼成如下右图的一座“小别墅” ，则图中阴影部分的面积是 A．2 B．4 C．8 D．10
经检验：由于当 m
m 7 符合题意.
∴ S 矩形 ab m 1 8 答：原矩形纸片的面积为 8cm2. 【22】电脑 CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片， 叫“晶圆片” 。现为了生产某种 CPU 蕊片，需要长、宽都是 1cm 的正方形小硅片若干。如果晶 圆片的直径为 10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片 66 张？请说明你的 方法和理由。 （不计切割损耗）
答案：C 【2】如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D、C 分别落在 D′、C′的位置，若∠EFB＝65°， 则∠AED′等于（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 答案：A 【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以 得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
图（1）
图 （2）
第 3 题图 答案：36° 二、折叠后求面积 【4】如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再 将△AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则△CEF 的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10
2 2 2 （3）同理： 8 5 64 25 89 ＜ 10.05
1 5 12 5 4 6 2 2
30(cm 2 )
（方案二） 设 BE=x，则 CE=12-x
9 2 5 2 81 25 106 ＞ 10.05 2
∴可以在矩形 EFGH 的上面和下面分别再排下 8 个小正方形，那么现在小正方形已有了 5 层。 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共 7 层，新矩形的高可以看成是 7，那么新加 入的这两排，每排都可以是 7 个但不能是 8 个。
2 2 2 ∵ 7 7 49 49 98 ＜ 10.05
AE BE 2 AB 2 25 x 2
由 AECF 是菱形，则 AE =CE
2 2
8 2 7 2 64 49 113 ＞ 10.05 2
（5）在 7 层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是 9，这两层，每排可以 是 4 个但不能是 5 个。