高三数学数列复习题

数列一、选择题1. 设{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是A. 若11a =，54a =，则32a =-B. 若130a a +>，则240a a +>C. 若21a a >，则32a a >D. 若210a a >>，则1322a a a +>2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，63S =，则10S =A. 110B. 0C. 10-D. 15-3. 数列{}n a 为正项递增等比数列，满足2410a a +=，2316a =，则12102loga a a +++=A. 45-B.45C. 90-D. 904. 在数列{}n a 中，28a =，52a =，且()*122n n n a a a n N ++-=∈，则1210a a a ++=A.210B.10C. 50D. 905. 已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取最大值时，n 的值为A.2B. 3C. 4D. 66. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a 为函数()()cos f x x x x R =+∈的最大值，且满足112n n n n a a aS a S +-=-，则数列{}n a 的前2018项之积2018A = A. 1B. 12C. 1-D. 2二、填空题7. 在数列{}n a 中，12a =，()112n n na n a +=++，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式是n a =______．8. 已知数列{}n a 满足1368n na a n n+-=+，若1n n a a +>，则数列{}n a 的首项的取值范围为______．9. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数则在这“等差数阵”中出现的次数为______．10. 正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()12nn n nc S =-，则数列{}n c 的前2016项的和为______．三、解答题11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S .已知12a =，142n n S a +=+．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式． 12. 设数列{}n a 满足1123242n n a a a a n -+++=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2log n n a a +的前n 项和．13. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1238a a a =，()()*2135213n n S a a a a n N -=++++∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在曲线25122y x x =+，上数列{}n b 满足2+12n n n b b b ++=，411b =，{}n b 的前5项和为45．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设()()12328n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式54n k T >恒成立的最大正整数k 的值．15.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a …，且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩…，记集合{}*n M a n =∈N .（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素时3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值.数列的参考答案1、【答案】D【解析】解：A. 由等比数列的性质可得：23154a a a ==由于奇数项的符号相同，可得32a =，因此不正确．B .130a a +>，则()2413a a q a a +=+，其正负由q 确定，因此不正确；C .若21a a >，则()110a q ->，于是()3211a a a q q -=-，其正负由q 确定，因此不正确；D .若210a a >>，则110a q a >>，可得10a >，1q >，所以212q q +>，则()21112a q a q +>，即1322a a a +>，因此正确． 故选：D ． 2、【答案】D【解析】解：因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，63S =，所以31613236265632S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得13a =，1d =-，所以()101091031152S ⨯=⨯+⨯-=-． 故选：D ． 3、【答案】D【解析】解：因为{}n a 为正项递增等比数列，所以10n n a a ->>，公比1q >．因为2410a a +=，且232416a a a == ，解得22a =，48a =又因为 242a a q = ，得2q =或2q =-（舍），则得516a =，632a =。

所以原式=90，故选：D ． 4、【答案】C【解析】解：因为()*122n n n a a a n N ++-=∈，即()*212n n n a a a n N +++=∈，所以数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则18a d +=，142a d +=，联立解得110a =，2d =-，所以()1021122n a n n =--=-．令0n a ≥，解得6n ≤．()210122112nn n S n n +-==-．所以1210126710610250a a a a a a a a S S +++=+++---=-=故选：C ． 5、【答案】C【解析】解：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，可得3127q =，()()()121243n n nn T -=-⋅，当n T 取最大值时，可得n 为偶数，函数()13xy =在R 上递减，当2n =时，2192T =；当4n =时，4489T =；当6n =时，66983T =，则246T T T <>，当6n>，且n 为偶数时，6n T T <，故4n =时，n T 取最大值． 故选：C ．6、【答案】A【解析】解：函数()()cos 2sin 6f x x x x π=+=+，当2,3x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2，则12a =，由112n n n n a a aS a S +-=-，即为11n n n n n a a S a S +=-+，即有1111n n n n a a a a +-==-，211n n a a +=-，3n n a a +=，则数列{}n a为周期为3的数列，且12a =，212a =，31a =-，则一个周期的乘积为1-，由于201836722=⨯+，则数列{}n a 的前2018项之积1． 故选A ．7、【答案】42n -【解析】解：在数列{}n a 中，由12a =，()112n n na n a +=++，*n N ∈，可得()1211n n a a n n n n +=+++，即为()111211n n a a n n n n +-=-++，则()31121142111112211213212231n n n a a aa a a a a n n n n n n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-++-=+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得42n a n =-． 故答案为：42n -． 8、【答案】()7,-+∞ 【解析】解：数列{}n a 满足1368n na a n n+-=+，可得1386n n a a n +=++，1n n a a +>，可得数列{}n a 递增，可得386n n a n a ++>，可得430n a n ++>恒成立，即有1430a ++>，解得17a >-．则数列{}n a 的首项的取值范围为()7,-+∞. 故答案为：()7,-+∞．9、【答案】7【解析】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：()1431j a j =+-， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：()2751j a j =+- 第i 行是首项为()431j +-，公差为21i +的等差数列，因此2ij a ij i j =++，要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数,i j ，使得2112ij i j ++=，所以11221i j i -=+，当1i =时，37j =，当2i =时，22j =，当4i =时，12j =，当7i =时，7j =，当12i =时，4j =，当22i =时，2j =，当37i =时，1j =．所以112在这“等差数阵”中出现的次数为7． 故答案为：7．10、【答案】20162017-【解析】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+，则21112n n n S a a +++=+，得221112n n nn naaa a a +++=-+-，整理得：当1n =时，21112S a a =+解得：11a =， 所以：数列{}n a 是以11a =为首项，1为公差的等差数列．则()11n a n n =+-=，所以：22n n n S +=．则()()1111n n c n n =-++，所以201620162017T =-故答案为：201620162017T =-. 11、【答案】（Ⅰ）证明：由已知得12142a a a +=+，解得28a =，14b =．又有221+144n n n n n a S S a a +++=-=-，所以()211222n n n n a a a a +++-=-，即+1=2n n b b ，因此数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得等比数列{}n b 中1=4b ，2q =，所以1112422n n n n n b a a -++=-=⨯=，11122n n n n a a ++-=，因此数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，所以2n na n =，即2nn a n =⋅.12、【答案】解：（Ⅰ）因为数列{}n a 满足1123242n n a a a a n -++++=，所以当2n ≥时，212312421n n a a a a n --+++=-，所以当2n ≥时，121n n a -=，即112n n a -=，当1n =时，1n a =满足112n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为112n n a -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知211log 12n n n a a n -+=+-，所以()()()()1212222221111log log log 112122212222n n n n a a a a a a n n n -⎛⎫++++++=++++-+++- ⎪⎝⎭=--+13、【答案】解：（Ⅰ）利用等比数列的性质可得，312328a a a a ==，即22a =，由()()*2135213n n S a a a a n N -=++++∈ ，所以当1n =时有，21213S a a a =+=，从而可得11a =，2q =，所以12n n a -=，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得121212nn n S -==-+-，所以2n n n b nS n n ==-+⋅，所以()231231222322n n T n n =-+++++⨯+⨯+⨯++⋅，设231222322n n A n =⨯+⨯+⨯++⋅，所以234121222322n n A n +=⨯+⨯+⨯++⋅，所以()23111122222222212n n n n n n A n n n ++++-=++++-⋅=-+-⋅=-+-⋅，所以()1212n n A n +=+-⋅，所以()()1+1+2122n n n n T n +=-+-⋅． 14、【答案】解：（Ⅰ）由已知得：25122n S n n =+，当1n =时，3n a =，当2n ≥时，()()22155111122222n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，当1n =时，符合上式．所以2n a n =+．因为数列{}n b 满足2+12n n n b b b ++=，所以{}n b 为等差数列设其公差为d ． 则(){413131155245b b d b b d =+==+=，解得{152b d ==， 所以23n b n =+． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()()()()()()()111111421212142221212328n n n c n n n n n n a b ====--++-+---，所以()()111111111143352121421n T n n n =-+-++-=--++，因()()()1111104212322123n n T T n n n n +-=-=>++++， 所以{}n T 是递增数列．所以116n T T ≥=，故54n k T >恒成立只要11654k T =>恒成立．所以9k <，最大正整数k 的值为8．15、解析（Ⅰ）6，12，24.（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩…，可归纳证明对任意n k …，n a 是3的倍数.如果1k =，则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >，因为12k k a a -=或1236k k a a -=-，所以12k a -是3的倍数，或1236k a --是3的倍数，于是1k a -是3的倍数.类似可得，2k a -，…，1a 都是3的倍数. 从而对任意1n …，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由136a …，*1a ∈N ，11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…，可归纳证明()362,3,n a n =….因为1a 是正整数，112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…，所以2a 是2的倍数.从而当3n …时，n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数，由（2）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数，因此当3n …时，{}12,24,36n a ∈，这时，M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数n ，n a 不是3的倍数，因此当3n …时，{}4,8,16,20,28,32n a ∈，这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.。