复变函数第七章学习指导

复变函数第七章学习指导

一、 知识结构

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)7.17.137.147.17.47.6,,,n z az b w w z z w e z Lnw cz d ⎧⎧⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨⎨+⎪⎪=====⎪⎪+⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

共形影射概念共形影射的基本理论黎曼定理定理定理边界对应定理定理保域性定理保角性定理保形性定理解析函数的影射特征的影射性质共形影射基本问题举例

二、 学习要求

⑴ 理解解析函数的映射性质；

⑵ 了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质； ⑶ 理解分式线性变换的映射性质；

⑷ 会求将区域G 映射为G '的共形映射)(z f W =。

三、 内容提要

解析函数的保域性

定理7.1 若函数)(z f w =在区域G 内解析，且不是一个常数，则G 的象='G

)(G f 是区域．

解析函数的保角性

定义7.1 设映射)(z f w =在区域G 内连续，若它使通过点G z ∈0的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点0z 是保角的．

若映射)(z f w =在区域G 内的每一点都是保角的，则称该映射为区域G 内的保角映射，或称该映射在G 内是保角的．

定义7.2 若映射)(z f w =在区域G 内是单叶且保角的，则称该映射为区域G 内的保形映射，或称该映射在G 内是保形的．

定理7.2 若函数)(z f w =在区域G 内解析，则它在导数不为零处是保角的．

定理7.3 若函数)(z f w =在区域G 内单叶且解析，则它在G 内是保角的． 单叶解析函数的保形性

定理7.4 若函数)(z f w =在区域G 内单叶且解析，则

⑴)(z f w =是区域G 内的保形映射，且G 的像)(G f G ='为区域； ⑵)(z f w =的反函数)(1

w f

z -=在G '内单叶且解析，并有

G z f w G z z f w f

'∈=∈'=

'

-)(,,)

(1

)(000001

几个初等函数的映射性质

⒈h z w += (h 为常数)的映射性质： ⑴是一个平移变换．

⑵在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． ⑶将圆周映射为圆周．

⒉kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： ⑴是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．

⑵在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立．

⒊z

w 1

=

的映射性质： ⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称．

⑵在复平面上除0=z 外，处处是保角的． ⑶将圆周映射为圆周．

对于z 平面上的圆周（或直线）

0)(22=++++D Cy Bx y x A

映射z

w 1=

当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． ⒋幂函数与根式函数的映射性质：

1） 幂函数

n z w n ,=为大于1的自然数

⑴设G 为射线0arg θ=z ，经n

z w =映射后的像G '为w 平面上的射线0arg θn w =． ⑵设G 为圆周0r z =，经n

z w =映射后的像G '为w 平面上的圆周n r w 0=．

⑶n

z w =将模相同而辐角相差n

π

2的整数倍的点1z 与2z 映射为同一点． ⑷n

z w =将

1,,2,1,0,π2)1(arg π2:-=+<

k z n k

G k 映射为π2arg 0:<<'w G ．

2） 根式函数

n z w n ,=为大于1的自然数

根式函数的每个单值支具有将角形区域的张角缩小的映射性质．

⒌指数函数与对数函数的映射性质：

1） 指数函数

z w e =

⑴设G 为平行于实轴的直线0y y =，经z

w e =映射后的像G '为w 平面上的一条始于原点的射线0y =ϕ．

⑵设G 为线段：π20,0≤≤=y x x ，经z

w e =映射后的像G '为圆周0e x

w =．

⑶设k G 为：π)1(2π2,+≤≤+∞<<∞-k y k x ，k 为整数，经z

w e =映射后的像G '为w 平面上从原点起始沿正实轴剪开的w 平面．

2） 对数函数

w z Ln =

对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质． 分式线性变换的映射性质 称变换

d

cz b

az w ++=

（7.7）

为分式线性变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．

（7.7）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成． ⑴保形性

定理7.5 h kz w += (0≠k )在扩充复平面是保角的．

定理7.6 z

w 1

=

在扩充复平面是保角的．

由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理7.7． 定理7.7 分式线性变换在扩充复平面是保形的． ⑵保圆周性

定理7.8 分式线性变换将扩充复平面上的圆周或直线映射为扩充复平面上的圆周或直线．

⑶保对称点性

定理7.9 设)(z f w =为分式线性变换，若扩充z 平面上两点1z 与2z 关于圆周c 对称，则)(11z f w =与)(22z f w =两点关于圆周)(c f c ='对称． ⑷保交比性

定理7.10 若有分式线性变换

d

cz b

az w ++=

则

),,,(),,,(43214321z z z z w w w w =

其中，

4,3,2,1,=++=

k d

cz b az w k k k

定理7.11 若分式性性变换将扩充复平面（z 平面）上三个互异的点321,,z z z 映射为扩充复平面（w 平面）上的三点321,,w w w ，则此分式线性变换就惟一确定，且可写成

2

31

321231321:

:z z z z z z z z w w w w w w w w ----=---- （8.11） 定理7.12 若G 为扩充复平面上的一个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶、解析函数)(z f w =将G 映射为单位圆D ；又若对G 内某一点a 满足条件

0)(=a f 且 0)(>'a f

则函数)(z f w =是惟一的．

定理8.13 设单连通区域G 与G '分别是简单闭曲线c 与c '的内部，若函数)(z f w =在c G G +=上解析，且将c 双方单值的映射为c '，则函数)(z f w =在G 内单叶且将G 映射为G '．

由于要求将点α=z 映射为点0=w ，而关于z 平面上的实轴与点α对称的点是α，关于w 平面上的圆周c 与点0=w 对称的点是∞，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点α=z 映射为点0=w 外，还应将点α=z 映射为点∞=w ．又因所求映射是分式线性变换，故可构造为