高二数学直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
+ −
特别地，（1）原点(0,0)与任意一点(, )间的距离||= 2 + 2 ；
（2）当1 2 平行于x轴时，| 1 2 |=|2 − 1 |；
（3）当1 2 平行于y轴时，| 1 2 |=|2 − 1 |.
注意：两点的距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成
A
A
即 Bx Ay Bx0 Ay0 .
Ax By C 0
解方程组
，得直线 l 与 PQ 的交点坐标，
Bx Ay Bx0 Ay0
B 2 x0 ABy0 AC ABx0 A2 y0 BC
,
即垂足 Q 的坐标为
.
2
2
2
2
A B
=
=
=
≠
2 2 2 2 2 2
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
探究新知
已知平面内两点1 1 , 1 ，2 2 , 2 ，如何求1 ， 2 之间的距离|1 2 |？
由点1 1 , 1 ，2 2 , 2 ，得1 2 = (2 − 1 , 2 − 1 )
3 + 4 − 2 = 0
= −2
解：解方程组
得
=2
2 + + 2 = 0
所以， 与 的交点是M (-2，2)
课本71页例2
判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标：
（1）1 ： − = 0，
2 ：3 + 3 − 10 = 0 ；
（2）1 ：3 − + 4 = 0，
159
思考
如何取点，可使计算简单？
两条直线的交点坐标高二上学期数学(人教A版2019选修一)
x 0 ，即4x 3 y 30
0.
2
解2: 由已知可设直线l 的方程为(2x 2 y 1) (6x 4 y 1) 0 .
∵直线l 经过原点，
∴ 1 0，解得 =1.
∴直线l 的方程为(2x 2 y 1) 1 (6x 4 y 1) 0，即4x 3 y 0.
3.直线恒过定点问题 【例题】求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒过某一 定点.
【方法总结】 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验 证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中 λ 是参数，这就说明了它表示的直 线必过定点，其定点可由方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00， 解得． 若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
y
12
，得 0
x
2,y
3.
∴两条直线的交点坐标为(2, 3). 图形如图示.
y
l1 4
3 2 1
-2 -1 O -1 -2
l2 -3
-4
M
1 2 34 56x
l2 y l1
6
5
4
3
M
2
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 -2
例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 2x 3 y 12 , l2 : x 2 y 4 ;
(2) l1 : x 2 ,
l2 : 3x 2 y 12 0.
3.3.1直线的交点坐标与距离公式
b 2
O C (0,0)
A(a,0x)
BM MA MC
a
2
b
2
2 2
21
x y 1(a 0,b 0) ab
当垂直于坐标轴和 经过原点时不适用
Ax By C 0 (其中A、B不同时为0)
当直线与y轴垂直时 x x0 0 或 x x0
当直线与x轴垂直时 y y0 0 或 y y0
2
两直线的交点 1.讨论下列二元一次方程组解的情况:
y1 P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
17
两点间距离公式
一般地，已知平面上两点P1(x1， y)1 和P2(x2，y2)，利 用上述方法求点P1和P2的距离为
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
( A1x B1 y C1) ( A2x B2 y C2 ) 0
为待定系数
此直线系方程少一条直线l2
10
例3: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件 的直线l的方程。
(1)过点(2,1)；(2)和直线3x-4y+5=0垂直; (3)和直线2x-y+6=0平行
1xx
y y
1 1
0 0
一组解
x0 y 1
2 xx
y y
1 0 1 0
3xx
y y
1 1
直线与方程复习题-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
直线与方程复习题 一、知识梳理：1距离公式(1)在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为：|AB |＝__________．（2）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则x=_______________; y=_______________;(3)点到直线的距离公式：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ ．(4)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．2．直线的斜率(1)直线的倾斜角与斜率：___________(2)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝ ．(3)直线的一般式为0Ax By C ++=,则该直线的斜率k =____________3．直线的方程(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．(2)直线方程的主要形式：①点斜式： 斜截式：①一般式： 截距式：4．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1①l 2①____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1①l 2①____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．5．两条直线的交点坐标：两条直线的交点坐标即方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.的解。
高二数学课件：第八章 第二节 直线的交点坐标与距离公式
热点考向
2
距离公式的应用
【方法点睛】
1.两点间的距离的求法
两点间的距离，可利用两点间的距离公式求解；当两点连线平
行于x轴时，其距离等于这两点横坐标之差的绝对值；当两点连
线平行于y轴时，其距离等距离最大的直线l的方程，最大距离是 5 5.
5
(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的直线，因此
不存在过点A且与原点距离为6的直线.
【反思·感悟】 1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设 条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键 的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况； 2.另外，求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件， 以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.
1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公 式求得a、b的值，即 a x1 x 2 ，b y1 y 2 ；
2 2
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，
则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l. 故有
24 3
因此，过点P与AB平行的直线的方程为：
1 y 2 (x 1) ,即x+3y-5=0； 3
又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)， 所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
热点考向 3
【方法点睛】
对称问题
利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式高二数学同步精品课件
导航系统：在 导航系统中， 两点间距离公 式可以用来计 算最短路径， 从而帮助用户 找到最佳路线。
建筑设计：在 建筑设计中， 两点间距离公 式可以用来计 算建筑物之间 的距离，以确 保符合规划要
求。
物流运输：在 物流运输中， 两点间距离公 式可以用来计 算货物运输的 距离和成本， 从而优化运输
方案。
解析几何中的综合问题
直线方程：ax+by+c=0 直线交点坐标：(x, y) 两点间距离公式：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) 例题解析：已知两条直线的方程，求它们的交点坐标及两点间的距离。
实际应用中的问题解析
公式应用：使用两条直线的 交点坐标公式求解
例题解析：通过具体的例子， 详细解析如何应用公式求解
a(d-b)/(a-c)+b)
两点间距离公式的推导过程
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)， 求两点间的距离
证明两点间距离公式的正确性： 通过几何图形的性质和勾股定理， 证明两点间的距离公式是成立的
添加标题
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利用勾股定理，得到两点间的距 离公式为：d = √(x2-x1)² + (y2-y1)²
03
两点间的距离公式
两点间距离公式的推导
两点间距离的定义：两点之间直线距离 两点间距离公式的推导过程：使用勾股定理和相似三角形的性质 两点间距离公式的应用：计算两点之间的直线距离 两点间距离公式的局限性：仅适用于平面上的两点
两点间距离公式的应用
测量地图上的 距离：利用两 点间距离公式， 可以精确地测 量地图上的两 点之间的距离。
交点坐标
问题描述：已知两条直线的 方程，求它们的交点坐标
2025高二上数学专题第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点几何元素及关系代数表示点A A (a ，b )直线l 1l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0点A 在直线l 1上A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0直线l 1与l 2的交点是A(l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)2.两直线的位置关系一组无数组无解直线l 1与l 2的公共点的个数一个无数个零个直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行二、两点间的距离公式条件点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)结论|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2特例点P (x ，y )到原点O (0，0)的距离|OP |＝x 2＋y 22025高二上数学专题第7讲 直线的交点坐标与距离公式（解析版）三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为()A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为()A ．2-B ．12-C ．2D ．12【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【变式训练1-2】（（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练1-3】（（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为()A ．24-B ．24C ．6D ．6±知识点2直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为()A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点()A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是()A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点()A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--知识点3两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB =)A ．2B C ．3D【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为()A ．8B ．13C ．D 【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．知识点4点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P -．（1）若一条直线经过点P ，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P 且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为()A ．32B C ．332D ．532【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为()A ．1BC D ．2知识点5两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为()A ．65B ．32C ．125D ．2【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=之间的距离是，则(m n +=)A ．0B ．1C ．1-D ．2-【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为()A B C ．352D ．3102【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是()A ．13B ．26C ．13D ．26【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n +=)A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2知识点6运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是()A ．355B C ．322D 【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为．名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是()A ．45B ．75C ．425D ．2542．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为()A ．1B ．3C ．110D ．253．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于()A ．34B ．43C ．43-D ．34-4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点()A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为()A ．15B ．55C ．35D ．3556．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是()A ．1B C ．2D ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为()A ．4B ．C ．D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是()A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k =)A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或2310．（昆山市期中）已知(2,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为()A ．(2,0)-B ．12(5，0)C ．14(5，0)D ．(6,0)11．（宝安区校级模拟）已知0x <<，0y <<M =则M 的最小值为()A ．B ．C ．2D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为()A ．3B ．17-C ．3-D ．1713．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为()A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是．15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为．16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m =；1l 与2l 之间的距离为．17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为；当m 变化时，直线l 过定点．18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB =．21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为．23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．（1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m ++-++=．（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；（2）过定点M 作一条直线1l ，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．27．（宁城县期末）已知点ABC ∆三顶点坐标分别是(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，（1）求A 到BC 边的距离d ；（2）求证AB 边上任意一点P 到直线AC ，BC 的距离之和等于d ．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值．2．（兰州期末）已知点(2,1)P -．（1）求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
高二数学直线的交点坐标与距离公式
y P
o
x
思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点 坐标？
几何元素及关系 点A 直线l 代数表示 A (a, b)
Aa Bb C 0
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
l: A xB yC 0
点A的坐标是方程组的解
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有脱缰呢！”耿英说：“你们看，这河水看起来也多像一群野马哇，不断地翻滚咆哮着！俺可知道了，为什么爷爷和奶奶叫咱 们站远点儿瞧。咱们离得这么远呢，这看得久了，俺都有些腿发软了呢！”耿老爹指着河面对耿正兄妹三人说：“你们仔细看 看，这黄河是不是比堤岸下面的地面高出一些啊？”三人仔细观看一番，都说好像是这么回事儿呢！耿正奇怪地说：“怎么会 是这样呢？在咱们老家那一带，凡有水流过，地面都会被冲成沟渠的哇！”耿英也说：“是哇，这河水应该比地面低一些才对 哩！”耿直自言自语地念叨：“这是为什么啊？”看到三个娃儿都在用心琢磨，耿老爹很高兴，有意进一步启发他们，就又问： “那你们说，这水为什么不清澈呢？”耿正说：“肯定是里边有泥沙啦！”耿英也说：“所以俺说洗不了衣裳嘛！”耿直撇撇 嘴说：“这个连俺都知道呢！”耿老爹笑了，说：“如果水里边泥沙太多呢？”兄妹三人恍然大悟！耿正脱口而出：“就会在 水下形成很多淤泥！”耿英接着哥哥的话说：“淤泥越积越多，河道就抬高了，河水自然也就高了！”耿直眼珠子滴溜溜一转， 大声说：“那河堤也得越垒越高才能拦住河水哇！”耿老爹满意地笑了，说：“所以啊，人们历来就将黄河称为悬河呢。说的 就是，这是一条悬在地面之上的大河啊！想想看，滔滔的河水在高处流，而人是住在低处的。这样的一条大河一旦决了堤，那 要不像是一群脱缰的野马才怪呢！”兄妹三人听了，吃惊地直倒吸凉气。远远地望到在滔滔波浪中漂过来一个瓜皮小船儿，船 头船尾各站着一个人在用力地撑篙摇橹。再仔细看时，发现船上还坐着两个人，小小的船舱里还放了一些什么东西。一会儿， 小船儿飘荡过来了，在距离耿家父子四人百步之外靠西的一个简易小渡口上，站在船尾的人用力撑住小船。船上坐着的两个人 特别麻利地跳上了岸，船头摇橹的人弯腰拿起船舱里的东西递给他们。然后，瓜皮小船儿就掉转船头向南岸飘荡而去了。再看 那两个上了岸的人，他们已经背起东西快步往西走去了。远远望去，那里好像也有一个小村庄呢。耿直吃惊地瞪大眼睛说： “俺的娘耶，他们怎么这么大的胆子哇，就不怕掉到水里！这么大的水，还翻滚着呢。这要掉进去了，肯定就没命了哇！”耿 老爹说：“住在这黄河边儿上的人，没有一个不会游水的。即使是不小心掉进去了，他们也会游上岸的。只要不是发生就像决 堤那样的大灾难，他们都不会有事儿。不像俺们这些旱鸭子，一见了深水就害怕！”父子四人随便聊着继续转悠一会儿。看看 日头已经快正午了，耿老爹说：“咱们回去哇，不可以让爷爷奶奶久等的。你们如果还没有玩儿够，咱们下午再出来哇！”耿 直说：“俺可不想再出来玩儿了。除了这让人看
暑期备课笔记-高二数学第11讲：交点坐标与距离公式(教师版)
第11讲 交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y -+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022d A B =+2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222d A B =+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222d A BA B==++1.判断两直线是否相交，求交点坐标，点到直线的距离公式；2.两直线相交与二元一次方程的关系，点到直线距离公式的理解与应用。
1．两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标就是方程组的实数解，以下四个命题:(1)若方程组无解，则两直线平行 (2)若方程组只有一解，则两直线相交(3)若方程组有两个解，则两直线重合 (4)若方程组有无数多解，则两直线重合。
第10讲 直线的交点坐标与距离公式(九大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
得 1或 6 .
3
7
所以直线方程为 x y 1 0 或 3x 4 y 0 .
故选：C.
例 7．(2023·高二课时练习)过两直线 l1 : x 3y 4 0 和 l2 : 2x y 5 0 的交点和原点的直线方程为
A．19x 9 y 0
B． 9x 19 y 0
C．19x 3y 0
联立方程
kx ky
y x
k 2k
1 ，解得
x
y
k k 1 2k 1 k 1
，即交点坐标
k
k
1
,
2k 1 k 1
，
由题意可得：
k 0 k 1
2k 1 k 1
0
，解得
0
k
1 2
；
综上所述：k
的取值范围为
0,
1 2
.
故选：C.
例 12．(2023·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习)直线 3x (k 2) y k 5 0 与直线
(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一
条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线 Ax By C1 0 与直线 Ax By C2 0 的距离为 d C2 C1 ．
中 x ， y 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【典例例题】
题型一：判断两直线的位置关系
例 1．(2023·高二课时练习)曲线 y x 与 y kx 1的交点的情况是( )
A．最多有两个交点
B．两个交点
人教版高中数学必修2第三章直线的交点坐标与距离公式同步教案3
(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系方程：当斜率k一定而m变动时，y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x＝x0)．
在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而求出方程．
例题精讲
【题型1、两直线的交点问题】
【例1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
【方法总结】1.方程组的解的组数与两条直线的位置关系
2．两条直线相交的判定方法：
(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．
特别提醒：若两直线的斜率一个不存在，另一个存在，则两直线一定相交．
11。
2024年新高二数学讲义直线的交点坐标与距离公式(思维导图+4知识点+8考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义直线的交点坐标与距离公式（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；3．会求两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.知识点1两条直线的交点坐标1、点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点P (,)P a b 直线l:0l Ax By C ++=点P 在直线l 上Aa Bb C ++=直线1l 与2l 的交点是P方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解是x ay b =⎧⎨=⎩2、直线的交点与方程的解求两直线1111110(0)++=≠A x B y C A B C 与2222220(0)++=≠A x B y C A B C 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组1112220++=⎧⎨++=⎩A x B y C A x B y C 的解即可．若有111222==A B C A B C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222=≠A B C A B C ，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122≠A B A B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．3、判断两直线的位置关系关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．4、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．经过两直线1111:0++=l A x B y C ，2222:0++=l A x B y C 交点的直线方程为111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220++=A x B y C ，因此它不能表示直线2l ．知识点2两点间的距离1、距离公式：平面内两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式为：12=PP 【注意】公式中1P 和2P位置没有先后之分，也可以表示为：12=PP 2、三种特殊距离：（1）原点O 到任意一点(),P x y 的距离为=OP ；（2）当12PP 平行于x 轴时，1221=-PPx x ；（3）当12PP 平行于y 轴时，1221=-PP y y ．3、坐标法解题的基本步骤（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．知识点3点到直线的距离1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度．2、距离公式：点()00,P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d ．【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离．（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点P 在直线l 上时，它到直线的距离为0．3、点到几种特殊直线的距离（1）点()00,P x y 到x 轴的距离0d y =；（2）点()00,P x y 到y 轴的距离0d x =；（3）点()00,P x y 到直线y a =的距离0d y a =-；（4）点()00,P x y 到直线x b =的距离0d x b =-．知识点4两条平行线间的距离1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长．2、距离公式：两条平行直线11:0++=l Ax By C ，()2212:0++=≠l Ax By C C C ，它们之间的距离为：=d 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且x 和y 的系数对应相等．3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．考点一：两条直线的交点问题例1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）直线1:3450l x y -+=与21:4303l x y --=的交点坐标为（）A ．(2,3)B ．7,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．73,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,37⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线260x y -+=与直线3x y +=的交点坐标是（）A ．(30)，B ．(1,4)-C ．(3,6)-D ．(4,)1-【变式1-2】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（）A ．()1,3--B ．()2,1--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2--【变式1-3】（2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l 1与l 2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.(1)12:230,:210l x y l x y ++=--=；(2)12:310,:2620l x y l x y +-=+-=；(3)12:6230,:320l x y l x y -+=-+=.考点二：根据两直线交点求参数例2.（23-24高二上·北京·期中）已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．0C ．20D ．4-【变式2-1】（23-24高二上·福建莆田·月考）若直线1:40l ax y +-=与直线22:0x y l --=的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2-B ．()1,-+∞C ．(),2-∞D ．()(),12,-∞-+∞ 【变式2-2】（2023·海南海口·二模）若直线24y x =-+与直线y kx =的交点在直线2y x =+上，则实数k =（）A ．4B ．2C ．12D ．14【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）直线210x my ++=与直线1y x =+相交，则m 的取值范围为．考点三：三条直线的相交问题例3.（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线240,30,20x y kx y x y +-=-+=--=交于一点，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．32-D ．14【变式3-1】（22-23高二上·山东聊城·月考）若三条直线370x y ++=，10x y --=，20x ny n ++=能围成一个三角形，则n 的值可能是（）A ．32B ．1C ．13-D ．12-【变式3-2】（23-24高二下·上海·期中）直线123:7210,:0,:10l x y l mx y l x my ++=+=+-=，若三条直线无法构成三角形，则实数m ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3-3】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线1:20l ax y ++=，2:10l x y +-=，3:30l x y -+=不能围成一个三角形，则a 的取值集合为（）A ．{1,1}-B ．{4,1}C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．{4,1,1}-考点四：过两直线交点的直线方程例4.（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线2023202210x y --=和2022202310x y ++=的交点且过原点的直线方程为．【变式4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点(1,0)P 和两直线1:220l x y +-=；2:3220l x y -+=交点的直线方程为.【变式4-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为．（写成一般式）【变式4-3】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线220x y -+=和10x y ++=的交点，且斜率为3的直线方程．考点五：两点间的距离公式例5.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知()()3,6,2,4A B ，则A ，B 两点间的距离为（）A ．5B C ．3D【变式5-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过(,2),(,1)A m B m m --两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（）A ．2B C ．D ．【变式5-2】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为()()()3,2,3,4,5,4A B C --，D 为AC 中点，则BD 的长为（）A ．3B ．5C ．9D ．25【变式5-3】（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系xOy 中，原点O 到直线1l ：240x y -+=与2l ：390x y +-=的交点的距离为（A B ．C D考点六：点到直线的距离公式例6.（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点()0,3A 及直线:10l x y +-=上一点B ，则AB 的值不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式6-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知()3,4A --，()6,3B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值（）A ．13B ．97-C ．13-或79-D ．13或79-【变式6-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）若点()3,1P 到直线:340(0)l x y a a ++=>的距离为4，则=a （）A ．2B ．3C ．5D ．7【变式6-3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知(4,0)A 到直线430x y a -+=的距离等于3，则a 的值为.考点七：平行线间的距离公式例7.（23-24高二上·河北石家庄·月考）两平行直线1:10l x y +-=和2:30l x y +-=之间的距离为（）A ．2B ．2C ．22D ．3【变式7-1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线3420x y --=与6810x y -+=间的距离为（）A ．35B ．1C ．310D ．12【变式7-2】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）（多选）已知两条平行直线m ，n ，直线:3420m x y ++=，直线:680n x y a ++=，直线m ，n 之间的距离为1，则a 的值可以是（）A ．8-B ．6-C ．12D ．14【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·期末）（多选）已知两条平行直线,m n ，直线:10m x y +-=，直线:220n x y a ++=，直线,m n 之间的距离为2，则a 的值可以是（）A ．-8B ．-6C ．2D ．4考点八：点与直线的对称问题例8.（22-23高二·全国·课堂例题）已知不同的两点(),P a b -与()1,1Q b a +-关于点()3,4对称，则ab =（）A ．5-B ．14C ．14-D ．5【变式8-1】（23-24高二上·安徽怀宁·月考）直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（）A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2340x y +-=【变式8-2】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点()3,0关于直线30x y -+=对称的点的坐标为（）A ．()3,6B ．()6,3-C ．()6,3-D ．()3,6-【变式8-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线1y x =+关于直线2y x =对称的直线方程为（）A ．310x y --=B ．420x y --=C ．530x y --=D ．750x y --=一、单选题1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知(6,0),(2,0)A B -，则||AB =（）A ．3B ．4C ．6D ．82．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）原点到直线912100x y +-=间的距离是（）A ．23B ．13C ．1D ．253．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线1:220l x y +-=，2:690l ax y +-=间的距离等于（）ABCD4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知1212//,:240,:620l l l x y l x ay ++=++=,则它们的距离为（）A．15BCD．35．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知()2,0A -，()4,B m 两点到直线l ：10x y -+=的距离相等，则m =（）A ．2-B ．6C ．2-或4D ．4或66．（23-24高二上·湖南·期中）已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是（）A ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B ．无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C ．存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D ．存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解二、多选题7．（22-23高二上·全国·期中）若直线1:32l y kx k =+-与直线2:30l x y +-=的交点在第四象限，则实数k 的取值可以是（）A ．0B ．13C ．12-D ．1-8．（23-24高二上·河南商丘·月考）（多选）平面上有三条直线250,10,0x y x y x ky -+=++=-=，将平面划分为六个部分，则实数k 的所有可能取值为（）A ．12B ．1-C ．2-D ．1三、填空题9．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC 中，点(1,1)A ，(4,2)B ，(4,1)C -，则ABC 的面积为．10．（2023高二上·全国·专题练习）直线230x y -=与321x y -=上任意两点最小距离为.11．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线1:40l x y +=，2:1l mx y +=，3:234l x my -=，若它们不能围成三角形，则实数m 的取值所构成的集合为．四、解答题12．（23-24高二上·山西大同·月考）已知直线:2310l x y -+=，点()1,2--A ．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程；(3)直线l 关于点()1,2--A 对称的直线l '的方程．13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线12:340,:3220l x y l x y --=-+=，设直线12,l l 的交点为P .(1)求点P 的坐标；(2)若直线l 过点P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.。
直线的交点坐标与距离公式- (人教A版2019选择性必修第一册)
高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版选择性必修第一册)第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式【考点梳理】考点一：两条直线的交点坐标1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A (a ，b )． (1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0 .(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0.2．两直线的位置关系方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行考点二： 两点间的距离公式（1）点P1(x 1，y 1)，P2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 (2) 原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.考点三：两条平行直线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2【题型归纳】题型一：直线的交点坐标1．直线460x y -+=和8180x y +-=与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ） A ．2716B ．154C ．3316D ．3382．三条直线2x =，10x y --=，0x ky +=相交于一点，则k 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．2D ．123．直线l 经过直线240x y -+=和直线20x y +-=的交点，且与直线350x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．320x y -+= B ．320x y ++= C ．320x y -+=D ．320x y ++=题型二：由直线交点个数求参数4．已知直线1:10mx y l m -+-=与射线2:20(0)l x y x --=≥恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．(,1](1,)-∞-⋃+∞ B ．(,1][1,)-∞-+∞ C ．[1,1)-D ．[1,1]- 5．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭6．设点()2,3A -,()3,2B ,若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( ) A ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭题型三：两点间的距离公式应用7．直线0l ：440x y --=与1l ：220x y --=及2l ：43120x y +-=所得两交点间的距离为（ ） A ．3172B ．3172C ．91714D ．3178．已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．已知点(),1M m -，()5,N m ，且25MN =，则实数m 等于（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3题型四：点到直线的距离问题10．已知点()1,1P ，直线:1l y kx =+，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．11[0,)(,1)22⋃11．已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（ ） A ．52B ．102C ．8D ．21012．已知点()1,2P ，则当点P 到直线240ax y +-=的距离最大时，a =（ ） A ．1B ．14-C ．14D ．5题型五：点、直线的对称问题13．点()1,2关于直线20x y +-=的对称点是（ ） A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,1-D ．()2,114．已知点()4,2M 与()2,4N 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．60x y ++=B ．60x y +-=C ．0x y +=D ．0x y -=15．已知()20A ，，()60B ，，()04C ，，一条光线从点A 发出，经直线BC 反射后，恰好过原点O ，则入射光线所在直线的斜率为（ ） A ．83B ．125C ．269D ．3611题型六：两条平行直线间的距离16．已知直线1l ：()()()324220x y λλλ++++-+=（R λ∈），2l ：20x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 间的距离为（ ） A ．22B ．2C ．2D ．2217．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ） A ．52B ．54C ．102D ．10418．已知直线l 与直线1303l x y -+=：和2103l x y --=：的距离相等，则l 的方程是（ ） A ．320x y -+= B ．320x y --= C ．330x y --=D ．310x y -+=【双基达标】一、单选题19．已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（ ） A ．24B ．20C ．4D ．020．若直线:3l y kx =-与直线30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭21．已知平面上两点(,2)A x x -，2(2B ，0)，则||AB 的最小值为（ ） A ．3B ．13C ．2D ．1222．已知m ，n 满足1m n +=，则点(1,1)到直线20mx y n -+=的距离的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2223．和直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．20x y -+-= B ．20x y -+-= C ．20x y ++=D ．20x y +-=24．已知()()0120A B ABC ，，，，的面积为5，则点C 的轨迹方程为（ ） A ．2120x y ++=或280x y ++= B ．2120x y +-=或280x y +-= C ．2120x y ++=或280x y +-=D ．2120x y +-=或280x y ++=25．若两条平行直线1:20(0)l x y m m -+=>与2:30l x ny +-=之间的距离是5，则m n +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．1-26．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和230x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（ ） A ．23B ．25C ．2D ．427．过定点A 的直线0()x my m R -=∈与过定点B 的直线30()mx y m m R +-+=∈交于点(,)P x y ，则22||||PA PB +的值为（ ） A ．10B ．10C ．25D ．2028．已知直线:10(00)l Ax By C A B ++-=>>，恒过定点()0m ，，若点()22，到直线l 的最大距离为2，则112A C+的最小值为（ ） A ．14B ．34C ．4D ．92【高分突破】一：单选题29．已知ABC 的顶点为A （2，1），B (-2，3)，C (0，-1)，则AC 边上的中线长为（ ） A ．3B ．32C ．4D ．4230．一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（ ） A ．2130x y -+= B ．6220x y -+= C ．3150x y -+=D ．6270x y -+=31．已知直线1l 与2:230l x y --=平行，且1l 与2l 间的距离为5，则直线1l 的方程为（ ） A ．230x y +-=或290x y +-= B ．260x y --=或2120x y --= C ．220x y -+=或280x y --=D ．3.250x y -+=或3270x y --=32．已知直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则a 的值为（ ）A ．13-B ．13C ．3D ．3-33．已知点()1,2A ，()2,3B -，直线:l y x =，在直线l 上找一点P 使得PA PB +最小，则这个最小值为（ ） A ．34B ．25C ．10D ．234．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点(4,0),(0,4),(2,0)A B C -，则该三角形的欧拉线方程是（ ） A ．20x y +-= B ．210x y -+= C ．20x y -+=D ．220x y -+=35．已知直线1:240l kx y k +--=恒过点M ，直线2:1l y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为(4,6)，当||||PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．27,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1712,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．127,55⎛⎫ ⎪⎝⎭36．若动点,A B 分别在直线1:60l x y +-=和2:20l x y +-=上，则AB 的中点M 到坐标原点的距离的最小值为（ ） A ．2 B ．22 C ．32 D ．42二、多选题37．下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点(1,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或10x y -+=38．已知(4,3)A -，(2,1)B -和直线l ：4320x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使||||PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为（ ）A ．21(,)33-B ．(1,4)-C ．6(1,)5D ．278(,)77- 39．已知直线1:2310l x y +-=和2:4690l x y +-=，若直线l 到直线1l 的距离与到直线2l 的距离之比为1:2，则直线的方程为（ ） A ．2380x y +-= B ．4650x y ++= C ．69100x y +-=D ．1218130x y +-=40．（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++=D ．2360x y -+=41．已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是2342．下列结论错误的是（ ）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=垂直，则32a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=之间的距离是52D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5 三、填空题43．已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为______．44．设10x y -+=，求222261034430229d x y x y x y x y =++-+++--+的最小值是___________. 45．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________.46．已知()1,12A ，()3,4B ， 过点()1,0-C 且斜率为k 的直线1l 与线段AB 相交，点()0,1D 到直线2:340l x y k ++=的距离为d ，则实数d 的取值范围是________________________.47．直线l 经过点()1,23P ，且分别与直线1:310l x y -+=和2:330l x y --=相交于A ，B 两点，若AB 4=，则直线l 的方程为________． 四、解答题48．已知直线l 经过点()2,3P --．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和10x y +-=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．49．已知ABC 的三个顶点分别为()20A -，，()20B ，，()02C ，． （1）若过()12P ，的直线y ax b =+将ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值； （2）一束光线从()10E ，点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．50．已知两定点()3,8A --，()10,4B 及两平行直线1:34100l x y ++=，2:34150l x y +-=，（1）求点()3,8A --关于点()10,4B 的对称点1A 的坐标；（2）求点()3,8A --关于直线1:34100l x y ++=的对称点2A 的坐标；（3）若点P ，Q 分别在直线1l ，2l 上，且1PQ l ⊥，求折线段APQB 的长度最短时直线PQ 的一般式方程． 51．已知()3,4P 为正方形ABCD 的中心(A ，B ，C ，D 逆时针排列)，AB 边所在直线方程为380x y +-=． （1）求对角线AC ，BD 所在直线的方程；（2）已知()6,4Q 是一个定点，(),0M t 是x 轴上一个动点，过点M 作直线MN ，满足MN 与MQ 斜率之和为零，且直线MN 与正方形ABCD 有公共点．①求出直线MN 分别过正方形各顶点时，M 点的坐标；②写出实数t 的最大值与最小值(不需要过程，直接写出答案即可)．【答案详解】1．B 【详解】直线8180x y +-=与x 轴的交点为904M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线460x y -+=与y 轴的交点为302N ⎛⎫⎪⎝⎭，，则MN ==如图所示：则由两点式可得直线MN 的方程为323924y x -=-，即4690x y +-=， 由4608180x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得22x y =⎧⎨=⎩，此为两直线的交点()22P ，， 根据点到直线的距离公式可得P 点到直线MN 的距离为d ===故OMNPMNOMPN S S S=+四边形19311524224=⨯⨯+=． 故选：B 2．A解：设三条直线交于一点P ，则直线2x =，10x y --=，交于点P ，联立210x x y =⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)P ，∴直线0x ky +=过点P ，即20k +=，2k ∴=-故选:A ． 3．A 【详解】联立24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得(0,2)P ，直线l 与直线350x y ++=垂直，则直线直线l 的斜率为3l k =，所以直线l 的方程为()230y x -=-， 整理可得320x y -+=. 故选：A. 4．C 【详解】联立1020mx y m x y -+-=⎧⎨--=⎩，得11m x m --=-，∵直线1:10mx y l m -+-=与射线2:20(0)l x y x --=≥恒有公共点， ∴101m x m --=≥-， 解得11m -≤<.∴m 的取值范围是[)1,1-. 5．C 【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意. 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C 6．C 【详解】直线20ax y -++=与线段AB 没有交点即直线2y ax =-与线段AB 没有交点对于直线2y ax =-, 令0x =,则2y =-,则直线恒过点()0,2C - 根据题意,作出如下图像: (0,2)C -,()2,3A -∴ 根据两点求斜率公式可得:直线AC 的斜率为32522AC k +==-- (0,2)C -,()3,2B∴ 根据两点求斜率公式可得:直线BC 的斜率为224303BC k +==- 直线20ax y -++=的斜率为a若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点 则5423a -<<故选:C. 7．C 【详解】由440220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得6747x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即直线0l 与1l 的交点坐标64,77A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由44043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即直线0l 与2l 的交点坐标3,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以||AB ==. 故选：C 8．B 【详解】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =-， ∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥， ∴ABC 是直角三角形. 故选：B. 9．C 【详解】因为||MN=2430m m -+=，解得1m =或3m =， 故选：C 10．C 【详解】点()1,1P 到直线:10l kx y -+=的距离d =当0k =时，0d =，当0k ≠时，d =，恒有2111k +>，于是得01d <<，综合得01d ≤<， 所以点P 到直线l 的距离的取值范围是[0,1). 故选：C11．C 【详解】直线BC 的方程为()1415y x -=--，即5210x y +-=. 由521010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得811,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设()8,1,3A a a a +≠，直线,AB AC 的方程分别为()()3241,3616a a y x y x a a ---=--=--- ，即()()3131a x a y a ---+-，()()26360a x a y a -----=.根据角平分线的性质可知，D 到直线,AB AC 的距离相等，所以==83a ≠，所以上式可化为2得2803a a -=，解得0a =（83a ≠），所以()0,1A .所以()0,1A 到直线BC=，而BC =182ABC S ∆==. 故选：C 12．B 【详解】因为直线恒过定点4)0,A（， 则当PA 与直线垂直时﹐点P 到直线的距离达到最大值， 此时过P A 、的直线的斜率为2,-所以直线240ax y +-=的斜率为12，即122a -=，所以14a =-.故选：B ． 13．B 【详解】解：设点()1,2A 关于直线20x y +-=的对称点是(),B a b ， 则有211122022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0a =，1b =，故点()1,2关于直线20x y +-=的对称点是()0,1. 故选：B. 14．D 【详解】()4,2M ,()2,4N∴MN 的中点为(3,3)，42124MN k -==--，()4,2M 与()2,4N 关于直线l 对称，∴l 过点(3,3)，且斜率为1， ∴直线l 的方程为33y x -=-，即0x y -=， 故选：D 15．D 【详解】()60B ，，()04，C ，∴直线BC 的方程是164x y+=，即23120x y +-=， 光线经直线BC 反射后，恰好经过原点O ，∴原点O 关于直线BC 的对称点在入射光线上，设原点O 关于直线BC 的对称点是()00x y ，，则0000322312022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得04813x =，07213y =，入射光线经过点()20A ，， ∴入射光线所在的直线的斜率为7236134811213k ==-，故选：D 16．B 【详解】 由12//l l 得32422112λλλ++-+=≠-，解得1λ=， 所以直线1l ：550x y +=，即0x y +=，所以1l 与2l 间的距离为d ==故选B ． 17．D 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d =． 故选：D 18．D设所求直线l 方程为：30x y c -+=，因为直线l 与1:330l x y -+=；2:310l x y --==1c =，所以所求直线方程为：310x y -+=， 故选：D. 19．D 【详解】由两直线垂直得24(5)0m ⋅+⨯-=， 解得10m =，所以原直线一可写为10420x y +-=， 又因为垂足为()1,p 同时满足两直线方程，所以代入得1014202150p p n ⨯+-=⎧⎨⨯-+=⎩，解得212p n =-⎧⎨=-⎩，所以-10-1220m n p +=+=， 故选:D 20．D联立方程组30y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y =00>，解得1k <-， 设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<，即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.故选：D. 21．D 【详解】根据题意，平面上两点()A x x ，(2B ，0)，则222211||()2(44AB x x x =+=+，则有1||2AB ， 则||AB 的最小值为12， 故选：D. 22．C 【详解】将1n m =-代入直线方程，得(2)20x m y --+=，所以直线20mx y n -+=必过定点(2,2)，故点(1,1)到直线20mx y n -+=故选:C 23．C 【详解】直线20x y -+=交x 轴于点()2,0-，且直线20x y -+=的斜率为1， 故所求直线的方程为()2y x =-+，即20x y ++=. 故选：C. 24．D 【详解】()()0120A B ，，，，则AB ==设C 到AB 边所在直线的距离为d ，由ABC 的面积为5，得152d =，即d =∴顶点C 的轨迹是与AB 所在直线平行且与直线AB 距离为直线AB 的方程为121x y+=即220x y +-=，设点C 所在直线方程为20x y c ++=，=解得12c =-或8c =，∴点C 的轨迹方程为2120x y +-=或280x y ++=；故选：D 25．A由题意两直线平行，则112n=-，2n =-，又d =0m >，所以2m =． 所以0m n +=． 故选：A ． 26．B 【详解】设直线210x y ++=与直线2340x y c -+=的交点为A ，则2210340x y x y c ++=⎧⎨-+=⎩，解得2225310c x c y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故2223,510c c A +-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理设直线210x y ++=与直线1340x y c -+=的交点为B ，则1123,510c c B +-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线230x y ++=与直线1340x y c -+=的交点为C ，则1169,510c c C +-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线230x y ++=与直线2340x y c -+=的交点为D ，则2269,510c c D +-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由菱形的性质可知BD AC ⊥,且,BD AC 的斜率均存在，所以1BD AC k k ⋅=-，则22222112393910101010126265555c c c c c c c c ------⋅=-++++-+--+-，即()()221221361416c c c c --=-⎡⎤--⎣⎦，解得12c c -=故选：B. 27．B 【详解】解：动直线0x my -=过定点()0,0A ，动直线30mx y m +-+=化为()130m x y -++=，令1030x y -=⎧⎨+=⎩，解得1x =，3y =-，故定点()1,3B -. 当0m =时，直线方程为0x =，30y +=，此时两直线垂直； 当0m ≠时，由两直线的斜率之积为()1211k k m m=⨯-=-可知两直线垂直， ∴PA PB ⊥，222||||10PA PB AB ∴+==， 故答案选：B. 28．C由题可知2=2m =，所以21A C +=．()11112·224222C A A C A C A C A C⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2C A =，即14A =，12C =时，取等号．故选：C ． 29．B 【详解】设AC 的中点为D ，因为A （2，1），C (0，-1)，所以()1,0D ,所以AC 边上的中线长BD ==故选：B 30．D解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '， 所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=. 故选：D. 31．C 【详解】解：设1:20l x y c -+=，1l 与2ld ∴==即|3|5c +=，得35c +=或35c +=-， 即2c =或8c =-，即线1l 的方程为220x y -+=或280x y --=， 故选：C ． 32．B 【详解】解：直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则231l l k k ⨯=-，即23l k =， ∵直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，∵由3010ax y x y -+=⎧⎨+-=⎩得2131x a a y a ⎧=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩得交点坐标43,11a a a -⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 在直线1l 上取点()0,3，设该点关于l 对称的点为()P m n ,，则()31022311m n n m+⎧+-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪⎩，得2,1m n =-=，故23113221l a a k a +-+==-++，解得13a =，故选：B. 33．B 【详解】解：设A 关于直线y x =的对称点的坐标为,A a b '（），则212112122b a a b b a -⎧=-⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=++⎩⎪=⎪⎩， ∴PA PB +最小BA '= 故选：B 34．C 【详解】解：因为ABC 的顶点(4,0),(0,4),(2,0)A B C -，所以三角形的重心坐标为24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，AC 的中垂线方程为1x =-，1AB k =，AB 的中点坐标为()2,2-，所以AB 的中垂线方程为()212y x -=-+，即y x =-，所以三角形的外心为直线1x =-与y x =-的交点()1,1-，所以三角形的欧拉线方程为()()41311213y x --=+---，整理得20x y -+= 故选：C 35．B 【详解】直线1l ：240kx y k +--=，即()1240k x y -+-=， 令10x -=，求得1x =，2y =，可得该直线恒过点()1,2M . 直线2l ：1y x =-上有一动点P ，点N 的坐标为()4,6，故M 、N 都在直线2l ：1y x =-的上方．点()1,2M 关于直线2l ：1y x =-的对称点为()'3,0M ， 则'M N 直线方程为036043y x --=--，即618y x =-. 把'M N 直线方程和直线2l ：1y x =-联立方程组，求得175125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得当PM PN +取得最小值时，点P 的坐标为1712,55⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B 36．B 【详解】根据题意，可得M 的集合为与直线1l 和2l 距离都相等的直线， 则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为:0l x y m ++=，=|6||2|m m +=+，解得4m =-，可得:40l x y +-=， 所以M=故选：B. 37．AB 【详解】解：对于A ，当0x =时，2y =-，当0y =时，2x =，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积为12222⨯⨯=，所以A 正确， 对于B ，设点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(,)m n ，则2122210n mn m +⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，不能利用两点式求直线方程，所以C 错误，对于D ，当直线的截距为零时，设直线方程为y kx =，则2k =，所以直线方程为20x y -=，当当直线的截距不为零时，设直线方程为1x ya a +=，则121a a+=，解得3a =，所以直线方程为30x y +-=，所以经过点(1,2)且在x 轴和y轴上截距都相等的直线方程为30x y +-=或20x y -=，所以D 错误， 故选：AB 38．BD【详解】设点P 的坐标为(,)a b ，线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-，31142AB k -+==--， ∴AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=， ∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=， 又点(,)P a b 到直线l ：4320x y +-=的距离为2，2=，即43210a b +-=±， 联立可得1a =-、4b =-或277a =、87b =-，∴所求点P 的坐标为(1,4)-或278(,)77-， 故选：BD. 39．BD 【详解】 设直线:460l xy m ，2m ≠-且9m ，直线l 到直线1l 和2l 的距离分别为12,d d ， 由题知：121636m d ，291636m d ，因为1212d d =2916361636m m ， 即229m m ，解得5m =或133m =-， 即直线l 为4650x y ++=或1218130x y +-=。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的一般式方程分别为：Ax + By = C 和 Dx + Ey = F
将两个方程相减或相加，得到一个一元一次方程，解得交点的x或y坐标
将得到的x或y坐标代入任意一个原方程，解得另一个坐标
得到交点坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)
特殊情况的处理
两条直线平行的情况：此时它们的交点坐标为无穷远点，即坐标为(∞, ∞)。
公式推导过程中涉及到的数学知识点包括向量、三角函数和代数运算
距离公式的应用场景
计算线段的中点坐标
计算两点间的距离
判断点与线之间的距离
计算多边形的面积
距离公式的几何意义
公式适用于平面和三维空间中的两点距离计算
几何意义是将两点的距离量化为一个数值
公式中的平方和表示线段的平方长度
两点间的距离公式是连接两点的线段的长度
公式中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别表示两点的坐标
公式表示点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离
公式可用于计算任意两点间的距离
两点间距离公式的推导
两点间距离公式推导的起始点是欧几里得几何的基本假设
通过勾股定理和三角函数推导出两点间距离公式
公式形式为：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]
两条直线垂直的情况：此时它们的交点坐标为原点(0, 0)。
两条直线重合的情况：此时它们的交点坐标为无穷多个，即任意坐标点。
两条直线相切的情况：此时它们的交点坐标为切点，需要根据具体情况计算。
03
两点间的距离公式
点坐标的表示方法
两点间的距离公式为：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
直线的交点坐标与两点间的距离公式及点与直线的对称问题课件+-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册+
[母题探究]
本例(2)中若将“平行”改为“垂直”，如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
3
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－4，x NhomakorabeaO
l
类型4
【例4】
对称问题(选讲内容)
已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
[解] 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点
在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
y′＋5
x′＋4
＝3×
＋3，
2
2
即 y′－5
×3＝－1，
x′－4
∴P′点坐标为(－2,7)．
2
3 x 4 y 2 (2 x y 2) 0
LOGO
注：此直线系方程
少一条直线l2
y
表示什么图形 ?图形有何特点 ?
=0时,方程为3x+4y-2=0
=1时,方程为5x+5y=0
=-1时,方程为x+3y-4=0
(-2，2)
x
O
上式整理为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
，得
解1: 解方程组
2
6 x 4 y 1 0
3
直线2 x 2 y 1 0与6 x 4 y 1 0 的交点坐标为( , 2).
2
y0
x0
直线l 的方程为
高二春季数学直线的交点坐标与距离公式
高二春季数学“直线的交点坐标与距离公式”学生姓名授课日期教师姓名授课时长1. 掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2. .掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.1直线的交点：求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.2两点间的距离公式两点间的距离公式为.3点到直线的距离公式点到直线的距离为.两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.注意：1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数要保持一致.【试题来源】【题目】求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．【难度系数】3【试题来源】【题目】已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．【难度系数】3【试题来源】【题目】已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．【难度系数】3【试题来源】【题目】两条平行线l 1：3x ＋4y ＋c 1＝0，l 2：6x ＋8y ＋c 2＝0之间的距离是 () A ．d ＝|c 1－c 2|5 B ．d ＝|2c 1－c 2|10C ．d ＝|2c 1－c 2|5 D ．以上皆非【难度系数】3【试题来源】【题目】当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度系数】3【试题来源】2009·哈尔滨模拟【题目】若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【难度系数】3【试题来源】【题目】直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为 ( )A.13B.43C.23D.53【难度系数】3【试题来源】【题目】点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离等于 ( )A.m 2＋n 2B.m 2－n 2C.－m 2＋n 2D.m 2±n 2【难度系数】3【试题来源】2009·海淀模拟【题目】若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点 ( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)【难度系数】3【试题来源】【题目】若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为______． 【适用场合】课后练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________．【难度系数】3【试题来源】【题目】与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．【难度系数】3。
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思考3:上述直线l1与直线l2的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当m，n为何 值时，方程 m(3x 4 y 2) n(2x y 2) 0 分别表示直线l1和l2？
却真的无力再缩写下去。我的心在颤抖，我的灵瑰在夜黑人静的街头徘徊。忧伤是很真实的，忧伤也是很复杂的。忧伤是因为舞台的失去，忧伤是因为通行的被剥夺，我还有怎样的光荣与梦想去迎接下一次的挑战。
当我的人生来到凭吊的遗址，当我的爱情走进玫瑰的墓冢，
当我的耕耘陷进世俗的泥塘。忧伤就是我所能呈现给你的唯一姿态。我的逃避与我的遮掩，只是我无援的思想。也许往前走一步，就来到了崩溃的边缘。我所能做出的选择就是在忧伤的背后，还自已一个无欲无求的心情。
A1 x A2 x
B1 y C1 B2 y C2
0 0
有惟一解，有无数组解，无解，则两直
线的位置关系如何？
知识探究（二）：过交点的直线系 思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2： 2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能 将这些直线的方程统一表示吗？
y-2=k(x+2)和x=-2
忧伤不会是错误的判断，忧伤是在困境中的辗转。你
的酸楚，与我的苦涩一样，充满了梅雨时节的味道。当你陷进突如其来的情绪低谷，当我遭遇难以摆脱的人生乱麻，忧伤就是命定的人间底色。诱惑逼得你忧伤，想像惹得我忧伤。伤痕刻入了肌肤的深处，埋葬了多年苦苦经营的事业与理想。
当这一切的不幸如倾盆大雨浇在
你身上，你的言语已经不再有任何的感动与欣慰。忧伤弥漫开来，无言以对周遭的存在。从此，你生命的影子是否会越来黯淡。温柔像唿哨，躲躲闪闪之间，忧伤接踵而至。而忧伤也让你学会思考许多问题，其中最关键的一个是你的下一颗棋子下在哪里，才能让你惊险的棋局转危为安。
话便容易局限于经验，或拘泥于心理学的细节，显得肤浅、琐细和平庸。现在我把我最欣赏的教育理念列举出来，共七点，不妨称之为教育的七条箴言。它们的确具有箴言的特征：直指事物的本质，既简明如神谕，又朴素如常识。可叹的是，人们迷失在事物的假象之中，宁愿相信各种艰
深复杂的谬误，却忘掉了简单的常识。然而，依然朴实的心灵一定会感到，这些箴言多么切中今日教育的弊病，我们的教育多么需要回到常识，回到教育之为教育的最基本的道理。 第一条箴言：教育即生长，生长就是目的，在生长之外别无目的 这个论点由卢梭提出，而后杜威作了进一
切学习都是自学。就精神能力的生长而言，
思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与 直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办 法求得这两条直线的交点坐标？
y
P
o
x
思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点
坐标？
几何元素及关系
代数表示
格价值的基础上建立了她的儿童教育理论。杜威也指出，儿童期生活有其内在的品质和意义，不可把它当作人生中一个未成熟阶段，只想让它快快地过去。 人生的各个阶段皆有其自身不可取代的价值，没有一个阶段仅仅是另一个阶段的准备。尤其儿童期，原是身心生长最重要的阶段，
也应是人生中最幸福的时光，教育所能成就的最大功德是给孩子一个幸福而又有意义的童年，以此为他们幸福而有意义的一生创造良好的基础。然而，今天的普遍情形是，整个成人世界纷纷把自己渺小的功利目标强加给孩子，驱赶他们到功利战场上拼搏。我担心，在他们未来的人生，这样，我们对己对人 都不会太苛求了。
三
既然我们人人注定要下
地狱，我们身上怎么会没有这样那样的弱点呢?当然，每人通往 地狱的道路是不同的。 有时候，我对人类的弱点怀有如此温柔的同情，远远超过对优点的钦佩。那些有着明显 弱点的人更使我感到亲切。
在若干年后的社会上，童年价值被野蛮剥夺的恶果不知会以怎样可怕的方式显现出来。 第三条箴言：教育的目的是让学生摆脱现实的奴役，而非适应现实 这是西塞罗的名言。今天的情形恰好相反，教育正在全力做一件事，就是以适应现实为目标塑造学生。人在社会上生活，当然有适应
现实的必要，但这不该是教育的主要目的。蒙田说：学习不是为了适应外界，而是为了丰富自己。孔子也主张，学习是“为己”而非“为人”的事情。古往今来的哲人都强调，学习是为了发展个人内在的精神能力，从而在外部现实面前获得自由。当然，这只是一种内在自由，但是，正是
艺。 “生长就是目的，在生长之外别无目的”，这是特别反对用狭隘的功利尺度衡量教育的。人们即使承认了“教育即生长”，也一定要给生长设定一个外部的目的，比如将来适应社会、谋求职业、做出成就之类，仿佛不朝着这类目的努力，生长就没有了任何价值似的。用功利目标规
范生长，结果必然是压制生长，实际上仍是否定了“教育即生长”。生长本身没有价值吗？一个天性得到健康发展的人难道不是既优秀又幸福的吗？就算用功利尺度——广阔的而非狭隘的——衡量，这样的人在社会上不是更有希望获得真正意义的成功吗？而从整个社会的状况来看，正如
旅人找不到归路的迷惘，忧伤是轮椅上永远睡不去的第三只眼，忧伤是愤怒的摇滚风平浪静时的停顿，忧伤是崩克青年转眼就白了少年头，忧伤是良辰美景奈何天，忧伤是文艺片里怀旧的镜头一晃而逝，忧伤是青苹果乐园再也走不进放风筝的阳光游子，忧伤是午夜酒吧再也坐不进滚滚红
尘的心，忧伤是天鹅湖的芭蕾王子没有配角的悲哀，忧伤是玫瑰凋落红颜盈盈含泪，忧伤是枫叶林里边弹琵琶边自吟的舞女，忧伤是再别康桥的思绪万千，忧伤是独上高楼的天地茫茫，忧伤是少年维特的烦恼，忧伤是波光艳影里人生余绪，忧伤是皇城根下遗老遗少的帝都旧影，忧伤是梦
凭借这种内在自由，这种独立人格和独立思考的能力，那些优秀的灵魂和头脑对于改变人类社会的现实发生了伟大的作用。教育就应该为促进内在自由、产生优秀的灵魂和头脑创造条件。如果只是适应现实，要教育做什么！ 第四条箴言：最重要的教育原则是不要爱惜时间，要浪费时间
这句话出自卢梭之口，由我们今天的许多耳朵听来，简直是谬论。然而，卢梭自有他的道理。如果说教育即生长，那么，教育的使命就应该是为生长提供最好的环境。什么是最好的环境？第一是自由的时间，第二是好的老师。在希腊文中，学校一词的意思就是闲暇。在希腊人看来，学生
思考4:方程 3x 4 y 2 (2x y 2) 0
步阐发。“教育即生长”言简意赅地道出了教育的本义，就是要使每个人的天性和与生俱来的能力得到健康生长，而不是把外面的东西例如知识灌输进一个容器。苏格拉底早已指出，求知是每个人灵魂里固有的能力，当时的智者宣称他们能把灵魂里原本没有的知识灌输到灵魂里去，苏格
拉底嘲笑道，好像他们能把视力放进瞎子的眼睛里去似的。懂得了“教育即生长”的道理，我们也就清楚了教育应该做什么事。比如说，智育是要发展好奇心和理性思考的能力，而不是灌输知识；德育是要鼓励崇高的精神追求，而不是灌输规范；美育是要培育丰富的灵魂，而不是灌输技
罗素所指出的，一个由本性优秀的男女所组成的社会，肯定会比相反的情形好得多。 第二条箴言：儿童不是尚未长成的大人，儿童期有其自身的内在价值 用外部功利目的规范教育，无视生长本身的价值，一个最直接、最有害的结果就是否定儿童期的内在价值。把儿童看作“一个未来的
存在”，一个尚未长成的大人，在“长大成人”之前似乎无甚价值，而教育的唯一目标是使儿童为未来的成人生活做好准备，这种错误观念由来已久，流传极广。“长大成人”的提法本身就荒唐透顶，仿佛在长大之前儿童不是人似的！蒙台梭利首先明确地批判这种观念，在肯定儿童的人
一个太好的女人，我是配不上的。她也不需要我，因为她有天堂等着她。
可是，突然发 现她有弱点，有致命的会把她送往地狱的弱点，我就依恋她了。我要守在地狱的门前，阻止 她进去……
四
有时候，我会对人这种小动物忽然生出一种古怪的怜爱之情。他们像别的动物 一样出生和死亡，可是有着一些别的动物无法想象的行为和嗜好。
七
一天是很短
的。早晨的计划，晚上发现只完成很小的一部分。一生也是很短的。年轻 时的心愿，年老时发现只实现很小一部分。 今天的计划没完成，还有明天。今生的心愿没实现，却不再有来世了。 所以，不妨榨取每一天，但不要苛求绝无增援力量的一生。要记住：人一生能做的事情 不多，无
论做成几件，都是值得满意的。 ? 教育的七条箴言 ?何为教育？教育中最重要的原则是什么？古今中外的优秀头脑对此进行了许多思考，发表了许多言论。我发现，关于教育最中肯、最精彩的话往往出自哲学家之口。专门的教育家和教育学家，倘若不同时拥有洞察人性的智慧，说出的
必须有充裕的时间体验和沉思，才能自由地发展其心智能力。卢梭为其惊世骇俗之论辩护说：“误用光阴比虚掷光阴损失更大，教育错了的儿童比未受教育的儿童离智慧更远。”今天许多家长和老师唯恐孩子虚度光阴，驱迫着他们做无穷的功课，不给他们留出一点儿玩耍的时间，自以为
这就是尽了做家长和老师的责任。卢梭却问你：什么叫虚度？快乐不算什么吗？整日跳跑不算什么吗？如果满足天性的要求就算虚度，那就让他们虚度好了。 到了大学阶段，自由时间就更重要了。依我之见，可以没有好老师，但不可没有自由时间。说到底，一切教育都是自我教育，一
其中，最特别的是两样东 西：货币和文字。这两样东西在养育他们的自然中一丁点儿根据也找不到，却使多少人迷恋 了一辈子，一些人热衷于摆弄和积聚货币，另一些人热衷于摆弄和积聚文字。由自然的眼光 看，那副热衷的劲头是同样地可笑的!
五
没有一种人
性的弱点是我所不能原谅的，但有的是 出于同情，有的是出于鄙夷。
六
在这个世界上，一个人重感情就难免会软弱，求完美就难免有遗憾。也许，宽容自己 这一点软弱，我们就能坚持；接受人生这一点遗憾，我们就能平静。
点A
A (a, b)
直线l 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A
Aa Bb C 0
l:A xB yC 0
点A的坐标是方程组的解
A1x B1 y C1 0