线性代数：第四章 向量组的线性相关性 (2)

a11
记
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
12
若 A 1,2,
a1 j
,n
,
其中
j
a2 j
amj
则方程组的向量表示为
x11 x22 xnn b
13
定理1: 向量 b可由向量组 1,2, ,m 线性表示
x2 x2
x3 x3
0 3
x1 x2 2 x3 3
10
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
2 0
所以，b a1 2a2
11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
5
例. 非齐次线性方程组 Ax b 的解集合 S {x | Ax b}
齐次线性方程组 Ax 0 的解集合
S {x | Ax 0}
6
同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。
m×n 阵 A 的 列向量组:
行向量组:
A (a1, a2 ,, an )
T 1
A
Hale Waihona Puke Baidu
T 2
16
定理2: 向量组 B : 1, 2 , , l 能由 A :1,2 , ,m
线性表示
AX B 有解，其中 A (1,2, ,m )
R( A) R( A, B)
B (1,2, ,l )
17
定理3: 向量组 B : 1, 2 , , l 能由 A :1,2 , ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
an
an )T 称为列向量。
(a1,a2, ,an ) 称为行向量。
3
例. 3 维向量的全体所组成的集合 R3 { ( x, y, z)T | x, y, z R }
通常称为 3 维Euclid几何空间。 集合
{ ( x, y, z)T | ax by cz d }
称为 R3 中的一个平面。
则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
9
例如： 2
1
1 0
a1
1 1
,
a2
2 1
,
a3
1 2
,
b
3 3
则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.
解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b
既解方程组
2 x1 x1 2
21
解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
0 0
102
系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
22
例3: n维向量
e1 1,0,,0 ,e2 0,1,,0 ,,en 0,0,,1
4
例. n 维向量的全体所组成的集合
Rn { ( x1, x2 ,, xn )T | x1, x2 ,, xn R }
称为 n 维Euclid空间。 集合
{ ( x1, x2 ,, xn )T | a1x1 a2 x2 an xn b }
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。
15
A :1,2 , ,m B : 1, 2 , , l B 能由 A 线性表示 j k1 j1 k2 j2 kl jl j 1, 2, , l
(1, , l ) (k111 km1m , , k1l1 kmlm )
(1 , , m
)
k11
k1l
km1 kml
Ax b 有解，其中 A (1,2, ,m ) R( A) R( A,b)
14
定义3: 设向量组 A :1,2 , ,m 及 B : 1, 2 , , l
若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价。
T m
7
§2 向量组的线性相关性
定义1：设向量组 A :1,2 , ,m , 及一组实数
k1, k2 , , km , 表达式
k11 k22 kmm
称为向量组 A的一个线性组合， k1, k2 , , km 称为线性组合的系数。
8
定义2：设向量组 A :1,2 , ,m , 和向量 b 若存在一组实数 1,2 , m , 使得 b 11 22 mm
其中 A (1,2 , ,m ), B (1, 2, , l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
18
定义4：设向量组 A :1 ,2 , ,m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 22 mm 0
第四章 向量组的线性相关性
1
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 , , an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
2
a1
a2
(a1 ,
a2
讨论它们的线性相关性.
解: E e1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1 , e2 , e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
23
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
19
定理4: n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性相关
Ax
0
有非零解,其中A
R( A) m
1
,
2
,,
m
推论： n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性无关
Ax
0
只有零解,
其中
A
1
,2
,
R( A) m
,m
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.