解析函数与调和函数的关系

解析函数与调和函数的关系
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内容简介
在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。

本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。

.
),()
00:
),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数
D y x y x Laplace D y x ϕϕϕϕϕ=∆=∂∂+∂∂定义是，内解析在区域若D
y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==⇒+=定理
证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则
x v y u y v x
u R C ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂- 方程由y
x v y u x y v x u ∂∂∂-=∂∂∂∂∂=∂∂222222从而有x
y v y x v y x v y x u ∂∂∂=∂∂∂∴⇒22.)
,(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 2222=∂∂+∂∂y u x u 内有故在0 22
22=∂∂+∂∂y v x v 同理有
0,0=∆=∆v u 2222y x ∂∂+∂∂≡∆其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程:是，D
y x v v y x u u ),(),(==∴.
),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数
为设y x u y x v iv u D y x u +定义
上面定理说明：
.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D ),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即y x u u y x v D D y x iv y x u z f =⇒
+=由解析的概念得：
.,,,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在u v v u v u v u R C D x y y x -==-,, 一定解析
内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若D iv u D v u +现在研究反过来的问题：
.
的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=如)11)()()(x y y
x v u v u z y x i y x iv u z f -≠===+++=+=处处不解析平面上在（ 由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,u v R C v u D iv u -+.),,(),,(iv u y x v R C y x u +-从而构成解析函数程可求得它的虚部方
利用部已知一个解析函数的实))
,((y x v 虚部))
,((y x u 实部
0,),(,22
22=∂∂+∂∂y
u x u D y x u D 则函数内的调和
是区域一单连通区域设内有连续一阶偏导数在、即D x
u y u ∂∂∂∂-,dy x
u dx y u dy y v dx x v x u x y u y ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂ )()(且),(y x dv v ∃=)
(),(),(),(00*+∂∂+∂∂-=⎰c dy x u dx y u y x v y x y x
.
.内解析在方程满足D iv u R C x
u y v y u x v +∴-∂∂=∂∂∂∂-=∂∂ .
)(),,()(,
),( 内解析在使得式所确定的则内调和函数在单连通设D iv u z f y x v D y x u +=*定理
公式不用强记！可如下推出：
dy x v dx y v dy y v dx x v du R C ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=-方程由然后两端积分。

由求其共轭调和函数已知：方程dy u dx u dy y
v dx x v dv y x v y x u x y R C +-=∂∂+∂∂=-:),(),,(类似地，然后两端积分得，
)
(),()
,()
,(00**+-=⎰
c
dy v dx v y x u y x y x x y
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中都有重要应用。

本节介绍了调和函数与解析函数的关系。

i
i f y
xy x u iv u z f +-=-+=+=1)()(2
2
由下列条件求解析函数
例1dy
y x dx x y dy y v
dx x v dv x y y
u x v y
x x
u
y v )2()2(22++-=∂∂+∂∂=∴+-=∂∂=∂∂-+=∂∂=∂∂ 解c
y
xy x c
dy y x xdx c
dy y x dx x y y x v y
x
o
y x +++-=+++-=
+++-=⎰⎰
⎰2
22)2()2()2(),(2
2
)
,()0,0(曲线积分法
ic
z i ic iy x i iy x c y xy x i xy y x z f +-=++-+=+++-++-=22
22
22
2
)2
11()(2)()
2
1221()()(故2
)21()(211)2
1(1)(22
i z i z f c i
ic i i i i f +
-==∴+-=+-+-=代入上式得， )
(21
),
(21
z z i
y z z x -=+=
)(2
222
x y xy v y x y v ϕ++=⇒+=∂∂ )
2
1221()()(2
22
2
c y xy x i xy y x z f +++-++-=又解偏积
分法
x y x y x
v x
v -=+=∂∂⇒∂∂2)('2 ϕc
x
x +-=2
)(2ϕc
x
y xy y x v +-+=∴2
22),(2
2x x -=)('ϕ
)
2()2()('y x i y x iu u iv u z f y
x x x --+=-=+=)
2
1221()()(2
22
2
c y xy x i xy y x z f +++-++-=又解不定积
分法
))(2()()(2iy x i iy x i iy x +-=+-+=()z
i -=2ic
z i z f +-=∴2
2
2)(。