解析函数与调和函数的关系

u u v( x, y ) dx dy c ( x0 , y0 ) y x
( x, y)
()
v u x y
v u 满足C R方程. y x
u iv在D内解析.
定理 设u( x , y )在单连通D内调和函数,
则()式所确定的v ( x , y ), 使得 f ( z ) u iv在D内解析.
由解析的概念得：
在D内满足C R方程 : u x v y , u y v x的两个 调和函数 , v , v必为u的共轭调和函数 u . 现在研究反过来的问题： u, v是任意选取的在 若
区域D内的两个调和函数则u iv在D内就不 , 一定解析 .
如
v x y不是u x y的共轭调和函数 .
类似地， 然后两端积分得，
u( x , y )
( x, y)
( x 0 , y0 )
v y dx v x dy c
( )

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。
f 例1 由 下列 条件 求解 析 函数( z ) u iv u x 2 xy y 2
, 定义 设u( x , y )为D内的调和函数称使得 u iv 在D内构成解析函数的调和 v ( x , y )为u( x , y ) 函数 的共轭调和函数 .
上面定理说明：
Leabharlann Baidu
D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在D内解析 在D内v ( x , y )必为u u( x , y )的共轭调和函数 .
(实部u( x, y ))
设D一单连通区域u( x , y )是区域D内的调和 , 2u 2u 函数, 则 2 2 0 x y u u 即, 、 在D内有连续一阶偏导数 y x
且 u u ( ) ( ) y y x x
v v v u u dx dy dx dy dv( x , y ) x y y x

公式不用强记！可如下推出：
已知：u( x , y ), 求其共轭调和函数( x , y ) : v v v C R方程 由dv dx dy u y dx u x dy x y 然后两端积分。
v v C R方程 v v 由du dx dy dx dy x y y x
2u 2u 2v 2v 故在D内有 2 0, 同理有 2 0 2 2 x y x y
即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
u 0, v 0
2 2 其中 2 2 x y
u u( x, y)，v v( x, y)是D内的调和函数。
解
v u 2x y y x
f ( i ) 1 i
v u 2 y x x y
v v dv dx dy ( 2 y x )dx ( 2 x y )dy x y ( x, y) v( x, y ) ( 2 y x )dx ( 2 x y )dy c
u y 1 v x )
（ f ( z ) u iv ( x y ) i ( x y )在z平面上 处处不解析ux 1 v y
要想使u iv在D内解析, u及v还必须满足 R C 方程，即 必须是u的共轭调和函数 v .由此，
已知一个解析函数的实 u( x , y ), 利用C R方 部 (虚部v( x, y )) 程可求得它的虚部( x , y ), 从而构成解析函数 v u iv.
第六讲 解析函数与调和函数的关系
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内 容 简 介
在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数
仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节
利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间
的关系。
定义 若二元实变函数 ( x , y )在D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : 2 0 2 x y
(2 x y ) i( x 2 y )
不 定 积
2( x iy) i ( x iy) ( 2 i )( x iy)
2 i z
2i 2 f (z) z ic 2
2 2
分
法
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y c ) 2 2
v x
偏
积
分
法
y x v ( x , y ) 2 xy c 2 2
2 2
2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y c ) 2 2
又解 f ' ( z ) u x iv x u x iu y
2 2

1 x ( z z ), 2
1 y (z z) 2i
v y2 2 x y v 2 xy ( x) 又解 y 2
v 2 y '( x) 2 y x x x2 '( x) x ( x) c 2
u 由C R方 程 x 2 2 u v 从而有 2 x yx
v u v y y x 2 2 u v 2 y xy
由解析函数高阶导数定 u( x , y ), v ( x , y ) 理 2v 2v 具有任意阶的连续导数 . xy yx
( 0,0 ) x


o
xdx ( 2 x y )dy c
0 2 2
y
x y 2 xy c 2 2
曲线积分法
1 2 1 2 故 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y c ) 2 2 i 1 2 2 2 ( x iy) ( x iy) ic (1 i ) z ic 2 2 i 2 f ( i ) 1 i 代入上式得， )i ic 1 i (1 2 1 i 2 i c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
2 2
即（ 0)
则称 ( x , y )为D内的调和函数 .
定理 若f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在区域D内解析
u u( x , y )，v v ( x , y )是D内的调和函数。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则