解三角形——求取值范围问题

解三角形求取值范围问题

类型1：正弦定理+外接圆半径+三角函数

1.在ABC ∆中，若3

sin 4

B =，10b =，则边长c 的取值范围是（ ） A. 15

(,)2

+∞ B. (10,)+∞ C. 40(0,]3 D. (0,10)

2．在△ABC 中，C=，AB=3，则△ABC 的周长为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

3．在△ABC 中，，则△ABC 的周长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3

π

=

A ，则c b +的最大值为

（ ）

A ．4

B ． 33 C. 32 D ．2

5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A c

B b

+=，则b c +的最大值为___6____．

6．在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，

由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32

， ∴C ＝

π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3

. (2)∵c ＝3，sin C ＝

32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3

3

2

＝2，

即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π

3－A ，

∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3

＝2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋ 3

＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3

＝3sin A ＋3cos A ＋ 3

＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·si n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫A ＋π6

＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴

π6＜A ＜π2，∴32＜sin ⎝

⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，

则△ABC 周长的取值范围是(3＋3，3 3 ]．

7. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c=2，∠C=60°，求a +b 的取值范围． 解：由正弦定理知

，则a=

，b=

，而C=60°，

所以a+b=

=4sin （A+30°） 因为锐角△ABC ，C=60°，则30°＜A ＜90°，所以a+b ∈（2，4]

∴a+b 的取值范围为（2

，4]．

8.已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若a 2＝b 2＋c 2+bc ，且a ＝23．

（Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值； （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围． 【解析】 （1）∵

a 2＝

b 2＋

c 2+bc ，∴

2221

cos 22

b c a A bc +-==-，即cosA ＝－12，

又∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝1

2bcsinA ＝3，所以bc ＝4，

由余弦定理得：12=a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π

3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. （2）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，

∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π

3)，

∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π

3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].

9．已知角

C

B A ,,为

ABC ∆的三个内角，其对边分别为c

b a ,,，若

)2

sin ,2cos

(A A -=m ，

)2sin ,2(cos A A =n ，32=a ，且2

1

=⋅n m ．

（I ）若ABC ∆的面积3=S ，求c b +的值； （II ）求c b +的取值范围．

【解析】（I ）)2sin ,2cos (A A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且2

1

=⋅n m .

2

1

2sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又),0(π∈A ，32π=

∴A 又由3sin 21=⋅=∆A bc S ABC ，4=∴bc 由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=⋅-+=222223

2cos 2π

2)(16c b +=∴，故4=+c b

（II ）由正弦定理得：

43

2sin 32sin sin sin ====πA a C c B b ，又3π

π=

-=+A C B ，

)3

sin(4)3

sin(4sin 4sin 4sin 4π

π

+

=-+=+=+∴B B B C B c b

3

0π

<

3

23

3

ππ

π

<

+

1)3

sin(23≤+<π

B ，即c b +的取值范围是].4,32( 10．在△AB

C 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2

A ＝sin 2

B ＋cos 2

C ＋sin A sin B.

(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)由题意知1－sin 2

A ＝s in 2

B ＋1－sin 2

C ＋sin A ·sin B ， 即sin 2

A ＋sin 2

B －sin 2

C ＝－sin A sin B ，

由正弦定理得a 2

＋b 2

－c 2

＝－ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－1

2

.

又因为0

3

.

(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2，所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，

则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝2s in ⎝

⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋ 3.

因为0

π3，所以π3

⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3≤2＋3，