匀变速直线运动公式的推导

① 速度位移公式：202v v t -=as 2 ② 位移公式：s =202

1at t v + ③ 位移中点的瞬时速度公式：2

2

22

v v v t s +=

④ 中间时刻的瞬时速度：2

t v =

at v v v t 2

1

200+=+=v （某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度） ⑤ 末速度公式：at v v t +=0 ⑥ 加速度公式：t

v v a t 0

-=

⑦ 任意两个连续相等的时间内的位移差公式：x ∆=2aT

⑧ 初速度为0时，那么末速度v =at ，有1T 末、2T 末、3T 末……的瞬时速度比为自然数比

⑨ 初速度为0时，那么位移22

1

at s =，有1T 内、2T 内、3T 内……的位移比为自然数的平方比

同时还有第1个T 内位的移比第2个T 内的位移比第3个T 内的位移……即位移差之比为奇数比

⑩从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比，有第1段位移的用时比第2段位移的用时比第3段位移的用时……即时差比为

(

)

1--n n 的比

同时还有前一个位移所用时间比前二个位移所用时间比前三个位移所用时……即位移用时比为自然数开根比

同时还有第一段位移未、第二段位移未、第三段位移未……的瞬时速度比为自然数开根比

匀变速直线运动公式的推导

加速度即为一次函数图象的斜率；加速度的方向与斜率的正负一致 1、由速度公式和位移公式可以推导出的公式

①2

02v v t -=as 2

202v v t -=()2

020v at v -+=2202t a at v +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+20212at t v a =as 2

位移中点的瞬时速度 ∵202

v

v t

-=

as 2 ∴s =a v v t 2202-⇒2

s =

a v v t 42

2- ②设位移中点瞬时速度是2

s v

∵2022v v s -=22as =220

2v v t

- ∴22s v =220

2v v t

+⇒2

s v =22

2v v t + ③设初速度是0v ,加速度a ,时间是t

因为位移s =2021at t v +

平均速度v =t s =at v 2

1

0+

因为中间时刻的瞬时速度2

t v =⎪⎭

⎫

⎝⎛+t a v 210=at v 2

1

0+

=v 所以某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度

④x ∆=2

aT （做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移差为定值。设加速度为a ，连续相等的时间为T ，位移差为x ∆）

证明：设第1个T 时间的位移为1x ；第2个T 时间的位移为2x ……第n 个T 时间的位移为

n x

由x =202

1at t v + 得：1x =2

021aT T v +

2x =()202

0212212aT T v T a T v --+=2023aT T v +

n x =()()()[]2

020121121T n a T n v nT a nT v ----+=202

12aT n T v -+

∴x ∆=12x x -=23x x -=1--n n x x =2

aT ⇒a =

2

T x ∆ 2 ①因为初速度是0，那么末速度v =at

1T 末、2T 末、3T 末……瞬时速度为aT,2aT,3aT …… 所以瞬时速度的比为

v1：v2：v3……＝1：2：3：……：n ②s =

22

1at 所以1T 内、2T 内、3T 内……nT 内位移 为

221at ,()2221t a , ()2321t a ……()22

1nt a 那么他们的比为

S1：S2：S3：……：n s ＝12

：22

：32

：……：n 2

③第一个T 内位移=1s =

2

2

1aT （初速度为0） 第二个T 内位移=12s s -=()22

21221aT T a -=223aT （初速度为at ）

第三个T 内位移=23s s -=()()22221321T a T a -=2

2

5aT （初速度为2at ）

……

第n 个T 内位移=1--n n s s =

()()[]2212121T n a nT a --=22

1

2aT n - [初速度为

（2n-1）at] 所以第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……第n 个T 内的位移之比为： S Ⅰ：S Ⅱ：S Ⅲ：……：n s ＝1:3:5:……:12-n

④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比 设每一个位移为s 对第一个s 有s =

2

12

1at ⇒1t =a s 2 对前两个s 有s 2=

2

221aT ⇒2T =a s 4=21t 因此2t =12t T -=

()

12-1t

对前3个s ,有s 3=2

321aT ⇒3T =a s 6=31t

因此3t =23T T -=

()

23-1t

对前4个s ,有s 4=2

42

1aT ⇒4T =a s 8=41t