人教A版高中数学选修2-2 2.1.1.1 归纳推理同步练习习题(含答案解析)
11-12学年高中数学 2.1.1.2 类比推理同步练习 新人教A版选修2-2
类比推理一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误 [答案] B[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A 不正确；B 正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C 不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D 也不正确，故应选B.2．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④ [答案] C[解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③ [答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对 [答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 7．(2010·浙江温州)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12 B.5－12C.5－1D.5＋1 [答案] A[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0) ∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ) 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0 ∴c 2－a 2－ac ＝0 ∴e 2－e －1＝0∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于( )A ．2(AB 2＋AD 2＋AA 21) B ．3(AB 2＋AD 2＋AA 21) C ．4(AB 2＋AD 2＋AA 21) D ．4(AB 2＋AD 2) [答案] C[解析] AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21 ＝(AC 21＋CA 21)＋(BD 21＋DB 21) ＝2(AA 21＋AC 2)＋2(BB 21＋BD 2) ＝4AA 21＋2(AC 2＋BD 2)＝4AA 21＋4AB 2＋4AD 2，故应选C. 9．下列说法正确的是( )A ．类比推理一定是从一般到一般的推理B ．类比推理一定是从个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是从个别到一般的推理 [答案] C[解析] 由类比推理的定义可知：类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C. 10．下面类比推理中恰当的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” [答案] C[解析] 结合实数的运算知C 是正确的． 二、填空题11．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]，而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝＝12＝22，故所求答案为6×22＝3 2.12．(2010·广州高二检测)若数列{a n }是等差数列，对于b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，对于d n >0，则d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．[答案]nc 1·c 2·…·c n13．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则过此点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，而在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S 椭＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．[答案] π·a ·b ；x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1[解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理．14．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立. (1)证明如下：当n ＜8时，等式(1)为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b n b n ＋1…b 17－n 即：b n ＋1·b n ＋2…b 17－n ＝1.(2) ∵b 9＝1，∴b k ＋1·b 17－k ＝b 29＝1. ∴b n ＋1b n ＋2…b 17－n ＝b 17－2n9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n ＝8时，(1)式即：b 9＝1显然成立； 当8＜n ＜17时，(1)式即：b 1b 2…b 17－n ·b 18－n ·…b n ＝b 1b 2…b 17－n即：b 18－n ·b 19－n …b n ＝1(3) ∵b 9＝1，∴b 18－k ·b k ＝b 29＝1 ∴b 18－n b 19－n ·…·b n ＝b 2n －179＝1∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{b n }满足b 9＝1时，有：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立．三、解答题15．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)a n ＝a m ＋(n －m )·d .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列． 类比上述性质，在等比数列{b n }中， 写出相类似的性质．[解析] 等比数列{b n }中，公比q ，前n 项和S n . (1)通项a n ＝a m ·qn －m.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n .(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． 16．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c . [解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ， ∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . 你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab )·c ＋1＞ab ＋c 是关键．用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n ＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .17．点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析] 点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1.将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。
[精品]新人教A版选修2-2高中数学2.1.2 演绎推理过关习题和答案
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选修2-2 2.1.2 演绎推理一、选择题1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )A．大前提错B．小前提错C．结论错D．正确的[答案] D[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论 [答案] C[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13x是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A[解析] 对数函数y ＝log a x 不是增函数，只有当a >1时，才是增函数，所以大前提是错误的．5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①② [答案] B[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )A．①B．②C．①②D．③[答案] B[解析] 易知应为②.故应选B.7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )A．大前提错B．小前提错C．推论过程错D．正确[答案] C[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )A．正确B．推理形式正确C．两个自然数概念不一致D．两个整数概念不一致[答案] A[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )[答案] A[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．二、填空题11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0[解析] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0. 12．以下推理过程省略的大前提为：________. ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab . [答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.[答案] 12[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ② 由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (x ＋2)∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6) ∴f (x )＝f (x ＋6) 即f (x )周期为6，∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12即f (2010)＝12.14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 [解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝13S △AOB ·h ，又S △AOB ＝12|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．三、解答题15．用三段论形式证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，则∠B ＝∠C .[证明] 如下图延长AB ，DC 交于点M .①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中AD ∥BC 小前提 ③MB BA ＝MC CD结论①等量代换大前提②AB＝CD小前提③MB＝MC结论在三角形中等边对等角大前提MB＝MC小前提∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论等量代换大前提∠B＝π－∠1∠C＝π－∠2小前提∠B＝∠C结论16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．[解析] 推理的第一个关键环节：大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．推理的第二个关键环节：大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.以下可得出结论a ＝－4.18．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围． [解析] (1)F ∈l ⇔|FA |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0.∴上述条件等价于y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2＋12x －m＝0，得x 1＋x 2＝－14.A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932. 即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.。
最新人教A版高中数学选修2-1 2章整合课时同步练习 习题(含解析)
2章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1．以x24－y212＝－1地焦点为顶点，顶点为焦点地椭圆方程为( )A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝1解析：双曲线x24－y212＝－1地焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆地焦点在y轴上，a＝4，c＝23，∴b2＝4，所求方程为x24＋y216＝1，故选D.答案： D2．设P是椭圆x2169＋y2144＝1上一点，F1、F2是椭圆地焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于( ) A．22 B．21C．20 D．13解析：由椭圆地定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.答案： A3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它地右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案： C4．若抛物线x 2＝2py 地焦点与椭圆x23＋y24＝1地下焦点重合，则p 地值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x23＋y24＝1地下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．若k ∈R ，则k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线地充分不必要条件．故选A. 答案： A6．已知F 1、F 2是椭圆地两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0地点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率地取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析： 由MF1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径地圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22.即椭圆离心率地取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，22.故选C.答案： C7．已知抛物线C ：y 2＝4x 地焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4，4)，又F (1，0)， ∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二：由方法一得A (4，4)，B (1，－2)，F (1，0)，∴FA →＝(3，4)，FB →＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA，→·FB→|F A→|·|F B→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.答案： D8．F1、F2是椭圆x29＋y27＝1地两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2地面积为( )A．7 B.72C.74D.752解析：|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，|AF2|＝6－|AF1|.|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1|＝72 .S＝12×72×22×22＝72.答案： B9．已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切地两直线相交于点P，则P点地轨迹方程为( )A．x2－y28＝1(x>1) B．x2－y28＝1(x<－1)C．x2＋y28＝1(x>0) D．x2－y210＝1(x>1)解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.所以点P地轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点地双曲线地一支，且a＝1，∴c＝3，b2＝8，∴所以双曲线方程是x2－y28＝1(x>1)．答案： A10．设直线l过双曲线C地一个焦点，且与C 地一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C 地实轴长地2倍，则C 地离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析： 设双曲线地标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线地焦点且与对称轴垂直，因此直线l 地方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y2b2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b2a2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2.∴e＝ 3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线地渐近线方程为y＝±13x，它地一个焦点是(10，0)，则双曲线地标准方程是________．解析：由双曲线地渐近线方程为y＝±13x，知b a ＝13，它地一个焦点是(10，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线地方程是x29－y2＝1.答案：x29－y2＝112．若过椭圆x216＋y24＝1内一点(2，1)地弦被该点平分，则该弦所在直线地方程是________．解析：设直线方程为y－1＝k(x－2)，与双曲线方程联立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16k2－8k1＋4k2＝4，解得k＝－12，所以直线方程为x＋2y－4＝0. 答案：x＋2y－4＝013.如图，F 1，F 2分别为椭圆x2a2＋y 2b2＝1地左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3地正三角形，则b 2地值是________．解析： ∵△POF 2是面积为3地正三角形， ∴12c 2sin 60°＝3， ∴c 2＝4， ∴P (1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋3b2＝1，a 2＝b 2＋4，解之得b 2＝2 3.答案： 2 314．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)地直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22地最小值是________．解析：显然x1，x2≥0，又y21＋y22＝4(x1＋x2)≥8x1x2，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要地文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x2 9＋y2 25＝1共焦点，它们地离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由椭圆方程可得椭圆地焦点为F(0，±4)，离心率e＝45，所以双曲线地焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝2 3.所以双曲线方程为y24－x212＝1.16．(本小题满分12分)设椭圆地中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝32.已知点P⎝⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上地点地最远距离为7，求这个椭圆地方程．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M(x，y )为椭圆上地点，由c a ＝32得a ＝2b .|PM |2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3⎝⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，|PM |2最大，即⎝⎛⎭⎪⎫b ＋322＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，|PM |2最大，即4b2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x24＋y 2＝1.17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A地坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直地直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P地轨迹方程．解析：由QM→＝λMP→知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴地直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λ2x 2－λ1＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2，2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y －1＝0.故所求点P地轨迹方程为y＝2x－1.18．(本小题满分14分)已知椭圆地长轴长为2a，焦点是F1(－3，0)、F2(3，0)，点F1到直线x＝－a23地距离为33，过点F2且倾斜角为锐角地直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F2A|.(1)求椭圆地方程；(2)求直线l地方程．解析：(1)∵F1到直线x＝－a23地距离为33，∴－3＋a23＝33.∴a 2＝4.而c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1.∵椭圆地焦点在x 轴上，∴所求椭圆地方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． ∵|F 2B |＝3|F 2A |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x 2＋3x 11＋3，0＝y 2＋3y 11＋3，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝43－3x 1，y 2＝－3y 1. ∵A 、B 在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 21＝1，43－3x 124＋－3y 12＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1033，y 1＝233取正值.∴l 地斜率为233－01033－3＝ 2. ∴l 地方程为y ＝2(x －3)， 即2x －y －6＝0.。
高中数学2.1.1合情推理课时作业(含解析)新人教A版选修22
高中数学2.1.1合情推理课时作业（含解析）新人教A版选修22知识点一归纳推理1.观察下列不等式：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……照此规律，第五个不等式为( )A．1＋122＋132＋142＋152＜95B．1＋122＋132＋142＋152＜116C．1＋122＋132＋142＋152＋162＜95D．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116答案 D解析观察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.2．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，……，第n层，第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题：(1)按照要求填表：n 1234…S n136…(2)S10＝________答案(1)10 (2)55解析 S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点二 类比推理3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是______________________．答案 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300 解析 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. 即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 4．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图①所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·BC ，所以1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BC ·BC ·BD ·DC ＝BC 2AB 2·AC 2.又BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以1AD2＝1AB2＋1AC 2.类比猜想：四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.如图②，连接BE 交CD 于F ，连接AF ，因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD ，而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ， 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， 所以1AE2＝1AB2＋1AF 2，易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， 所以1AF 2＝1AC2＋1AD 2， 所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，猜想正确．知识点三 归纳和类比推理的应用5.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．胡乱推理D ．没有推理 答案 B解析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．6．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n ＞0，则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 答案nc 1·c 2·c 3·…·c n解析 由等差、等比数列之间运算的相似特征知， “和――→类比积，商――→类比开方”．容易得出d n ＝nc 1·c 2·c 3·…·c n 也是等比数列．一、选择题1．归纳推理和类比推理的相似之处为( ) A ．都是从一般到一般 B ．都是从一般到特殊 C ．都是从特殊到特殊 D ．所得结论都不一定正确 答案 D解析 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．类比推理是从特殊到特殊的推理，结论具有推测性，不一定可靠，故选D.2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C解析 由类比推理的定义和特点判断，易知选C.3．观察下列事实|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )A ．76B ．80C ．86D ．92 答案 B解析 由已知条件得，|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的整数解(x ，y )个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的整数解(x ，y )的个数为80.4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为( )答案 A解析 观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A.5．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 C ．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 答案 D解析 类比A 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．成立．类比B 的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直．成立．类比C 的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交．成立．类比D 的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行．不成立．二、填空题 6．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 答案 41解析 根据题意，由于2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…那么可知 6＋a b ＝6ab，a ＝6，b ＝6×6－1＝35，所以a ＋b ＝41. 7．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4x 5y 5x 6y 6按如此规律下去，则a 2013＋a 2014＋a 2015的值为______． 答案 1007解析 由题图知a 1＝x 1＝1，a 3＝x 2＝－1，a 5＝x 3＝2，a 7＝x 4＝－2，…，则a 1＋a 3＝a 5＋a 7＝…＝a 2013＋a 2015＝0.又a 2＝y 1＝1，a 4＝y 2＝2，a 6＝y 3＝3，…，则a 2014＝1007，所以a 2013＋a 2014＋a 2015＝1007.答案sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22解析 运用类比推理与数形结合，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上的点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的纵坐标，即有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立． 三、解答题9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝34.(2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°·sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.10．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解 类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理，y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。
2021年高中数学 2.1.1合情推理课后习题 新人教A版选修2-2
2021年高中数学 2.1.1合情推理课后习题新人教A版选修2-2课时演练·促提升1.已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则数列的第k项是()A.a k+a k+1+…+a2kB.a k-1+a k+…+a2k-1C.a k-1+a k+…+a2kD.a k-1+a k+…+a2k-2解析:利用归纳推理可知,第k项中第一个数为a k-1,且第k项中有k项,且次数连续,故第k项为a k-1+a k+…+a2k-2.故选D.答案:D2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色()A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大解析:由图,知三白二黑周期性排列,36=5×7+1,故第36颗珠子的颜色为白色.答案:A3.已知{b n}为等比数列,b5=2,且b1b2b3…b9=29.若{a n}为等差数列,a5=2,则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9=29B.a1+a2+…+a9=29C.a1a2…a9=2×9D.a1+a2+…+a9=2×9解析:等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积),得a1+a2+…+a9=2×9.答案:D4.如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项,则这个数列的一个通项公式为()A.a n=3n-1B.a n=3nC.a n=3n-2nD.a n=3n-1+2n-3解析:∵a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,∴猜想a n=3n-1.答案:A5.如图所示,n个连续自然数按规律排列如下:根据规律,从2 004到2 006的箭头方向依次为()A.→↑B.↑→C.↓→D.→↓解析:观察总结规律为:以4个数为一个周期,箭头方向重复出现.因此,2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的.故选C.答案:C6.设{a n}是首项为1的正数项数列,且(n+1)-n+a n+1a n=0(n∈N*),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为.解析:由首项为1,得a1=1;当n=1时,由2-1+a2=0,得a2=;当n=2时,由3-2a3=0,即6+a3-1=0,解得a3=;……归纳猜想该数列的通项公式为a n=(n∈N*).答案:a n=(n∈N*)7.在平面中,△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E,则类比的结论为.解析:平面中的面积类比到空间为体积,故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积,故类比成.故有.答案:8.已知sin230°+sin290°+sin2150°=,sin25°+sin265°+sin2125°=,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.解:通过观察可得一般性的命题为sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=.证明如下:左边==[cos(2α-120°)+cos 2α+cos(2α+120°)]=(cos 2αcos 120°+sin 2αsin 120°+cos 2α+cos 2αcos 120°-sin 2αsin 120°) ==右边,所以该一般性的命题成立.9.在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,则cos2α+cos2β=1,在立体几何中,通过类比,给出猜想并证明.解:如图①,在矩形ABCD中,cos2α+cos2β==1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.证明如下:如图②,cos2α+cos2β+cos2γ==1.B组1.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)解析:由①②③④可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,故A*D是(2),A*C是(4).答案:C2.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 011的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49解析:由75=16 807,76=117 649,77=823 543,…,观察发现后两位数字呈周期变化,且周期为4, 又2 011=4×502+3,故72 011的末两位数字是43.答案:B3.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r=()A.B.C.D.解析:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体S-ABC=(S1+S2+S3+S4)R,故R=.答案:C4.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.解析:根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知f n(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故f n(x)=.答案:5.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1(n=1,2,3,…).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想数列{a n}的通项公式.解:(1)当n=1时,a1=1,由a n+1=2a n+1,得a2=3,a3=7,a4=15,a5=31.(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,可归纳猜想出a n=2n-1(n∈N*).6.设n∈N*且sin x+cos x=-1,试猜想sin n x+cos n x的值.解:当n=1时,sin x+cos x=-1.当n=2时,有sin2x+cos2x=1.当n=3时,有sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(sin2x+cos2x-sin x cos x),而sin x+cos x=-1,∴1+2sin x cos x=1,sin x cos x=0.∴sin3x+cos3x=-1.当n=4时,有sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x cos2x=1.由以上可以猜想,当n∈N*时,sin n x+cos n x=(-1)n.7.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1给出具有类似特征的性质,并加以证明.解:类似的性质为:若M,N是双曲线=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时,k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.证明:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).因为点M(m,n)在已知的双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2,则y2-n2=(x2-m2).所以k PM·k PN=(定值).s39477 9A35 騵33672 8388 莈~ 23403 5B6B 孫39561 9A89 骉" 30100 7594 疔21786 551A 唚22063 562F 嘯_35989 8C95 貕。
11-12学年高中数学 2.1.1.1 归纳推理同步练习 新人教A版选修2-2
归纳推理一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论是或然性的 [答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D. 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B[解析] 由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故应选B. 3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 [答案] B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B.4．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2－12 B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2，a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想a n ＝2n－2. 故应选B.5．某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C.a p [(1＋p )7－(1＋p )] D.a p[(1＋p )8－(1＋p )] [答案] D[解析] 到2006年5月10日存款及利息为a (1＋p )． 到2007年5月10日存款及利息为a (1＋p )(1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )2＋(1＋p )]到2008年5月10日存款及利息为a [(1＋p )2＋(1＋p )](1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )3＋(1＋p )2＋(1＋p )] ……所以到2012年5月10日存款及利息为a [(1＋p )7＋(1＋p )6＋…＋(1＋p )]＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝a p[(1＋p )8－(1＋p )]． 故应选D.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.22n－1 D.22n －1[答案] B[解析] 因为S n ＝n 2a n ，a 1＝1， 所以S 2＝4a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2，S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4. 所以猜想a n ＝2n (n ＋1)，故应选B.7．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→ D ．→↓ [答案] C[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.8．(2010·山东文，10)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) [答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查． 9．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111…A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 [答案] B[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 [答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.二、填空题11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．[答案] 13,3n＋1[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．[答案] S＝4(n－1)(n≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．14．(2009·浙江理，15)观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：＝__________________.对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为a n ＝4n －1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式b n ＝2n －1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n －1＋(－1)n 22n －1.三、解答题15．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．16．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．平面区域 顶点数 边数 区域数 (1) (2) (3) (4)(1)(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：平面区域 顶点数 边数 区域数 关系 (1) 3 3 2 3＋2－3＝2 (2) 8 12 6 8＋6－12＝2 (3) 6 9 5 6＋5－9＝2 (4) 1015710＋7－15＝2结论 VE FV ＋F －E ＝2 推广999E999E ＝999＋999－2其顶点数故可猜想此平面图可能有1996条边．17．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝ ⎛⎭⎪⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫452r ＋15p ＋452p .b 3＝a ·b 2＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253P ，∴归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n P . 18．设f (n )＝n 2＋n ＋41，n ∈N ＋，计算f (1)，f (2)，f (3)，…，f (10)的值，同时作出归纳推理，并用n ＝40验证猜想是否正确．[解析] f (1)＝12＋1＋41＝43，f (2)＝22＋2＋41＝47，f (3)＝32＋3＋41＝53，f (4)＝42＋4＋41＝61， f (5)＝52＋5＋41＝71，f (6)＝62＋6＋41＝83， f (7)＝72＋7＋41＝97，f (8)＝82＋8＋41＝113， f (9)＝92＋9＋41＝131，f (10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数． 即：当n 取任何非负整数时f (n )＝n 2＋n ＋41的值为质数． 但是当n ＝40时，f (40)＝402＋40＋41＝1681为合数． 所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．。
11-12学年高中数学2111归纳推理同步练习新人教a版选修2-2.doc
选修2-2 2.1.1第1课时归纳推理一、选择题1.关于归纳推理，下列说法正确的是（）A.归纳推理是一般到-•般的推理B.归纳推理是一般到个别的推理C.归纳推理的结论一定是正确的D.归纳推理的结论是或然性的［答案］D［解析］归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定.故应选D.2.下列推理是归纳推理的是（）A.J, 〃为定点，动点P满^\PA\^\PB =2a>\AB ,得尸的轨迹为椭圆B.由句=1,臼“=3/?—1,求出$, £, 猜想出数列的前刀项和S••的表达式2 2C.由圆/+/=?的面积 2,猜出椭圆专+$=1的面积S= zbD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇［答案］B［解析］由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.3.数列｛/｝：2,5,11,20,石47,…中的％等于（）A.28B.32C.33D.27［答案］B［解析］因为5 —2 = 3X1, 11 —5=6 = 3X2,20—11=9 = 3X3,猜测20 = 3X4, 47 —/= 3X5,推知x=32.故应选B.4.在数列｛禺｝中，自】=0,禺+1 = 2禺+2,则猜想禺是（）A.B.2n~2C.2//_,+ 1D.2川一4［答案］B［解析］V <31 = 0=21—2,.*.^=251+2=2=22—2,爲3=2及+2=4 + 2=6=2“—2,4 = 2 曰：i+2= 12 + 2 = 14 = 2" —2,猜想禺=2”一2.故应选B.5.某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入日元定期储蓄，若年利率为刀且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A.臼仃+p)7B.(1 + p)sC.；[仃+p) ;— (1+p)]D.^[(l+p)8-(l+p)][答案]D[解析]到2006年5月10日存款及利息为日(1+R.到2007年5月10日存款及利息为0(l+p) (1+p) +$(l+p)=臼[(l+p)'+ (1+p)]到2008年5月10日存款及利息为爲[(1+/?)?+ (1+p) ] (1+p) + 臼(1+p)= a[(l+/?) "+ (l+p)24- (1 +p)]所以到2012年5月10日存款及利息为(1+p)7+ (1+p)° ----------- 卜(l+p)l_ (l+p)[l-(l+p)7]_ l-(l+p)=-[(l+p)8-(l+p)].P故应选D.6.已知数列｛/｝的前〃项和$=/&/，(心2),而＜51=1,通过计算越,34,猜想曰”等于［答案］B［解析］因为$=〃％, 3=1,1 2所以5 = 40=自+臼2二型=§ = ；^^1 ___ 210 = 5X4-9所以猜想禺=血二］),故应选B.7. 刃个连续口然数按规律排列下表:根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为()A. I -B. -* tC. t fD. -* I［答案］C［解析］观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从 2010到2012为故应选C.8. (2010 •山东文,10)观察(#)' =2x, &)' =4”, (cosx)' = — sinx,由归纳推理可 得：若定义在R 上的函数fd)满足f(—劝=/、(0,记水劝为fd)的导函数，则g(—0 =()A. f(x)B. — f(x) D. 2 2/7-1& +色 1 8 =6 24X3^415 3 AI2 ―>819C.C.— g3［答案］D［解析］本题考查了推理证明及窗数的奇偶性内容，由例了可看出偶函数求导后都变成了奇函数，・・・呂（一方=一H"，选D,体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查.9.根据给出的数塔猜测123456X9+7等于（）1X9+2 = 1112X9+3=111123X9+4 = 11111234X9+5=1111112345X9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113［答案］B［解析］根据规律应为7个1,故应选B.10.把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图），试求第七个三角形数是（）A.27B.28C.29D.30［答案］B［解析］观察归纳可知第7?个三角形数共有点数：1+2 + 3+4+・・.+ 〃=川丁)个,・・・第七个一勺“气、/7X(7+1) “二角形数 --- =28.二、填空题11.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第刀个图形由〃个止方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有 _______ 根；第个图形中，火柴杆有 ___________ 根.［答案］13,3卄1［解析］第一个图形冇4根，第2个图形冇7根，第3个图形冇10根，第4个图形冇13 根……猜想第〃个图形有3刀+1根.12. 从 1 = r2 + 3+4 = 3'3+4 + 3 + 6+7 = 52中，可得一般规律是 ______________________ .［答案］n+ （门+1） + 5+2） +・・・+ （3刀一2） = （2/7-1）2［解析］第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第/7个式了有 2/?—1个数相加，且第个式子的第一个加数为“，每数增加1,共有2/7—1个数相加，故第“个 式子为：卄 S+1） + （/?4-2） + ・・•+ S+ ［ （2/7-1）-1］｝—（2/7— 1）2,即 n+ （卄 1） + （卄2） +•・・+ （3/7-2） = （2/2-1）2.13. 观察下图屮各正方形图案，每条边上有〃（/?鼻2）个圆圈，每个图案屮圆圈的总数是S,按 此规律推出S 与〃的关系式为 ________ .O o o OO OO o O ° ° o O ° ° • • •o Oo o o O O o O n = 2 5 = 4 n=3 S = 8 w = 4 5 = 12［答案］5=4 （/2-1）（处2）［解析］每条边上冇2个圆圈时共冇S=4个；每条边上冇3个圆圈吋，共冇S=8个；每条边 上有4个圆圈时，共有S=12个.可见每条边上增加一个点，则S 增加4,・・・S 与〃的关系为S= 4（/?-1）（刀刁2）・14. （2009 •浙江理，15）观察下列等式：C ；+C ；=2‘一 2,Cj+G+C?=27+2\n = 1n =4n= 2酩+酪+需+第=2”一2“,C!7+C?7+C?7+C!7+C!?=2,S+2\由以上等式推测到一个一般的结论:［答案］2"i+(—1)^1［解析］本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3, 7,11,15,…构成的数列通项公式为^=4/2-1,第二项指数1,3, 5, 7,…的通项公式&=2/7-1,两项中间等号正、负相间出现，・・・右端=2^,+ （-1）^-1.三、解答题1 1 1 915.在化屮，不等式〒+方+产；■成立,在四边形中，不等式++*+”点事册成立,在五边形宓加中，不等式*+出島 +莎許成立，猜想在力边形必F中，有怎样的不等式成立?9 16 rf［解析］根据已知特殊的数值：丁、—.冷，…，总结归纳出一般性的规律：（〃_2）开(77^3).16.下图屮（1）、（2）、（3）、（4）为四个平面图.数一数每个平而图各有多少个顶点？多少条边？它们闱成了多少个区域？并将结果填入下表中.平面区域顶点数边数区域数(1)(2)(3)对于/7EN\0!卄】+©卄1+（^卄］+・・・+。
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习及答案
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 推理与证明 2. 3数学归纳法一、学习任务1. 了解数学归纳法原理．2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．3. 掌握数学归纳法的特点和步骤．二、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1. 用数学归纳法证明 第一步应验证 A ．B ．C ．D ．C ⩾(n ⩾3,n ∈N )3n n 3()n =1n =2n =3n =4答案：2. 用数学归纳法证明，"当 为正奇数时， 能被 整除"时，第二步归纳假设应写成A ．假设 时正确，再推证 正确B ．假设 时正确，再推证 正确C ．假设 时正确，再推证 正确D ．假设 时正确，再推证 正确Bn +x n y n x +y ()n =2k +1(k ∈)N ∗n =2k +3n =2k −1(k ∈)N ∗n =2k +1n =k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2n ⩽k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2答案：解析：3. 用数学归纳法证明等式 的过程中，第二步假设 时等式成立，则当 时应得到 A ．B ．C ．D ．B时，等式左边 ．1+3+5+⋯+(2n −1)=(n ∈)n 2N ∗n =k n =k +1()1+3+5+⋯+(2k +1)=k 21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +1)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +2)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +3)2∵n =k +1=1+3+5+…+(2k −1)+(2k +1)=+(2k +1)=k 2(k +1)24. 设平面内有 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 条直线的交点个数为 ，则 与 的关系是 A ．B ．C ．D ．k k f (k )f (k +1)f (k )()f (k +1)=f (k )+k −1f (k +1)=f (k )+k +1f (k +1)=f (k )+k +2f (k +1)=f (k )+k高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
最新人教A版高中数学选修2-1 2.1.1课时同步练习 习题(含解析)
第2章 2.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 地方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上地是( )A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1，5) D ．(4，4)解析： 代入每个点逐一验证，D 正确． 答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0地点都在曲线C 上，那么( )A ．曲线C 上地点地坐标都适合方程f (x ，y )＝0B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0地点都不在C 上C ．不在C 上地点地坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上地点地坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0地图象经过点A (0，－3)，B (0，4)，C (4，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74中地( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0，4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4，0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y＝|x|x2表示地曲线为图中地( )解析：y＝|x|x2，x≠0，为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B.又因为当x>0时，y＝1x>0；当x<0时，y＝－1x>0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α地值为________．解析：由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α＜2π，所以α＝π3或α＝53π.答案：π3或5π36．曲线y＝－1－x2与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)地交点有______个．解析：利用数形结合地思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断下列命题是否正确．(1)过点P(0，3)地直线l与x轴平行，则直线l地方程为|y|＝3.(2)以坐标原点为圆心，半径为r地圆地方程是y＝r2－x2.(3)方程(x＋y－1)·x2＋y2－4＝0表示地曲线是圆或直线．(4)点A(－4，3)，B(－32，－4)，C(5，25)都在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示地曲线上．解析：(1)不对，过点P(0，3)地直线l与x 轴平行，则直线l地方程为y＝3，而不是|y|＝3.(2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2地解， 则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点地距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上地点．因此满足以方程地解为坐标地点都是曲线上地点．但是，以原点为圆心、半径为r地圆上地一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2地解，这就不满足曲线上地点地坐标都是方程地解．所以，以原点为圆心，半径为r 地圆地方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(3)不对．由(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0所以表示地是圆和两条射线．(4)不对．把点A (－4，3)地坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点地横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示地曲线上．把点B (－32，－4)地坐标代入方程x 2＋y 2＝25，∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示地曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但∵横坐标5不满足小于或等于0地条件，∴点C不在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上．8．已知曲线C地方程为x＝9－y2，说明曲线C是什么样地曲线，并求该曲线与y轴围成地图形地面积．解析：由x＝9－y2，得x2＋y2＝9.又x≥0，∴方程x＝9－y2表示地曲线是以原点为圆心，3为半径地右半圆，从而该曲线C与y轴围成地图形是半圆，其面积S＝12π·9＝92π.所以所求图形地面积为92π.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1地曲线经过点A (－1，1)，B (m ，－1)．求m ，n 地值．解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1地曲线经过点A (－1，1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12＋n ＝1，m ＋12＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，m ＝－1. ∴m ＝－1，n ＝1为所求．。
人教A版选修2-22.1.1合情推理基础达标(含答案解析).docx
1．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：选B.由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是( )A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．数学证明解析：选C.由加法类比乘法．3．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中a，b可能是下列哪个选项运算的结果( )A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：选B.由图可知字母A，B，C，D与图形的对应关系如下：因此a 、b 所对应的运算结果为图形的搭配．其中a 为B *D ，b 为A *C .选B.4．(2013·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( )A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：选C.从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.5．(2012·高考江西卷)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C.利用归纳推理，a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．6．(2013·湛江高二检测)图(1)所示的图形有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB，则图(2)所示的图形有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.解析：由三棱锥的体积公式V ＝13Sh 及相似比可知， V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC答案：PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列 第2列 第3列 …第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 …… … … …那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：观察数表可知，第n 行的第1个数为n ，且第n 行的数列的公差为n ，所以位于第n 行第n ＋1列的数为n ＋n 2.答案：n ＋n 28．(2013·温州高二检测)下面使用类比推理，得出正确结论的是________．①“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”；②“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”；③“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)”； ④“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n＝a n ＋b n ”． 解析：①中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；②中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；③是正确的；④中，令n ＝2显然不成立．答案：③9．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解：a 2＝11＋1＝12，a 3＝121＋12＝13， a 4＝131＋13＝14， … 通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明． 解：性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在时(直线PM ，PN 的斜率分别记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )，因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2·m 2－b 2. 同理y 2＝b 2a 2·x 2－b 2， 所以k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。
高中数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.1 2.1.1 合情推理 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.答案：B2．数列{a n}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32C．33 D．27解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.答案：B3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.答案：D5．n个连续自然数按规律排列如下表：01234567891011…根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为()A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由2,3,4可知从2 010到2 012为↑→，故应选C.答案：C6．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数． 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量②，请你写出类似于①的式子：___________________________________________， ②式可以用语言叙述为：_______________________________________________. 解析：半径为R 的球的体积V (R )＝43πR 3，表面积S (R )＝4πR 2，则(43πR 3)′＝4πR 2.答案：(43πR 3)′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数7．观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； ……照此规律，第n 个等式可为________．解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号成正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，∴第n 个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n＋1·n (n ＋1)2(n ∈N *)． 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2(n ∈N *)8．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)， 观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8, 16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.答案：x(2n－1)x ＋2n9．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论， 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋2，……证明：2cos π4＝2·22＝2，2cos π8＝21＋cosπ42＝21＋222＝2＋2，2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝ 2＋2＋ 2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝10．点P ⎝⎛⎭⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ⎝⎛⎭⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？解析：点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．[B 组 能力提升]1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析：观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.答案：B2．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P -ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V . ∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C3．(2014·高考陕西卷)观察分析下列中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝24．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜210.答案：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜2105．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析：根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．6.如图，设有双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积． (2)若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．解析：(1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16，也即52－16＝4S △F 1MF 2，求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°， |F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，所以r 1r 2＝36. 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 60°＝9 3.同理可求得若∠F 1MF 2＝120°， S △F 1MF 2＝3 3.(3)由以上结果猜想，随着∠F 1MF 2的增大，△F 1MF 2的面积将减小． 证明如下：令∠F 1MF 2＝θ，则S △F 1MF 2＝12r 1·r 2sin θ.由双曲线定义及余弦定理，有⎩⎪⎨⎪⎧(r 1－r 2)2＝4a 2 ①r 21＋r 22－2r 1·r 2cos θ＝4c 2 ② ②－①得r 1·r 2＝4c 2－4a 22(1－cos θ)，所以S △F 1MF 2＝(c 2－a 2)sin θ1－cos θ＝b 2tan θ2， 因为0<θ<π，0<θ2<π2，在(0，π2)内，tan θ2是增函数．因此当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2tan θ2将减小.。
新人教A版选修2-2《2.1.2演绎推理》同步练习及答案
选修2-2 2.↑.2演绎推理一、选择题1. “•••四边形力BCQ是矩形，•••四边形SG?/?的对角线相等”，补充以上推理的大祈提是（）A. 正方形都是对角线相等的四边形B. 矩形都是对角线相等的四边形C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形D. 矩形都是对边平行且相等的四边形［答案］B［解析］由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形・故应选B.2. “①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确.②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确・”上述三段论是（）A. 大前提错B. 小前提错C. 结论错D. 正确的［答案］D［解析］前提正确.推理形式及结论都正确.故应选D.3. 《论语•学路》篇中说：“名不正，則言不顺；言不顺.则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是（）A. 类比推理B •归纳推理C. 演绎推理D. 一次三段论［答案］C［解析］这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式.4. “因对数函数F=Iogd（QO）是增函数（大前提），而y= I Og^X是对数函数（小前提），所以y= IOg^X是增函数（结论）”.上面推理的错误是（）A. 大前提错导致结论错B. 小前提错导致结论错C. 推理形式错导致结论错D. 大前提和小前提都错导致结论错［答案］A［解析］对数函数F=IOgX不是增函数，只有当日＞1时，才是增函数，所以大前提是错误的.5. 推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形” 中的小前提是（）A.①B.②C.③D.①②［答案］B［解析］由①②③的关系知■小前提应为“三角形不是平行四边形"・故应选B.6. 三段论：“①只有船准时是航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的,③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是（）A.①B.②C.①②D.③［答案］B［解析］易知应为②•故应选B.7. “10是5的倍数,15是5的倍数.所以15是10的倍数”上述推理（）A. 大前提错B. 小前提错C. 推论过程错D. 正确［答案］C［解析］大小前提正确，结论错误，那么推论过程错.故应选C.8. 凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理（）A. 正确B. 推理形式正确C. 两个自然数概念不一致D. 两个整数槪念不一致［答案］A［解析］三段论的推理是正确的.故应选A.9. 在三段论中，"，P, S的包含关系可表示为（）［答案］A［解析］如果槪念P包含了概念饥则P必包含了〃中的任一槪念S,这时三者的包含可如果概念P排斥了槪念飢则必排斥M中的任一槪念S,这吋三者的关系应为故应选A.10. 命题“有些有理数是无限循环小数.整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命題，推理错误的原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论"，但大前提使用错误D. 使用了“三段论”，但小前提使用错误［答案］D［解析］应用了“三段论"推理，小前提与大祈提不对应，小前提使用错误导致结论错误.二、填空题11. 求函数y=√log2χ-2⅛0定狡域时，第一步推理旃提是、%有意艾时，日MO,小前提是寸Iog2“一2有意5C,结论是_________ ■［答案］I og2%-2≥0［解析］由三段论方法知应为Iog2λ,~2≥0.12. 以下推理过程省略的大祈提为：___________ ・•:洽622ab,Λ2(a2+b2) ≥a2+∂2+2a∆［答案］若Gb,则a+c≥b+c［解析］由小前提和结论可知，是在小前提的两边同吋加上了√ + b2,故大前提为：若aMb,则日+cM6+c.13. (2010 •理，15)已知函数f(0 满足：f(1)=j, 4f(x) f{y) = f(x+ y) + f{χ-y) (x9y∈R),則Λ2010)=___________ ・［答案］j［解析］令F=［得4f(x) ∙ f(1) = f(x÷1) + f(χ-1)即‰) = f(x+1) + f(χ-1)①令”取x+1 則f(x+1) = f(x+2) + f(x)②由①②得fω = f(x÷2) + f(x) + f(χ-1),即‰-1)=-f(x+2)Λ f(×) = —f(x+3), Λ f(x÷3) = — f(x÷6)Λ f(x) = f(x÷6)即f(")周期为6,Λ f(2010) = f(6×335+0) = f(0)对 4 f(x) f(y) = f{x+y)÷ f(χ-y),令X=1, F=0,得4f(1)f(0) =2f(1),.∙.f(0)=舟即f(2010) =*.14. _____________________________________________________________ 四棱锥P-ABCD 中，0为〃上的动点，四边形ABCD满足条件____________________________________ 时，％—磁恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)・［答案］四边形S86I Q为平行四边形或矩形或正方形等又S^O e=^∖AB∖ d{d为0到直线朋的距离).因为〃、∣SBl均为定值，所以沧磁恒为定值吋，只有d也为定值，这是一个开放型问题, 答案为四边形S8CZ?为平行四边形或矩形或正方形等.三.解答题15. 用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD//BC, AB=DC9則ZAZG［证明］如下图延长川耳QC交于点M①平行线分线段成比例大前提②△川仞中AD//BC小前提①等量代换大前提②AB=CD小前提③MB=MC结论在三角形中等边对等角大前提MB=MC，\、前提乙、=乙MBc=乙MCB=乙2结论等量代换大前提Z8=n — Z1 ZgTT-Z2 小前提ZB=ZC结论16. 用三段论形式证明：f(x)=√ + x(x∈R)为奇函数.［证明］若f(-×) =— f(x),則f(x)为奇函数大前■提V f(~x) = (―X)3+ (―") =-X~X=~(X ÷x) = —f(x)小前提Λf(x)=√+x是奇函数结论17. 用三段论写出求解下题的主要解答过程.若不等式∣^+2∣<6的解集为(一1,2),数日的值.［解析］推理的第一个关犍环节：大前提：如果不等式f(x) <0的解集为S, n)9且fM、fS)有意艾，则刃、〃是方程心=0的实数根，小前提：不等式∖ax+2∖<6的解集为(-1,2),且x=-↑与x=2都使表达式∣"+2∣— 6 有意义,结论：一1和2是方程∖ax+2∖-6=0的根.Λ∣-a+2∣-6=0 与 ∣2a+2∣-6=0 同吋成立.推理的第二个关馋环节：大前提：如果∖x ∖=a 9 a>09那么x=±a 9小前提:∣~a+2∣=6 且 ∣2m+2∣=6,结论：一日+2=±6且2日+2 = ±6.以下可得出结论日=一4・18. 设>4(χ1,朋)、Bg 必)两点在抛物线y=2√±, /是力B 的垂直平分线.(1) 当且仅当X ι÷Λ2取何值时，直线/经过抛物线的焦点月 证明你的结论：(2) 当直线/的斜•率为2时，求/在P 轴上截距的取值国.［解析］ ⑴F ∈ l^>∖FA ∖ = ∖FB ∖<^A. B 两点到拋物线的准线的距离相等. •••抛物线的准线是"轴的平行线，0, y 2≥0,依题意，y ι,乃不同时为0・ ・•.上述条件等价于y ι = ya<=>x ι = (x ι÷x2) {x ∖-Xi) =0.Vx ι≠x 2, •••上述条件等价于x ι + x 2=θ,即当且仅当x 1 + x 2=0时，/经过抛物线的焦点(2)设/在F 轴上的截距为6,依題意得/的方程为y=2x+b;过点/1、B 的直线方程为yA. 0为拋物线上不同的两点等价于上述方程的判别式△ =1+8分0,即∕77>~.设/10的 4 32中点N 的坐标为(亦yo),则1 =—— 8, 由"∈ /,得召+ /7Z=—*+6,于是h-16+z ^16 32^32β即得/在F 轴上裁距的取值国是(备,1=_尹+刃, 所以"，X2满足方程2,+y 刃=0,得xι÷X2=1-& =㊁(XI+&)。
人教版高中数学选修2-2 2.1.1合情推理与归纳推理
第二章 推理与证明§2.1.1 合情推理-----归纳推理学习目标：1. 了解归纳推理是“从特殊到一般”的推理；2. 善于发现规律，善于总结规律.一． 选择题：1.若函数,)(k n f =其中*N n ∈,k 是1415.3=π...926535的小数点后第n 个数字. 例如：=)2(f4，则)]}7([...{f f f f （共2014个f ）=（ ）A.1B.2C.3D.42.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16… … … … … … …则数表中的300应出现在第（ ）A.18行B.28行C.38行D.48行3.当0>x 时，可得不等式： 21≥+x x 3)2(22422≥++=+x x x x x . 由此可推得：p x n x n n≥+，则=p （ ） A.n n B.2n C.n D.1+n4.n 个连续的自然数按规律排成下表：0 3 4 7 8 111 2 5 6 9 10根据规律，从2014到2016，箭头的方向依次为（）A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓5.观察下列等式：①1cos 22cos 2-=αα②1cos 8cos 84cos 24+-=ααα③1cos 18cos 48cos 326cos 246-+-=αααα④αααα468cos 160cos 256cos 1288cos +-=1cos 322+-α⑤αααα6810cos 1120cos 1280cos 10cos +-=m1cos cos 24-++ααp n则=n ( )A.-200B.300C.-400D.500二．填空题：6.由211=；23432=++；2576543=++++；… … 可得一般的规律是7.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10… … … … …按照以上排列的规律，第n )2≥n （行从左到右的第二个数为8.观察下列不等式： 232112<+353121122<++474131211222<+++ … … … … …照此规律，第八个不等式为9.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点,(k k x P )k y 处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--)52()51()]52)51([5111k T k T y y k T k T x x k k k k （)(a T 表示非负实数a 的整数部分，例如：=)6.2(T0)2.0(,2=T .按此方案，第八棵树种植点的坐标为 ；第2014棵树种植点的坐标为三．解答题：10.已知数列}{n a 的各项为正数，n S 为前n 项和，且，)1(21nn n a a S +=. （1）求321,,a a a 的值；（2）试猜想数列}{n a 的通项公式.11.有一个奇数列：1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：（1）；（3,5）；（7,9,11）；（13,15,17,19）；…，（1）求第8组的第2个数；（2）将第n 组内各数之和记为n b ，归纳n b 关于n 的表达式.。
高中数学人教A版理科学案选修2-2.2.1.1合情推理(1)(含答案)
目标定位：了解合情推理的含义（易混点）理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、自主学习：归纳推理:1.归纳推理:由某类事物的_______对象具有某些特征,推出该类事物的________对象________这些特征的推理,或者由_________概括出_______的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由________到_______、由_______到_______的推理.2.归纳推理的一般步骤:第一步,通过观察个别情况发现____________;第二步,从已知的相同性质中推出一个能_______________.思考探究:1.归纳推理的结论一定正确吗?2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?类比推理1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中___________对象的某些已知特征,推出另一类对象_________这些特征的推理.简言之,类比推理是由_________到________的推理.2.类比推理的一般步骤:第一步:找出两类事物之间的________________;第二步:用一类事物的性质去推理另一类事物的性质,得出__________________.思考探究:1.类比推理的结论能作为定理应用吗?2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?合情推理1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.简言之,合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:→→思考探究:1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?2.(1)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°,得出所有三角形内角和都是180°;(2)某次考试张军成绩是100分,得出全班同学成绩都是100分.以上是否属于合情推理?方法技巧:例2.已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率k PM 、k PN 都存在时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值,试写出双曲线12222=-by a x 具有类似的性质,并加以证明. 自主解答:方法技巧:三、学后总结反思。
人教A版数学选修2-2练习：2.1 2.1.1 合情推理 巩固提升
[学生用书P101(单独成册)][A 基础达标]1．给出下列三个类比结论：①类比a x ·a y ＝a x ＋y ，则有a x ÷a y ＝a x －y ；②类比log a (xy )＝log a x ＋log a y ，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③类比(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，则有(xy )z ＝x (yz )． 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.根据指数的运算法则知a x ÷a y ＝a x －y ，①正确；根据三角函数的运算法则知sin(α＋β)≠sin αsin β，②不正确；根据乘法结合律知(xy )z ＝x (yz )，③正确．2．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：选B.把1，3，6，10，15，21，…，依次记为a 1，a 2，…，则可以得到a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，a 6－a 5＝6，所以a 7－a 6＝7，即a 7＝a 6＋7＝28.3．我们知道，在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得在空间中，点(2，4，1)到平面x ＋2y ＋3z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.8147D ．3 5解析：选C.类比点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，可知在空间中，点(2，4，1)到平面x ＋2y ＋3z ＋3＝0的距离为|2＋8＋3＋3|1＋4＋9＝8147.4．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2解析：选B.可以发现，第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n 个式子中有(2n －1)个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n 个式子应该是2n －1的平方，故可以得到n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数构成的数列5，9，14，20，…为“梯形数列”，记为数列{a n }．根据“梯形”的构成，可知a 624＝( )A ．166 247B ．196 248C ．196 249D ．196 250解析：选D.观察图形可知a 1＝5，a 2＝9，a 3＝14， 则a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2，n ∈N *)， 由累加法得a n －a 1＝4＋5＋6＋…＋n ＋2， 则a n ＝（n ＋1）（n ＋4）2，n ≥2.故a 624＝（624＋1）×（624＋4）2＝625×314＝196 250.6．我们知道周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7．根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．解析：观察图形的变化规律可得，图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n 个图从中心点向n 边各增加(n －1)个点，易得答案为1＋n ·(n －1)＝n 2－n ＋1.答案：n 2－n ＋18．将全体正整数排成一个三角形数阵(如图)：按照以上排列的规律，第n (n ≥3，n ∈N *)行从左向右的第3个数为________． 解析：前(n －1)行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2(个)，因此第n 行第3个数是全体正整数中的第⎝⎛⎭⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 答案：n 2－n ＋629.如图，O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为三边的中点． (1)证明：OD →＋OE →＋OF →＝OA →＋OB →＋OC →；(2)你能由第(1)问中的结论推广到n 边形吗？请用文字语言说明． 解：(1)证明：因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点， 所以OD →＝12(OA →＋OB →)，OE →＝12(OB →＋OC →)，OF →＝12(OA →＋OC →)，所以OD →＋OE →＋OF →＝OA →＋OB →＋OC →.(2)推广到n 边形的结论：n 边形内任意一点到n 边形中各边中点所形成的向量的和等于该点到此n 边形各顶点所形成的向量的和．10.如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列的第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132，a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，解得n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．[B 能力提升]11．如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12B ．5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，则FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52.故选A.12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列的第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，设S n 是此数列的前n 项的和，则S 2 017＝( )A ．264－26B ．263－26C ．264－25D ．263－25解析：选A.将数列分组，第一组有一项20；第二组有两项20，21；第n 组有n 项，前63组共有63×642＝2 016项，所以S 2 017＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋262)＋20＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(263－1)＋20，(2＋22＋…＋263)－63×1＋1＝2×（1－263）1－2－62＝264－64＝264－26，故选A.13．观察下面两式：(1)tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1； (2)tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论． 解：猜想，如果α＋β＋γ＝π2，α，β，γ都不为π2，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝π2，所以α＋β＝π2－γ，所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－γ＝1tan γ， 所以tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan αtan β＋(tan α＋tan β)tan γ＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan γ ＝tan αtan β＋(1－tan αtan β)1tan γtan γ ＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1.14．(选做题)已知点的序列A n (x n ，0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点．(1)写出x n 与x n －1，x n －2的关系式；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3的值，由此推测数列{a n }的通项公式并加以证明． 解：(1)x n ＝12(x n －1＋x n －2)(n ≥3)．(2)a 1＝x 2－x 1＝a －0＝a ，a 2＝x 3－x 2＝12(x 2＋x 1)－x 2＝x 1－x 22＝－a2，a 3＝x 4－x 3＝12(x 3＋x 2)－x 3＝x 2－x 32＝a 4，由此推测a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1a (n ∈N *)．证明如下：因为a n ＋1a n ＝x n ＋2－x n ＋1x n ＋1－x n ＝12（x n ＋1＋x n ）－x n ＋1x n ＋1－x n ＝x n －x n ＋12（x n ＋1－x n ）＝－12(常数)，又a 1＝a ，所以{a n }是以a 为首项，－12为公比的等比数列，故a n ＝a 1·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n －1a (n ∈N *)．由Ruize收集整理。
2019-2020年高中数学 2.1.1第1课时 归纳推理练习 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学 2.1.1第1课时 归纳推理练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A. B ．△ C ．▭ D ．○[答案] A[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( ) A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2.故应选B.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n }，则下列结论正确的是( )①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列{a n }的递推关系是a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)． A ．①②④ B ．①③④ C ．①② D ．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案]C[解析]从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________________个互不重叠的单位正方形．()A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1[答案]B[解析]观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．(xx·隆化县存瑞中学高二期中)把正整数按图所示的规律排序，则从xx到xx的箭头方向依次为()[答案]A[解析]∵1和5的位置相同，∴图中排序每四个一组循环，而xx除以4的余数为1，∴xx的位置和1的位置相同，∴xx的位置和2的位置相同，xx的位置和3的位置相同，故选A.[点评] 位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，xx ＝4×503＋2，因此xx 的箭头方向应与2的相同．二、填空题 7．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________________.[答案] (－1)n ＋1n 2＋n2[解析] 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2. 8．(xx·陕西文，13)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为______________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为________________．[答案] S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝2，2cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋2，2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号一、选择题11．(xx·锦州一中高二期中)根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113[答案] B[分析] 根据已知的式子归纳出规律：第n 个等式是从1到n 的自然数构成的n 位数与9相乘加上n ＋1的结果是(n ＋1)个1，即可求出结论．[解析] 由题意得，1×9＋2＝11,12×9＋3＝111,123×9＋4＝1111,1234×9＋5＝11111,12345×9＋6＝111111，可得n 位数与9相乘加上n ＋1的结果是(n ＋1)个1， ∴123456×9＋7＝1111111，故选B.12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查． 13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第七个三角形数为7×7＋12＝28.14．(xx·隆化县存瑞中学高二期中)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120142<( ) A.40252014B ．40262014C.40272014 D ．40282014[答案] C[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝xx 时不等式为： 1＋122＋132＋…＋120142<40272014. 二、填空题15．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n 个图有________个原子，有_______个化学键．[答案] 4n ＋2,5n ＋1[解析] 第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,6＋4,6＋4×2，故第n 个图形有原子6＋4×(n －1)＝4n ＋2个．第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、… ∴第n 个图形化学键个数为 6＋5×(n －1)＝5n ＋1.16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式_______________成立．[答案] 1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2n －2π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)．三、解答题17．(xx·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos 60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.18．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ..。
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选修2-2 2.1.1 第1课时 归纳推理一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论是或然性的 [答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D. 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B[解析] 由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故应选B. 3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 [答案] B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B.4．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2－12 B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2，a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想a n ＝2n－2. 故应选B.5．某人为了观看 年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到 年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C.a p [(1＋p )7－(1＋p )] D.a p[(1＋p )8－(1＋p )] [答案] D[解析] 到2006年5月10日存款及利息为a (1＋p )． 到2007年5月10日存款及利息为a (1＋p )(1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )2＋(1＋p )]到2008年5月10日存款及利息为a [(1＋p )2＋(1＋p )](1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )3＋(1＋p )2＋(1＋p )] ……所以到 年5月10日存款及利息为a [(1＋p )7＋(1＋p )6＋…＋(1＋p )]＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝a p[(1＋p )8－(1＋p )]． 故应选D.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1[答案] B[解析] 因为S n ＝n 2a n ，a 1＝1， 所以S 2＝4a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝13＝23×2，S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4⇒a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4. 所以猜想a n ＝2n (n ＋1)，故应选B.7．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2010到 箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→ D ．→↓ [答案] C[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到 为↑→，故应选C.8．(2010·山东文，10)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) [答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查． 9．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 [答案] B[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 [答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.二、填空题11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．[答案] 13,3n＋1[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．[答案] S＝4(n－1)(n≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．14．(2009·浙江理，15)观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：＝__________________.对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为a n ＝4n －1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式b n ＝2n －1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n －1＋(－1)n 22n －1.三、解答题15．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．16．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．(1)(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：其顶点数故可猜想此平面图可能有1996条边．17．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎝ ⎛⎭⎪⎫45r ＋15p ， b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫452r ＋15p ＋452p .b 3＝a ·b 2＋a 4·p100a ＋a 4＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253P ，∴归纳得b n ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n P . 18．设f (n )＝n 2＋n ＋41，n ∈N ＋，计算f (1)，f (2)，f (3)，…，f (10)的值，同时作出归纳推理，并用n ＝40验证猜想是否正确．[解析] f (1)＝12＋1＋41＝43，f (2)＝22＋2＋41＝47，f (3)＝32＋3＋41＝53，f (4)＝42＋4＋41＝61， f (5)＝52＋5＋41＝71，f (6)＝62＋6＋41＝83， f (7)＝72＋7＋41＝97，f (8)＝82＋8＋41＝113， f (9)＝92＋9＋41＝131，f (10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数． 即：当n 取任何非负整数时f (n )＝n 2＋n ＋41的值为质数． 但是当n ＝40时，f (40)＝402＋40＋41＝1681为合数． 所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．。