数学建模之微积分的应用

微积分的应用
1.跳伞运动员由静止状态向地面降落，人和伞共重161磅（1磅=0.45359273kg ），在降落伞张开以前，空气阻力等于 v 2 ，在开始降落5s 后降落伞张开，这时空气阻力为 v 22 ，试求降落伞张开后跳伞员的速度v(t)，并讨论极限速度。

问题分析：本题题目比较好懂，只要理解阻力的速度的关系，再根据物理关系进行列方程即可求解。

所以问题主要在于模型的建立于求解。

具体解题过程如下。

（1） 分析求解从t=0到t=5s 之间跳伞员的运动状态 由已知可得空气阻力f=v/2，故根据力学知识可以得到如下方程：
mg-f=ma
即 mg-v/2=m dv dt
此为一元微分方程。

由高数知识，先解该方程对应的齐次微分方程
-v/2=m dv dt
dv v =−dt 2m 两边同时积分 ∫ dv v v t v 0=∫−
dt 2m t 0 得 v t =v 0∗e −t
2m
由常数变异法令 v t =h(t)∗e −t 2m
则 v t ’=h(t)’∗e −t
2m + h(t)*(-
12m ) ∗e −t
2m 带回原方程得：h(t)’=g ∗e −t 2m
h(t)=2mg ∗e
−t
2m +C (C 为常数)
所以
v t =h (t )∗e −t 2m = (2mg ∗e −t 2m +C) ∗e −t 2m
又 v 0= 0，所以C= -2mg
所以 v t = = 2mg (1−e −t 2m )
带入数值，t=5s ，则可得到v 5=48.17m/s 。

且由方程的解的表达形式，利用MATLAB 可以得到如下v-t 曲线。

由于该曲线是在5s 内的，则e −t 2m 随t 的变花近似为线性的，所
以看起来近似直线，实际则不是的。

（2） 分析求解从t=5s 到t=t 之间跳伞员的运动状态
同以上的分析过程，可以列出在该时间段内的方程：
mg- v 22 =m dv dt
即 dv
dt =2mg−v 22m dv 2mg−v 2=12m dt
令√2mg =a ，对上式两边同时积分得：
∫
dv
a2−v2
=∫
1
2m
dt
t
5
v t
v5
查的积分表公式，上式继续得到：
∫
dv
a2−v2
=
1
2a
∫(
1
a−v
+
1
a+v
)
v t
v5
dv=
v t v5
1
2a
ln|
a+v t
a−v t
∗
a−v5
a+v5
| =
t−5
2m
直接对该式进行定性分析：
如果不考虑跳伞员的高度问题，当
t ∞时，上式右边∞,
所以可以得到绝对值部分为无穷大；
所以有v t=a=√2mg=37.826 m/s。

此即为该跳伞员的极限速度。

同样，利用MATLAB程序作v t- t图如下所示。

由图像同样可以得出结论：跳伞员最后的速度将达到以定值，约
为37.826 m/s ，即为其极限速度。

2.测定考古发掘物年龄最精确的方法之一，是大约在1949年W .Libby 发明的碳-14(C)14年龄测定法，其主要原理是利用考古物木炭样品中的放射性碳的原子衰变速度与现在木炭样品中的C 14的衰变速度的差异，来测定考古物的年代，设R(0)是样品形成时C 14的衰变速度，通常用活树中的木炭样品的衰变速度代替，其C 14的衰变率平均为R(0)=6.68个/(g*min)。

设R(t)是考古物木炭样品现在的C 14的衰变率，则由
dN(t)dt =-λN(t)，N(0)=N 0
可得到考古物年代的计算公式
t=1λln R(0)R(t)
其中λ是衰变常数，C 14的半衰期是T=5568年，而λ=
ln2T ，利用上
述方法解决下列问题： （1）1956年，发现的考古物中，测得每克木炭没分钟C 14的平均衰变数位3.06，试估计遗址的年代。

（2）70年代中期发现考古物中C 14是初始值的78%，试估计古墓的年代。

问题分析：本题比较简单，只要读懂题意，直接利用所给数学模型即可进行求解，集体过程如下。

（1） 由已知直接带入数值：
t 1=1λln R(0)R(T)=5568ln2ln 6.683.06
=6271（年） 1956−6271=−4315
即该古墓的年代约为公元前4315年。

（2）由已知得：
dN(t)
dt
=−λN(t)
dN(t)=−λN(t)dt
两边同时积分：
∫dN(t) N(t)
0.78N0
N0=∫−λdt
t2
则ln0.78=−λt2t2=1996
1975−1996=−21
即该古墓的年代约为公元前21年。

3.17世纪末到18世纪初，牛顿发现在较小的温度范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境的温差，因而得到下面的冷却模型
dT
dt
=−k(T−C)
T(0)=T0
式中：T(t)为物体t时刻的温度，C是环境温度，k为正的常数，T0为物体在t=0时刻的温度，其解为
T(t)=( T0−C)e−kt+C
司法部门常用该模型估计作案时间。

例如，某天晚上23：00时，发现一受害者尸体，法医与23:35赶到现场，立即测得温度为30.8度，一小时后再测得为29.1度，当时室温为28度。

试利用该模型估计受害者死亡时间。

问题分析：从已知可以得到两个时间下的两个温度，所以可以直接带入方程中进行求解，但是此时需要将正常人的体温视为已知。

在本题中，我将该体温T0取为37度进行求解。

具体求解过程如下。

由T(t)=(T0−C)e−kt+C
带入数据得T(t)=(T0−28)e−kt+28=30.8
T(t+1)=(T0−28)e−（k+1）t+28=29.1将T0=37带入上式，化简可以得到：
(T0−28)e−kt=2.8
(T0−28)e−（k+1）t=1.1
k=0.93439
即e−k=11
将k的值带回原式解得：
t=1.25(h)=75(min)
即受害者的死亡时间大约在22：20分左右。