第五章摩擦_理论力学
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第五章 摩 擦
知识点
1.
摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩擦两类。
2.
滑动摩擦力是两物体接触表面有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前
者称为静滑动摩擦力,后者称为动滑动摩擦力。
★ 静滑动摩擦力的方向与接触面相对滑动趋势的方向相反,它的大小、方向随主动力
改变,由平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时,静摩擦力达最大值。物体平衡时,
3.
滚动摩擦为两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时在接触部分产生的对滚动的阻
碍作用。阻碍物体滚动的力偶称为滚动摩阻力偶。
★ 物体平衡时,滚动摩阻力偶矩 随主动力的大小变化,其变化范围为
★ 滚动摩阻定律 滚动摩阻力偶矩的最大值与法向反力成正比,即
滚动摩阻系数 具有长度量纲。 本章仅限于研究固体与固体间的摩擦,即干摩擦,着重讨论有摩擦力存在时物体的平衡问题。 § 5-1 滑动摩擦 静滑动摩擦力
平推力 即为所求。由于系统在 、 两处都有摩擦,两个摩擦力之中只要有一个达到最
大值,系统即处于临界平衡状态,其推力 即为最小值。
(1)设 处的摩擦力达到最大值。当推力 为最小时,轮有沿水平面向右滚动的趋势, 轮上点 相对于杆 有向右上方滑动的趋势,作用于杆和轮的摩擦力 和 如图(b)和(c) 所示。设 处摩擦力 尚未达最大值,设其方向向左,如图(c)。
材料名称
软钢与软钢 轮胎与路面 淬火钢与淬火钢
0.05 2~10 0.01
示。当滚轮处于临界平衡状态时,
★ 滚动摩阻系数的物理意义:如图 5-9 所
有 滚动摩阻系数可看成是物体即将滚动时,法向反力偏离中心线的最大距离,亦即滚阻力偶的 最大力偶臂。由于 较小,滚阻力偶常忽略不计。 例 5-4 半径为 的滑轮 上作用有力偶,轮上绕有细绳拉住半径为 ,重为 P 的圆柱,如 图 5-10(a)所示。斜面倾角为 ,圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为 。求圆柱平衡时,力偶 矩 的最大与最小值;并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦系数的最小值。
,放于倾角为 的斜面
上,它与斜面间的静摩擦系数为
,动摩擦系数
。物块受水平力
,如图 5-4 所示。问物块是否静止,并求此时摩擦力的大小与方向。
解:解此类问题的思路是:先假设物体静止和摩擦力的方向,应用平衡方程求解,将求 得的摩擦力与最大摩擦力比较,确定物体是否静止。
取物块为研究对象,设物体有上滑趋势,摩擦力沿斜面向下,受力如图。由平衡方程
即自锁条件是:斜面的倾角小于或等于摩擦角。 § 5-3 考虑滑动摩擦的平衡问题 考虑滑动摩擦的平衡问题与前几章所述大致相同,但有如下特点:
1.受力分析时必需考虑接触面的摩擦力 ;
2.除平衡方程外,还必须列写补充方程,
,补充方程数等于摩擦力的个数;
3.平衡问题的解是一个范围,称为平衡范围。
例 5-1 物块重
。轮半径为 ,杆长为 ,当
时,
。求当 D 处静摩擦系数
分别为 0.3 和 0.15 时,维持系统平衡需作用于轮心 的最小水平推力。 解:本题属 求极限值问题,但有两种临界平衡状态,两处摩擦,应分别判断、讨论。由图(a)可知, 若推力 太大,轮将向左滚动;而推力太小,轮将向右滚动。后者在临界平衡状态下的水
0.8
0.5
木材-木材
0.4~0.6
0.1
0.2~0.5
0.07~0.15
动滑动摩擦力 (1)两物体有相对滑动时,沿接触表面产生切向阻力,称为动滑动摩擦力(动摩擦力)。
(2)动摩擦定律 动摩擦力的大小与接触面法向反力成正比,即
(5-3) 动滑动摩擦系数 f 与接触物体的材料和表面状况有关,可由实验测定。见表 5-1。通常
(5-1)
由平衡方程求出的 ,若满足
,则平衡成立,当 = 时,物体处于临界平
衡状态;若
,平衡被破坏,物体滑动。
(2)静摩擦定律 静摩擦力的最大值与接触面法向反力成正比,即
=
(5-2)
静滑动摩擦系数 与接触物体的材料和表面状况有关,可由实验测定。常用材料的静滑动
摩擦系数见表 5-1。 表 5-1 常用材料的滑动摩擦系数
解:取圆柱为研究对象,先求细绳拉力。在圆柱即将滚动的临界状态,滚阻力偶矩达最
大值,即
,转向与滚动趋势相反。当拉力最小时,圆柱有向下滚动的趋势;拉
力最大时,圆柱有向上滚动的趋势。
(1)先求
,受力如图(b)所示,由平衡方程
补充方程
=
最小拉力
(2)再求 最大拉力
,受力如图(c)。分析步骤同上。只要改变滚阻力矩项的符号,即得
★ 滚阻力偶矩具有最大值
。物体平衡时,该力偶矩变化范围为
★ 滚动摩阻定律:滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比,即 =
式中 为滚动摩阻系数,具有长度量纲,且与材料硬度及湿度等因素有关,由实验测定。几 种常用材料的滚动摩阻系数见表 5-2。 表 5-2 滚动摩阻系数
材料名称
铸铁与铸铁 木与钢 木与木
0.05 0.3~0.4 0.5~0.8
解得
,
为负值,说明平衡时摩擦力方向与所设的相反,即沿斜面向上。最大摩擦力为
结果表明, 斜面向上,大小为
,这是不可能的,说明物块将向下滑动。动滑动摩擦力的方向沿
例 5-2 水平面上迭放着物块 A 和 B ,分别重
和
。物块 B 用拉
紧的水平绳子系在固定点,如图 5-5(a)。已知物块 A 和支承面间、两物块间的摩擦系数分
。 在临界平衡状态下求解有摩擦的平衡问题时,必须根据两物体接触面相对滑动的趋势,
正确判断摩擦力的方向,不能任意假设。这是因为由补充方程 正值,必须按实际方向给出。
确定的 为
例 5-3 如图 5-7 所示。重为
的均质滚轮夹在无重杆 AB 和水平面之间,在杆端 B
作用一垂直于 AB 的力 ,其大小
。A 为光滑铰链,轮与杆间的静摩擦系数
1)两物体接触表面有相对滑动趋势时,沿接触表面产生的切向阻力称为静滑动摩擦力,简 称静摩擦力。它是约束力沿接触面公切线的一个分力。
在平衡问题中,静摩擦力的大小和方向与作用在物体上的主动力有关,可由平衡条件确 定。这是静摩擦力与一般约束力的共同点。
静摩擦力具有最大值。这是它与一般约束力的不同点。静摩擦力的取值范围为
(5-5)
由图 5-3 可知: (1)只要主动力的合力作用线在摩擦角内,无论主动力多大,物体仍保持平衡。这种 现象称为摩擦自锁。 (2)如主动力的合力作用线在摩擦角外,无论主动力多小,物体一定滑动。 这种与力大小无关,而只与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。图 5-2 所示物块 A 不下滑的条件是:
(3)取滑轮 为研究对象,受力如图(d)。由平衡方程
当细绳拉力分别为 或
时,力偶矩的最大与最小值为
圆柱平衡时力偶矩 的取值范围为
(4)求圆柱只滚不滑时静滑动摩擦系数的最小值 取圆柱为研究对象,当它向上滚动时,受力如图(c)。由平衡方程
补充方程为 =
解得
满足只滚不滑的力学条件为
比较上述结果,可得
即圆柱只滚不滑时,静滑动摩擦系数的最小值应为 结果相同。
利用摩擦角概念,可用实验方法测定静滑动摩擦系数。如图 5-2 所示。当物体处于临界
平衡时,
有
摩擦自锁 图 5-1(c)表明,当物体沿支承面任意方向有滑动趋势时,全反力方向也随之改变。临界平衡 时,全反力的作用线将形成一个以接触点为顶点的锥面称为摩擦锥。如物体间的摩擦系数沿
各个方向都相同,则摩擦锥是一个顶角为 的正圆锥。 摩擦角和摩擦锥形象地说明了物体平衡时,主动力位置的变动范围,即
如图 5-8(a)所示。在滚轮中心上作用一不大的水平推力 ,则轮有滚动趋势。由于接触处
变形,作用于轮上的约束力为一分布力系。此力系向 A 点简化得一力 及矩为 M 的力偶,
称为滚动摩阻力偶(简称滚阻力偶),如图(b)所示。该力偶与图(c)所示的力偶( , ) 平衡,其转向与轮的滚动趋势相反,其矩称为滚阻力偶矩。
静摩擦力的变化范围为
★ 静滑动摩擦定律 静摩擦力的最大值与接触面的法向反力 成正比,即
其中 为静滑动摩擦系数。 ★ 摩擦角 为全反力与接触面法线间夹角的最大值,有
物体平衡时,全反力与法线间夹角 的变化范围为
当主动力的合力作用线在摩擦角之内,无论主动力多大,物体保持平衡的现象称为摩擦 自锁。
★ 动摩擦定律 动摩擦力大小与接触面法向反力成正比,即
取 为研究对象。由平衡方程
①
补充方程
②
解得
, 取轮为研究对象。由平衡方程
③
④
⑤ 将式①、②和③代入④,得最小水平推力
由式⑤得 ·当
时, 处最大静摩擦力
,由于
, ห้องสมุดไป่ตู้无滑动。
故维持系统平衡的最小水平推力
。
·当
时,
临界平衡状态。为此,需重复上述讨论。
。此时有
(2)设 处静摩擦力达到最大值。当推力为最小时,杆 有补充方程
。 § 5-2 摩擦角与摩擦自锁
摩擦角 如图 5-1(a)所示。摩擦力与法向反力的合力称为全反力,它与法线方向夹角为 。
当物体处于临界平衡状态时(图 5-1(b)), = , 也达到最大值 。全反力与接 触面法线间夹角的最大值 称为摩擦角,由图得如下关系
(5-4) 即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示材料摩擦性质的物理量。
别是
和
。求自左向右推动物块 A 所需的最小水平力 P。
解:求这类极限值问题,通常在临界平衡状态下求解。即补充方程为
。 取物块 B ,受力如图(b)。
得
。
取物块 A ,受力如图(c)。
由平衡方程
设物块处于临界平衡状态,有补充方程 ,
解得
代入数据,求得自左向右推动物块 A 的最小水平力
如自右向左推,则绳子将放松,物块 A 和 B 将作为整体一起被推动。这时所需的最小 水平推力为
。如圆柱向下滚动,由图(b)可知,
材料名称
静摩擦系数 无润滑
有润滑
动摩擦系数 无润滑
有润滑
钢-钢
0.15
0.1~0.12
0.09
0.05~0.1
钢-铸铁
0.3
0.18
0.05~0.15
钢-青铜
0.15
0.1~0.15
0.15
0.1~0.15
铸铁-铸铁
0.18
0.15
0.07~0.12
皮革-铸钢
0.3~0.5
0.15
0.3
0.15
橡皮-铸铁
>
,表明 处先到
与轮的受力图仍如图示。
⑥ 其它方程不变。将式①、③和⑥代入⑤解得
由式④得最小水平推力 由于 处的最大静摩擦力
,有
, 处无滑动。故当
时,
维持系统平衡的最小推力
。
§ 5-4 滚动摩擦 ★ 当两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时,在接触部分产生的对滚动的阻碍作用称为滚 动摩擦。 ★ 在滚动摩擦问题中,由于接触部分变形产生的阻碍物体滚动的力偶称为滚动摩阻力偶。
知识点
1.
摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩擦两类。
2.
滑动摩擦力是两物体接触表面有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前
者称为静滑动摩擦力,后者称为动滑动摩擦力。
★ 静滑动摩擦力的方向与接触面相对滑动趋势的方向相反,它的大小、方向随主动力
改变,由平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时,静摩擦力达最大值。物体平衡时,
3.
滚动摩擦为两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时在接触部分产生的对滚动的阻
碍作用。阻碍物体滚动的力偶称为滚动摩阻力偶。
★ 物体平衡时,滚动摩阻力偶矩 随主动力的大小变化,其变化范围为
★ 滚动摩阻定律 滚动摩阻力偶矩的最大值与法向反力成正比,即
滚动摩阻系数 具有长度量纲。 本章仅限于研究固体与固体间的摩擦,即干摩擦,着重讨论有摩擦力存在时物体的平衡问题。 § 5-1 滑动摩擦 静滑动摩擦力
平推力 即为所求。由于系统在 、 两处都有摩擦,两个摩擦力之中只要有一个达到最
大值,系统即处于临界平衡状态,其推力 即为最小值。
(1)设 处的摩擦力达到最大值。当推力 为最小时,轮有沿水平面向右滚动的趋势, 轮上点 相对于杆 有向右上方滑动的趋势,作用于杆和轮的摩擦力 和 如图(b)和(c) 所示。设 处摩擦力 尚未达最大值,设其方向向左,如图(c)。
材料名称
软钢与软钢 轮胎与路面 淬火钢与淬火钢
0.05 2~10 0.01
示。当滚轮处于临界平衡状态时,
★ 滚动摩阻系数的物理意义:如图 5-9 所
有 滚动摩阻系数可看成是物体即将滚动时,法向反力偏离中心线的最大距离,亦即滚阻力偶的 最大力偶臂。由于 较小,滚阻力偶常忽略不计。 例 5-4 半径为 的滑轮 上作用有力偶,轮上绕有细绳拉住半径为 ,重为 P 的圆柱,如 图 5-10(a)所示。斜面倾角为 ,圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为 。求圆柱平衡时,力偶 矩 的最大与最小值;并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦系数的最小值。
,放于倾角为 的斜面
上,它与斜面间的静摩擦系数为
,动摩擦系数
。物块受水平力
,如图 5-4 所示。问物块是否静止,并求此时摩擦力的大小与方向。
解:解此类问题的思路是:先假设物体静止和摩擦力的方向,应用平衡方程求解,将求 得的摩擦力与最大摩擦力比较,确定物体是否静止。
取物块为研究对象,设物体有上滑趋势,摩擦力沿斜面向下,受力如图。由平衡方程
即自锁条件是:斜面的倾角小于或等于摩擦角。 § 5-3 考虑滑动摩擦的平衡问题 考虑滑动摩擦的平衡问题与前几章所述大致相同,但有如下特点:
1.受力分析时必需考虑接触面的摩擦力 ;
2.除平衡方程外,还必须列写补充方程,
,补充方程数等于摩擦力的个数;
3.平衡问题的解是一个范围,称为平衡范围。
例 5-1 物块重
。轮半径为 ,杆长为 ,当
时,
。求当 D 处静摩擦系数
分别为 0.3 和 0.15 时,维持系统平衡需作用于轮心 的最小水平推力。 解:本题属 求极限值问题,但有两种临界平衡状态,两处摩擦,应分别判断、讨论。由图(a)可知, 若推力 太大,轮将向左滚动;而推力太小,轮将向右滚动。后者在临界平衡状态下的水
0.8
0.5
木材-木材
0.4~0.6
0.1
0.2~0.5
0.07~0.15
动滑动摩擦力 (1)两物体有相对滑动时,沿接触表面产生切向阻力,称为动滑动摩擦力(动摩擦力)。
(2)动摩擦定律 动摩擦力的大小与接触面法向反力成正比,即
(5-3) 动滑动摩擦系数 f 与接触物体的材料和表面状况有关,可由实验测定。见表 5-1。通常
(5-1)
由平衡方程求出的 ,若满足
,则平衡成立,当 = 时,物体处于临界平
衡状态;若
,平衡被破坏,物体滑动。
(2)静摩擦定律 静摩擦力的最大值与接触面法向反力成正比,即
=
(5-2)
静滑动摩擦系数 与接触物体的材料和表面状况有关,可由实验测定。常用材料的静滑动
摩擦系数见表 5-1。 表 5-1 常用材料的滑动摩擦系数
解:取圆柱为研究对象,先求细绳拉力。在圆柱即将滚动的临界状态,滚阻力偶矩达最
大值,即
,转向与滚动趋势相反。当拉力最小时,圆柱有向下滚动的趋势;拉
力最大时,圆柱有向上滚动的趋势。
(1)先求
,受力如图(b)所示,由平衡方程
补充方程
=
最小拉力
(2)再求 最大拉力
,受力如图(c)。分析步骤同上。只要改变滚阻力矩项的符号,即得
★ 滚阻力偶矩具有最大值
。物体平衡时,该力偶矩变化范围为
★ 滚动摩阻定律:滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比,即 =
式中 为滚动摩阻系数,具有长度量纲,且与材料硬度及湿度等因素有关,由实验测定。几 种常用材料的滚动摩阻系数见表 5-2。 表 5-2 滚动摩阻系数
材料名称
铸铁与铸铁 木与钢 木与木
0.05 0.3~0.4 0.5~0.8
解得
,
为负值,说明平衡时摩擦力方向与所设的相反,即沿斜面向上。最大摩擦力为
结果表明, 斜面向上,大小为
,这是不可能的,说明物块将向下滑动。动滑动摩擦力的方向沿
例 5-2 水平面上迭放着物块 A 和 B ,分别重
和
。物块 B 用拉
紧的水平绳子系在固定点,如图 5-5(a)。已知物块 A 和支承面间、两物块间的摩擦系数分
。 在临界平衡状态下求解有摩擦的平衡问题时,必须根据两物体接触面相对滑动的趋势,
正确判断摩擦力的方向,不能任意假设。这是因为由补充方程 正值,必须按实际方向给出。
确定的 为
例 5-3 如图 5-7 所示。重为
的均质滚轮夹在无重杆 AB 和水平面之间,在杆端 B
作用一垂直于 AB 的力 ,其大小
。A 为光滑铰链,轮与杆间的静摩擦系数
1)两物体接触表面有相对滑动趋势时,沿接触表面产生的切向阻力称为静滑动摩擦力,简 称静摩擦力。它是约束力沿接触面公切线的一个分力。
在平衡问题中,静摩擦力的大小和方向与作用在物体上的主动力有关,可由平衡条件确 定。这是静摩擦力与一般约束力的共同点。
静摩擦力具有最大值。这是它与一般约束力的不同点。静摩擦力的取值范围为
(5-5)
由图 5-3 可知: (1)只要主动力的合力作用线在摩擦角内,无论主动力多大,物体仍保持平衡。这种 现象称为摩擦自锁。 (2)如主动力的合力作用线在摩擦角外,无论主动力多小,物体一定滑动。 这种与力大小无关,而只与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。图 5-2 所示物块 A 不下滑的条件是:
(3)取滑轮 为研究对象,受力如图(d)。由平衡方程
当细绳拉力分别为 或
时,力偶矩的最大与最小值为
圆柱平衡时力偶矩 的取值范围为
(4)求圆柱只滚不滑时静滑动摩擦系数的最小值 取圆柱为研究对象,当它向上滚动时,受力如图(c)。由平衡方程
补充方程为 =
解得
满足只滚不滑的力学条件为
比较上述结果,可得
即圆柱只滚不滑时,静滑动摩擦系数的最小值应为 结果相同。
利用摩擦角概念,可用实验方法测定静滑动摩擦系数。如图 5-2 所示。当物体处于临界
平衡时,
有
摩擦自锁 图 5-1(c)表明,当物体沿支承面任意方向有滑动趋势时,全反力方向也随之改变。临界平衡 时,全反力的作用线将形成一个以接触点为顶点的锥面称为摩擦锥。如物体间的摩擦系数沿
各个方向都相同,则摩擦锥是一个顶角为 的正圆锥。 摩擦角和摩擦锥形象地说明了物体平衡时,主动力位置的变动范围,即
如图 5-8(a)所示。在滚轮中心上作用一不大的水平推力 ,则轮有滚动趋势。由于接触处
变形,作用于轮上的约束力为一分布力系。此力系向 A 点简化得一力 及矩为 M 的力偶,
称为滚动摩阻力偶(简称滚阻力偶),如图(b)所示。该力偶与图(c)所示的力偶( , ) 平衡,其转向与轮的滚动趋势相反,其矩称为滚阻力偶矩。
静摩擦力的变化范围为
★ 静滑动摩擦定律 静摩擦力的最大值与接触面的法向反力 成正比,即
其中 为静滑动摩擦系数。 ★ 摩擦角 为全反力与接触面法线间夹角的最大值,有
物体平衡时,全反力与法线间夹角 的变化范围为
当主动力的合力作用线在摩擦角之内,无论主动力多大,物体保持平衡的现象称为摩擦 自锁。
★ 动摩擦定律 动摩擦力大小与接触面法向反力成正比,即
取 为研究对象。由平衡方程
①
补充方程
②
解得
, 取轮为研究对象。由平衡方程
③
④
⑤ 将式①、②和③代入④,得最小水平推力
由式⑤得 ·当
时, 处最大静摩擦力
,由于
, ห้องสมุดไป่ตู้无滑动。
故维持系统平衡的最小水平推力
。
·当
时,
临界平衡状态。为此,需重复上述讨论。
。此时有
(2)设 处静摩擦力达到最大值。当推力为最小时,杆 有补充方程
。 § 5-2 摩擦角与摩擦自锁
摩擦角 如图 5-1(a)所示。摩擦力与法向反力的合力称为全反力,它与法线方向夹角为 。
当物体处于临界平衡状态时(图 5-1(b)), = , 也达到最大值 。全反力与接 触面法线间夹角的最大值 称为摩擦角,由图得如下关系
(5-4) 即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示材料摩擦性质的物理量。
别是
和
。求自左向右推动物块 A 所需的最小水平力 P。
解:求这类极限值问题,通常在临界平衡状态下求解。即补充方程为
。 取物块 B ,受力如图(b)。
得
。
取物块 A ,受力如图(c)。
由平衡方程
设物块处于临界平衡状态,有补充方程 ,
解得
代入数据,求得自左向右推动物块 A 的最小水平力
如自右向左推,则绳子将放松,物块 A 和 B 将作为整体一起被推动。这时所需的最小 水平推力为
。如圆柱向下滚动,由图(b)可知,
材料名称
静摩擦系数 无润滑
有润滑
动摩擦系数 无润滑
有润滑
钢-钢
0.15
0.1~0.12
0.09
0.05~0.1
钢-铸铁
0.3
0.18
0.05~0.15
钢-青铜
0.15
0.1~0.15
0.15
0.1~0.15
铸铁-铸铁
0.18
0.15
0.07~0.12
皮革-铸钢
0.3~0.5
0.15
0.3
0.15
橡皮-铸铁
>
,表明 处先到
与轮的受力图仍如图示。
⑥ 其它方程不变。将式①、③和⑥代入⑤解得
由式④得最小水平推力 由于 处的最大静摩擦力
,有
, 处无滑动。故当
时,
维持系统平衡的最小推力
。
§ 5-4 滚动摩擦 ★ 当两物体有相对滚动趋势或有相对滚动时,在接触部分产生的对滚动的阻碍作用称为滚 动摩擦。 ★ 在滚动摩擦问题中,由于接触部分变形产生的阻碍物体滚动的力偶称为滚动摩阻力偶。