线性代数讲义 (32)

29/69 第5章 向量组与解空间 习题课
17. 正定二次型的判定
(1) 实二次型 f = xTA x 为正定的充分必要条 件是: 它的标准形的 n 个系数全为正, 即正惯性 指数 p = n.
(2) 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.
30/69 第5章 向量组与解空间 习题课
(3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则对 应 的必有 r 个线性无关的特征向量.
(4) 实对称矩阵必可对角化. 即若A 为 n 阶实
对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P –1A P = , 其中 是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵.
21/69 第5章 向量组与解空间 习题课
11/69 第5章 向量组与解空间 习题课
5. 正交矩阵与正交变换
定义4 若 n 阶方阵 A 满足 ATA = E (即 A–1 = AT ),
则称 A 为正交矩阵, 简称正交阵.
方阵 A 为正交阵的充要条件是 A的行 ( 列 ) 向量都是单位向量且两两正交.
正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规范正交基.
(4) n 阶矩阵 A 能对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
(5) 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等, 则 A 与对角阵相似．
20/69 第5章 向量组与解空间 习题课
11. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数.
(2) 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向 量必正交.
(2) 12 n = | A |.
15/69 第5章 向量组与解空间 习题课
7. 有关特征值的一些结论
设 是矩阵 A = ( aij )nn 的特征值, 则 (1) 也是 AT 的特征值; (2) k 是 Ak 的特征值 ( k 是任意正整数 );
( ) = a0 + a1 + + amm 是 ( A ) = a0E + a1A + + amAm 的特征值 (3) 当 A 可逆时, –1 是 A–1 的特征值,
|y|
=
–––– yTy
=
–x–T–P–T–P–x–
=
–x–T–x– =
|x|
.
13/69 第5章 向量组与解空间 习题课
6. 方阵的特征值和特征向量
定义6 设 A 是 n 阶矩阵, 如果数 和 n 维非零列向
量 x 使关系式
Ax = x 成立, 那么, 这样的数 称为方阵 A 的特征值, 非 零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量.
13. 二次型的标准形
定义 只含有平方项的二次型 f = k1 y12 + k2 y22 + + kn y2n
称为二次型的标准形 ( 或法式 ).
24/69 第5章 向量组与解空间 习题课
14. 化二次型为标准形
(1) 任给可逆矩阵 C, 令 B = CTAC, 如果 A 为 对称矩阵, 则 B 也为对称矩阵, 且rank( B ) = rank( A ).
–1| A | 是 A* 的特征值.
16/69 第5章 向量组与解空间 习题课
8. 有关特征向量的一些结论
定理2 设 1, 2, , m 是方阵 A 的 m 个特征值,
p1, p2, …, pm 依次是与之对应的特征向量. 如果
1, 2, , m 各不相等, 则 p1, p2, …, pm 线性无关.
其中 x, y 都是列向量. 内积满足下列运算规律
( 其中 x, y , z 为 n 维向量, 为实数):
(1) ( x, y ) = ( y, x );
(2) ( x, y ) = ( x, y );
(3) ( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z );
4/69 第5章 向量组与解空间 习题课
| E – A | = 0 称为方阵 A 的特征方程. f ( ) = | E – A | 称为方阵 A 的特征多项式.
14/69 第5章 向量组与解空间 习题课
n 阶方阵 A 有 n 个特征值. 若 A = ( aij ) 的特征值
为 1, 2, , n, 则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann;
使
f = k1 y12 + k2 y22 + + kr y2r ( ki 0 ),
及
f = 1 z12 + 2 z22 + + r z2r ( i 0 ),
则 k1, , kr 中正数的个数与 1, , r 中正数的
个数相等.
28/69 第5章 向量组与解空间 习题课
注意 k1, k2, , kr 中正数的个数 p 称为正惯性指数; r – p = N 称为负惯性指数; s = p – N = p – (r – p ) = 2p – r 称为 f 的符号差; 它们是二次形对非退化线性变换的不变量.
可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
矩阵之间的相似具有 (1)自反性; (2) 对称性; (3) 传递性.
18/69 第5章 向量组与解空间 习题课
10. 有关相似矩阵的性质
(1) 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征 多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同.
= 11 + 22 + + rr , 其中 i = iT = ( i, ), ( i = 1, 2, , r ).
施密特正交化方法
设 1, 2, … , r 是向量空间是 V 的一个基, 要 求 V 的一个标准正交基, 只需把 1, 2, … , r 这个
基 正交化、单位化.
9/69 第5章 向量组与解空间 习题课
–[––r––1–, ––r–]– [ r–1, r–1 ]
r–1,
则 1, 2, … , r 两两正交, 且与 1, 2, … , r 等价.
10/69 第5章 向量组与解空间 习题课
第二步 单位化
取
1
=
–––1–, | 1 |
2
=
–––2–, | 2 |
,
r
=
–––r– | r |
,
就得到 V 的一个标准正交基.
(3) (霍尔维茨定理) 对称矩阵 A 为正定的充分 必要条件是: A 的各阶主子式为正, 即
a11 > 0,
a11 a21
a12 a22
> 0,
从而有
( x, y ) –––––––
1, ( 当 | x | | y | 0 时 ).
|x| |y|
6/69 第5章 向量组与解空间 习题课
3. 向量的夹角
定义 当 | x | 0, | y | 0 时,
= arccos ––(–x–, –y–)–
|x| |y| 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
2. 向量的长度
定义2 令
|x
|
=
–––––– ( x, x )
=
–x–12–+––x–22–+––––+––x–2n–
,
称 | x | 为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ).
向量的长度具有下述性质: 1. 非负性 当 x 0 时, | x | > 0; 当 x = 0 时, | x | = 0;
则称 f 为正定二次形, 并称对称矩阵 A 是正定的; 如果对任何 x 0, 都有 f ( x ) < 0,
则称 f 为负定二次形, 并称对称矩阵 A 是负定的.
27/69 第5章 向量组与解空间 习题课
16. 惯性定理
设有实二次型 f = xTA x , 它的秩为 r, 有两个 实的可逆变换
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x = C y, x = P z,
(3) 拉格朗日配方法亦可把二次形化为标准 形, 此时所用的可逆线性变换一般而言不是正交 变换.
26/69 第5章 向量组与解空间 习题课
15. 正定二次型
定义 10 设有实二次型 f ( x ) = xTA x , 如果对任何 x 0, 都有 f ( x ) > 0 ( 显然 f ( 0 ) = 0 ),
当 ( x, y ) = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交.
7/69 第5章 向量组与解空间 习题课
4. 正交向量组的性质
所谓正交向量组, 是指一组两两正交的非零向 量. 向量空间的基若是正交向量组, 就称为正交基.
定理 1 若 n 维向量 1, 2, … , r 是一组两两正交 的非零向量, 则 1, 2, … , r 线性无关.
第 6 章 矩阵的对角化
习题课
1. 向量内积的定义及运算规律
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x=
x2 ,
y=
y2 ,
xn
yn
令 ( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn 称 ( x, y ) 为向量 x 与 y 的内积.
3/69 第5章 向量组与解空间 习题课
内积的矩阵表示: ( x, y ) = xTy ,
即属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
17/69 第5章 向量组与解空间 习题课
9. 相似矩阵
定义 7 设 A, B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P, 使 P –1AP = B,
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P –1AP 称为对 A 进行相似变换,
性质1 若 A 是正交阵, 则 A–1 = AT 也是正交阵; 性质2 若 A 和 B 都是正交阵, 则 AB 也是正交阵.
12/69 第5章 向量组与解空间 习题课
定义5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为 正交变换．
性质3 正交变换保持向量的长度不变.
设 y = Px 为正交变换, 则有
12. 二次型
定义 8 含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次函数 f ( x1, x2, , xn ) = a11 x12 + a22 x22 + + ann x2n + 2 a12 x1 x2 + 2 a13 x1 x3 + + 2 an–1,n xn–1 xn
称为二次型.
22/69 第5章 向量组与解空间 习题课
定义 设 n 维向量 1, 2, … , r 是向量空间 V ( V Rn ) 的一个基, 如果 1, 2, … , r 两两正交且都是单位向 量, 则称 1, 2, … , r 是 V 的一个标准(规范)正交基.
8/69 第5章 向量组与解空间 习题课
若 1, 2, … , r 是 V 的一个标准(规范)正交基, 那么 V 中的任一向量 都可以表示为
第一步 正交化
取 1 = 1,
2
=
2
–
–[––1–, ––2–] [ 1, 1 ]
1,
3
=
3
–
–[––1–, ––3–] [ 1, 1 ]
1
–
–[ ––2,–––3 –] [ 2, 2 ]
2,
r
=
r
–
–[––1–, ––r–] [ 1, 1 ]
1
–
–[––2–, ––r–] [ 2, 2 ]
2
–
–
n
(2)
任给二次型
f
=
i,
j
=1aij
xi
xj
( aij = aji ),
总有
正交变换 x = P y, 使 f 化为标准型
f = 1 y12+ 2 y22 + + n yn2 ,
其中 1, 2, , n 是 f 的矩阵 A = ( aij ) 的特征值.
25/69 第5章 向量组与解空间 习题课
(2) 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
1
=
2
n
相似, 则 1, 2, , n 是 A 的 n 个特征值.
19/69 第5章 向量组与解空间 习题课
(3) 若 A = PBP –1, 则 Ak = PBkP –1,
( A ) = P ( B ) P –1. 特别地, 若可逆矩阵 P 使 P –1A P = 为对角阵, 则有 Ak = PkP –1, ( A ) = P ( ) P –1.
2. 齐次性 | x | = | | | x | ;
3. 三角不等式 | x + y | | x | + | y | .
5/69 第5章 向量组与解空间 习题课
当 | x | = 1 时, 称 x 为单位向量.
向量的内积满足施瓦茨不等式:
( x, y )2 ( x, x )( y, y ),
二次型可记作 f = xTA x, 其中 A = AT. A 称为二次型 f 的矩阵; f 称为对称阵 A 的二次型; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩.
二次型与它的矩阵是一一对应的. 当 aij 是复数时, f 称为复二次型; 当 aij 是实数时, f 称为实二次型.
23/69 第5章 向量组与解空间 习题课