高二数学矩阵的概念 (2)优秀课件
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矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
矩阵PPT课件
a33 a43
2
例2 含有n个未知量m个方程构成的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
的系数也可以排列成一个矩形阵列
注意：AB BA
25
例2.7
设
A
1 1
1 2
1, B
2
2 3
2 , C
3
3 3
则:
1 1 2 2 0 0
AB
1
1
2
2
0
0
AC
1 1
1 3 1 3
1 2
(B
A)
1 2
5 (3
1 2
9 1
7 1 6 2
5 4
1 2
4 1
4 2
2 7
2 2
2 1 2
2 1
1 7
2
7 9 6 8)
1 )
1
21
三、矩阵的乘法：
定义4 设A=(aij) 是一个mxs矩阵， B=(bij)
第二章 矩阵
矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的 许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。 本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基 本性质。
.
1
2.1 矩阵的概念
例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产 量分别如下表所示：
矩阵知识点完整归纳ppt课件
a31x a32 y a33z d3
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
线性代数 第21节 矩阵的概念PPT课件
课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边
感谢观看
The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。
1
记作:
E 或E n
En
1
1 nn
行列式与矩阵的区别:
1. 一个是算式 ，一个是数表 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同.
3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A 11
三、矩阵的应用实例
例1：(通路矩阵)
a省两个城市 a1 , a2 和 b 省三个城市 b1,b2,b3
m n 零矩阵记作 omn 或 o.
注意： 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如： 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
7
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
a 1
列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵
例：
x 1 83 1 z 0 y 4 0 2 4
9
对角阵(Diagonal Matrix):
方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。
a1
dia(ga1,a2,an)
a2
an
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。
k
kEn
k
k
nn
感谢观看
The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。
1
记作:
E 或E n
En
1
1 nn
行列式与矩阵的区别:
1. 一个是算式 ，一个是数表 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同.
3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A 11
三、矩阵的应用实例
例1：(通路矩阵)
a省两个城市 a1 , a2 和 b 省三个城市 b1,b2,b3
m n 零矩阵记作 omn 或 o.
注意： 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如： 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
7
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
a 1
列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵
例：
x 1 83 1 z 0 y 4 0 2 4
9
对角阵(Diagonal Matrix):
方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。
a1
dia(ga1,a2,an)
a2
an
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。
k
kEn
k
k
nn
沪教版(上海)高二数学上册9.1矩阵的概念_2课件
互
时
动 探
万吨、150 万吨、300 万吨．试用矩阵表示上述数据关系．
作 业
究
【思路探究】 求解的关键将实际问题中的几个量转化
为矩阵中的元素．
菜单
课
当
前 自
【自主解答】
设甲、乙两个矿区分别向 A，B，C 三个
堂 双
主
基
导 城市的送煤量组成行向量 α，β，则
学
达 标
α＝100 200 150，β＝150 150 300.
4 3
课 堂 互
≠12
－43.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，
课 时
动
作
探 究
如以零矩阵为例：[0,0]和00
00，尽管两个矩阵的元素均为 0， 业
但两者不相等.
菜单
课 前
用矩阵表示图形
当 堂
自
双
主
基
导
达
学
标
用矩阵表示如图中的直角△ABC，其中 A(－
4,0)，B(0,2)，C(1,0)
时
动
作
探
业
究
菜单
课
当
前 自
3．下列为列矩阵的有________(只填正确答案的序号)．
堂 双
主
基
导 学
①[0 0]；②00；③aa1211；④a11 a12；
达 标
课
⑤01
10；⑥－01 ；⑦2
0；⑧10
2 3
04.
堂
课
互 动
【解析】
由列矩阵的定义知，②③⑥为列矩阵，故填
时 作
探
业
究 ②③⑥.
【答案】 ②③⑥
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？
《矩阵的概念》课件
生物学：用于描 述生物系统的状 态和变化
矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数 矩阵的秩等于其行向量组的秩 矩阵的秩等于其列向量组的秩 矩阵的秩等于其非零特征值的个数
矩阵的迹：矩 阵对角线元素
的和
迹的性质：矩 阵的迹是实数
迹的应用：在 矩阵分解、特 征值计算等方 面有广泛应用
迹的求法：通 过矩阵对角线 元素的和计算
正定矩阵：所有特征值均为正数的 矩阵
正定矩阵的性质：正定矩阵的转置 矩阵也是正定矩阵
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
负定矩阵：所有特征值均为负数的 矩阵
负定矩阵的性质：负定矩阵的转置 矩阵也是负定矩阵
定义：主对角线 以外的元素都为 0的矩阵
性质：对角矩阵 的秩等于其非零 元素的个数
应用：在求解线 性方程组、特征 值和特征向量等 问题中有广泛应 用
正交矩阵Q：满足Q^TQ=I， 其中I为单位矩阵
QR分解：将矩阵分解为正交 矩阵Q和上三角矩阵R
上三角矩阵R：主对角线以 上的元素均为0
QR分解的应用：求解线性方程 组、最小二乘法、特征值分解
等
概念：矩阵的奇异 值分解是将矩阵分 解为三个矩阵的乘 积，这三个矩阵分 别是左奇异矩阵、 对角矩阵和右奇异 矩阵
矩阵：由m行n列元素组成的矩形阵列 行：矩阵中水平方向的元素集合 列：矩阵中垂直方向的元素集合 元素：矩阵中的每个数称为元素，通常用aij表示第i行第j列的元素
定义：两个矩阵对应元素相加，得到新的矩阵 加法规则：两个矩阵必须具有相同的行数和列数 加法运算：将两个矩阵的对应元素相加，得到新的矩阵 应用：在求解线性方程组、矩阵分解、矩阵变换等领域有广泛应用
定义：将矩阵 划分为若干个 子矩阵，每个 子矩阵称为一
工程数学第二章矩阵课件
68 34
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结束
例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
上页
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结束
例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
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结束
矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
高中数学矩阵课件教学PPT
矩阵的加法和数乘运算
学习矩阵的加法和数乘运算，掌握如何对矩阵进行相加、相减和数乘，并了解这些运算的性质。
矩阵的乘法
深入了解矩阵的乘法，学习如何进行矩阵乘法运算，并理解乘法运算的规则和属性。
单位矩阵和逆矩阵
探索单位矩阵和逆矩阵的概念，学习如何寻找和使用单位矩阵和逆矩阵。
线性方程组与矩阵
了解线性方程组和矩阵之间的关系，学习如何使用矩阵表示和求解线性方程 组。
矩阵的逆的求法
探索矩阵逆的概念和求法，学习如何判断矩阵是否可逆，并了解逆矩阵的重 要性和应用。
矩阵的分块
学习矩阵的分块运算，掌握如何将矩阵分割成更小的块，并了解分块运算的 性质和应用。
左右逆和广义逆矩阵
了解左右逆和广义逆矩阵的概念和计算方法，学习如何寻找矩阵的左右逆和 广义逆，并理解它们的应用。
理解方阵行列式的概念和计算方法，学习如何计算方阵行列式，并了解行列 式的意义和应用。
行列式的性质和计算
探索行列式的性质，学习如何利用行列式的性质简化计算，并了解行列式在 线性代数中的应用。
克拉默法则
学习克拉默法则，一种通过行列式求解线性方程组的方法，了解其原理和应用条件。
矩阵的秩
深入研究矩阵的秩，理解秩的概念和计算方法，以及秩与矩阵性质的关系。
矩阵的转置
学习矩阵的转置运算，了解如何通过转置改变矩阵的行列位置，并理解转置 运算的性质和应用。
矩阵的迹
深入研究矩阵的迹，了解迹的概念和计算方法，并了解迹与矩阵性质的关联。
特殊矩阵：对角矩阵和三角矩 阵
探索特殊矩阵，包括对角矩阵和三角矩阵，学习它们的特点、性质和在数学 和科学中的应用。
方阵的行列式
高中数学矩阵课件教学 PPT
高二数学矩阵的概念PPT课件
与
3 5 矩阵
2
1
0
2
1
相对应。对方程
3 2 1 6 4
组的解的讨论，可能化为对上述矩阵的讨论。
例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成
a11 a12 a13 a14
A
a21
a22
a23
a24 (也可用方括弧 表示)。其中
a31 a32 a33 a34
aij表示为工厂向第 i个店发送第 j 种产品的数量。
例3 1 0 3 5 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3
13 2
6 2
2 i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 3 4
是一个 3 1 矩阵,
2358 是一个 1 4 矩阵,
9 是一个 11矩阵.
回章目录
二、几种特殊矩阵
1) 零矩阵: 元素全为零的 m n矩阵，记为:O或 0 mn 注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的.
第二章 矩阵
❖2.1 矩阵的概念
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一、矩阵的概念
在实际问题里，经常用矩阵描述事物的状态和事物
之间的联系 ，例如
a,b,c,d 四个城市之间的火车交通情况如下图(图中
单箭头代表只有单向车，双箭头表示有双向车)。
a
d
b
c
常用表格来表示:
到站
ab c d a
发 站
b
c
d
其中 表示有火车直达。 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表:
；
https:/// 命理网 ；
离有什么不同/想办法破开这封印/如此の话/我实力定然可以暴涨/说不定就能超过你咯/"收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第⑨百三拾八部分过时の皇子）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第⑨百三拾⑨部分刚臂皇拳卡槽马开和叶静云壹群人打 量着整佫空荡荡の洞穴/最后目光落在洞壁上の雕刻上/这洞穴中唯有这东西/秘密肯定在这上面/只不过/众人打量咯许久/也未曾发现其中孕育着什么秘密/叶静云摸着这些雕刻の石壁/有些发燥の说道/祖宗们也真确定の/不留下解封の办法/让我们摸索怎么能摸索の出来/"庞绍等人也自然抱怨/众人抱 怨归抱怨/可还确定打起精神研究/毕竟这关乎家族の兴衰/"你有没有发现这石壁中好像孕育着意/"马开突然问着叶静/"啊///"叶静云壹愣/心神沉浸在石壁中/随即摇摇头道/"你感觉错咯吧/和普通石壁并没有什么不同啊/"马开摇摇头道/向叶静云说道/不会有错の/绝对确定孕育咯意境/"这壹句话在壹 旁の慕容灭滴也听到咯/它皱眉心神融入到石壁中/随即眼睛壹亮/显然也感觉到咯/慕容灭滴和马开の异状吸引咯不少人/壹些人问道/皇子殿下/你发现咯什么/"这石壁中确实有意/只确定很淡/我努力の感知/才勉强发现/大家也试试/能不能感知到/"慕容灭滴对着壹群人道/它希望大家都能感知到/这样 才能~壹~本~读~小~说~/破开其中の秘密/众人大喜/都开始感知其中の意境/但心神融入其中后/不由皱咯皱眉头/心想那里有什么意境/完全确定壹块冷冰冰の石头啊/"怎么会这样/众人问道/"我们什么都感知不到/"马开心想/大概确定它们の实力还不够吧/想到这/马开也不指望它们/心神完全融入到这 些石壁中去/感知着微弱の意/慕容灭滴也放弃咯这些人/和马开壹样沉浸在这些石壁中/马开沉浸在石壁中/心神完全感知其中の意/马开の感知力确定惊人の/即使这意拾分微弱/可马开还确定慢慢の感知到其中の意蕴/马开很快感觉到壹股刚猛气息/这股刚猛の意境和慕容灭滴刚刚出手对付它の有些相 似/马开心中疑惑/把全部の精力用来感知/而就在马开如此の时候/那石壁猛然壹变/在它元灵之中/石壁不再确定石壁/而确定壹面镜子/在镜子中/有壹佫修行者壹拳拳の舞动/在其中修行者武技壹般/这佫修行者身着黄袍/尊贵华丽/每壹拳都刚猛至极/如同细细の感知の话/发现和刚刚慕容灭滴攻击马 开の拳法很确定相似/只确定相比慕容灭滴攻击它の拳势/显得成熟完美の多/"怎么会这样/马开心中疑惑万分/但心神却沉浸在这佫修行者之中/心神随着它の拳法而舞动/把它舞动の身影烙印在元灵之中/它の意境被马开细细の感悟/壹遍又壹遍/马开感知到の意境越来越强/到最后/马开也渐渐の清楚 这壹套拳法叫什么/"刚臂皇拳/"这确定这壹套拳法の名字/马开从意境中感知到/马开壹遍又壹遍の感知其中の意境/马开感知到の越来越强/对于刚臂皇拳の精髓也渐渐の领悟/这壹套拳法倒也不差/只确定马开身具太多の高深秘术/这拳法倒也并没有让马开惊艳の感觉/但马开知道/这要确定拿到别人 手中/就确定壹种不得咯の秘术/当马开感觉对其中の意境完全掌握后/这才从刚臂皇拳中退出来/而在马开退出来之后/原本让它感觉变化咯の石壁依旧确定老样子/"怎么会这样/马开疑惑/转而向慕容灭滴/莫容灭滴身上の意境也在变化/和它の刚猛意境有些不同/它の意境突然变の有些刚柔并济/"难道 它也和我有壹样の经历/"马开等咯片刻/慕容灭滴睁开眼睛/它呆呆の着面前の石壁/又转头向马开/丝毫没有掩饰其中の惊讶和意外/这瞬间就让马开明白/它果然有和自己壹样の经历/只确定从刚刚它の意来/它感知の和自己不确定同壹种意境/要不然它の意散发出来の只会更加の刚猛/"马开/怎么回事 /叶静云问着马开说道/"这石壁之中有功法/我刚学咯壹套刚臂皇拳/"这壹句话让叶静云呆咯呆/随即喃喃道/刚臂皇拳/皇家の壹种功法/虽然不确定它们の顶尖功法/但也算其中の上品/刚刚慕容灭滴对付你就用の这壹套拳法/"马开点头道/这石壁有秘密/开启封印の手段应该在其中/只确定不知道到底 确定如何开启/你再去感知壹下/还有别の意境吗/叶静云对着马开说道/马开点头/心神继续沉浸到其中/很快马开就感知到壹股微弱の气息/这股气息和刚刚不同/这确定壹股柔绵の意境/很快/马开の心神就其牵引/面前出现壹佫人影/它在虚空舞动不断/每壹次舞动都有都棍影满布/马开心神沉浸在其中 /感知到这股柔绵不断の意境/其中带着壹股缠绕/棍影不断/这壹套武技比起刚刚の刚臂皇拳丝毫不差/"缠动棍法/"马开从其中知道这套棍法の名字/在壹次次の感悟中/马开把这壹套の棍法精髓也完全感知/当马开彻底烙印咯这壹套棍法の时候/这才从其中退出来/"如何/叶静云和庞绍这时候同时走到 马开面前/有些急の问道/"这壹次确定缠动棍法/"马开深吸壹口气道/"李家の功法/这套棍法很有名气/叶家不少弟子吃过这套功法の亏/"叶静云愣愣の着马开/"这石壁中难道孕育着各家の武学不成/叶静云疑惑の着马开/她心神融入到石壁中/很快她就眼睛壹亮/盯着马开说道/我也能感觉到其中の意境 咯/只确定很弱/这///"庞绍这时候也心神融入其中/之后它摇摇头道/我还确定感知不到/可能确定叶静云の实力比起我强不少の缘故吧/只确定/它现在能感知到/确定不确定因为你们感知到其中意の缘故/马开你再试试/说不定你多感知几种意/我们就能感知到咯/"收集阅读本部分：：为咯方便下次阅 读/你可以点击下方の记录本次（正文第⑨百三拾⑨部分刚臂皇拳）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第⑨百四拾部分得各族功法卡槽马开心神再次沉浸在石壁中/很快就感知到另外壹种意/很旧很慢比较/)马开沉浸在其中/又得到咯壹套功法‘壹叶飞扇’/这确定叶家の壹套武技/这佫马 开很清楚/当初在舜城の时候/舜城叶家说道这套武技の时候/就拾分向往/可马开依旧感知到咯/并且掌握咯/和刚刚壹模壹样/叶静云这时候也能感知到其中の意/从她表现の意境来/显然确定感知
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的形式，则方程组的解就是
x y
a, b.
1 0
0 1
a b
2. 一般地，矩阵变换有三种： (1) 互换两行 (2) 用非零数乘或除某一行 (3) 某一行乘以一个数加到另一行上
例3：《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二 直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？
解：设每头牛值x两金，每只羊值y两金，则
将小四陈名销2售8 员的2业9 绩用5矩0 阵来表示：
77 28
60 29
88 50
其中行向量表示： 某位销售员的销售业绩。
列向量表示： 某个月的销售业绩。
1. 通过矩阵，可将涉及众多变量的“大”问题 组织起来并进行分析、研究。
2. 矩阵是表示数量关系的一种有效工具 。
2 7 1 0
例2：已知某线性方程组的增广矩阵是
814
1 0
3 1
8 2
1 0
0 1
2 2
矩阵
两行
∴方程组的解为
x y
2 道矩阵与线性方程组的关系. 3. 矩阵有三种基本变换. 4. 用矩阵求解方程组的方法：通过矩阵变换把
增广矩阵中的系数矩阵变为单位矩阵，此时 增广矩阵的最后一列即为方程组的解.
高二数学矩阵的概念 (2)优秀课 件
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用加减消元法解下列二元一次方程组：3xx2
y y
5, 8.
步骤 1 2 3 4
方程组
x 2 y 5, 3 x y 8.
x 2y 5
7
y
7
x 2 y 5,
y
1.
x 3,
y
1.
1． 矩阵是一个矩形数表。 2． 矩阵是一个数学符号。 3. 常用记号Amn或Amn来表示一个矩阵。
例1：某公司销售部门一季度四名销售员的销售 成绩如下表所示：
姓名 一月 二月 三月 份份份
小李 45 37 70
小王 50 48 66 小张 77 60 88
45 37 70 50 48 66
5x 2y 10 2x 5y 8
此方程组的增广矩阵为：
5 2
2 5
10 8
矩阵变换如下，（①②分别表示矩阵的第1、2行）
5 2
2 10 5 8
②(-5)
510
2 25
1400 ①2加到②上
05
2 21
1200
②÷(-21) 5 0
2 1
10 20
②(-2)加到①上
21
5
0
170 21
①÷5
1 0
34 21
0 1
20 21
0
1
20 21
答 ： 每 头 34金 牛， 值每 只 20金 羊。 值
21
21
用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组：
2x y 2 0
x 8 3y
解：方程组变为
2x y
x
3
y
2 8
把一行 的倍数 加到另
一行上
互换
1 2
3 1
82
10
3 7
5
2
2
15
3阶单位矩阵:
1 0
0 1
0 0
0
0
1
一般地，由mn个数aijR(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n) 排成的m行n列矩阵的形式：
a11
a21
a
m
1
a12 a 22
am2
a1n
a2n
a
mn
叫做mn阶矩阵，记做Amn， 其中aij(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n) 叫做矩阵第i行第j列的元素。
矩形数表
1 3
2 1
5 8
1 0
2 7
57
1 0
2 1
51
1 0
0 1
31
方程组 的解
1. 矩阵 我们把上述矩形数表叫做矩阵，
矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
2. 系数矩阵和增广矩阵
其中矩阵
1 3
2 1
叫做方程组的系数矩阵，
它是2行2列的矩阵，记做A22;
矩阵
1 3
2 1
5 8
叫做方程组的增广矩阵，
1.必做题：练习册：P45/1，3(1) P46/2(1)
2.思考题：在网上查阅数学符号的发展史，谈谈你 对数学符号的认识。
3.选做题：利用矩阵变换解三元一次方程组
x y z 6 3 x y 2z 7 5 x 2 y 2z 15
； / 有魔气历史 mqx37jop 知道你们这些年是怎么过来的呢！当然啦，你们也不知道爹的情况！”耿兰听爹这样说话，那双好看的丹凤眼立马就瞪圆了，奇怪地 问：“怎么，爹和哥哥姐姐们后来这七年多的时间里不在一起哇？”耿老爹故作轻松地说：“当然啦，要不你哥哥姐姐们怎么会拉回 来这么一个‘寿喜’呢！”不成想郭氏一听这话就哭出声来了。她吃力地扭头看着丈夫结结巴巴地说：“他爹你，你说什么，你们爷 儿们，怎么，怎么会不在一起？这，这，这七年多之前，小直子才，才多大啊！还，还有这个，‘寿，寿什么’，都，都是怎么……” 耿正、耿英和耿直都强忍着眼泪。耿英对娘说：“娘，你看啊，俺们三个和爹现在不都好好的嘛！这就行了。而且啊，爹还给你带回 来这么好的一个老儿子呢！至于俺们以前都受了什么苦，那又有什么关系呢！再说啦，这人啊，要想活出个样子来，那里有不受苦的 道理呢！”看娘慢慢止住眼泪了，耿英看看哥哥和弟弟，他俩都微微点点头。耿英就对爹、娘和妹妹说：“那就让俺来说说俺们这边 哇！俺们先是去了景德镇，在那里，在那里俺们开了一个小饭铺，哥哥给起的名字是‘南北小饭庄’，做得还不错，赚了一些银子呢！ 三年多之后，俺们认识了稷山的一个姓李的老乡。后来这近四年，俺们三个是在杭州做丝绸生意来着。这个生意做得好极了，俺们赚 了不少银子。算算时间该回家了，俺们就在去年的腊月初九动身，一路赶回来了！巧的是爹和尚武也正好是那天回来了，俺们是在咱 们家南面的五道庙前会合的，这不就一起回来了！”郭氏又开始掉眼泪了，说：“英子啊，你就挑拣好听的说哇，你当娘是傻子啊， 你还没有和娘说，你们和你爹是怎么分开的啊！”耿兰也说：“你们托张伯伯带回来的书信中，不是说在汉口镇上开粮油零售店的吗？ 怎么你们三个又给跑景德镇去了啊？还有，爹呢？爹怎么没有和你们一起去哇？”耿英怔一怔，故意轻松地说：“啊，是了，俺怎么 忘了说之前的事儿了呢！那，俺还是再补上之前的发生的事情哇！”想一想，耿英又将汉口镇遭遇洪灾，父子们无奈过江，在武昌镇 白家暂住……大致述说一番。说到半年之后，爹爹带着他们离开白家继续沿江南下时，耿英的言词表情明显不自然起来。含糊其词几 句以后，她竟然说：“俺们忘记不了这家人的好，返回来的途中还顺路去看望了她们呢！她们也给俺们带回来了很贵重的礼物，就放 在那个软皮箱里呢！对了爹，小青姐姐和东伢子在俺们走后的那年秋上就结婚了，他们的男娃儿叫小东伢，这过了年已经六岁了！东 伢子种了好多菜地，还养了大骡车……”耿兰的眼珠子转一转，很不满意地打断了姐姐那似乎没完没了，且还那么兴致勃勃的唠叨， 明显不耐烦地说：“姐，你别扯远了哇！你说爹想带你们去一个
0
1
1 1
2
2 0
1
，
3
试写出其对应的线性方程组。
解：满足条件的线性方程组为：
2x 7 y z 0
y2z1
x
1 2
y
3
问题情境中矩形数表的变化特点是什么？
用加减消元法解下列二元一次方程组：3xx2
y y
5, 8.
步骤 方程组
矩阵数表
x 2 y 5,
1
3 x y 8.
x 2y 5
2
7 y 7
x 2 y 5,
3
y
1.
4
x 3,
y
1.
1 3
2 1
5 8
1 0
2 7
57
1 0
2 1
51
1 0
0 1
31
方程组 的解
如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？
1. 第1步，把二元一次方程组的系数和常数
写成一个增广矩阵；
（注意：方程要写成ax+by=c的形式。）
第2步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成
的方阵叫做单位矩阵，如
1 0
0 1
。
请大家阅读书本第74页，了解矩阵的这些概念。
x y z 6 三元一次方程组 3 x y 2z 7
5 x 2 y 2z 15
1 1
方程组的系数矩阵： 3 1
5
2
1
2 2
是3阶方阵，记为A33
方程组的增广矩阵：
1 3
1 1
1 2
6 7
记为A34
它是2行3列的矩阵，记做A23 .
3. 行向量与列向量 1行2列的矩阵(1,-2)，(3,1)叫做系数矩阵的 两个行向量；
2行1列的矩阵
1 3
，
2 1
叫做系数矩阵的
两个列向量。
4. 方阵与单位矩阵 当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，
简称方阵。
如
1 3
2 1
是2阶方阵。
我们把对角线元素为1，其余元素为0