量子力学教程-周世勋-第六章散射

r
r
r
dn = q (θ , ϕ ) Nd Ω
（6.1-1）
其中 q (θ , ϕ ) 为比例系数。 q (θ , ϕ ) 通常是 θ , ϕ 的函数，它的值与入射粒子的能量 E 以及势场
r dS U ( r ) 有关，但应与 N 无关。因 dnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= 2 ，则上式可化为： r dn q (θ , ϕ ) = ds r2
Rl ( r ) = Cl hl(1) ( xr ) + Dl hl(2) ( xr ) = Al jl ( xr ) + Bl nl ( xr )
其中 α =
（6.2-4）
2μ ( E − U ) [U 为常量]。 jl (α r ) 与 nl (α r ) 分别为球贝塞尔（Bessel）函数与球诺伊 h2
eikr (1−cosθ )+iangx + cc = 2 cos [ Kr (1 − cos θ ) + arg x ]
当 θ 角稍微偏离零值时， （ 1 − cos θ ） 不为零， 则当 r → α 时， 在 θ → θ + dθ 范围内 （ dθ 与 d Ω
155
中的 dθ 相同） 。对于 j0 的 θ 0 分量也可得到同样的结果。所以只要 θ 稍微偏离零值，便可以不考虑 干涉项。另一方面，对散射粒子的探测总是在宏观尺度内进行的。从微观角度考虑，在任意 r 处总 是同时存在ψ I 与ψ s ，所以ψ I 与ψ s 不能分离。但从宏观角度考虑，散射粒子与入射粒子是可以分 离的，只要 θ 值稍大，则进入探测器的便只有散射粒子而没有入射粒子，所以也不考虑干涉项。 经计算可得入射波的几率流密度为：
2
果用量子力学方法计算此问题，则得到的总散射截面将比 π a 2 大。 当粒子被势场 U ( r ) 散射时，定态薛定谔方程为：
r
r ⎤ r r ⎡ h2 2 ⎢ − 2μ ∇ + U (r ) ⎥ψ (r ) = Eψ (r ) ⎣ ⎦
下面只讨论 U ( r ) ⎯⎯⎯ →0比
（6.1-5）
r
r →∞
（6.1-2）
153
上式中的
dn 与 N 应具有相同的量纲，所以 q (θ , ϕ ) 具有面积的量纲。 q (θ , ϕ ) 称为微分散 ds
射截面。进入立体角 d Ω 内的粒子数 dn 来自入射粒子流，如果取垂直入射粒子前进方向的面积 dQ， 使单位时间内穿过 dQ 的粒子数 NdQ 等于 dn，则（6.1-1）式化为：
第六章
散射
6.1 两体碰撞和散射截面
两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型。如果两个粒子的内部状态在 碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射。弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题。 如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离） ，则称为非弹性散射。如果碰撞后有新粒子 出现，则称为反应。非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来。单粒子的衰变也可属于反应。粒 子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义。例如， 贞瑟福（Rutherford）由对 X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核。又如，电子与原 子碰撞的夫兰克——赫兹（Franck-Herty）实验证明了原子中有定态。 两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系 的势能仅由相互作用能 U ( r ) 决定。由§2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为 μ 的 粒子在一个固定于质心位置的势场 U ( r ) 中运动。这个静止不动的质心位置被称为散射中心，也称为 靶心。这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射。这个粒子的能量 E 是连续谱，在弹性散射 中，能量 E 在散射过程中保持不变。为了简单，设耙心质量比位于 r 处的粒子质量大得多，则这个 具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量 E 便化为这个真实粒子的能量。 考虑一束粒子沿 Z 轴正方向向散射中心 C 射束，如下图： 在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写， 所以穿过垂直于 Z 轴平面的 λ 射粒子是均匀分布的。单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒 子数 N 称为入射粒子流强度。粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角。设以 C 点为球心以 r 为半径的球面上的面积元 ds 对 C 点张开的立体角为 d Ω ， 则单位时间内散射到 d Ω 内 的粒子数 dn 应与 d Ω 成正比，也与 N 成正比：
1 r →∞ ⎯⎯⎯ → 0 更快的情况（对于粒子被库仑势场的散射，通常采 r
用抛物面坐标系进行讨论，其介绍从略） 。一般说来，在离散射中心很远的地方即 r → α 时，波函 数ψ 可近似地表示为入射波ψ I 与散射波ψ S 的叠加，ψ I = Ae ，ψ s = Af (θ , ϕ )
ikz
eikr 。对于弹性散 r
h2 K 2 射，入射波中的 K 与散射波中的 K 应相等，能量 E = 。由于散射截面与入射粒子流强度 N 无 2μ
关，所以也与入射波的归一化约定无关。为了简单，取 A=1（相当于单位体积中有一个粒子） ，则入 射波的振幅为 1，而 f (θ , ϕ ) 称为散射振幅。
r →∞ ψ ⎯⎯⎯ →ψ I + ψ S = eikz + f (θ , ϕ )
当 r → α 时，上式右边第二个中括号内的后两项可以忽略。若 U 为库仑势场，由上式中的 Ueikz 与 Ef (θ , ϕ )
eikr 1 同数量级。 若当 r → α 时， U 比 下降得更快， 则 Ueikz 也可忽略。 则当 r → α 时得： r r
⎡ h2 2 ⎤ ⎡ ikz eikr ⎤ r →∞ ⎡ ikz eikr ⎤ U e f e f ( θ , ϕ ) ( θ , ϕ ) − ∇ + + = + ⎢ 2μ ⎥⎢ ⎢ r ⎥ r ⎥ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
eikr r
（6.1-6）
将上式代入方程（6.1-5）得：
154
⎡ h2 2 ⎤ ⎡ ikz eikr ⎤ U e f ( θ , ϕ ) − ∇ + + ⎢ 2μ ⎥⎢ r ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∧2 ⎡ 2 ⎤ ikr 2 2 ⎡ h 2 ⎛ 22 ⎤ ⎞ 2 2 h 1 2 2 2 L ikz ⎢ ⎥ f (θ , ϕ ) e = ⎢− + + + U e + − r + + U ⎥ ⎜ ⎟ 2 ⎢ 2 μ r 2 2r 2r 2 μ r 2 ⎥ 2Y 2 2 Z 2 ⎠ r ⎣ 2μ ⎝ 2 X ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∧2 ⎡ ⎤ ikr L ikz ⎢ ⎥ f (θ , ϕ ) e = [ E + U ]e + E + + U ⎢ ⎥ 2μ r 2 r ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
dn ，所以得： ds
（6.1-10）
js 也就是（6.1-2）式中的
dn = js ds =
U 2 2 f (θ , ϕ ) ds = N f (θ , ϕ ) d Ω 2 r
（6.1-11）
将上式与（6.1-1）式比较得微分散射截面为：
q (θ , ϕ ) = f (θ , ϕ )
2
（6.1-12）
所以由 f (θ , ϕ ) 可以得到 q (θ , ϕ ) 。 f (θ , ϕ ) 的表示式可通过将方程（6.1-5）的解在 r → α 时与 （6.1-6）式比较而得到。
6.2 有心力场中的弹性散射（分波法）
有心力场中的定态薛谔方程为：
r ⎡ h2 2 ⎤ r ⎢ − 2μ ∇ + U (r ) ⎥ψ (r ) = Eψ (r ) ⎣ ⎦
uu r j0 的表示式为：
uu r ih * j0 = ψ I (∇− ∇)ψ s + cc 2μ
（6.1-8）
uu r
r u
r
r
uu r
在 j0 中应含有 ro 其中 CC 表示前一项的共轭项。 显然， 在前一项必含有因子 eikr −ijz = eikr (1− cosθ ) 。 与 R 两个方向上的分量，在球坐标系下，注意到 R 在ψ 0 上的投影为零，则 j0 表示为下述形式：
uu r
uu r
r
jI =
ih ⎡ 2ψ I* 2ψ ⎤ hk p −ψ I* I ⎥ = = =U ⎢ψ I 2μ ⎣ 2z 2z ⎦ μ μ
（6.1-9）
jI 也就是（6.1-2）式中的 N，所以 N=U。散射波的几率密度为：
js =
2ψ ⎤ V ih ⎡ 2ψ s* 2 −ψ s* s ⎥ = 2 f (θ , ϕ ) ⎢ψ s 2μ ⎣ 2z 2z ⎦ r
1 π ⎧ ⎪ jl (α r ) → α r sin(α r − 2 ) ⎪ ⎪n (α r ) → − 1 cos(α r − απ ) l ⎪ 2 αr ⎪ ⎨ απ ⎪h(1) (α r ) → − i ei (α r − 2 ) ⎪ l αr ⎪ απ − i (α r − ) 2 ⎪hl(2) (α r ) → i e ⎪ αr ⎩
所以（6.1-6）式满足方程（6.1-5） 。 将（6.1-6）式代入几率流密度公式得：
r ih * uu r uu r uu r j= ψ (∇− ∇)ψ = jI + js + jo 2μ
（6.1-7）
r 0 为 r 方向的单位矢量。j0 为入射波与散射波的干涉项。 其中 jI = jI R 为散射波的几率流密度，
2 (2)
曼（Neumann）函数。 h (α r ) 与 h
(α r ) 分别为第一类与第二类球汉克尔（Hankel）函数。如果所
考虑的区间包含 r=0 点，则由于 nl (α r ) 在 r=0 点发散（不满足波函数的有限性条件） ，所以只能取
Rl (r ) = Al jl (α r ) 。当 α r → ∞ 时有下述渐近表示式：
uu r
ur
u r
u r
uur
uu r
uu r ⎡ uu r⎤ 1 j0 = ⎢α (r , θ , ϕ ) + β (r ,θ , ϕ )θ 0 ⎥ eikr (1−cosθ ) + cc r0 ⎣ ⎦ uu r ur 设 α ( r , θ , ϕ ) 的幅角为 arg x ，则在 j0 的 ro 分量中必含因子
dQ = q (θ , ϕ ) ，即
由上式得：
dQ = q (θ , ϕ ) dΩ
（6.1-3）
Q = ∫ q(θ , ϕ )d Ω = ∫
Q 称为总散射截面。
π
0
∫
2π
0
q(θ , ϕ )si mθ dθ dϕ
（6.1-4）
上面关于微分散射截面和总散射截面的定义在量子力学中和在经典力学中都同样适用。但量子 力学中存在几率概念，每一个入射粒子都具有相同的被散射的几率。经典力学中不存在几率概念， 但可引入瞄准距离的概念，均匀分布的入射粒子在进入势场前都各有一条平行于 Z 轴的轨道，此轨 道与 Z 轴之间的距离（也是与散射中心之间的距离）称为瞄准距离，记为 b。当粒子被一个以 C 点 为球心半径为 a 的刚性球散射时，只有 b<a 的入射粒子才被散射，所以总散射截面为 Q = π a 。如
令 Rl ( r ) =
U l (r ) ，得约化径向方程为： r
156
⎡ h 2 d 2 l (l + 1)h 2 ⎤ ⎢ − 2 μ dr 2 + 2μ r 2 + U (r ) ⎥ U l (r ) = ERl (r ) ⎣ ⎦
（6.2-3）
波函数的有限性条件要求 U l (0) = 0 。由于径向方程无简并，所以可取 Rl ( r ) 为实量。 1、球方形势场 U（r）是 r 的函数，若 U（r）分段为常量，则称 U（r）为球方形势场。在§2.9 与§2.10 中的 U（x）也是分段为常量，则称 U（x）为一维方形势场。但应注意，x 的边界点是 −∞ 和 ∞ ，而 r 的 边界点是 O 和 ∞ 。与§2.9 中的讨论类似，当求解方程（6.2-2）时，在 E>U 区域内的解也称为振荡 解，在 E<U 区域内的解也称为指数解。在（2.9-5） 式中曾写出了一维方形势场中振荡解的三种形式， 类似地可写出球方形势场中振荡解的前两种形式为：
对于散射态， E =
（6.2-1）
r h2 k 2 为连续谱。令ψ (r ) = Rl (r )Ylm (θ , ϕ ) ，得径向方程为： 2μ
（6.2-2）
⎡ h 2 1 d 2 d l (l + 1)h 2 ⎤ ⎢ − 2 μ r 2 dr r dr + 2μ r 2 + U (r ) ⎥ U l (r ) = ERl (r ) ⎣ ⎦