3.高阶导数 隐函数求导法则
大一高数一二单元知识点
大一高数一二单元知识点高等数学是大一大学生必修的一门课程，其中的第一二单元是基础知识，对于学习后续的数学课程具有重要的作用。
本文将对大一高数一二单元的知识点进行介绍和总结。
一、函数与极限1. 函数的概念与性质：函数是一种特定的关系，可以用来描述自变量与因变量之间的关系。
函数具有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。
2. 极限与连续性：极限是函数在某一点无穷接近于某一值的性质。
一个函数在某一点处连续，意味着函数在该点的左右极限存在且相等。
3. 极限运算法则：极限运算法则包括四则运算法则、复合函数法则、函数比较法则等。
二、导数与微分1. 导数与导函数：导数是函数在某一点处的变化率，导函数则是整个函数在每一点处的导数值。
导数可以用于求解函数的极值、切线方程等问题。
2. 基本求导法则：基本求导法则包括常数法则、幂函数求导法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则等。
3. 高阶导数与隐函数求导：高阶导数描述了函数变化率的变化率，隐函数求导是对函数的复合求导。
4. 微分与微分近似：微分可以近似表示函数在某一点附近的变化情况，微分近似可以用于计算无穷小量的近似值。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：定积分是函数曲线与坐标轴所围成的面积，它具有可加性、线性性、区间可加性等性质。
2. 定积分的计算方法：定积分的计算方法包括换元法、分部积分法、换限积分法等。
3. 不定积分的概念与性质：不定积分是函数的原函数，它与定积分的关系是互逆的。
4. 常见函数的不定积分：常见函数的不定积分包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
以上就是大一高数一二单元的主要知识点。
这些知识点是学习高等数学的基础，对于理解后续的高等数学内容非常重要。
同学们应该认真学习这些知识点，并通过大量的练习题巩固和应用，才能真正掌握高等数学的基本概念和方法。
希望本文对大家的学习有所帮助！。
大一隐函数的导数知识点总结
大一隐函数的导数知识点总结一、引言在微积分学中，隐函数是指由两个或多个变量之间的方程所确定的函数。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用一些特定的方法和规则。
本文将对大一隐函数的导数知识点进行总结和归纳。
二、隐函数的导数定义隐函数的导数表示了函数在某一点处的变化率。
设函数 y=f(x)在点 (x,y) 处满足方程 F(x,y)=0，则 y 是 x 的隐函数，并且可以看作自变量 y 和函数 y=f(x) 的函数关系。
隐函数的导数可以通过求导来计算。
三、常用求导法则1. 隐函数的导数：设 y 是 x 的隐函数，可以通过求导求得 y 对x 的导数，即 dy/dx。
2. 利用链式法则求导：通过将隐函数的方程两边同时对x 求导，然后解方程得到 dy/dx。
3. 隐函数的高阶导数：通过多次使用链式法则，可以求得隐函数的高阶导数。
四、常见的隐函数求导方法1. 参数方程法：将隐函数表示为参数方程，对参数方程中的参数求导，然后根据参数与自变量之间的关系求得隐函数的导数。
2. 对数导数法：将隐函数两边同时取对数，然后对取对数后的方程两边求导。
3. 微分形式法：将隐函数的微分形式表示为等式形式，然后对等式两边求导。
4. Laplace公式法：对于特定的隐函数形式，如 y=f(x)^{g(x)}，可以使用 Laplace 公式来求导。
5. 特殊函数求导法：对于一些特殊的隐函数，如反函数、对数函数、指数函数等，可以利用已知的导数性质求导。
五、隐函数的应用举例1. 切线与法线：通过求解隐函数的导数，我们可以得到曲线上某一点处的切线斜率，进而求得切线和法线的方程。
2. 最值问题：利用隐函数的导数求得极值点的横坐标，进而求得隐函数在该点的最值。
3. 隐函数图像绘制：通过求解隐函数的导数，我们可以了解到隐函数在不同区间的单调性和凹凸性，有助于绘制函数图像。
六、结论隐函数的导数是微积分学中的重要概念，它帮助我们理解和解决具有复杂关系的函数问题。
函数求导公式大全
函数求导公式大全本文为大家详细介绍了函数求导的相关公式，包括常见的初等函数求导公式、复合函数求导公式、参数函数求导公式、隐函数求导公式以及高阶导数的求法等内容，共计超过1200字。
希望能够帮助大家更好地理解和掌握函数求导的知识。
一、常见初等函数求导公式1.常数函数求导公式：对于常数c，f(x)=c的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数求导公式：对于f(x)=x^n（n为常数），f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数求导公式：对于f(x)=e^x，f'(x)=e^x。
4. 对数函数求导公式：对于f(x)=ln(x)，f'(x)=1/x。
5. 三角函数求导公式：（1）对于f(x)=sin(x)，f'(x)=cos(x)；（2）对于f(x)=cos(x)，f'(x)=-sin(x)；（3）对于f(x)=tan(x)，f'(x)=sec^2(x)；（4）对于f(x)=cot(x)，f'(x)=-csc^2(x)；（5）对于f(x)=sec(x)，f'(x)=sec(x)tan(x)；（6）对于f(x)=csc(x)，f'(x)=-csc(x)cot(x)。
二、复合函数求导公式1.一阶复合函数求导公式：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
2.高阶复合函数求导公式：若y=f(g(x))，则y''=f''(g(x))·[g'(x)]^2+f'(g(x))·g''(x)。
三、参数函数求导公式1. 参数函数导数：设x=f(t)，y=g(t)，则y对x求导等于y对t求导除以x对t求导的商，即dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
2. 参数方程的导数：设x=f(t)，y=g(t)，则dy/dx=dy/dt·dt/dx=dy/dt/(dx/dt)。
隐函数的求导法则笔记
隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。
隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。
在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。
本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。
隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。
假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。
首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。
然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。
最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。
3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。
在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。
4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。
通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。
5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。
总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。
通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。
高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习 设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解 利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y
ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)
n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6
常用微积分式导数公式
常用微积分式导数公式微积分是数学中重要的分支，它涉及到诸多的概念和公式。
其中导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数的变化率。
在实际应用中，导数常常用于求解最优化问题、解微分方程、描述曲线的性质等等。
下面将介绍一些常用的微积分导数公式。
一、基本函数的导数公式：1.常数函数导数公式：如果c是一个常数，那么对于常数函数f(x)=c，它的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数导数公式：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数导数公式：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数导数公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其中x>0，它的导数为f'(x) = 1/x。
5.三角函数导数公式：- 正弦函数的导数公式：f'(x) = cos(x)- 余弦函数的导数公式：f'(x) = -sin(x)- 正切函数的导数公式：f'(x) = sec^2(x)- 余切函数的导数公式：f'(x) = -csc^2(x)-反正弦函数的导数公式：f'(x)=1/√(1-x^2)-反余弦函数的导数公式：f'(x)=-1/√(1-x^2)-反正切函数的导数公式：f'(x)=1/(1+x^2)-反余切函数的导数公式：f'(x)=-1/(1+x^2)二、基本运算法则：1. 变量替换法则：如果y=f(u)，且u=g(x)是可导函数，那么由链式法则可得dy/dx = (dy/du)*(du/dx)。
2.和、差、积法则：-和差法则：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)-积法则：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)3.乘幂法则：[f(x)^n]'=n*f'(x)*f(x)^(n-1)。
数学三导数知识点总结
数学三导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在数学三中，导数的概念得到了进一步的发展，涉及到高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等内容。
本文将对数学三中的导数知识点进行总结，希望能帮助学生对这一部分知识有一个更加清晰的理解。
一、高阶导数在数学三中，我们首先要了解高阶导数的概念。
高阶导数是指对一个函数进行多次求导得到的导数。
对于一个函数f(x)，它的n阶导数表示为f^(n)(x)，其中n是一个正整数。
高阶导数的计算通常是通过多次应用链式法则和求导法则来完成的。
高阶导数有很多重要的应用，比如在物理学中，高阶导数可以用来描述速度、加速度等物理量的变化情况；在工程学中，高阶导数可以用来描述系统的动态响应特性。
因此，学习高阶导数的概念和计算方法对于理解和应用微积分是非常重要的。
二、隐函数求导在数学三中，我们还要了解隐函数求导的概念和方法。
所谓隐函数，是指在一个方程式中，由于表达式中没有显式地表示出y，而只表示出x和y的关系。
在实际应用中，有很多情况下，我们遇到的函数并不是显式的解析函数，而是通过方程式隐含表示的。
这时就需要用到隐函数求导的方法。
隐函数求导的基本思想是将所有含有y的项看作y的函数，对x求导时，使用链式法则。
具体的求导方法会依赖于具体的方程形式，可能需要一些技巧和方法来将隐函数表示成显式函数，然后再进行求导。
因此，隐函数求导的过程可能会比较复杂，需要加强练习和理解。
三、参数方程求导参数方程是一种用参数表示的曲线方程，常见于微积分和几何学中。
在数学三中，我们也需要了解如何对参数方程进行求导。
参数方程求导的基本思路是将参数方程中的参数视为自变量，对参数方程进行求导，最后得到关于参数的导数表达式。
参数方程求导的关键是要正确理解参数方程的意义和特性，灵活运用导数的定义和求导法则。
在求导的过程中，可能会需要使用到参数的不同形式，比如用极坐标、直角坐标等进行表示，或者进行一些变换和替换来简化计算。
高中导数的基本公式14个
高中导数的基本公式14个导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在高中数学中，我们学习了导数的基本概念和计算方法，其中最重要的就是导数的基本公式。
本文将介绍高中导数的基本公式14个。
1. 常数函数的导数为0如果函数f(x)是一个常数函数，那么它的导数f'(x)等于0。
这是因为常数函数在任何点处的斜率都是0，所以它的导数也是0。
2. 幂函数的导数如果函数f(x)是一个幂函数，即f(x) = x^n，其中n是一个正整数，那么它的导数f'(x)等于nx^(n-1)。
这是因为幂函数在任何点处的斜率都是nx^(n-1)，所以它的导数也是nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数如果函数f(x)是一个指数函数，即f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，那么它的导数f'(x)等于a^x * ln(a)。
这是因为指数函数在任何点处的斜率都是a^x * ln(a)，所以它的导数也是a^x * ln(a)。
4. 对数函数的导数如果函数f(x)是一个对数函数，即f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，那么它的导数f'(x)等于1/(x * ln(a))。
这是因为对数函数在任何点处的斜率都是1/(x * ln(a))，所以它的导数也是1/(x * ln(a))。
5. 三角函数的导数如果函数f(x)是一个三角函数，即f(x) = sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)或csc(x)，那么它的导数f'(x)分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x) * tan(x)和-csc(x) * cot(x)。
这是因为三角函数在任何点处的斜率分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x) * tan(x)和-csc(x) * cot(x)，所以它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x) * tan(x)和-csc(x) * cot(x)。
导数的计算方法总结
导数的计算方法总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
下面是导数的计算方法的总结：1. 通过定义计算导数：导数的定义是函数在某一点的极限，可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 基本导数法则：常数规则，如果f(x)是常数c，那么f'(x) = 0。
幂函数规则，如果f(x) = x^n，其中n是实数常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
和差法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
乘法法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
商法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
3. 链式法则：链式法则适用于复合函数的导数计算。
如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，那么y对x的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = f'(g(x)) g'(x)。
4. 高阶导数，导数的导数称为高阶导数。
一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率。
高阶导数可以通过连续应用导数的定义和法则来计算。
5. 隐函数求导，当函数无法直接表示为y = f(x)的形式时，可以使用隐函数求导方法来计算导数。
6. 参数方程求导，对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，可以通过对x和y同时关于t求导来计算参数方程的导数。
以上是导数的计算方法的总结，这些方法可以帮助我们计算函数在特定点的导数，进而了解函数的变化趋势和性质。
高阶导数与隐函数求导
高阶导数与隐函数求导在微积分中，导数是一个重要的概念，它可以描述函数在某一点的变化率。
一阶导数可以帮助我们求得函数的斜率和切线方程，但有时候我们会遇到更高阶的导数，比如二阶导数、三阶导数等。
高阶导数对于研究函数的性质和变化趋势非常重要。
本文将主要讨论高阶导数与隐函数求导的相关内容。
一、高阶导数的定义高阶导数可以看作是多次求导的结果。
对于函数f(x)，我们定义它的一阶导数为f'(x)，二阶导数为f''(x)，三阶导数为f'''(x)，以此类推。
通常，我们用f^(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
以一个简单的例子来说明高阶导数的计算。
假设我们有一个函数f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，我们可以按照求导法则依次计算出它的一阶、二阶和三阶导数：f'(x) = 3x^2 + 4x + 3f''(x) = 6x + 4f'''(x) = 6二、隐函数求导隐函数是一种特殊的函数形式，它的表达式中可能含有多个变量，并且通常无法直接解出某一个变量关于其他变量的显式表达式。
在这种情况下，我们需要通过隐函数求导的方法来计算导数。
假设我们有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个变量。
为了求出y关于x的导数，我们需要使用隐函数求导的方法。
具体步骤如下：（1）对F(x, y) = 0两边同时求导，得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
（2）将dy/dx解出，即可得到y关于x的导数。
让我们通过一个例子来演示隐函数求导的过程。
假设我们有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们要求解dy/dx。
首先，我们对方程两边同时求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，将dy/dx解出，我们可以得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y三、高阶导数与隐函数求导的应用高阶导数和隐函数求导在数学和物理等领域有广泛的应用。
隐函数求导、高阶导数
1
1
1 sin 2 y 1 x2
同理 (arccos x)x
1 1 x2
9
例14 求函数 y arctan x 的导数
解： y arctan x x tan y
x R, y ( , )
y
(
,
2 ), x
2 R
22
dx sec2 y dy
解：方程两端对x求导得
ex y (x y) y xy
ex y (1 y) y xy
(exy x) y y exy
y
y exy exy x
y xy xy x
4
例11 解(1)
设y (1 x2 )x , 求y
y (1 x2 )x exln(1x2 )
y [e xln(1 x2 ) ]
4)
2(
1 x
1)7
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
y ( y) y(4) ( y) y(n) ( y(n1) )
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
高阶导数的计算 运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导
12
例10 y x3 y 3x2 y 6x y 6 y(4) 0
y xn y nxn1 y n(n 1)xn2 y n(n 1)(n 2)xn3
第二章、4
【课 题】12
隐函数求导、高阶导数
【本课重点】1、隐函数的求导法 2、反函数的导数
第3-4节 隐函数求导法 高阶导数
dn y (n) 阶导数, 导数称为 f ( x ) 的 n 阶导数,记 f ( x ) 或 . n dx
例1 解
1 设 y = arctan + x ln x ， y′′ . 求 x
1 1 1 y′ = ⋅ (− 2 ) + ln x + 1 2 2 x 1+ 2 x 1 1 1 =− + ln x + ， 2 2 1+ x 2 1
19 2x
= 2 e ( x + 20 x + 95) .
20 2x 2
阶导数公式: 常用n阶导数公式
(1) ( a )
x (n)
= a ⋅ ln a (a > 0)
x n
( n) n
(e )
x (n)
=e
x
π ( 2) (sin kx ) = k sin( kx + n ⋅ ) 2 π ( n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ⋅ ) 2
解得
比较: 比较
y′ = −
x . y
显化后, y = a 2 − x 2 ,
y′ =
−x a2 − x2
x =− ； y
2 2
另一分支: 另一分支: y = − a − x , y ′ =
x a2 − x2
x =− . y
例 2 求由方程 e + xy = e 所确定的隐函数 y = y( x )
1 ( n ) ( −1) n n! 例6 ( ) = x x n+1 1 1 1 1 y= ) = ( + 2 1− x 2 1− x 1+ x 1 ( −1) n n! y(n) = [ ] + n+1 n+1 2 (1 − x ) (1 + x )
三高阶导数隐函数及由参数方程所确定函数的导数
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
2
上式两边对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1111
x 1 x 2 x 3 x 4
四、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x之间的
函数关系,
1 3 sin2 2x 4
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
例8. 设 解:
求 其中 f 二阶可导.
三、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
例14.设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1)
确定函数 y y(x), 求
解: 各方程两边对 t 求导 , 得
dx
2t 2
dt
即
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
d t 1 cos y
故
dy dx
注：有些显函数用对数求导法求导很方便.
例如
上式两边同时取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
上式两边同时对 x 求导
y ln a a b y bxx
又如
y
(x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
上式两边取对数
三个求导法则.
及y
(7)
。
y ( 7) 0 。
2、由参数方程所确定的函数的二阶导数
2 x a cost , d y 例 5、设函数 。 (0 t 2 ) ，求 y （或 2 ） dx y b sin t
d y d dy dx ( )/ 2 dt dx dt dx
2
解： (a cost ) a sin t ， (b sin t ) a cost ，
2、隐函数的显化
由 x y 3 1 0 ，解得 y 3 1 x 。
有些隐函数不可能显化： e y xy 0 。
3、隐函数的求导法
由于由方程 F(x，y)＝0 所确定的函数 y＝y(x)，能使 F(x，y(x)) 0 成为关于 x 的恒等式。因此，由方程 F(x，y)＝0 求 y 对 x 的导数时，只要把其中的 y 看成 是 x 的函数 y( x ) ，同时利用复合函数的求导法则，对 等式两端求对 x 的导数，然后由得出的含 x、y、 y 的等式中解出 y 就可以了。
d2y 记作 f (x)， y ，或 2 ， dx
f ( x x ) f ( x ) 即 f (x)＝ lim 。 x 0 x
y =(y)，
f (x)＝[f(x)]，
类似的，y＝f(x)的二阶导数的导数叫做y＝f(x)的三阶导数；
y＝f(x)的三阶导数的导数叫做y＝f(x)的四阶导数； … y＝f(x)的(n-1)阶导数的导数叫做y＝f(x)的n阶导数，
它们分别记作
d dy ＝ ( )。 dx 2 dx dx
d2y
y ，
或 f (x) ，
y(4) ，
… ， … ，
y (n) ；
高阶导数与隐函数的导数
⎛ 1 ⎞′ − 2x y′′ = ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 1 + x ⎠ (1 + x 2 ) 2
2 ⎛ −2 x ⎞′ 2( 3 x − 1) = y′′′ = ⎜ 2 2 ⎟ (1 + x 2 ) 3 (1 + x ) ⎠ ⎝
− 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
(k )
莱布尼兹（Leibniz）公式
例6
设 y = x e , 求y
2 2x 2x 2
( 20 ) 2x ( 20 ) 2
( 20 )
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
y
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) + (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x 20 ⋅ 19 18 2 x + 2 e ⋅2 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
代入 x = 0, y = 1, y ′
x=0 y =1
1 = 得 y ′′ 4
x=0 y =1
=−
1 . 16
y = x + e x 的反函数的导数 . 例3 求
dy 解 方法1 ∵ = 1+ ex dx 1 dx = ∴ dy 1+ ex
方法2 等式两边同时对 y 求导
dx x dx +e ⋅ 1= dy dy
π
n! 1 (n) n n ( ) = ( −1) a ax + b (ax + b )n+1
大一高数考试必背知识点
大一高数考试必背知识点
在大一高数考试中，准备充分且掌握重要的知识点非常重要。
下面是一些大一高数考试必背的知识点，希望对你有所帮助。
一、函数与极限
1. 函数的定义和性质
2. 极限的定义和性质
3. 极限运算法则
4. 无穷小与无穷大
5. 函数的连续性和间断点
6. 函数的导数和微分
二、导数与微分
1. 导数的定义和性质
2. 导数的四则运算与求导法则
3. 高阶导数和隐函数求导
4. 微分的定义和性质
5. 微分中值定理和罗尔定理
三、积分
1. 不定积分和定积分的概念
2. 基本积分表和常用积分公式
3. 定积分的性质和基本定理
4. 反常积分的概念和判定
5. 曲线的面积与弧长
四、微分方程
1. 微分方程的概念和基本形式
2. 一阶微分方程的解法
3. 高阶线性微分方程及其特解
4. 变量分离法和齐次方程
5. 常系数线性齐次方程
五、多元函数与偏导数
1. 多元函数的定义和性质
2. 偏导数的定义和计算
3. 隐函数的偏导数
4. 方向导数和梯度
5. 极值和最大值最小值
六、空间解析几何
1. 点、直线和平面的方程
2. 空间曲线的参数方程
3. 空间曲面的方程和性质
4. 直线与曲面的位置关系
5. 空间向量的运算和坐标表示
以上是大一高数考试必背的知识点，通过充分理解这些知识点并进行适当的练习和应用，相信你将能够在考试中取得好成绩。
祝你顺利通过考试！。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。
导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。
本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。
2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。
4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。
5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。
二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。
2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。
3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。
4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。
5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。
隐函数求导法高阶导数
隐函数求导法的注意事项
02
01
03
确保隐函数是可微的，否则无法使用隐函数求导法。
解出关于$y'$的方程，得到$y'$的表达式。
4. 代入原方程
将求得的$y'$代入原隐函数关系式中，得到关于$x$的一阶导数表达式。
一阶隐函数求导的实例
假设有隐函数关系式$x^2 + y^2 = 1$，对$x$ 求导得到
01
解得 03
02
$frac{d}{dx}(x^2) + frac{d}{dx}(y^2) = 0$
3. 注意符号和变量的使用
在求导过程中，需要正确使用符号和变量， 避免混淆和错误。
03
二阶隐函数求导
二阶隐函数求导的步骤
1. 确定函数关系
首先需要确定隐函数的关系式，即$F(x, y) = 0$。
2. 对$y$求一阶导数
使用隐函数求导法则，将$F(x, y)$对$y$求一阶导数，得到$dy/dx$。
隐函数求导法的步骤
确定函数关系
首先需要确定自变量和因变量之间的函数关 系，通常表示为一个方程。
对方程两边同时求导
使用适当的求导法则对函数关系式进行求导。
解出因变量的导数
将求导后的方程解出因变量的导数表达式。
继续求导
重复上述步骤，直到求出所需的高阶导数。
隐函数求导法的实例
假设有隐函数 $F(x,y) = 0$，其中 $F(x,y)$ 是可 微的。
导数解题技巧归纳
导数解题技巧归纳
在解题时，我们可以使用以下技巧来求解导数：
1. 基本导数公式：掌握常用函数的导数公式，例如常数函数、幂函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 基本运算法则：了解基本导数运算法则，例如和法则、差法则、积法则、商法则等。
3. 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则来求导数。
链式法则的公式为：如果 y=f(g(x))，则 y' = f'(g(x)) * g'(x)。
4. 隐函数求导法则：对于含有隐函数的方程，可以使用隐函数求导法则来求导数。
隐函数求导法则的公式为：如果F(x,y)=0，则 dy/dx = - F_x / F_y，其中 F_x 表示 F 对 x 求偏导数，F_y 表示 F 对 y 求偏导数。
5. 参数方程求导法则：对于参数方程，可以使用参数方程求导法则来求导数。
参数方程求导法则的公式为：如果 x=f(t)，
y=g(t)，则 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
6. 高阶导数：在一些情况下，需要求高阶导数，即导数的导数。
在求高阶导数时，可以多次应用导数法则和技巧。
7. 极限法求导：有时，可以使用极限法来求导数，即根据导数的定义进行计算。
8. 几何意义：了解导数的几何意义，即导数表示函数曲线在某一点的切线斜率。
根据几何意义，可以判断函数在某一点的导数的正负性以及函数的变化趋势。
综上所述，以上是一些常见的导数解题技巧，通过掌握这些技巧，可以更有效地求解导数。
不同的题目可能需要结合不同的技巧和方法来求解，因此在解题时，需要根据具体情况选择合适的技巧和方法。
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f ( n1) ( x ) n(n 1)( n 2)2 x,
f ( n ) ( x ) n( n 1)( n 2)2 1 n!, f ( n 1 ) ( x ) 0,
x ( n)
(e x ) ( n ) e x
(4) ( x )( n) ( 1)( n 1) x n
(5) (ln(1 x))
(n)
(1)
n 1
(n 1)! (1 x)n
1 (5). 1 x
(n)
n! (1) . n 1 (1 x)
( n)
公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.
(uv) u v uv
(uv) (u v uv) u v 2 u v uv (uv) u v 3uv 3uv uv
注意: 求高阶导数的方法可归纳为三种 方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 方法3: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
d 2 y d dy d (dy) d 2 y 2. 记号与求导过程: 2 dx dx dxdx dx dx
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为
d3y f ( x ), y, 3 . dx
y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为 4 d y (4) (4) f ( x ), y , 4 . dx
例9
设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20) .
y
( 20 )
解 设u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
(e )
2x
( 20 )
x 20(e )
2 2x
( 19 )
( n) 例4 设 y ln(1 x ), 求y .
例 1.设f ( x) x , 求各阶导函数.
n
解:
f ( x ) nx n 1 , f ( x ) n( n 1) x n 2 , f ( x ) n( n 1)( n 2) x n 3 ,
定义: 若y f ( x )的导数 y f ( x )在x处可导, 这个导数
叫做 y f ( x )的二阶导数. d 2 y d 2 f ( x) 记为 : y 或 f ( x ) 或 2 或 . 2 dx dx f ( x x ) f ( x ) . 即 f ( x ) lim x 0 x
当k≥n+1时，
y(k) = 0
例2.设 y a , 求 y .
x ( n)
解:
y a x ln a , y a x ln 2 a ,,
y
( n)Leabharlann a ln a.x
n
特 : (ex )( n) ex
注意：
求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结
果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
对于一切 k 1, f
则 y( n) a0 n!
( n k )
( x) 0
若 y a0 x n a1 x n1 a2 x n 2 an ,
练习: 1.y = (ax+b)n 的高阶导数 解：当 1≤k≤n 时
y ( k ) ((ax b) n ) ( k ) n(n 1) (n k 1)(ax b) nk a k
(1)
100
100 ! 100 ! 100 (1) 101 ( x 2) ( x 3)101
1 1 100! 101 101 ( x 2 ) ( x 3 )
三、 高阶导数的运算法则
定理1： 如果u=u(x), v=v(x)都在点x处具有n阶导数, 则
n
n N
2. 间接法求高阶导数
1 (5) , 求y . 例5 设 y 2 x 1
例6 设 y sin6 x cos6 x, 求y ( n ) . 例7 求
d 100 1 . 100 2 dx x 5 x 6
1 (5) , 求y . 2 x 1 1 1 1 1 解y 2 ( ) x 1 2 x 1 x 1
y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做n阶导数. n d y ( n) ( n) f ( x ), y , n . dx 称二阶、三阶…n阶导数为高阶导数.
注意：
(1)相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
(2)高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高 阶导数得先求出各低阶导数. (3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导 数, 即 dv d 2 y a( t ) 2 s( t ). dt dt
f ( x ) sin x 2 cos x 3 2 2
f
( n)
( n) ( x ) cos x n . 即 cos x cos x n . 2 2
同理
sin x
(n)
sin x n . 2
( n) 例4 设 y ln(1 x ), 求y .
解
1 y 1 x
1 y (1 x ) 2 y
n 1
(4)
2! y (1 x ) 3
3! (1 x ) 4
例7 求 解 由于
d 100 1 . 100 2 dx x 5 x 6
1 1 1 1 , 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
100 100 100 d 1 d 1 d 1 故 100 2 100 x 2 100 x 3 dx x 5 x 6 dx dx
例3.设 f ( x) cos x, 求 f
( n)
( x).
解： f ( x ) sin x cos x 2
f ( x ) sin x cos x cos x 2 2 2 2 2
高等数学A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.9 高阶导数 2.1.10 隐函数的求导法则
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
2.1 导数及微分
高阶导数定义与记号
直接法
间接法
2.1.9 高阶导数
简单函数高阶导数的习例1-5 高阶导数的运算法则
导 数 及 微 分
高阶导数的运算法则习例6-8 隐函数的求导法则
说明： 一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导
数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导,
记为 f ( x) C n (I) 或 f ( x) C n . 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
f ( x ) C ( I) 或 f ( x ) C .
二、简单函数高阶导数的习例 1. 直接法
n
由低阶向高阶逐步求高阶导数.
例 1.设f ( x) x , 求各阶导函数.
例2.设 y a , 求 y .
x ( n)
例3.设 f ( x) cos x, 求 f ( n) ( x).
[ln(1 x)]
思考:
(n)
(1)
(n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
类似地，有
1 1 x
( n)
n! (1) . n 1 (1 x)
n ( n)
n N
1 ax b
n! (1) a . n 1 (ax b)
(1)u v
( n)
u( n ) v ( n )
( 2)uv
( n)
1 ( n 1) 2 ( n 2) u( n ) v C n u v C n u v
( 3)Cu
( n)
Cu
k ( n k ) ( k ) Cn u v ( n)
uv
n n
So easy
1 1 x
(n)
n! . n 1 (1 x)
n N
2. 间接法
利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等 方法, 求出n阶导数.
x n
a ln a (a 0) ( n) n ( 2) (sin kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2 (1) (a )
2.1.10 隐函数的求导法则 内容小结 课堂思考与练习
隐函数的求导数习例9-14
一、 高阶导数的定义与记号
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v( t ) [ f ( t )] .
例5 设 y
利用公式
1 (n) n! n ( ) (1) 1 x (1 x)n 1
(5)
y
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)