1986年高考数学试卷及详解

1986年试题

(理工农医类)

一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是

【】

[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.

(1)B;

(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是

(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1

(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1

【】

[Key] (2)C;

(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线

(C)一个圆(D)一条抛物线

【】

[Key] (3)B;

【】

[Key] (4)A;

(5)给出20个数

87919488939189879286

90928890918689929588

它们的和是

(A)1789(B)1799

(C)1879(D)1899

【】

[Key] (5)B;

(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的

(A)充分条件(B)必要条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件

【】

[Key] (6)D;

(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有

(A)D=E(B)D=F

(C)E=F(D)D=E=F

【】

[Key] (7)A;

(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S EFG 中必有

(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面

(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面

【】

[Key] (8)A;

(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是

【】

[Key] (9)D;

(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是

【】

[Key] (10)C.

二、只要求直接写出结果.

(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.

[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.

求证:平面PAC垂直于平面PBC.

[Key] 三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.

证明:设圆O所在平面为α.

由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,

因此PA⊥BC.

因此∠BCA是直角,

因此BC⊥AC.

而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,

因此BC⊥△PAC所在平面.

从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.

四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.

[Key] 四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.

解:满足sin2x>0的x取值范围是

而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到

x2-2x-15

x2-2x-15>0,③

x+13>0,④

解不等式②得:

-4

解不等式③及④得

-135.⑥

综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为

(-π,-3)∪(2π,7).

五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.

[Key] 五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.

解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),00.

记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.

六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:

[Key] 六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.

解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,

A∪B元素的个数是12+12-4=20.

解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.

七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

[Key] 七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.

解:由已知条件可知,直线l1的方程是

y=k(x+1),①

把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到

k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②

因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:

(2k2-4)2-4k2·k2>0,③

及k≠0.④

解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).

今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得

定义域是(-1,0)∪(0,1).

注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.