电动力学第二章第3节

解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可 选在导体面 r = a 处，即 ( (r a) 0) 选柱坐标系。 对称性分析： ① 导体为圆柱，柱上电荷均匀 分布， 一定与 无关。 ② 柱外无电荷，电场线从面上 发出后，不会终止到面上，只 能终止到无穷远，且在导体面 上电场只沿 er 方向，可认为 与z无关， (r ) y r o z θ x
1 d d 0 (r ) 0 r dr dr
2
d r C dr
C d dr r
D C ln a
当 r = a 时， (a) 0 r (r ) C ln a C ln r C ln a
(r ) C ln r D
d 0 dn
y
V
x 0, 0 y b, V 与 z 无关，可设 ( x, y )
2 2 0 x y
2 2 2
x
z
(0 x , 0 y b)
X ( x)Y ( y )
kx Bekx )(C sin ky D cos ky ) ( x, y) ( Ae
§2. 3 拉普拉斯方程 分离变量法
一、分离变量法的适用条件 二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 三、解题步骤 四、应用实例
一、拉普拉斯方程的适用条件 1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导
体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 0 0 为已知自由电荷产生 ， 的电势， 不满足 2 0 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 2 0 但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
（3）确定常数 A，B，C，D，k
① ②
X ( x) Aekx Bekx Y ( y ) C sin ky D cos ky
y 0, 0 D 0 y b, 0 sin kb 0
kb n n k b

(n 1, 2,3,)
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
四．应用举例
1、两无限大平行导体板，相距为 l ，两板间电势 差为V (与 x, y, z无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 E 。
解：（1）边界为平面，故 应选直角坐标系 下板 S 0 ，设为参考点

0
注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界
可视为外边界，给定
定总电荷 Q，或给定


S
（接地
S
0 ），或给
。
电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如
均匀场中，E E0 e z
E0 r cos E0 z
（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。
（2）内部边值关系：介质分界面上
令 m 2n 1
n 0,1,2,
0 x 0 yb
4V ( x, y)
1 (2n 1) y (2 n1) x / b 2n 1 sin b e n 0

3.半径a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体， 求导体柱外空间的电势和电场。
d 2 R
Q b 4 0
2 S 1 S
3
2
d Q 1 a R3 4 0 R2
n
R
④ 在导体壳上
Q 2 dS 3dS 0
S2 S3
n
1 2 0 n 2 3 0 n
S2
S3
1 2 0 S2 n dS S3 0 n dS 0 1 2 0[ S2 R dS S3 R dS ] 0
b
S2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dS dS d 2 0 2 S3 R R
Q 1 4 0 R （4）
Q
Q b4 d 4 0 d b 4 0 Q 1 1 a ( ) 4 0 R3 R2 R3 R
Q R1 R R2
1 1 2 ( ) 4 0 R 40 R3 R2
r a
C 0 Ca 1 0 r a r a a
a C 0
r (r ) ln 0 a
d a er E er dr 0 r
a
在导体面上
E (a) er 0
4．如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分 离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。
解：(1)边界为球形，选球坐标系，
电荷分布在有限区，选
r
0
Q
（2）设球壳内为I区，壳外为II区。
R3
I
球壳内:
球壳外 性， 与
1 0 2 2 0
2
II
O
R2
R1
电荷在球上均匀分布，场有球对称
, 无关
( R R3 ) ( R1 R R2 )
若将Q移到壳上， 球接地为书中 P48例题
d 2 g ( ) 2 g ( ) 0 d 2 1 d df 2 (r ) 2 f (r ) 0 r dr dr r

g () a1 sin a2 cos
f (r )有两个线性无关解 r 、

r

单值性要求 (0) (2 ) ， 只能取整数，令
n 1
n
(r , ) r n ( An sin n Bn cos n ) r n (Cn sin n Dn cos n )
若
r C A B ln r r
1 (r )0 (r ) ， r r r
b ( R) a 具有球对称性， 通解： R
,
均无关，
三．解题步骤
1. 选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参
考点主要根据电荷分布是有限还是无限；
2. 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选
坐标系中的通解； 3. 根据具体条件确定常数
（1）外边界条件： 电荷分布有限
二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1、直角坐标 2 2 2 0 x y z
2 2 2 2
（1）令 ( x, y, z ) X ( x)Y ( y ) Z ( z ) 2 2 d2X 令 k1 , k 2 X 0 2 dx 2 k12 k 2 k 2 d 2Y Y 0 2 k1 x k1 x dy X ( x) Ae Be d 2Z k2 y k2 y Z 0 Y ( y ) Ce De 2 dz Z ( z ) E sin kz F cos kz 0
（2）若 ( x, y ) d2X X 0 2 dx d 2Y Y 0 2 dy
k , k
2
2
0
注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边 k 界条件， 1 , k 2 , k将与某些正整数有关，它们可取1， 2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。
b
b
sin
n m b mn n m 2
b
dy
my b dy C n mn C m b / 2 ∴ V sin 0 b 2 n 1 2 b my 2V b m C m V sin dy 0 sin y dy b 0 b b m 4V （m = 奇数） 2V m ] 0 m [ [ cos y （m = 偶数） m 0 4V 1 m y m x / b ( x, y ) m sin b e m1,3,5 b
d 2 c R a b 1 R
1 0C 0 （3）确定常数 1 ② R R1 , 0 R 1 b Q 0 dS 0 2 4 R12 S1 R RR R1 1
① R ③ 导体壳为等势体
1
Z
V
（2）定性分析：因在
z l
l
x
O
V （常数），可考虑
y

与
x, y
无关。
(3) 列出方程并给出解：
0
2
d 2 0 2 dz
方程的解：
Az B
Al V
(0 z l )
B0
V A l
(4) 定常数： ( z 0) 0
(z l) V
（5）球壳上的感应电荷 壳外面
壳内面
2 Q 1 Q 0 dS S3 R 2 dS Q S3 n 4 1 1 Q 0 dS dS Q
S2
n
S2
R
Q Q 0 以上结果均与高斯定理求解一致。
（3）若
2
(x) ，与 y, z
无关。
d 0 2 dx
Ax B
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 0 2. 柱坐标 2 r r r r z 讨论 (r , ) ，令 (r , ) f (r ) g ( )

，即
n
具有轴对称性，通解为
P0 1
bn ( R, ) (a n R n 1 ) Pn (cos ) R n
若 与
P1 (cos ) cos
Pn (cos ) -----为勒让德函数
1 P2 (cos ) (3 cos 2 1) 2
x
0 An 0
两边同乘 sin
b
b m y n y m y 0 V sin b dy 0 Cn sin b sin b dy n 1 b m y n y
b
并从0 → b积分：
C
n 1
n 0
sin
0 m y n y ∵ sin sin dy 0 b b b / 2
3．球坐标
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
n
若 不依赖于
Pnm (cos ) ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
kx B ekx )(C sin ky) n ( x, y) ( Ane n n
通解
(n 1, 2,3)
( x, y ) n ( x, y )
n 1
③
n nb x n ( x, y) Cn sin ye ( BnCn Cn ) b n x n Cn sin ye b b n 1 ny V V C n sin ④ x0 b n 1 my
V (0 z l ) (5) 电场为均匀场 电势： z l d V V E ez ez E 常数 dz l l
2. 一对接地半无限大平板，相距为 b ，左端有一极 板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。 解：（1）边界为平面， 选直角坐标系；上、下两 平板接地，取为参考点； 且当 y 0, b, 0 x （2） 轴平行于平板，且 z