截长补短法

把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
。
.
B
.
60° °
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
。
.
B
.
M
。C
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. °A 延长 分析1：补短法 BM到N， ∠BAC=60°，
证法9： 由托勒密定理得 BCMA =ACMB+ABMC. ∵BC=AC=AB， ∴MA=MB+MC.
B
A
C M
证法10：记MA交BC于点P.
∴AC =AB， ∵AC=AB， P ∴∠AMC=∠AMB . 。C B ∵∠BCM=∠BAM ， M ∴△MCP ∽△MAB ， MC CP MB BP ∴MA = AB ； 同理，MA = AC . MB MC BP CP ∵BC=AC=AB， MA + MA = AC + AB =1， ∴ ∴MA=MB+MC.
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法5： AM上截取AE=MC， 在 连结BE.
A ∵BC=BA=AC， 。 ∴∠ACB=60°. E ∵∠BCM=∠BAE， CM=AE， ∴△MBC≌△EBA， 。C B ∴ME=MB； M ∵∠AMB=∠ACB=60°， ∴ME=MB=BE，∴MA=ME+AE=MB+MC.
圆里的 截长补短
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上：
60° °
。
.
B
.
60° ° 。C 60°60° ° °
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
.
.
∴MA=MS=AS， ∴MA=MB+MC.
延长 分析3：补短法 MC到T， A 使CT=BM， 。 连结AT. MA=MT， ∠AMC=60°， MA=MT=AT， MA=AT， △MA？≌△TA？ B △MAB≌△TAC， AB=AC， BM=CT， ∠ABM=∠ACT，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠ACT=∠ABM，
“截长补短”是初中平面几何中化难为易 的一种常用解题思想。 本题是一道典型例题。 这里表现 8 种证法，是要说明实际解题 时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时 看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通 思路。 本题的其它证法附于后面。
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
.
.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠ABS=∠ACM， °A 延长 分析2：补短法 MB到S， ∠BAC=60°，
使BS=MC， 连结AS. MA=MS， ∠AMB=60°， S MA=AS， MA=MS=AS， △MAC≌△SAB， △MA？≌△SA？ AC=AB， MC=SB， ∠ACM=∠ABS，
.
.
D C M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
A 证法7： AM上截取AD=MB， 在 连结DC. ∵CB=CA=AB， ∴∠ABC=60°. D ∵∠MBC=∠DAC， C B BM=AD， ∴△MCB≌△DCA， M ∴MC=DC. ∵∠DMC=∠ABC=60°， ∴MD=MC=DC， ∴MA=AD+MD=MB+MC.
A
.
.
在AM 分析5：截长法 上截取AE=MC， ME=MB， A ∠AMB=60°， 。 连结BE. E MB=EB， ME=MB=BE， △MB？≌△EB？ △MBC≌△EBA， B BC=BA， ∠BCM=∠BAM， CM=AE，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
。 使MN=CM， 连结CN.△CMN是等边三角形， MA=NB，
.
△MA？≌△NB？ △MAC≌△NBC， 。C B AC=BC， ∠MAC=∠NBC， M N ∠AMC=∠BNC， ∠AMC=60°， ∠CMN=∠BAC=60°， ∠BNC=60°， △CMN是等边三角形，
.
证法1： 延长BM到N，使MN=CM， CN. 连结 ∵AB=BC=CA， A ∴∠BAC=∠ABC=60°. 。 ∵∠CMN=∠BAC=60°， ∴△CMN是等边三角形， ∴∠BNC=60°. ∵∠AMC=∠ABC=60°， 。C B ∴∠AMC=∠BNC. ∵∠MAC=∠NBC， AC=BC， M N ∴△MAC≌△NBC， ∴MA=NB， ∴MA=MB+MC.
在MA 分析6：截长法 上截取MK=MC， A AK=MB， 连结KC. △KCM是等边三角形， △AK？≌△BM？ △AKC≌△BMC， AC=BC， ∠KAC=∠MBC， K ∠AKC=∠BMC， C B ∠BMC=120°， M ∠AKC=120°，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
。
.
B
.
M
。C
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法2： 延长MB到S，使BS=MC， A 则∠ABS=∠ACM. 。 连结AS. ∵AC=AB=BC， ∴△MAC≌△SAB， S 。C B ∠ACB=60°， ∴MA=SA. M ∵∠AMB=∠ACB=60°，
.
.
△KCM是等边三角形.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法6： MA上截取MK=MC， 连结KC. 在 ∵AC=BC=AB， A ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠AMC=∠ABC=60°， AMC= ABC=60 ∠AMB=∠ACB=60°， ∴∠BMC=120°， K △KCM是等边三角形， B C ∴∠AKC=120°=∠BMC， M ∵∠KAC=∠MBC， ∴△AKC≌△BMC， ∴AK=MB，∴MA=AK+MK=MB+MC.
.
.
在MA 分析8：截长法 上截取MH=MB， AH=MC， 连结BH. A △HBM是等边三角形. 。 △AH？≌△CM？ △AHB≌△CMB， H AB=CB， ∠BAH=∠BCM， ∠ABH=∠CBM， ∠ABC=60°， B ∠HBM=60°， △HBM是等边三角形.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
。
A
. .
(
(
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
60° °
。
.
B
.
60° ° 。C 60°60° ° °
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
F
.
M
。C
△BFM是等边三角形， ∠BMF=∠BAC=60°，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法4： ∵AB=AC=CB， 。 ∴∠BAC=∠ABC=60°. 延长CM到F，使MF=BM， 则∠BMF=∠BAC=60°， 。C 连结BF， B 则△BFM是等边三角形， M BM=BF， ∴∠FMB=∠FBM=60°， ∴∠ABM=∠CBF， F ∴△MAB≌△FCB， ∴MA=FC， ∴MA=MB+MC.
.
.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. 在AM 分析7：截长法 上截取AD=MB， A
MD=MC， 连结DC. ∠DMC=60°， MD=MC=DC， MC=DC， △MCB≌△DCA， △MC？≌△DC？ B CB=CA， ∠MBC=∠DAC， BM=AD，
。
.
B
.
60° ° 。C 60°60° ° °
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
。
.
B来自百度文库
.
60°60° ° °
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法8： MA上截取MH=MB， 在 连结BH. ∵AB=CB=BC，∴∠ACB=∠ABC=60°. A ∵∠AMB=∠ACB=60°， 。 ∴△HBM是等边三角形， H ∴∠HBM=60°=∠ABC， ∴∠ABH=∠CBM. ∵∠BAH=∠BCM， 。C B ∴△AHB≌△CMB， M ∴ AH=MC， ∴MA=MH+AH=MB+MC.
.
。C
M
T
.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法3： 延长MC到T，使CT=BM， 则∠ACT=∠ABM， A 。 连结AT. ∵AC=AB=BC， ∴△MAB≌△TAC， ∠ABC=60°， 。C B ∴MA=TA. M ∵∠AMC=∠ABC=60°，
.
T
.
∴MA=MT=AT， ∴MA=MB+MC.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ° A 延长 分析4：补短法 CM到F， ∠BAC=60°，
。 使MF=BM， 连结BF. △BFM是等边三角形， MA=FC，
.
△MA？≌△FC？ △MAB≌△FCB， B AB=CB， ∠ABM=∠CBF， BM=BF，