华师大版八年级数学上培优状元笔记11.1平方根与立方根(含答案)
八年级华数上 11.1 平方根与立方根
11.1平方根与立方根——平方根三维教学目标知识与技能：1、了解平方根的概念、开平方的概念.会用根号表示一个数的平方根.2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算.3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根.过程与方法：1、让学生经历概念形成过程，提高学生的思维水平.2、培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点.情感态度与价值观：1、创设学生熟悉的问题情景，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2、在学生已有数学经验的基础上，探求新知，让学生获得成功的快乐.3、提高学生“用数学”的意识.教学重点：会用平方根的概念求某些非负数的平方根.教学难点：对只有非负数才有平方根的理解.课堂导入1、到目前为止我们已学过哪些运算？2、一个正方形边长为5厘米，它的面积为多少？是什么运算？它的逆运算是什么呢？教学过程一、创设问题情景学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，她想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果画布的面积依次改为：9、16、36……那么相应的边长是多少？二、探索归纳(1) 平方根的概念2若，则x叫做a的平方根.ax(2) 举例：∵2552=∴5是25的一个平方根问：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？(3)总结求一个数平方根的方法.三、举例应用例1 求100的平方根.解 因为10＝100， （－10）＝100，除了10和－10以外，任何数的平方22都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.例2 求36的平方根.解：因为所以36的平方根为±6.,36)6(2=±四、试一试（1） 144的平方根是什么?（2） 0的平方根是什么?（3） －4有没有平方根?为什么?答案：（1） （3）－4没有平方根，因为没有一个12144±=±00)2(=±、数的平方是－4.请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.通过以上题目的解答，你发现了什么？概括：一个正数必定有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.五、课堂练习1、平方得81的数是 ，因此81的平方根是 .2、平方根是它本身的数是 .3、如果-b 是a 的平方根，那么A 、；B 、 ；C 、；D 、2a b =2b a =2a b -=2b a -=4、求下列各式中的x 的值⑴ ⑵1962=x 01052=-x答案：1、±9，±9，2、03、B4、x=±16,x=±2六、课堂小结1、平方根的定义.2、平方根的性质：正数有两个平方根它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.课堂作业1、求下列各数的平方根：（1）49（2）（3）36（4）.8116()22-2、已知2a-1的一个平方根是+3,求2a-1的另一个平方根及a 的值.答案：1、（1）∵ （3）∵()4972=±()4972=±∴±7是49的平方根.∴±7是49的平方根.（2）∵ （4）∵8116942=⎪⎭⎫ ⎝⎛±()422=- ∴是的平方根. 94±8116()422=± ∴±2是的平方根.()22-2、因为一个数如果有平方根，那么它的两个平方根互为相反数.已知2a-1的一个平方根是+3，所以2a-1的另一个平方根是-3.∵2a-1= ∴ a=5()23±教学反思易错点：对平方根的意义不理解；对平方与开平方两种运算之间的互逆关系不理解.（1）在求一个正数的平方根时，容易只写正的平方根，丢掉负的平方根.（2）如果已知一个数的一个平方根，求这个数.不知道该怎么做.11.1平方根与立方根——立方根三维教学目标知识与技能：1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2、了解立方与开立方运算互为逆运算.3、能利用开立方运算求某些数的立方根.4、能用计算器求某些数的立方.过程与方法：1、创设学生熟悉的问题情景，激发学生的求知欲.2、鼓励学生积极思维，体会类比的数学方法.情感态度与价值观：1、培养学生积极思维，动口、动手能力.2、培养学生团结协作的团队精神.教学重点：会用根号表示一个数的立方根，能通过立方运算求某些数的立方根.教学难点：立方根与平方根性质的区分.课堂导入现有一个体积为216立方厘米的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？教学过程一、探索发现问题：1、这个实际问题，是个怎样的计算问题？2、你能找一个数，使这个数的立方等于216吗？3、如果，正方体的体积依次为：64，125，343，那么相应的正方体的棱长为多少？4、从这里可以抽象出一个什么数学概念？概括：立方根的概念如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.二、试一试（1）27的立方根是什么?（2） －27的立方根是什么?（3） 0的立方根是什么?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．思考：通过计算你发现了什么？（和平方根的性质比较.）概括：立方根的性质和表示方法.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.为了计算方便，数a 的立方根，记作，读作“三次根号a”，a 称为被开方数.a 三、举例应用例4求下列各数的立方根：（1）； （2） －125； （3） －0.008．278解（1） 因为（），所以323.322783=（2） 因为（－5）＝－125，所以＝－5．33125-（3）因为所以(),008.02.03-=-2.0008.03-=-例5用计算器求下列各数的立方根：（1） 1331；（2）9.263（精确到0.01）解（1） 在计算器上依次键入（，3■显示结果为11，所以＝11．31331（2）略四、课堂练习1、判断下列说法是否正确,并说明理由.（1）的立方根为 （）27832±（2） 25的平方根是5 （）（3） -64没有立方根 （）（4） -4的平方根是 -2（ ）（5） 0的平方根和立方根都是0 （）2、求下列各式的值.（1） （2） （3） （4）64643+-36427-327327102-答案：1、（1）错 （2）错（3）错 （4）错 （5）正确五、课堂小结1、什么是立方根？2、正数、0、负数的立方根有何特点？3、通过本节课的学习，有何体会？ 课堂作业1、求下列各数的立方根：（1） 0.125；（2） －；（3） 1728．64272、求下列各式的值.（1） （2）3、在哪两个整数之间?10答案：1、（1）0.5因为所以（2） （3）12125.0)5.0(3=5.0125.03=43-2、（1） （2）1.0001.03-=-54125643-=-3、因为 所以16109<<4103<<教学反思：混淆平方根与立方根的性质平方根与立方根是两个不同的概念，具有不同的性质.它们有如下区别：（1）只有非负数有平方根，而任何数都有立方根：（2）正数有两个平方根，而立方根只有一个.如果对以上区别理解不清，解题时就容易把平方根与立方根混淆起来.3001.0-312564-。
华师版八年级数学上册第11章 数的开方1 平方根
试一试
1. 144的平方根是什么？
12
2. 0的平方根是什么？
0
4
3.25
的平方根是什么？
2
5
4. -4有没有平方根？为什么？ 没有，因为一个数的平
方不可能是负数
试 一 试
（1）144的平方根是什么？
±12
（2）0的平方根是什么？
0
通过这些题
目的解答，你能
发现什么？
（3）-4有没有平方根？为什么？
平方根可以记作 a，其中a称为被开方数.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 0=0 .
根号
± a
（a是非负数，a≥
被开方数
0）
典例精析
【例2】若|x|=5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（ ）
A．8
B．-8
C．-2
D．-2或8
【详解】解：∵|x|=5，y是9的算术平方根，
∴x=±5，y=3
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
第1课时 平方根
1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一
个数的平方根、算术平方根；
2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些
非负数的算术平方根；
问题1：已知一幅正方形的油画的面积是36cm2，这幅油画的
边长是多少？
( 6 )2=25.
4
3
，
2
(4)∵(±0.7)2=0.49，
，
∴0.49的平方根为±0.7．
知识点二 算术平方根的概念
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相
反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立
华师大版八年级数学上册《11.1平方根与立方根—立方根》同步练习含答案解析
《11.1 平方根与立方根—立方根》一、选择题1．若8x3+1=0，则x为（）A．﹣ B．± C．D．﹣2．的平方根与﹣8的立方根之和为（）A．﹣4 B．0 C．﹣6或2 D．﹣4或03．如果=a，那么a是（）A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对二、填空题4．的立方根是，平方根是．5．若（x﹣1）3=125，则x= ．6．立方根等于它本身的数为．三、选择题7．若﹣1＜m＜0，且n=，则m、n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定8．﹣27的立方根与的平方根之和为（）A．0 B．6 C．0或﹣6 D．0或6四、填空题9．若x4=16，则x= ；若3n=81，则n= ．10．若，则x= ；若，则x ．11．当x 时，有意义；当x 时，有意义．12．若，则x+y= ．13．计算：+﹣+= ．五、解答题14．求下列各数的立方根（1）﹣0.001；（2）3；（3）（﹣4）3．15．求下列各式中的x的值．（1）x3﹣216=0；（2）（x+5）3=64；（3）（x+1）3=8．16．计算题（1）××3（2）×．17．若与互为相反数，求的值．18．已知=1﹣a2，求a的值．《11.1 平方根与立方根—立方根》参考答案与试题解析一、选择题1．若8x3+1=0，则x为（）A．﹣ B．± C．D．﹣【考点】立方根．【分析】先求得x3的值，然后依据立方根的性质求解即可．【解答】解：∵8x3+1=0，∴x3=﹣．∴x=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查的是立方根的性质，求得x3的值是解题的关键．2．的平方根与﹣8的立方根之和为（）A．﹣4 B．0 C．﹣6或2 D．﹣4或0【考点】立方根；平方根．【分析】先求的平方根，再求﹣8的立方根，然后求和．【解答】解：∵ =4，4的平方根为±2，﹣8的立方根为﹣2故它们的和是﹣4或0．故选D．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的定义．3．如果=a，那么a是（）A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵ =1， =﹣1， =0，∴=a，那么a是±1，0．故选：C．【点评】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．二、填空题4．的立方根是 2 ，平方根是±2．【考点】立方根；平方根；算术平方根．【分析】先根据算术平方根的定义得到=8，然后根据平方根和立方根的定义分别求出8的平方根与立方根．【解答】解：∵ =8，∴8的平方根为±2，8的立方根为=2．故答案为：2，±2．【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±，也考查了立方根的定义．5．若（x﹣1）3=125，则x= 6 ．【考点】立方根．【分析】根据立方根定义得出x﹣1=5，求出即可．【解答】解：（x﹣1）3=125=53，x﹣1=5，x=6，故答案为：6．【点评】本题考查了立方根的定义的应用，能得出方程x﹣1=5是解此题的关键．6．立方根等于它本身的数为1，﹣1，0 ．【考点】立方根．【分析】根据立方根的意义得出即可．【解答】解：立方根等于它本身的本身的数为1，﹣1，0，故答案为：1，﹣1，0．【点评】本题考查了立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．三、选择题7．若﹣1＜m＜0，且n=，则m、n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定【考点】实数大小比较．【分析】取特殊值，m=﹣，再比较即可．【解答】解：∵﹣1＜m＜0，∴取m=﹣，∴m=﹣=﹣，∵n==﹣=﹣，∴n＜m，故选A．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．8．﹣27的立方根与的平方根之和为（）A．0 B．6 C．0或﹣6 D．0或6【考点】实数的运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：±=﹣3±3，则﹣27的立方根与的平方根之和为为0或﹣6．故选C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、填空题9．若x4=16，则x= ±2 ；若3n=81，则n= 4 ．【考点】有理数的乘方．【专题】计算题．【分析】原式利用乘方的意义计算即可确定出x的值；根据已知等式，利用乘方的意义确定出n的值即可．【解答】解：若x4=16，则x=±2；若3n=81，则n=4．故答案为：±2；4．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．10．若，则x= 1或0 ；若，则x ≤0 ．【考点】立方根；算术平方根．【分析】根据立方根和算术平方根的定义计算即可．【解答】解：∵，∴x=1或0，∵，∴x≤0，故答案为：1或0；≤0．【点评】本题主要考查立方根和算术平方根的知识点，比较简单．11．当x ≥时，有意义；当x 取任意实数时，有意义．【考点】二次根式有意义的条件；立方根．【专题】常规题型．【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可；根据立方根的被开方数可以是任意实数解答．【解答】解：根据题意得，3x﹣1≥0，解得x≥；5x+2可以取任意实数，∴x取任意实数．故答案为：≥，取任意实数．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，以及任意实数都有立方根的性质，需熟练掌握．12．若，则x+y= 1 ．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【专题】计算题．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2，∴x+y=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．13．计算：+﹣+= ﹣．【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=×+×﹣2+2=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五、解答题14．求下列各数的立方根（1）﹣0.001；（2）3；（3）（﹣4）3．【考点】立方根．【分析】根据立方根的计算方法可以解答本题．【解答】解：（1）；（2）；（3）．【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法．15．求下列各式中的x的值．（1）x3﹣216=0；（2）（x+5）3=64；（3）（x+1）3=8．【考点】立方根．【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程．【解答】解：（1）x3﹣216=0x3=216x=x=6；（2）（x+5）3=64x+5=x+5=4x=﹣1；（3）（x+1）3=8x+1=x+1=2x=2．【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法．16．计算题（1）××3（2）×．【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；（2）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=10×（﹣2）×3×0.7=﹣42；（2）原式=60×=240．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若与互为相反数，求的值．【考点】立方根；相反数．【分析】根据相反数得出+=0，得到x与y的关系，再代入求出即可．【解答】解：∵与互为相反数，∴+=0，∴1﹣2x+3y﹣2=0，1+2x=3y，∴==3．【点评】本题考查了立方根，代数式的值，相反数的应用，能求出x与y的关系是解此题的关键．18．已知=1﹣a2，求a的值．【考点】立方根．【分析】分三种情况：1﹣a2=﹣1，1﹣a2=﹣0，1﹣a2=1，进行讨论求解即可．【解答】解：依题意有1﹣a2=﹣1，解得a=±；1﹣a2=0，解得a=±1；1﹣a2=1，解得a=0．故a的值是=±，a=±1，a=0．【点评】此题考查了立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．注意分类思想的应用．。
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4. 解：∵ a 1 0 ， b2 6b 9 (b 3)2 0 ，且 a 1 b2 6b 9 0 ，
∴ a 1 0 ， (b 3)2 0 ，
∴ a 1 ， b 3 .由三角形三边关系得 a b c a b ，
∴2 c 4 .
m
m 0
5. 解：同意小刚的说法.理由：在
2013
2013
（2）用你发现的规律说明 3 2013
与20133
的关系.
20133 1
20133 1
状元笔记：
[知识要点]
1. 平方根与立方根
1 一般地，如果 x2 a ，那么 x 就叫做 a 的平方根.
2 一个正数 a 的正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根.
3 一般地，如果 x3 a ，那么 x 就叫做 a 的立方根.
a 9 0
2.
解：根据算术平方根的意义，得 9
a
，
0
∴ a 9 ， b 7 ， ∴ a b 16 . 故 a b 的平方根是4 .
3. 解：根据题意得 x y 1
0 ，即x y 1 0 ，解得x 2 .
x y 5
x y 50
y 3
∴ 3x y 3 2 3 9 ，
∴ 3x y 的算术平方根是 3.
2013
2013
（2） 32013
20133
.
20133 1
20133 1
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
华东师大版八年级数学上册第11章 11.1.1平方根 同步测试题(含答案)
华东师大版八年级数学上册第11章 11.1.1平方根同步测试题一、选择题1.4的平方根是( )A.±2B.－2C.2D.± 42.425的平方根是±25，这句话用式子表示为( )A.425＝±25B.±425＝±25C.425＝25D.－425＝－253.121的算术平方根是( )A.11B.－11C.±11D.±1214.若a＝2，则a的值为( )A.－4B.4C.－2D. 25.下列各数只有一个平方根的是( )A.5B.－2C.0D.－(－3)6.下列说法正确的是(B)A.16的平方根是4B.4是16的平方根C.81的平方根是－9D.0没有平方根7.下列各数没有算术平方根的是( )A.0B.－1C.10D.1028.设x＝15，则x的取值范围是( )A.2＜x＜3B.3＜x＜4C.4＜x＜5D.无法确定9.0.49的算术平方根的相反数是( )A.0.7B.－0.7C.±0.7D.010.16的算术平方根是( )A.2B.4C.±2D.±411.估计10＋1的值在( )A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间12.一个正数的两个不同的平方根是a＋3和2a－6，则这个正数是( )A.1B.4C.9D.16二、填空题13.9的平方根是_______.14.计算：16＝_______.15.某数的一个平方根是－5，则这个数为_______. 16.在表格中填写下列各数的平方根和算术平方根：17.我们可以利用计算器求一个正数a 的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：a ＝.小明按键输入16＝后显示的结果为4，则他按键输入1600＝后显示的结果为_______.18.81的平方根是±3，算术平方根是_______.19.计算：（－6）2＝_______.，－（－7）2＝_______.，±52＝_______. 20.观察：已知 5.217≈2.284，521.7≈22.84，填空：(1)0.052 17≈_______.，52 170≈_______.；(2)若x ＝0.022 84，则x≈_______.. 三、解答题21.写出下列各数的平方根：(1)36; (2)0；(3)1.69; (4)196225.22.求下列各式的值：(1)36； (2)－81；(3)125.23.用计算器计算(精确到0.001)：(1)800； (2)0.58.24.计算：(1)(－2)2＋(－3)×2－9；(2)1381＋（－5）2.25.求下列各式中的x：(1)4x2－49＝0；(2)9(2x－1)2＝36.26.已知2a－1的算术平方根是3，3a＋b－1的平方根是±4，c是0.09的10倍，求a＋2b －c2的平方根.27.已知y＝x－2＋2－x＋5，求2x＋3y的算术平方根.参考答案一、选择题1.4的平方根是(A)A.±2B.－2C.2D.± 42.425的平方根是±25，这句话用式子表示为(B)A.425＝±25B.±425＝±25C.425＝25D.－425＝－253.121的算术平方根是(A)A.11B.－11C.±11D.±1214.若a＝2，则a的值为(B)A.－4B.4C.－2D. 25.下列各数只有一个平方根的是(C)A.5B.－2C.0D.－(－3)6.下列说法正确的是(B)A.16的平方根是4B.4是16的平方根C.81的平方根是－9D.0没有平方根7.下列各数没有算术平方根的是(B)A.0B.－1C.10D.1028.设x＝15，则x的取值范围是(B)A.2＜x＜3B.3＜x＜4C.4＜x＜5D.无法确定9.0.49的算术平方根的相反数是(B)A.0.7B.－0.7C.±0.7D.010.16的算术平方根是(A)A.2B.4C.±2D.±411.估计10＋1的值在(B)A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间12.一个正数的两个不同的平方根是a＋3和2a－6，则这个正数是(D)A.1B.4C.9D.16二、填空题13.9的平方根是±3.14.计算：16＝4.15.某数的一个平方根是－5，则这个数为25.16.在表格中填写下列各数的平方根和算术平方根：17.我们可以利用计算器求一个正数a 的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：a ＝.小明按键输入16＝后显示的结果为4，则他按键输入1600＝后显示的结果为40.18.81的平方根是±3，算术平方根是3.19.计算：（－6）2＝6，－（－7）2＝－7，±52＝±5. 20.观察：已知 5.217≈2.284，521.7≈22.84，填空：(1)0.052 17≈0.228_4，52 170≈228.4；(2)若x ＝0.022 84，则x≈0.000_521_7. 三、解答题21.写出下列各数的平方根：(1)36; (2)0； 解：±36＝±6. 解：±0＝0.(3)1.69; (4)196225.解：± 1.69＝±1.3. 解：±196225＝±1415. 22.求下列各式的值：(1)36； (2)－81； 解：原式＝6. 解：原式＝－9.(3)125. 解：原式＝15.23.用计算器计算(精确到0.001)：(1)800； (2)0.58. 解：28.284. 解：0.762.24.计算：(1)(－2)2＋(－3)×2－9； 解：原式＝4－6－3＝－5.(2)1381＋（－5）2. 解：原式＝13×9＋5＝3＋5＝8.25.求下列各式中的x ：(1)4x 2－49＝0；解： 4x 2＝49，x 2＝494， x ＝±72.(2)9(2x －1)2＝36.解：(2x －1)2＝4，2x －1＝±2，2x －1＝2或2x －1＝－2，∴x ＝32或x ＝－12.26.已知2a －1的算术平方根是3，3a ＋b －1的平方根是±4，c 是0.09的10倍，求a ＋2b －c 2的平方根.解：由题意，得2a －1＝9，3a ＋b －1＝16，c ＝0.3×10＝3.解得a ＝5，b ＝2，c ＝3.∴a＋2b－c2＝0.∴a＋2b－c2的平方根是0.27.已知y＝x－2＋2－x＋5，求2x＋3y的算术平方根. 解：∵负数没有平方根，∴x－2≥0，2－x≥0.∴x＝2.∴y＝5.∴2x＋3y＝19.∴2x＋3y的算术平方根是19.。
华师版八年级数学上册第11章2 立方根
知3－练
例 5 用计算器求下列各数的立方根： (1)343；(2)100(精确到0.01)； (3)－13.27(精确到0.0 01). 解题秘方：根据计算器求立方根的步骤进行按键 操作.
解：(1)依次按键
3
显示：7. 所以 343＝7.
(2)依次按键
，
3
显示：4.641 588 834. 所以 100 ≈4.64.
(3)0.216；
因为0.63＝0.216，所以0.216的立方根是0.6.
(4)－5；
3
解：－5 的立方根是－ 5.
(5)41277. 因为 41277＝12275，533＝12275， 所以 41277的立方根是53.
知1－练
知1－练
例 2 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求 x2＋y2的算术平方根. 解题秘方：一个数等于它的平方根的平方，等于 它的立方根的立方.
3-1. 求下列各式的值：
知2－练
3
(1)－
－ 18；
3
解：－ －18＝－－12＝12.
3
(2)
1＋ 19215；
3
3
1＋19215＝ 211265＝65.
3
3
3
(3) 24×45×200. 24×45×200＝ 23×33×103＝60.
知2－练
例 4 已知3 3y－1和3 1－2x互为相反数，且x ≠ 0，y ≠ 0，
解：由题意得(a－3)＋(a－11)＝0，所以 2a＝14，即 a＝7. 因为 a＋2b－3 的立方根是 2，所以 a＋2b－3＝23＝8，即 a＋2b＝11.因为 a＝7，所以 b＝2.所以 2a＋b＝16. 所以 2a＋b 的算术平方根是 1. 性质 (1)正数的立方根是正数；
华东师大版数学八年级上册11.1平方根与立方根学习要点
平方根与立方根学习要点一.算术平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记为a 读作“根号a 〞.特别地，规定0的算术平方根是0，即00=.2.算术平方根的性质：算术平方根a 具有双重非负性：⑴被开方数a 是非负数；⑵算术平方根a 本身是非负数.例1 6449的算术平方根是 . 分析：因为6449)87(2=，所以6449的算术平方根是87，即876449=. 二.平方根1.平方根的概念：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的平方根〔也叫二次方根〕.正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a 〞，另一个是“-a 〞，这两个平方根合起来可记作“±a 〞，读作“正、负根号a 〞.2.平方根的性质⑴一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；⑵0只有一个平方根，它是0本身；⑶负数没有平方根.3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数. 例2 9的平方根是A.3B.-3C.81D.±3分析：因为〔±3〕2=9，所以9的平方根是±3，即39±=±.故应选D.三.立方根1.立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 叫做a 的立方根〔也叫三次方根〕.2.立方根的表示方法：数a 立方根记为“3a 〞，读作“三次根号a 〞，其中a是被开方数，这里的根指数“3”不能省略.3.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.开立方运算与立方运算是互逆运算.4.立方根的性质：⑴正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；⑵立方根的符号与被开方数的符号一致；⑶a a a a a a ==-=-333333)(,,.例3 求以下各数的立方根：⑴-27；⑵1258；⑶0.216; ⑷-5 分析：⑴因为27)3(3-=-，所以-27的立方根是-3，即3273-=-； ⑵因为1258)52(3=，所以1258的立方根是52，即5212583=； ⑶因为216.0)6.0(3=，所以的立方根是，即6.0216.03=；⑷-5的立方根是35-例4 64的平方根的立方根是 .分析：此题包含两层含义：⑴64的平方根，即864±=±；⑵±8的立方根，28,2833-=-=.故64的平方根的立方根是±2.。
华师大数学八年级上《11.1.2立方根》同步练习含答案解析
新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.2 立方根同步练习一、选择题1、64的立方根是（）A、4B、±4C、8D、±82、若a是的平方根，则=（）A、﹣3B、C、或D、3或﹣33、如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（）A、±1B、0C、1D、0和14、用计算器计算某个运算式，若正确的按键顺序是，则此运算式应是（）A、43B、34C、D、5、下列语句正确的是（）A、如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B、一个数的立方根不是正数就是负数C、负数没有立方根D、一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零6、下列命题中正确的是（）①0.027的立方根是0.3；②不可能是负数；③如果a是b的立方根，那么ab≥0；④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．A、①③B、②④C、①④D、③④7、已知x没有平方根，且|x|=125，则x的立方根为（）A、25B、﹣25C、±5D、﹣58、下列计算或说法：①±3都是27的立方根；②=a；③的立方根是2；④=±3，其中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个9、若，则x和y的关系是（）A、x=y=0B、x和y互为相反数C、x和y相等D、不能确定10、下列说法中，正确的是（）A、一个数的立方根有两个，它们互为相反数B、负数没有立方根C、如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D、一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同11、若a2=36，b3=8，则a+b的值是（）A、8或﹣4B、+8或﹣8C、﹣8或﹣4D、+4或﹣412、﹣a2的立方根的值一定为（）A、非正数B、负数C、正数D、非负数13、下列说法正确的是（）A、﹣0.064的立方根是0.4B、﹣9的平方根是±3C、16的立方根是D、0.01的立方根是0.00000114、将一个大的正方体木块锯成n个同样大小的小正方体木块，其中n的取值不可能的是（）A、216B、343C、25D、6415、若是m+n+3的算术平方根，是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（）A、1B、-1C、0D、无法确定二、填空题16、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________.17、已知1.53=3.375，则=________．18、若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是________．19、在数集上定义运算a﹡b ，规则是：当a≥b时，a﹡b=b3；当a＜b时，a﹡b=b2．根据这个规则，方程4﹡x=64的解是________．三、解答题20、求下列各式的值：(1)．(2)(3)21、某居民生活小区需要建一个大型的球形储水罐，需储水13.5立方米，那么这个球罐的半径r为多少米（球的体积V= ，π取3.14，结果精确到0.1米）？22、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+9的立方根是3，求2（a+b）的平方根．23、我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；(2)若与互为相反数，求的值．24、数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：(1)103=1000，1003=1000000，你能确定59319的立方根是几位数吗？答：________位数．(2)由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？答：________(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？答：________．因此59319的立方根是________．(4)现在换一个数185193，你能按这种方法说出它的立方根吗？答：①它的立方根是________位数，②它的立方根的个位数是________，③它的立方根的十位数是________，④185193的立方根是________．答案解析部分一、<h3 >选择题</h3>1、【答案】A【考点】立方根【解析】【解答】∵43=64，∴64的立方根等于4．【分析】如果一个数x的立方等于a ，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．2、【答案】C【考点】平方根，立方根【解析】解答：∵，∴a=±3，∴= ，或= ．分析：本题考查平方根和立方根的定义，记住一个正数的平方根有两个；一个数的立方根只有一个．3、【答案】B【考点】立方根【解析】【解答】0的平方根和立方根相同．【分析】根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是0．4、【答案】C【考点】立方根，计算器—数的开方【解析】解答：根据符号可知，求的是4的立方根，选C.分析：此题考查对计算器的使用.5、【答案】D【考点】立方根【解析】【解答】A：0，-1，1的立方根都是它们本身；B：0的立方根是0；C：负数有立方根；D正确. 【分析】此题考查立方根的定义及性质判定；注意区别立方根与平方根．6、【答案】A【考点】平方根，立方根【解析】解答：①0.33=0.027，故说法正确；②当a＜0时，是负数，故说法错误；③如果a是b的立方根，a ，b同号，∴ab≥0，故说法正确；④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故说法错误．所以①③正确.分析：根据立方根和平方根的定义.7、【答案】D【考点】立方根【解析】【解答】由题意得，x为负数，又∵|x|=125，∴x=﹣125，故可得x的立方根为：﹣5.【分析】根据x没有平方根可得出x为负数，再由|x|=125，可得出x的值，继而可求出其立方根．8、【答案】B【考点】立方根【解析】解答：∵33=27，，∴3是27的立方根，①错误；②=a正确，表示a3的立方根是a ，正确；③的立方根是，错误；④=±3，正确；故②④正确.分析：根据立方根的定义和性质去判断．9、【答案】B【考点】立方根，等式的性质【解析】解答：∵，∴，等式两同时立方得，x=﹣y ，即x、y互为相反数，故选B．分析：运用等式的性质，先进行移项，再立方即可得到x与y之间的关系．10、【答案】D【考点】立方根【解析】解答：A．一个数的立方根只有1个，故选项错误；B．负数有立方根，故选项错误；C．一个负数有立方根，负数没有平方根，故选项错误；D．一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同是正确的，故选项正确.分析：立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a ，那么x叫做a的立方根．记作：．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．依此即可求解．11、【答案】A【考点】平方根，立方根【解析】【解答】a2=36，得a=6或a=﹣6；b3=8，得b=2；故a+b=8或﹣4．【分析】根据已知可得a=6或﹣6，b=2，所以a+b=8或﹣4．．12、【答案】A【考点】立方根【解析】【解答】﹣a2是一个非正数，则它的立方根的值一定为非正数，故选A.【分析】利用立方根的性质：一个数的立方根与它本身同号．13、【答案】C【考点】立方根【解析】解答：A、﹣0.064的立方根是﹣0.4，故本选项错误；B、﹣9没有平方根，故本选项错误；C、16的立方根是，故本选项正确；D、0.000000000000000001的立方根是0.000001，故本选项错误；故选C．分析：根据立方根、平方根的定义逐个进行判断即可．14、【答案】C【考点】立方根【解析】解答：，，不是整数，，不可能是C．分析：求出每个数字的立方根是解题的关键．15、【答案】B【考点】算术平方根，立方根，二元一次方程组【解析】解答：∵是m+n+3的算术平方根，∴m-n=2，∵是m+2n的立方根，∴m-2n+3=3.∴解得∴，，∴B-A=-1.分析：根据算术平方根和立方根的定义，可知m-n=2和m-2n+3=3，从而解出m ，n ．二、<h3 >填空题</h3>16、【答案】±1，0【考点】立方根【解析】【解答】∵立方根是它本身有3个，分别是±1，0．【分析】如果一个数x的立方等于a ，那么x是a的立方根，所以根据立方根的对应即可求解．18、【答案】﹣150【考点】立方根【解析】【解答】∵1.53=3.375，∴(150)3=3375000，∴=-150．【分析】根据立方根的定义，被开方数小数点移动三位，立方根的小数点移动一位解答．19、【答案】10，12，14【考点】平方根，立方根【解析】【解答】∵2的立方是8，4的平方是16，所以符合题意的偶数是10，12，14．【分析】首先根据立方根平方根的定义分别求出2的立方，4的平方，然后就可以解决问题．20、【答案】4或8【考点】平方根，立方根【解析】【解答】∵当a≥b时，a﹡b=b3；当a＜b时，a﹡b=b2．∴4﹡x=64，当4≥x ，∴x3=64，∴x=4，当4＜x ，∴x2=64，∴x=8．故答案为：4或8．【分析】根据已知当a≥b时，a﹡b=b3；当a＜b时，a﹡b=b2．运用规律求出4﹡x=64即可．三、<h3 >解答题</h3>21、【答案】（1）解：；（2）解：；（3）解：.【考点】立方根【解析】【分析】根据立方根的定义求解即可．22、【答案】解：根据球的体积公式，得=13.5，解得r≈1.5．故这个球罐的半径r为1.5米．【考点】立方根【解析】【分析】利用球体的体积公式和立方根的定义计算即可.23、【答案】解：由已知得，2a﹣1=9解得：a=5，又3a+b+9=27，b=3，2（a+b）=2×（3+5）=16，∴2（a+b）的平方根是：± =±4．【考点】平方根，立方根【解析】【分析】根据平方根的定义求出a的值，再根据立方根的定义求出b的值，最后计算2（a+b）的值，即可解答.24、【答案】（1）解：∵3+（﹣3）=0，而且33=27，（﹣3）3=﹣27，有27﹣27=0，∴结论成立；∴“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的．（2）解：由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5=0，∴x=4，∴=1﹣2=﹣1．【考点】平方根，立方根，解一元一次方程【解析】【分析】（1）题是一个开放题，举一个符合题意的即可；（2）运用（1）的结论可得1﹣2x与3x﹣5互为相反数，即而算出x的值即可．25、【答案】（1）2（2）9（3）3；39（4）2；7；5；57【考点】立方根【解析】【解答】（1）103=1000，1003=1000000，则59319的立方根是2位数；（2）由59319的个位数是9，因为93=729，则59319的立方根的个位数是9．（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此你能确定59319的立方根的十位数是几3．因此59319的立方根是39．（4）∵103=1000，1003=1000000，1000＜185193＜1000000，∴185193的立方根是一个两位数，∵185193的最后一位是3，∴它的立方根的个位数是7，185193去掉后3位，得到185，∵53＜185＜63，∴立方根的十位数是5，则立方根一定是：57．【分析】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．。
新华东师大版八年级数学上册11.1.1、平方根
3
是x的一个平方根，那么x的另一个平方
3 ）；
0 ）； ），算术平方根等于 0，1
(4)平方根等于它本身的数是（ 它本身的数是（
(5) 一个数的平方等于 0.01 ，这个数是（ ±0.1 ）；
2 (6) （ 5） 5
(7)求下列各数的平方根：0.81， 0， 81 ±0.9 ，0， ± 3
x
问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥 很高兴，他想裁出一块面积为25cm2的正
5cm
方形画布，画上自己的得意之作参加比
赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正方形 的面积 边长
1
9
16
般地，如果一个数X的平方等于a，即X2=a那
么这个数X叫做a的平方根。
例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就 说3和-3是9的平方根。也可以说:9的平方 根是±3.
所以 0.25 的平方根是 0.5， 0.25 0.5 即
求下列各式的值：
(1) 144
(2) 0.81 （3）±
121 196
解: (1)因为 2 144， 所以 144 12 12
(2)因为0.92 0.81， 所以 0.81 0.9
121 121 11 11 (3)因为 ， 所以 196 14 14 196
求下列各数的平方根
1)
100
9 2) 16
3) 0.25
解: 1)
2)
3) 因为( 0.5)2 = 0.25,
9 的平方根是 3 , 即 9 3 所以 4 16 4 16
即 所以100的平方根是 10， 100 10 3 2 9 因为( ) = , 4 16
华师大版初中数学八年级上册《11.1 平方根与立方根》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级上学期《11.1 平方根与立方根》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．9的平方根是（）A．3B．C．±3D．2．9的平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．±63．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．±4．16的算术平方根是（）A．±2B．4C．﹣2D．165．计算的结果是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．46．爸爸为颖颖买了一个密码箱，并告诉其密码（密码为自然数）是1、2、4、6、8、9六个数中的三个数的算术平方根，则这个密码箱的密码可能是（）A．123B．189C．169D．2487．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0B．C．﹣1D．18．若=0，则xy的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣29．有下列说法：（1）﹣3是的平方根；（2）7是（﹣7）2的算术平方根；（3）27的立方根是±3；（4）1的平方根是±1；（5）0没有算术平方根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列运算中，正确的是（）A．=24B．=C．﹣=﹣D．=±211．若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则a+b的立方根为（）A．0B．2C．0或2D．0或﹣2 12．+=0，则x的值是（）A．﹣3B．﹣1C．D．无选项13．用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．12.17B．±1.868C．1.868D．﹣1.868 14．借助计算器可求得=555，…，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想=（）A．B．C．D．15．在计算器上按键显示的结果是（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1二．填空题（共10小题）16．一个正数的平方根为﹣m﹣3和2m﹣3，则这个数为．17．已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣3和8+3m，则（﹣m）2018的值为．18．下列说法正确的是（只需填写编号）①的算术平方根是5②25的算术平方根是±5③的平方根是5④25的平方根是±519．已知=x，=3，则x﹣y=．20．已知+|x+y﹣2|=0，则x+y=．21．一个数的平方根是2x、x﹣12，则这个数的立方根是．22．若x的立方根是﹣，则x=．23．36的平方根是；的算术平方根是；﹣8的立方根是．24．估算：≈．（精确到0.1）25．用计算器计算：≈．（结果保留三个有效数字）三．解答题（共8小题）26．已知一个正数的两个不同平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16=0的解．27．已知一个正数x的平方根是3a﹣1与a﹣7，求a和x的值．28．一个圆柱的体积为64立方米，高为8米，求这个圆柱的底面半径和侧面积？29．正方形的边长为acm，它的面积与长为96cm、宽为12cm的长方形的面积相等，求a的值．30．求满足下列等式中的x的值：（1）（x+1）2﹣4=0；（2）（x+1）3=27．31．如果一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，求出这个正数的立方根．32．用计算器计算：+4×（精确到0.001）33．计算：（1）π﹣2（精确到0.01）；（2）﹣+（精确到0.01）．华师大新版八年级上学期《11.1 平方根与立方根》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．9的平方根是（）A．3B．C．±3D．【分析】依据平方根的定义求解即可．【解答】解：9的平方根是±3．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是（）A．3B．﹣3C．±3D．±6【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3；故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．±【分析】根据平方根的定义求解即可．【解答】解：4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．4．16的算术平方根是（）A．±2B．4C．﹣2D．16【分析】16的算术平方根就是平方是16的非负数，据此即可确定．【解答】解：16的算术平方根是4．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，理解定义是关键．5．计算的结果是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出计算的结果是多少即可．【解答】解：=2．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．6．爸爸为颖颖买了一个密码箱，并告诉其密码（密码为自然数）是1、2、4、6、8、9六个数中的三个数的算术平方根，则这个密码箱的密码可能是（）A．123B．189C．169D．248【分析】根据算术平方根的定义确定出这三个数，然后求解即可．【解答】解：∵密码是1、2、4、6、8、9六个数中的三个数的算术平方根，∴这三个数为1、4、9，∴它们的算术平方根分别为1、2、3，∴这个密码箱的密码可能是123．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，熟记概念并判断出这三个数是解题的关键．7．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0B．C．﹣1D．1【分析】根据2a+1≥0，求出当式子的值取最小值时，a的取值为多少即可．【解答】解：∵2a+1≥0，∴当式子的值取最小值时，2a+1=0，∴a的取值为﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根的非负性质的应用，要熟练掌握．8．若=0，则xy的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则xy=2．故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．9．有下列说法：（1）﹣3是的平方根；（2）7是（﹣7）2的算术平方根；（3）27的立方根是±3；（4）1的平方根是±1；（5）0没有算术平方根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）﹣3是的平方根，（1）正确；（2）7是（﹣7）2的算术平方根，（2）正确；（3）27的立方根是3，（3）错误；（4）1的平方根是±1，（4）正确；（5）0的算术平方根是0，（5）错误；故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根，本题属于基础题型．10．下列运算中，正确的是（）A．=24B．=C．﹣=﹣D．=±2【分析】依据算术平方根的性质、立方根的性质求解即可．【解答】解：==4，故A错误；=，3==，故B错误；﹣=﹣，故C正确；=2，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．11．若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则a+b的立方根为（）A．0B．2C．0或2D．0或﹣2【分析】根据立方根与平方根的概念即可求出答案．【解答】解：∵（﹣4）2=16，∴a=±4，∵b的一个平方根是2，∴b=4，当a=4时，∴a+b=8，∴8的立方根是2，当a=﹣4时，∴a+b=0，∴0的立方根是0，故选：C．【点评】本题考查立方根与平方根的概念，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的概念，本题属于基础题型．12．+=0，则x的值是（）A．﹣3B．﹣1C．D．无选项【分析】根据题意，对原方程变形为=﹣，即可得到有2x﹣1=﹣5x ﹣8，解方程即可得出x的值．【解答】解：+=0，即=﹣，故有2x﹣1=﹣5x﹣8解之得x=﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查的是对立方根在解方程中的应用，要求学生能够熟练运用．13．用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．12.17B．±1.868C．1.868D．﹣1.868【分析】此题首先熟悉开平方的按键顺序，然后即可利用计算器求平方根，并保留四个有效数字．【解答】解：利用计算器开方求=1.868．故选：C．【点评】此题主要考查了利用计算器求算术平方根，注意有效数字的定义：在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到末位数止，所有的数字，都叫这个近似数字的有效数字．14．借助计算器可求得=555，…，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想=（）A．B．C．D．【分析】当根式内的两个平方和的底数为1位数时，结果为5，当根式内的两个平方和的底数为2位数时，结果为55，当根式内的两个平方和的底数为3位数时，结果为555，当根式内的两个平方和的底数为2016位数时，结果为2016个5．【解答】解：∵=5，=55=555，…，∴=．故选：D．【点评】此题主要考查了利用计算器进行数的开方，解题时先求出较简单的数，然后找出规律，推理出较大数的结果．15．在计算器上按键显示的结果是（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1【分析】首先应该熟悉按键顺序，然后即可熟练应用计算器解决问题．【解答】解：在计算器上依次按键转化为算式为﹣7=；计算可得结果为﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查了利用计算器计算结果，要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．二．填空题（共10小题）16．一个正数的平方根为﹣m﹣3和2m﹣3，则这个数为81．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，即可得到一个关于x的方程，即可求得x，进而求得所求的正数．【解答】解：根据题意得：（﹣m﹣3）+（2m﹣3）=0，解得：m=6，则这个数是：（﹣3﹣6）2=81．故答案是：81．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．17．已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣3和8+3m，则（﹣m）2018的值为1．【分析】根据题意得出方程2m﹣3+8+3m=0，求出m，最后，再代入计算即可．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣3和8+3m，∴2m﹣3+8+3m=0，解得：m=﹣1，∴（﹣m）2018=12018=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．18．下列说法正确的是④（只需填写编号）①的算术平方根是5②25的算术平方根是±5③的平方根是5④25的平方根是±5【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别判断得出答案．【解答】解：①=5的算术平方根是，故此选项错误；②25的算术平方根是5，故此选项错误；③=5的平方根是±，故此选项错误；，④25的平方根是±5，正确．故答案为：④．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根，正确把握相关定义是解题关键．19．已知=x，=3，则x﹣y=6．【分析】根据算术平方根的概念分别求出x、y，计算即可．【解答】解：=7，∴x=7，=3，=1，y=1，则x﹣y=7﹣1=6，故答案为：6．【点评】本题考查的是算术平方根的概念，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．20．已知+|x+y﹣2|=0，则x+y=2．【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入可得答案．【解答】解：∵+|x+y﹣2|=0，∴x﹣1=0且x+y﹣2=0，解得：x=1、y=1，则x+y=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根和绝对值的非负性．21．一个数的平方根是2x、x﹣12，则这个数的立方根是4．【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出x的值，确定出这个数，进而求出立方根即可．【解答】解：根据题意得：2x+x﹣12=0，解得：x=4，则这个数为64，立方根是4，故答案为：4【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．22．若x的立方根是﹣，则x=﹣．【分析】根据立方根的定义得出x=（﹣）3，求出即可．【解答】解：∵x的立方根是﹣，∴x=（﹣）3=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了立方根的应用，主要考查学生的计算能力．23．36的平方根是+6，﹣6；的算术平方根是2；﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根，平方根，以及算术平方根定义计算即可求出值．【解答】解：36的平方根是+6，﹣6；的算术平方根是2；﹣8的立方根是﹣2，故答案为：+6，﹣6；2；﹣2【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．24．估算：≈ 5.1．（精确到0.1）【分析】首先熟悉计算器的求算术平方根的键，然后即可利用计算器求出结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数即可．【解答】解：≈5.1．故答案为：5.1．【点评】本题主要考查了无理数的估算，关键是把估算的数保留到0.1是本题的关键．25．用计算器计算：≈﹣2.56．（结果保留三个有效数字）【分析】首先利用计算器进行计算，然后再四舍五入即可．【解答】解：原式=﹣3.142≈﹣2.56．故答案为：﹣2.56．【点评】本题主要考查的是计算器﹣数的开方、近似数字和有效数字，利用计算器求得算式的值是解题的关键．三．解答题（共8小题）26．已知一个正数的两个不同平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16=0的解．【分析】（1）、（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答．【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9=0，解得，a=1；（2）x2﹣16=0x2=16x=±4．【点评】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，27．已知一个正数x的平方根是3a﹣1与a﹣7，求a和x的值．【分析】根据平方根的性质可得3a﹣1+a﹣7=0，解出a的值，进而可得3a﹣1的值，从而可得x的值．【解答】解：由题意得：3a﹣1+a﹣7=0，解得：a=2，则3a﹣1=5，x=52=25，答：a的值为2，x的值为25．【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．28．一个圆柱的体积为64立方米，高为8米，求这个圆柱的底面半径和侧面积？【分析】因为圆柱的体积为64立方米，即πr2h=64，已知高为8米，可求得圆柱的底面半径，根据侧面积公式为S=2πrh，即可求得侧面积．【解答】解：V=πr2h=64立方米∵h=8米∴r2===（米）∴r=（米）S=2πrh=2×π××8=32（平方米）∴圆柱的底面半径为米，侧面积32平方米．【点评】本题主要考查了圆柱的体积和侧面积公式，熟练掌握公式是解题的关键．29．正方形的边长为acm，它的面积与长为96cm、宽为12cm的长方形的面积相等，求a的值．【分析】根据题意列出等式a2=96×12，利用平方根的定义求解可得．【解答】解：根据题意，得：a2=96×12，解得：a=±24，∵a为正数，∴a=24．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义．30．求满足下列等式中的x的值：（1）（x+1）2﹣4=0；（2）（x+1）3=27．【分析】（1）根据平方根的定义，求出x的值即可；（2）根据立方根的定义求出x的值即可；【解答】解：（1）∵（x+1）2=4，∴x+1=±2，∴x=1或﹣3；（2）∵（x+1）3=27，∴x+1=3，∴x=2．【点评】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根的性质，属于中考常考题型．31．如果一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，求出这个正数的立方根．【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得出关于a的方程，解出即可．【解答】解：由题意知a+1+2a﹣22=0，解得：a=7，则a+1=8，∴这个正数为64，∴这个正数的立方根为4．【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，注意掌握一个正数的两个平方根互为相反数．32．用计算器计算：+4×（精确到0.001）【分析】首先用计算器分别求出、的值各是多少；然后计算乘法和加法，求出算式精确到0.001的近似值是多少即可．【解答】解：+4×≈1.8171+4×1.4142=1.8171+5.6568=7.4739≈7.474【点评】此题主要考查了计算器﹣数的开方问题，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出、的值各是多少．33．计算：（1）π﹣2（精确到0.01）；（2）﹣+（精确到0.01）．【分析】（1）先求得的近似值，然后再进行计算，最后求近似值即可；（2）先求得与的近似值，然后再进行计算，最后求近似值即可．【解答】解：（1）π﹣2≈3.141﹣2×1.732=﹣0.323≈﹣0.32；（2）原式≈﹣2.236+0.666=﹣1.57．【点评】本题主要考查的是计算的使用，会使用计算求一个算术平方根是解题的关键．。
八年级数学华师大版上册11.1平方根与立方根(含答案)
第11章 数的开方11.1平方根与立方根专题一 算数平方根与绝对值的综合运用1. 20b -=，则2013()a b +=______.2. 已知a 、b 满足7b =，求a b -的平方根.3. 如果1x y -+3x y +的算术平方根.专题二 被开方数中字母的取值问题4. 已知△ABC 的三边长分别为a b c ，，，2690b b -+=，求c 的取值范围.专题三 （算术）平方根与立方根的规律探究6. ===n≥的代数式表示出来.的规律用含自然数n(1)7.（2的关系.状元笔记：[知识要点]1. 平方根与立方根=，那么x就叫做a的平方根.（1）一般地，如果2x a（2）一个正数a a的算术平方根.=，那么x就叫做a的立方根.（3）一般地，如果3x a2. 性质（1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根.（2①被开方数a 非负，即0a ≥；0.（3）立方根的性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0.[温馨提示]1. 负数没有平方根，但是它有立方根.2. 注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解. [方法技巧] 体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.参考答案1. 1- 【解析】 0=，20b -=，即3a =-，2b =. ∴2013()a b +=2013(32)1-+=-.2. 解：根据算术平方根的意义，得9090a a -≥⎧⎨-≥⎩， ∴9a =，7b =-，∴16a b -=.故a b - 的平方根是4±.3. 解：根据题意得10x y -+=，即1050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩. ∴33239x y +=⨯+=，∴3x y +的算术平方根是3.4. 0，2269(3)0b b b -+=-≥2690b b -+=，0=，2(3)0b -=，∴1a =，3b =.由三角形三边关系得a b c a b -<<+，∴24c <<.5. 解：同意小刚的说法.中，020m m ≥⎧⎨->⎩，得2m >；020m m ≥⎧⎨->⎩，或020m m ≤⎧⎨-<⎩，得2m >，或0m ≤.m 的取值范围是不同的，故小刚的说法正确.6. (1)n n =+≥.7. 解：（1=（2=。
华师版八年级数学上册第11章1 平方根
特别解读：(1)算术平方根 a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a ≥ 0； ②算术平方根 a是非负数，即 a ≥ 0 .
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1.
知3－讲
知3－讲
2. 开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
3. 平方根与算术平方根的区别与联系
知3－讲
算术平方根
所以m＝(2a－1)2＝[2×(－1)－1]2＝(－3)2＝9.
故m的值为1或9.
知2－练
3-1. 已知一个正数x的两个平方根分别是2a－3与5－a，则 a＝__－__2___，x＝___4_9___.
知2－练
3-2. [期末·北京海淀区]已知正数a的两个平方根分别是x和 x＋y.
(1)若x＝2，求y的值； 解：∵正数a的两个平方根是x和x＋y， ∴x＋x＋y＝0，∴y＝－2x. 若x＝2，则y＝－4.
解：(1)因为82＝64， 所以64的算术平方根是8，即 64＝8.
知3－练
(2)因为(32)2＝94＝214，所以214的算术平方根是32，即 2 14＝32. (3)因为0.62＝0.36， 所以0.36的算术平方根是0.6，即 0.36＝0.6. (4)52的算术平方根是5，即 52＝5.
(5)因为52＝(－5)2，
平方根
区 定义不同 正叫数 做aa的的正算的术平平方方根根，如等叫果于做一aa，的个那平数么方的这根平个方数
别
个数不同
一个正数的算术平 方根只有一个
一个正数的平方根 有两个，它们互为 相反数
续表：
知3－讲
算术平方根
平方根
表示方 非负数a的算术平方 非负数a的平方根
区 法不同
根表示为 a
八年级数学上《11.1.1平方根》同步练习(华师大版带答案和解释)
八年级数学上《11.1.1平方根》同步练习（华师大版带答案和解释）新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习一、选择题 1、9的平方根是（） A、±3 B、± C、3 D、�3 2、25的算术平方根是（） A、5 B、-5 C、±5 D、3、的平方根是（） A、±4 B、4 C、±2 D、 24、以下叙述中错误的是（） A、± =±0.5 B、 =0.5 C、0和1的平方根是它们本身 D、负数没有平方根 5、的平方根是（） A、�2 B、2 C、±2 D、 4 6、下列说法正确的是（） A、�81的平方根是±9 B、任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负 C、任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D、2是4的平方根 7、a�1与3�2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是（） A、4 B、C、2 D、�2 8、下列说法不正确的是（） A、是2的平方根 B、是2的平方根C、2的平方根是D、2的算术平方根是9、下列各数中没有平方根的是（） A、0 B、�82 C、 D、�（�3）10、求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如．但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.09 9 900 90000 … 0.3 3 30 300 … 运用你发现的规律解决问题，已知≈1.435，则≈（） A、14.35 B、1.435 C、0.1435 D、143.5 11、己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（） A、1dm B、 dm C、 dm D、3dm 12、若 =0，则（x+y）2015等于（）A、�1 B、1 C、32014 D、�32014 13、用计算器求2014的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是（） A、 B、 C、 D、 14、有一列数如下排列，，，，，…，则第2015个数是（） A、B、 C、 D、15、若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（） A、-2 B、±5C、5D、-5 二、填空题 16、如果a ， b分别是9的两个平方根，那ab=________． 17、平方根节是数学爱好者的节目，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日．请你写出本世纪内你喜欢的一个平方根（题中所举例子除外）．________年________月________日． 18、在草稿纸上计算：① ；② ；③ ；④ ，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： =________．三、解答题 19、计算. (1) ． (2) 20、计算： (1) =________， =________，=________， =________， =________， (2)根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来． (3)利用你总结的规律，计算：． 21、已知2a+1的平方根是±3，5a+2b�2的算术平方根是4，求：3a�4b的平方根． 22、如图，在长和宽分别是a、b的长方纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形，当a=8，b=6，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积的时，求正方形的边长x的值． 23、如图①，是由5个边长是1的正方形组成的“十”字形．把图②中的4个浅色直角三角形对应剪拼到4个深色直角三角形的位置从而得到图③，试求：图① 图② 图③ (1)图②中1个浅色直角三角形的面积； (2)图③中大正方形的边长.答案解析部分一、<h3 >选择题</h3> 1、【答案】A 【考点】平方根【解析】解答：9的平方根是：± =±3．分析：根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：± =±3，据此解答即可． 2、【答案】C 【考点】算术平方根【解析】【解答】∵（5）2=25，∴25的算术平方根是5．【分析】注意题干中的“算术平方根”，一个正数的平方根有两个，正的那个是算术平方根． 3、【答案】C 【考点】平方根，算术平方根【解析】解答： =4，± =±2，分析：根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案；． 4、【答案】C 【考点】平方根，算术平方根【解析】【解答】∵0.52=0.25，∴A，B正确；0的平方根是它的本身，但1的平方根是±1，C错；D正确. 【分析】本题考查对平方根的了解. 5、【答案】C 【考点】平方根【解析】解答： =4，则4的平方根是 . 分析：做此类题，需要将的结果算出来；易错选A． 6、【答案】D 【考点】平方根【解析】【解答】A：�81是负数，由于负数没有平方根，故A选项错误； B：任何数的平方为非负数，正确；但只有非负数才有平方根，且平方根有正负之分（0的平方根为0）．故选项B错误； C：任何一个非负数的平方根都不大于这个数，不一定正确，如：当0＜a＜1时，a＞a2 ，故选项错误； D：2的平方是4，所以2是4的平方根，故选项正确. 【分析】此题考查的平方根的定义；做概念题时，可以举特殊情况来判断，如B，C项. 7、【答案】C 【考点】平方根，一元一次方程的应用【解析】【解答】∵a�1与3�2a是某正数的两个平方根，∴a�1+3�2a=0，解得a=2. 【分析】一个正数有两个平方根（除0外，0的平方根只有一个，即它本身），这两个平方根互为相反数，和为0． 8、【答案】C 【考点】平方根，算术平方根【解析】解答：2的平方根为± ，所以A，B都正确；是2的算术平方根，故C不正确；所以说法不正确的是C. 分析：根据平方根和算术平方根的概念求出2的平方根和算术平方根分别为和，然后判断各选项即可得出答案． 9、【答案】B 【考点】平方根【解析】解答：A.0的平方根是0，故错误； B．�82=�64＜0，没有平方根，故正确； C．有平方根，故错误； D．�（�3）=3，有平方根，故错误．分析：由于负数没有平方根，那么只要找出选项A、B、C、D中的负数即可． 10、【答案】A 【考点】算术平方根，计算器―数的开方【解析】解答：根据表格的规律：，，可知≈1.435，则≈14.35. 分析：根据被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点每移动一位求出即可． 11、【答案】B 【考点】平方根【解析】解答：因为正方体的表面积公式：s=6a2 ，可得6a2=12，解得a= ．分析：根据正方体的表面积公式：s=6a2 ，解答即可． 12、【答案】A 【考点】平方的非负性，二次根式的非负性【解析】解答：表示的是（x-1）的算术平方根，是非负数；也是非负数，∴ ，=0，∴x=1，y=�2，∴ =（1�2）2015=�1. 分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 13、【答案】C 【考点】计算器―数的开方【解析】解答：表示求正弦；表示求余弦；表示求平方根；求的是次幂. 分析：首先了解各个符号表示的意义，然后结合计算器不同按键功能即可解决问题． 14、【答案】D 【考点】平方根【解析】解答：观察可以发现：第一个数字是；第二个数字是；第三个数字是；第四个数字是；…；可得第2015个数即是，故选D．分析：本题主要考查了数字变化，算式平方根的性质，数列规律问题，找出一般规律是解题． 15、【答案】B 【考点】平方根【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab ＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．【分析】用平方根的定义得出a ， b的值，进而利用ab 的符号得出a ， b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．二、<h3 >填空题</h3> 18、【答案】�9 【考点】平方根【解析】【解答】∵9的平方根为±3，∴ab=�3×3=�9．【分析】根据平方根的定义得到9的平方根为±3，然后计算这两个数的积． 19、【答案】2036；6；6 【考点】算术平方根【解析】【解答】2036年6月6日中，62=36，符合题意. 【分析】此题为开放题，答案不唯一；由题意可知月份数与日数相同，且它们的积为两位数，按这两个条件去找数即可． 20、【答案】210 【考点】算术平方根【解析】【解答】 =1， =1+2， =1+2+3， =1+2+3+4，…=1+2+3+4+…+20=210．【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律①=1；②=1+2；③=1+2+3；④=1+2+3+4．以此类推，=1+2+3+4+…+20=210．．三、<h3 >解答题</h3> 21、【答案】（1）解答： .（2）解答： .【考点】算术平方根，实数的运算【解析】分析：（1）中，其前面的符号保持不变；（2）任何不为0的实数的0次幂为1；；． 22、【答案】（1）；0.7；0；6；（2）解：分类讨论：当时，；当时，；当时，；综上所述： = ；（3）解：利用（2）中得到的规律，可得原式=|3.14�π|=π�3.14．【考点】算术平方根【解析】【分析】（1）【解答】 = ， =0.7， =0， =6， = .（2）中根据算术的平方根的定义可知，结果是一个正数，但a不一定是正数，所以需要去分类讨论；（3）在计算时需要注意括号里3.14�π的正负性，并利用（2）中得到的结论去做. 23、【答案】解：根据题意得：2a+1= =9，5a+2b�2=16，即a=4，b=�1，∴3a�4b=16，∴3a�4b的平方根是± =±4．答：3a�4b的平方根是±4．【考点】平方根，算术平方根【解析】【分析】根据已知得出2a+1=9，5a+2b�2=16，求出a ，b ，代入求出即可. 24、【答案】解：剪去部分的面积等于剩余部分的面积的，∴4x2= （ab�4x2），∴4x2= （8×6�4x2），∴12x2=48�4x2 ，∴x2=3，∵x表示边长，不能为负数，∴x= . 【考点】平方根，算术平方根【解析】【分析】根据题意列出等式4x2= （ab�4x2），把8和6代入得出4x2= （8×6�4x2），求出即可． 25、【答案】（1）解：图②中1个浅色直角三角形的面积 . （2）解：大正方形的面积等于5个小正方形的面积之和=5，∴图③中大正方形的边长为 . 【考点】算术平方根【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积公式计算即可；（2）根据图中得出大正方形的面积等于5个小正方形的面积之和．。
华东师大版八年级上册 11.1 平方根 讲义
典型例题：平方根例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联络．解：〔1〕一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．〔2〕一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一起．〔1〕算出A 点到B 、C 、D 、E 、F 之间的长度．〔2〕以图中A 、B 、C 、D 、E 、F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？假如有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“分析：利用勾股定理可以算出A 点与C 、D 、E 、F 各点的间隔 ．〔2〕找到某一点到另外两个点的间隔 相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形．解 ：〔1〕3=AB cm ．171422=+=AC cm ．5254202422=⨯==+=AD cm ．5253422==+=AE cm ．133222=+=AF cm ．〔2〕图中BEF CEF ∆∆,是等腰三角形，因为2==EF EC cm ，因此CEF ∆是等腰三角形． 又因为101322=+==BF BE cm ，因此BEF ∆是等腰三角形．例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边，c 为斜边，假设46.13,23.9==b a ，求c 的长〔准确到0．01〕．分析：根据勾股定理222c b a =+，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c 的值．解：222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ，例4 求以下各数的平方根．〔1〕9 〔2〕49223 〔3〕0．81解：〔1〕∵ 9)3(2=±∴9的平方根是3±，即39±=±．〔2〕∵4916949223=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是713±，即.71349223±=± 〔3〕∵81.0)9.0(2=±∴0．81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．例5 求以下各数的平方根和算术平方根．〔1〕0.0064 〔2〕4922 〔3〕2)1312(1- 〔4〕2)7(- 解答：〔1〕因为0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08．〔2〕因为491004922=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是710． 〔3〕因为1692513144169)1312(122=-=-，而16925)135(2=±，所以2)1312(1-的平方根是135±，它的算术平方根是135． 〔4〕因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．说明：此题考察求平方根和求算术平方根的方法．因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了．例6 求以下各式中的x ：〔1〕02892=-x 〔2〕81)1(2=+x ．分析：根据平方根的定义，或22a x =，那么)0(≥±=a a x ，其中〔2〕中)1(+x 看成一个整体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值．解答：〔1〕∵ 02892=-x ，即2892=x ．〔2〕∵ 81)1(2=+x ，当91=+x 时，8=x ；当91-=+x 时，10-=x ．例7 0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值．分析：只要求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解方程． 解答1：由0144252=-x 得251442=x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴512=x ． 当512=x 时，.1025213512521352==+⨯=+x 解答2：由0144252=-x ，得144252=x ，即144)5(2=x ，∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x 例8 假如031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．分析：条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．解答： ∵ 0,03,01≥++≥-≥+z y x y x∴应有⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+,00301z y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.231z y x说明：求解此题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，假如假设干个非负数的和为零，那么每个非负数都必须为零．例9 选择题：以下命题中真命的个数是〔 〕．〔1〕;2.04.0= 〔2〕;43169±= 〔3〕22-的平方根是2-； 〔4〕2)3(-的算术平方根是3-；〔5〕57±是25241的平方根； 〔6〕0的平方根是0，0没有算术平方根； 〔7〕21的算术平方根是41． 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义．〔1〕4.004.0)2.0(2≠=2.0∴不是4.0的算术平方根．故〔1〕是假命题．〔2〕题中169是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以〔2〕也是假命题．〔3〕题中422-=-，由平方根性质：负数没有平方根． 所以〔3〕也是假命题．〔4〕中2)3(-的算术平方根应是正数，而3-是个负数，不符合算术平方根的定义． 故〔4〕也是假命题．〔5〕,252412549)57(2==± 25241∴的平方根是57±． 此为真命题． 〔6〕0的平方根0就是0的算术平方根，故〔6〕题也不正确．〔7〕求21的算术平方根，应是对21进展开方运算，而非平方运算． 故此命题也不是真命题．解答：应选〔A 〕说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念．其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联络是：算术平方根是平方根中的正的平方根．例10 假如一个数的平方根是32-a，那么这个数是多少？a与15+分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0．解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以0-++aa，)3(=15)2(解得4+a，即两个平方根分别为7和73=a,当4a时，7==-，故原数为49说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解．。
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第11章 数的开方 11.1平方根与立方根
专题一 算术平方根与绝对值的综合运用
1. 如果320a b ++-=，则2013()
a b +=______. 2. 已知a 、b 满足997b a a =
-+--，求a b -的平方根.
3. 如果1x y -+与
5x y +-互为相反数，求3x y +的算术平方根.
专题二 被开方数中字母的取值问题
4. 已知△ABC 的三边长分别为a b c ，，，且满足21690a b b -+-+=，求c 的取值范围.
5.在学习平方根知识时，老师提出一个问题：2
m m -与2m m -中的m 的取值范围相同吗？小明说相同，小刚说不同，你同意谁的说法？说出你的理由.
6.
专题三 （算术）平方根与立方根的规律探究
6. 111233+=112344+=113455
+=，…，请你将猜想到的规律用含自然数n (1)n ≥的代数式表示出来.
7. 33222=27733333=3262633444=46363
（1）你能用含有n （n 为整数，且1n >）的等式来表示你发现的规律吗？
（23320132013
20131-332013201320131
-的关系.
状元笔记：
[知识要点]
1. 平方根与立方根
=，那么x就叫做a的平方根.
（1）一般地，如果2x a
（2）一个正数a的正的平方根a a的算术平方根.
=，那么x就叫做a的立方根.
（3）一般地，如果3x a
2. 性质
（1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根.
（2a
a≥；
①被开方数a非负，即0
a0
a≥.
（3）立方根的性质：
①一个正数有一个正的立方根；
②一个负数有一个负的立方根；
③0的立方根是0.
[温馨提示]
1. 负数没有平方根，但是它有立方根.
2. 注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解.
[方法技巧]
体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.
参考答案
1. 1- 【解析】 30a +=，20b -=，即3a =-，2b =.
∴2013()a b +=2013(32)1-+=-.
2. 解：根据算术平方根的意义，得9090
a a -≥⎧⎨
-≥⎩， ∴9a =，7b =-， ∴16a b -=.
故a b - 的平方根是4±. 3. 解：根据题意得150x y x y -++-=，即1050
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩. ∴33239x y +=⨯+=，
∴3x y +的算术平方根是3. 4. 10a -≥，2269(3)0b b b -+=-≥21690a b b --+=，
10a -=，2(3)0b -=，
∴1a =，3b =.由三角形三边关系得a b c a b -<<+，
∴24c <<.
5. 解：同意小刚的说法.2m m -中，020
m m ≥⎧⎨->⎩，得2m >； 2m m -020m m ≥⎧⎨->⎩，或020m m ≤⎧⎨-<⎩
，得2m >，或0m ≤. 2
m m -2m m -m 的取值范围是不同的，故小刚的说法正确.
6. 11(1)(1)22
n n n n n +=+≥++. 7. 解：（1333311
n n n n n n +=--. （2333320132013201320132013120131
=--.。