矩阵总结
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等价定义：如果一个包含0，1在内的数是封闭的，则称数 集F为一个数域． 任意数域F都包括有理数域Q.即,有理数域为最小数域.
任何一个数域都包含于复数域，即：复数域是最大的数域.
关于矩阵
➢矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897）于 1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣 誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从 1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授， 并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开 创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
的全体; Mn(F)指数域F上n阶方阵的全体. 这些都是矩阵的集
合.
一. 矩阵的概念和运算
5 .矩阵的运算与运算律：
1）数乘运算：
演示
运算规律为：k
A
k aij
满足结合律： kA Ak
满足交换律：klA klA
矩阵对数的加法可分配： k 1A kA lA
2）加法运算
定义:设A=[aij],B=[bij]都是m×n矩阵,则称m×n矩阵 C=[Cij]为A与B之和,其中Cij=aij+bij.
n
a2 k bkp
k 1
n
k 1 amk bkp
➢当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时, 两个矩阵才可 以相乘。 ➢乘积矩阵AB中第i行第j列的元素aij等于矩阵A的第i行 与矩阵B的第j列对应元素乘积之和。简记作前行乘后 列。
一. 矩阵的概念和运算
矩阵乘法不满足的性质: 1. 交换律
矩阵的乘法不满足交换律.
二. 几种特殊矩阵
(1)行数和列数都等于n的矩阵A, 称为n阶
方阵.也可记作 An.
例如
13 6 2i
2 2
2 2
2 2
副(反)对角线 是一个3 阶方阵.
主对角线
(2)只有一行元素和一列元素的矩阵
A a1, a2, , an ,
称为行矩阵(或行向量).
二. 几种特殊矩阵
只有一列元素的矩阵
(记i=1,2……m,j=即1:,2A…+…B=.n[)aij]m×n+[bij]m×n=[aij 为:C=A+B. +bij]m×n.
一. 矩阵的概念和运算
2）加法运算
这个运算可以演示如下:
演示
说明：
① 两个矩阵只有当行数相同,列数相同才能相加.
② 若A、B都是m×n矩阵，则C也是 m×n矩
③ 阵不．同形状矩阵的和不予定义(如没有意义).
3）乘法运算
定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵， 则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这个矩阵的第i行第
j 列位置上的元素cij等于A 的第i行的元素与B的第j列的
对应元素的乘积的和. 即
n
cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ,
ai k bkj
可移项：即 A B C A C B
负矩阵: 设A=[aij]是m×n矩阵,把m×n矩阵[-aij]叫做A的负矩阵.
记为: -A
有了负矩阵的概念,就可以定义两个m×n矩阵的差,设 A=[aij]m×n,B=[bij]m×n，则如下定义A-B:
A-B=A+(-B).
显然:A-A=0.
返回
一. 矩阵的概念和运算
三. 矩阵的主要性质
(3).初等变换与初等矩阵的关系：
ai1
对矩阵Amn
a j1
ain
实行行（列）初等变换，相当于矩阵
a jn
左（右）乘以相应的m(n)阶初等矩阵；即
ai1
Pi
j
A
a j1
ain i
a jn j
APi j
a1 j
a1i
0
a
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.
二. 几种特殊矩阵
（7）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记作0m×n或
0 . 注意 不同阶数的零矩阵是不“相等”的.
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0 0
"
"
0
0
0
0.
0
0
0
0
(8)负矩阵
设 A (aij矩)s阵n ,
a j1
ai1
a jn
ain
A ai1
ain
用k 0 F 乘以某行（列）
k ai1
kain
ai1
A
a j1
ain
a jn
用后k加F到乘令 以一某行行列（列） a
j1
a j1
k
ai1
a jn
a jn kain
k 1
i 1,2,, m; j 1,2,, p.
运算过程演示
演示
矩阵的乘法也可以表示为
n
a1k bk1
k 1
n
AB
k 1
a2 k bk1
n
k 1 amk bk1
n
a1k bk 2
k 1
n
a2k bk 2
k 1
n
amk bk 2
k 1
由矩阵的定义可以看出:
n
a1k bkp
k 1
一. 矩阵的概念和运算
4）矩阵的转置.
a11 a12
设
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩
阵。记为 A ' 或 AT .
转置有下面的性质:
(1) ( AT )T A
(2) ( A B )T AT BT
(3) AB T BT AT
0
0
a11 0 0 0 0
下梯形矩阵
A
a21
a22
0
0
0
am1 am2 amn
0
0
二. 几种特殊矩阵
(6) 数(纯)量矩阵（标量矩阵）
a
称对角线元相等的对角阵称
0
为数量矩阵或标量阵。
0
当 a 时1，记作
1 0
I
In
0 0
1
O
0
0 0 0
a
0
0
0
预备知识
三、数域
定义 设C是全体复数构成的集合. F C, F中至少含有一个非
零数. 如果在F内可以进行加、减、乘、除(当然在作除法 运算时，要求除数不为零)四种运算，且运算结果都在F 内，那么就称F为一个数域.
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域.）
设S是一个非空数集，若S中任意两个数作某一运算的结 果仍在S中，则数集S对此运算是封闭 (closed)的．
如: {0}零集合,Z—自然数集,N—整数集,Q—有理数集, R—实数集,C—复数集.
数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质称为代数性 质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。 有其它一些数集也具有这样的性质。
一. 矩阵的概念和运算
1.矩阵A：由m×n个数ai j (i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n)按 一定的次序排成的m行n列的数表
a11 a12
Amn
a21
a22
a1n
a2n
aij
mn
矩阵A的 (m.n)元
am1
am 2
amn
其中aij i 1,2,, m; j 1,2,, n F
预备知识
二、数环 定义 设S为非空数集，若
a, b S, a b S, a b S, 则称S为一个数环.
等价定义：S是一个非空数集，若 S对加法、减法、乘法是 封闭的，则称S是一个数环．
1. 单独一个数0作成的数集{0}是一个数环． 2. 全体整数集Z作成一个数环． 3. 自然数集N不是数环，因为它对减法不封闭． 4. 数环有无穷多． 5. 所有的数环都包含零环，即零环是最小的数环．
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三. 矩阵的主要性质
(2) 初等矩阵： 对单位矩阵I进行一次初等行（列）变换后所得的矩阵.
1
1
0 1
i
交换第I、j 行(列)
1
I
Pi j
1
1 0
j
1
1
因为pi j pi j 1 Pi j 可逆，且 Pi j 1 Pi j
三. 矩阵的主要性质
1
i
I 第i行（列）乘以 k 0
当A和B可以相乘时, B和A不一定能相乘,即使A和B, B和 A都能相乘, 乘积矩阵也不一定相等.
2. 消去律
矩阵的乘法不适合消去律.
3.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
一. 矩阵的概念和运算
矩阵乘法满足的性质:
1. 结合律 (AB)C=A(BC), 其中A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, C=(cij)p×q.
2. 矩阵行列式|A|： 方阵A所对应的行列式叫做矩阵A的行列式，记为 detA=|A|.
当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵. 当|A|=0时，A称为奇异矩阵.
3. 矩阵的相等：
Amn
Bm1n1
A、B
行列数分别相等，即
m1 m n1 n
各对应位置元素分别相等，即
aij bij
4. 矩阵集合:
M(F)指数域F上矩阵的全体;Mmn(F)指数域F上m×n矩阵
关于矩阵
➢1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的 概念。 ➢应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。 如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定 性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线 照相术等方面，都有广泛的应用。 ➢1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则。
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m×n个数称为A的元素,简称为元(aij为代表元）.
元素是实数的矩阵称为实矩阵.
元素是复数的矩阵称为复矩阵. 元素全是零的矩阵称为零矩阵.记为0m×n, 即:aij= 0, i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
一. 矩阵的概念和运算
a1
B
a
2
,
a
n
称为列矩阵(或列向量).
a11 a12
（3）形如
0
a22
O
0
0
a1n
a2n
即主对角线以下元素
ann
全为零的方阵称为上三角矩阵。
二. 几种特殊矩阵
形如
a11 0
a21
a22
a
n
1
an2
0
O0
即主对角线以上元素
ann
全为零的方阵称为下三角矩阵。
（4）既是上三角又是下三角矩阵的方阵，即
2. 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k为任意实数. A=(aij)m×s ， B=(bij)s×n .
3. 分配律
① (A+B) C=AC+BC, 其中A, B都为m×n矩阵, C是n×p矩阵.
② C(A+B) =CA+CB, 其中C为m×n 矩阵, A, B都为n×s矩阵.
amj
i
ajmi
三. 矩阵的主要性质
a j1 kaj1
ain kajn i
Ti
j
k
A
a j1
a jn j
a1i a1j ka1i
ATi j k
ami
amj kami
Di k A
a11
k
ai1
a m1
a1n
k ain
1 0 O 0
形如
0
2
O
0
0
0
的方阵, 称为对角矩阵 (或对角阵）.
n
记作 A diag [1, 2, , n ].
二. 几种特殊矩阵
（5）上梯形矩阵和下梯形矩阵
a11
0
a12 a22
a1k a2 k
上梯形矩阵
B
0
0 0
0
0 0
0
0 0
a1n
a2
n
ann
其运算规律为： 满足交换律：A B B A
满足结合律：A B C A B C
具有恒等性： 零矩阵0 0mn 使得 A 0 0 A A
具有相反性：负矩阵
A
aij
使得
mn
A
A
A
A
0
一. 矩阵的概念和运算
2）加法运算
数对矩阵加法可分配：对 k F 有 kA B kA kB
《高等代数》面向21世纪新教材
预备知识
矩阵的概念和运算 常用的特殊矩阵
矩阵的主要性质 矩阵的分块
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
课件导航
新课讲授 小结 作业 结束
a1n
a2n
,
amn
预备知识
一、数集
数：自然数→整数→有理数→实数→复数。 数集：由数作成的集合，称为数集（number set）.
a11 a12 a21 a22 am1 as1
a1n
a2n
称为A的负矩阵，记作－A .
asn
即 A (aij )sn .
三. 矩阵的主要性质
1.初等变换与初等矩阵：
（1）矩阵A的三种初等变换
ai1
A
a j1
ain
a jn
交两 换行A （的 列某）
i
amn
AD1k
a11
ka1i
a1n
am1 kami amn
Di k
1 k 1
1
因为
Di
k
Di
1 k
I
Di
k
可逆，且
Di
k 1
Di
1 k
i
1
j
I
第j行（i 列）乘k 加到第r行（j 列）
Ti j k
1k 1
1
因为 Ti j kTi j k I
Ti j k 可逆，且 Ti j k 1 Ti j k
任何一个数域都包含于复数域，即：复数域是最大的数域.
关于矩阵
➢矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897）于 1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣 誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从 1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授， 并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开 创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
的全体; Mn(F)指数域F上n阶方阵的全体. 这些都是矩阵的集
合.
一. 矩阵的概念和运算
5 .矩阵的运算与运算律：
1）数乘运算：
演示
运算规律为：k
A
k aij
满足结合律： kA Ak
满足交换律：klA klA
矩阵对数的加法可分配： k 1A kA lA
2）加法运算
定义:设A=[aij],B=[bij]都是m×n矩阵,则称m×n矩阵 C=[Cij]为A与B之和,其中Cij=aij+bij.
n
a2 k bkp
k 1
n
k 1 amk bkp
➢当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时, 两个矩阵才可 以相乘。 ➢乘积矩阵AB中第i行第j列的元素aij等于矩阵A的第i行 与矩阵B的第j列对应元素乘积之和。简记作前行乘后 列。
一. 矩阵的概念和运算
矩阵乘法不满足的性质: 1. 交换律
矩阵的乘法不满足交换律.
二. 几种特殊矩阵
(1)行数和列数都等于n的矩阵A, 称为n阶
方阵.也可记作 An.
例如
13 6 2i
2 2
2 2
2 2
副(反)对角线 是一个3 阶方阵.
主对角线
(2)只有一行元素和一列元素的矩阵
A a1, a2, , an ,
称为行矩阵(或行向量).
二. 几种特殊矩阵
只有一列元素的矩阵
(记i=1,2……m,j=即1:,2A…+…B=.n[)aij]m×n+[bij]m×n=[aij 为:C=A+B. +bij]m×n.
一. 矩阵的概念和运算
2）加法运算
这个运算可以演示如下:
演示
说明：
① 两个矩阵只有当行数相同,列数相同才能相加.
② 若A、B都是m×n矩阵，则C也是 m×n矩
③ 阵不．同形状矩阵的和不予定义(如没有意义).
3）乘法运算
定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵， 则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这个矩阵的第i行第
j 列位置上的元素cij等于A 的第i行的元素与B的第j列的
对应元素的乘积的和. 即
n
cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ,
ai k bkj
可移项：即 A B C A C B
负矩阵: 设A=[aij]是m×n矩阵,把m×n矩阵[-aij]叫做A的负矩阵.
记为: -A
有了负矩阵的概念,就可以定义两个m×n矩阵的差,设 A=[aij]m×n,B=[bij]m×n，则如下定义A-B:
A-B=A+(-B).
显然:A-A=0.
返回
一. 矩阵的概念和运算
三. 矩阵的主要性质
(3).初等变换与初等矩阵的关系：
ai1
对矩阵Amn
a j1
ain
实行行（列）初等变换，相当于矩阵
a jn
左（右）乘以相应的m(n)阶初等矩阵；即
ai1
Pi
j
A
a j1
ain i
a jn j
APi j
a1 j
a1i
0
a
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.
二. 几种特殊矩阵
（7）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记作0m×n或
0 . 注意 不同阶数的零矩阵是不“相等”的.
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0 0
"
"
0
0
0
0.
0
0
0
0
(8)负矩阵
设 A (aij矩)s阵n ,
a j1
ai1
a jn
ain
A ai1
ain
用k 0 F 乘以某行（列）
k ai1
kain
ai1
A
a j1
ain
a jn
用后k加F到乘令 以一某行行列（列） a
j1
a j1
k
ai1
a jn
a jn kain
k 1
i 1,2,, m; j 1,2,, p.
运算过程演示
演示
矩阵的乘法也可以表示为
n
a1k bk1
k 1
n
AB
k 1
a2 k bk1
n
k 1 amk bk1
n
a1k bk 2
k 1
n
a2k bk 2
k 1
n
amk bk 2
k 1
由矩阵的定义可以看出:
n
a1k bkp
k 1
一. 矩阵的概念和运算
4）矩阵的转置.
a11 a12
设
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩
阵。记为 A ' 或 AT .
转置有下面的性质:
(1) ( AT )T A
(2) ( A B )T AT BT
(3) AB T BT AT
0
0
a11 0 0 0 0
下梯形矩阵
A
a21
a22
0
0
0
am1 am2 amn
0
0
二. 几种特殊矩阵
(6) 数(纯)量矩阵（标量矩阵）
a
称对角线元相等的对角阵称
0
为数量矩阵或标量阵。
0
当 a 时1，记作
1 0
I
In
0 0
1
O
0
0 0 0
a
0
0
0
预备知识
三、数域
定义 设C是全体复数构成的集合. F C, F中至少含有一个非
零数. 如果在F内可以进行加、减、乘、除(当然在作除法 运算时，要求除数不为零)四种运算，且运算结果都在F 内，那么就称F为一个数域.
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域.）
设S是一个非空数集，若S中任意两个数作某一运算的结 果仍在S中，则数集S对此运算是封闭 (closed)的．
如: {0}零集合,Z—自然数集,N—整数集,Q—有理数集, R—实数集,C—复数集.
数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质称为代数性 质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。 有其它一些数集也具有这样的性质。
一. 矩阵的概念和运算
1.矩阵A：由m×n个数ai j (i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n)按 一定的次序排成的m行n列的数表
a11 a12
Amn
a21
a22
a1n
a2n
aij
mn
矩阵A的 (m.n)元
am1
am 2
amn
其中aij i 1,2,, m; j 1,2,, n F
预备知识
二、数环 定义 设S为非空数集，若
a, b S, a b S, a b S, 则称S为一个数环.
等价定义：S是一个非空数集，若 S对加法、减法、乘法是 封闭的，则称S是一个数环．
1. 单独一个数0作成的数集{0}是一个数环． 2. 全体整数集Z作成一个数环． 3. 自然数集N不是数环，因为它对减法不封闭． 4. 数环有无穷多． 5. 所有的数环都包含零环，即零环是最小的数环．
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三. 矩阵的主要性质
(2) 初等矩阵： 对单位矩阵I进行一次初等行（列）变换后所得的矩阵.
1
1
0 1
i
交换第I、j 行(列)
1
I
Pi j
1
1 0
j
1
1
因为pi j pi j 1 Pi j 可逆，且 Pi j 1 Pi j
三. 矩阵的主要性质
1
i
I 第i行（列）乘以 k 0
当A和B可以相乘时, B和A不一定能相乘,即使A和B, B和 A都能相乘, 乘积矩阵也不一定相等.
2. 消去律
矩阵的乘法不适合消去律.
3.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
一. 矩阵的概念和运算
矩阵乘法满足的性质:
1. 结合律 (AB)C=A(BC), 其中A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, C=(cij)p×q.
2. 矩阵行列式|A|： 方阵A所对应的行列式叫做矩阵A的行列式，记为 detA=|A|.
当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵. 当|A|=0时，A称为奇异矩阵.
3. 矩阵的相等：
Amn
Bm1n1
A、B
行列数分别相等，即
m1 m n1 n
各对应位置元素分别相等，即
aij bij
4. 矩阵集合:
M(F)指数域F上矩阵的全体;Mmn(F)指数域F上m×n矩阵
关于矩阵
➢1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的 概念。 ➢应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。 如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定 性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线 照相术等方面，都有广泛的应用。 ➢1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则。
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m×n个数称为A的元素,简称为元(aij为代表元）.
元素是实数的矩阵称为实矩阵.
元素是复数的矩阵称为复矩阵. 元素全是零的矩阵称为零矩阵.记为0m×n, 即:aij= 0, i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
一. 矩阵的概念和运算
a1
B
a
2
,
a
n
称为列矩阵(或列向量).
a11 a12
（3）形如
0
a22
O
0
0
a1n
a2n
即主对角线以下元素
ann
全为零的方阵称为上三角矩阵。
二. 几种特殊矩阵
形如
a11 0
a21
a22
a
n
1
an2
0
O0
即主对角线以上元素
ann
全为零的方阵称为下三角矩阵。
（4）既是上三角又是下三角矩阵的方阵，即
2. 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k为任意实数. A=(aij)m×s ， B=(bij)s×n .
3. 分配律
① (A+B) C=AC+BC, 其中A, B都为m×n矩阵, C是n×p矩阵.
② C(A+B) =CA+CB, 其中C为m×n 矩阵, A, B都为n×s矩阵.
amj
i
ajmi
三. 矩阵的主要性质
a j1 kaj1
ain kajn i
Ti
j
k
A
a j1
a jn j
a1i a1j ka1i
ATi j k
ami
amj kami
Di k A
a11
k
ai1
a m1
a1n
k ain
1 0 O 0
形如
0
2
O
0
0
0
的方阵, 称为对角矩阵 (或对角阵）.
n
记作 A diag [1, 2, , n ].
二. 几种特殊矩阵
（5）上梯形矩阵和下梯形矩阵
a11
0
a12 a22
a1k a2 k
上梯形矩阵
B
0
0 0
0
0 0
0
0 0
a1n
a2
n
ann
其运算规律为： 满足交换律：A B B A
满足结合律：A B C A B C
具有恒等性： 零矩阵0 0mn 使得 A 0 0 A A
具有相反性：负矩阵
A
aij
使得
mn
A
A
A
A
0
一. 矩阵的概念和运算
2）加法运算
数对矩阵加法可分配：对 k F 有 kA B kA kB
《高等代数》面向21世纪新教材
预备知识
矩阵的概念和运算 常用的特殊矩阵
矩阵的主要性质 矩阵的分块
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
课件导航
新课讲授 小结 作业 结束
a1n
a2n
,
amn
预备知识
一、数集
数：自然数→整数→有理数→实数→复数。 数集：由数作成的集合，称为数集（number set）.
a11 a12 a21 a22 am1 as1
a1n
a2n
称为A的负矩阵，记作－A .
asn
即 A (aij )sn .
三. 矩阵的主要性质
1.初等变换与初等矩阵：
（1）矩阵A的三种初等变换
ai1
A
a j1
ain
a jn
交两 换行A （的 列某）
i
amn
AD1k
a11
ka1i
a1n
am1 kami amn
Di k
1 k 1
1
因为
Di
k
Di
1 k
I
Di
k
可逆，且
Di
k 1
Di
1 k
i
1
j
I
第j行（i 列）乘k 加到第r行（j 列）
Ti j k
1k 1
1
因为 Ti j kTi j k I
Ti j k 可逆，且 Ti j k 1 Ti j k