矩阵总结
专升本矩阵知识点总结
专升本矩阵知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数表，数表中的每个数称为矩阵的元素。
一般地，矩阵记作A=(aij)，表示一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数，aij表示位于第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型根据矩阵的行数和列数的不同，矩阵可以分为多种类型，例如：m×n矩阵、方阵、零矩阵、单位矩阵等。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作AT，即将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是矩阵行空间和列空间的维数，它是矩阵重要的性质之一，对于解线性方程组、矩阵求逆等很有用。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法设A和B是同型矩阵（即行数和列数相同），它们的加法规定为：A + B = C，其中C的每个元素cij等于A和B对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘设A是一个m×n矩阵，k是一个数，则矩阵A和k的数乘定义为：kA = B，其中B的每个元素bij等于k与A对应元素aij的积。
2.3 矩阵的乘法设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，则矩阵A和B的乘法规定为：AB=C，其中C是一个m×p矩阵，C的元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
2.4 矩阵的逆对于一个n×n的可逆矩阵A，存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=In，其中In是n阶单位矩阵，B称为A的逆矩阵，记作A-1。
有逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵，没有逆矩阵的矩阵称为奇异矩阵。
2.5 矩阵的转置设A是一个m×n矩阵，其转置记作AT，有以下性质：（1）(A.T).T=A（2）(A+B).T=A.T+B.T（3）(kA).T=k(A.T)（4）(AB).T=B.TA.T（5）(A-1).T=(A.T)-1三、矩阵的性质3.1 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个非常重要的性质，它在解线性方程组、求矩阵的逆等方面有着重要的作用。
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
矩阵知识点总结少
矩阵知识点总结少一、矩阵的基本概念1.定义矩阵是由若干行、若干列数组成的数表，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
一个m×n的矩阵可以表示为A=[a_ij]_m×n其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.矩阵的类型- 行矩阵：只有一行的矩阵，记作(a_1, a_2, ..., a_n)- 列矩阵：只有一列的矩阵，记作[a_1; a_2; ...; a_m]- 方阵：行数等于列数的矩阵，记作n×n矩阵- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵- 对角阵：非对角线上的元素都为0的方阵- 单位阵：对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵- 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T3.矩阵的秩矩阵A的秩是指矩阵中非零行列式的最大阶数，记作r(A)。
秩的计算可以用高斯消元法等方法来求解。
二、矩阵的运算1.矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法都是对应元素相加或相减得到新矩阵，要求加减的两个矩阵的维度相同。
2.矩阵的数乘矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都与一个标量相乘，得到一个新的矩阵。
3.矩阵的乘法矩阵的乘法是一种复杂的运算，它不满足交换律，并且两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵的乘法可以采用行列对应元素相乘再相加的方法来计算。
4.矩阵的逆对于一个n×n的可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
5.矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，表示矩阵的某些性质，如可逆性、秩等。
行列式的计算需要按照一定的规则进行，对于n×n的矩阵A，它的行列式记作det(A)。
三、矩阵的性质1.矩阵的转置矩阵的转置是对矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵，转置操作不改变矩阵的秩。
2.矩阵的逆的性质如果A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且(AB)^-1=B^-1A^-1。
3.矩阵的行列式的性质矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中重要的概念和工具之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对矩阵的基本知识点进行总结。
1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照长和宽排列的矩形数组，其中的元素可以是任意类型的数值。
一个矩阵由行和列组成，通常记作A=[a_ij]。
2. 矩阵的运算：(1) 矩阵的加法和减法：对应元素相加或相减。
(2) 矩阵的乘法：矩阵乘法是一种非交换运算，两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列。
(3) 矩阵的转置：将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
(4) 矩阵的数量乘法：将矩阵的每个元素同一个实数相乘得到的新矩阵。
3. 矩阵的特殊类型：(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵。
(2) 零矩阵：所有元素都为零的矩阵。
(3) 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(4) 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其他元素都为零的矩阵。
(5) 上三角矩阵：下三角（低三角）矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
4. 矩阵的性质：(1) 矩阵的加法和乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
(2) 矩阵乘法的转置性质：(AB)^T = B^T A^T。
(3) 矩阵的逆：如果矩阵A的逆存在，记作A^(-1)，则A和A^(-1)的乘积等于单位矩阵：A A^(-1) = I。
(4) 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组数。
5. 矩阵的应用：(1) 线性方程组的解：通过矩阵的运算和逆矩阵可以解决线性方程组的求解问题。
(2) 向量空间的表示：矩阵可以表示向量空间内的线性变换和线性组合。
(3) 特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换规律。
(4) 数据处理和机器学习：矩阵在数据处理和机器学习中广泛应用，用于存储和处理大量数据。
总的来说，矩阵是一种重要的数学工具，它的运算性质和特殊类型有助于解决线性方程组、描述线性变换和计算大量数据等问题。
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
矩阵知识点总结简单
矩阵知识点总结简单一、矩阵的定义和基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按行列排列的数字或符号构成的矩形阵列。
通常用大写字母表示，如A、B、C 等。
1.2 矩阵的元素矩阵中的每一个数字都称为元素。
第i行第j列的元素称为a_ij，表示第i行第j列位置上的数字。
1.3 矩阵的维数矩阵的维数是指矩阵的行数和列数，通常用m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。
如果一个矩阵的行数和列数相等，称为方阵。
方阵的阶数就是它的行数或列数。
1.4 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，就是将矩阵A的行列互换得到的新矩阵。
即如果A=(a_ij)是一个m×n的矩阵，那么A^T=(b_ij)是一个n×m的矩阵，其中b_ij=a_ji。
1.5 矩阵的零矩阵和单位矩阵全是零的矩阵称为零矩阵，记作0。
对角线上都是1，其余都是0的矩阵称为单位矩阵，记作I。
1.6 矩阵的相等如果两个矩阵A和B的对应元素都相等，那么它们是相等的，记作A＝B。
换句话说，只要两个矩阵A和B的维数相同，而且对应元素相等，那么它们就是相等的矩阵。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个相同维数的矩阵，那么它们的和A＋B=(c_ij)和差A－B=(d_ij)分别定义为：c_ij=a_ij+b_ij， d_ij=a_ij-b_ij2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个m×n的矩阵，k是一个数，那么kA=(b_ij)定义为：b_ij=k*a_ij2.3 矩阵的乘法设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积AB=C是一个m×p的矩阵，C的第i行第j列元素c_ij如下求得：c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_i nb_nj2.4 矩阵的逆若m阶方阵A的逆矩阵存在，即存在一个m阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A可逆，B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
矩阵分析知识点总结
矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
矩阵可以用大写字母表示。
1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。
- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
行和列的个数分别称为行数和列数。
1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。
- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。
1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。
- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。
1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。
- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。
其秩等于不为零的行数。
- 同样列最简形矩阵都是列等价的。
其秩等于不为零的列数。
- 行秩等于列秩。
1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。
非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。
- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。
- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。
1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。
矩阵知识点总结图解
矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。
- 列数：矩阵中的列数为n。
- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。
- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。
1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。
即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。
即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。
矩阵知识知识点总结手写
矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。
一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。
2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。
3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。
4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。
5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。
6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。
2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。
3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。
4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。
5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。
通用矩阵总结知识点
通用矩阵总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照行和列排列的数表，通常表示为一个大写字母加方括号：A=[aij]。
其中，A表示矩阵的名称，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵的行数和列数分别表示为m 和n，记作m×n矩阵。
2. 矩阵的分类根据矩阵的大小和性质，矩阵可以分为多种类型，包括方阵、行阵、列阵等。
其中，方阵是指行数和列数相等的矩阵；行阵是指只有一行的矩阵；列阵是指只有一列的矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的基本运算包括加法、减法、乘法等。
其中，矩阵的加法和减法需要满足相同大小的矩阵才能进行运算；矩阵的乘法则需要满足左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数才能进行运算。
二、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法的规则与数的加法和减法类似，只需要对应位置的元素进行相应的运算即可。
例如，对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C的第i行第j列的元素为aij+bij，差矩阵D的第i行第j列的元素为aij-bij。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中较为复杂的一种运算，它需要满足一定的条件才能进行运算。
具体规则如下：（1）设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积C为m×p矩阵，记作C=AB。
（2）C的第i行第j列的元素为cij，计算公式为cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
通常表示为A^T或者AT，其中A表示原矩阵，A^T表示转置矩阵。
设A为m×n矩阵，A^T为n×m矩阵，则A的第i行第j列的元素为aij，A^T的第j行第i列的元素为aij。
4. 矩阵的逆对于方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵是一种特殊的矩阵，它主要用于求解矩阵方程和线性方程组。
5. 矩阵的行列式矩阵的行列式是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵的某些特征。
矩阵所有知识点总结
矩阵所有知识点总结1. 矩阵的定义在数学中，矩阵通常表示为一个由 m 行 n 列元素组成的矩形数组，如下所示：-$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$$a_{ij}$$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
当 m = n 时，矩阵称为方阵。
2. 矩阵的运算矩阵具有加法、数乘、矩阵乘法等运算规则，下面分别介绍这些运算规则。
2.1 矩阵的加法设有两个 m 行 n 列的矩阵 A 与 B，则它们的和记为 A + B，其定义为：-$$A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$$2.2 矩阵的数乘设有一个 m 行 n 列的矩阵 A 与一个实数 k，则它们的数乘记为 kA，其定义为：-$$kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} &\cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots &ka_{mn} \end{bmatrix}$$2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，两个矩阵 A 与 B 的乘积为一个 m 行 n 列的矩阵 C，其中 C 的第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。
矩阵知识点归纳总结
矩阵知识点归纳总结一、矩阵的表示1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列数字构成的矩形数组，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。
2. 矩阵的大小矩阵的大小由其行数和列数确定，通常用m×n表示。
例如一个3×2的矩阵表示有3行2列的矩阵。
3. 矩阵的类型根据矩阵的大小和元素的性质，可以分为方阵、对角阵、零矩阵等。
方阵是行数等于列数的矩阵，对角阵是只有主对角线上有非零元素的矩阵，零矩阵则所有元素均为零。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法如果两个矩阵A和B的大小相同，即都是m×n的矩阵，那么它们的和C=A+B也是一个m×n的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的数乘如果一个矩阵A的大小为m×n，那么它的数乘kA也是一个m×n的矩阵，其中k是一个常数，且kA的每个元素等于A相应位置的元素乘以k。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，如果矩阵A的大小为m×n，矩阵B的大小为n×p，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，它通常用A^T表示。
例如，如果A 是一个m×n的矩阵，那么它的转置A^T就是一个n×m的矩阵，其中A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
5. 矩阵的逆如果一个方阵A存在逆矩阵A^-1，那么称A是可逆的。
A的逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
逆矩阵A^-1可以用来求解线性方程组和矩阵方程。
三、矩阵的特征1. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行列式的个数，它也等于矩阵的列空间维数和行空间维数的最小值。
根据矩阵知识点总结及题型归纳
根据矩阵知识点总结及题型归纳
1. 矩阵简介
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，是线性代数中的重要概念。
矩阵可以表示向量和线性变换，并在各个领域中得到广泛应用。
2. 矩阵的基本操作
- 矩阵加法：两个矩阵的对应元素相加，结果仍为矩阵。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘并相加，结果为新矩阵。
- 矩阵转置：将矩阵的行与列互换，得到新矩阵。
3. 矩阵的性质
- 矩阵的零元素：所有元素都为零的矩阵。
- 矩阵的单位元素：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的矩阵。
- 矩阵的逆：满足乘法交换律，矩阵乘以其逆矩阵等于单位矩阵。
4. 矩阵的题型归纳
- 矩阵运算题：根据矩阵加法、矩阵乘法等基本操作进行计算。
- 矩阵转置题：要求将给定矩阵转置，并给出转置后的结果。
- 矩阵的性质题：涉及矩阵的零元素、单位元素、逆矩阵等性
质的题目。
- 矩阵应用题：将矩阵应用于实际问题，如线性方程组的求解、向量空间的表示等。
总结：矩阵是线性代数中的基本概念，具有基本操作和性质。
在题型归纳中，常见的包括矩阵运算、矩阵转置、矩阵的性质和矩
阵应用题。
掌握矩阵的知识点和解题技巧，对于理解线性代数和解
决实际问题具有重要意义。
矩阵知识点总结及应用
矩阵知识点总结及应用1. 矩阵基础知识矩阵是由数个元素按照行列顺序排列成的矩形阵列。
常用的表示方法是用方括号将元素括起来。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{bmatrix} \]2. 矩阵运算2.1 矩阵加法矩阵加法是将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e &f \\g &h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{bmatrix} \]2.2 矩阵乘法矩阵乘法是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列进行线性组合，得到一个新的矩阵。
\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg& af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix} \]2.3 矩阵转置矩阵转置是将矩阵的行列互换得到一个新的矩阵。
\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^T =\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \]3. 矩阵应用3.1 线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的加法、乘法和转置运算，可以求解线性方程组的解。
例如，对于以下的线性方程组：\[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x - 2y = 2 \end{cases} \]可以表示为矩阵形式：\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 2\end{bmatrix} \]解矩阵方程可以得到解：\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.2 \\ 1.4 \end{bmatrix} \]3.2 矩阵变换矩阵可以用来表示几何变换，例如平移、缩放、旋转等。
通用矩阵知识点总结
通用矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念矩阵最初源于解线性方程组的需要。
它是一个数学对象，通常由若干个数排列成的矩形阵列。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B、C等。
例如，一个矩阵可以表示为：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}在上面的例子中，矩阵A是一个2行3列的矩阵，它由6个数字组成，即1、2、3、4、5和6。
矩阵的元素通常用a_{ij}表示，其中i代表矩阵的行索引，j代表矩阵的列索引。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法和减法设A和B是同型矩阵，则它们的和A+B和差A-B分别是这两个矩阵的对应元素之和和差。
例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}则A+B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8\\ 10 & 12 \end{bmatrix}A-B = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}2. 矩阵的数乘设k是一个实数或复数，A是一个矩阵，则kA是由A的每个元素乘以k所得的矩阵。
例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, k = 2则kA = 2 * A = \begin{bmatrix} 2*1 & 2*2 \\ 2*3 & 2*4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2& 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种复杂的运算，需要满足一定的条件。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结1. 矩阵的概念矩阵是数学中的一种特殊形式的数组，是由m×n个数排成m行、n列所组成的数表。
矩阵通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个数称为元素，用小写字母表示，如a[i][j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的基本性质(1) 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素都相等，即A[i][j]=B[i][j]。
(2) 矩阵的加法和减法：两个矩阵A和B相加减的规则是对应元素相加减，即A[i][j] ±B[i][j]。
(3) 矩阵的数乘：矩阵A的数乘是指将A的每个元素都乘以同一个数k，即kA[i][j]。
(4) 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法不是对应元素相乘，而是按照特定的规则进行计算，具体的规则将在后面介绍。
3. 矩阵的运算(1) 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，就是将A的行和列互换得到的新矩阵。
即A^T[i][j]=A[j][i]。
(2) 矩阵的加法和减法：两个矩阵A和B相加减时，要求它们的行数和列数都相等，然后对应元素相加减。
(3) 矩阵的数乘：矩阵A的数乘是将A的每个元素都乘以同一个数k。
(4) 矩阵的乘法：矩阵A和矩阵B的乘法是指矩阵A的行与矩阵B的列进行内积运算，得到一个新的矩阵C。
其中，矩阵A的列数要等于矩阵B的行数，即A(m×n)B(n×p)=C(m×p)。
4. 矩阵的特殊类型(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
(2) 对角矩阵：只有主对角线上有非零元素的矩阵称为对角矩阵，其他位置的元素都为零。
(3) 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他位置的元素都为0的n阶方阵称为单位矩阵，记作I。
(4) 零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
5. 矩阵的应用(1) 线性方程组的解法：线性方程组可以通过矩阵的方法进行求解，将系数矩阵与未知数矩阵进行组合，然后通过矩阵的运算得到方程组的解。
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
矩阵制知识点总结
矩阵制知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成长方形阵列，这个数的排列顺序很重要。
矩阵常用大写字母表示，例如A,B,C等，对应的小写字母表示矩阵的元素，例如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型矩阵可以分为多种类型，如行矩阵、列矩阵、方阵、对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等，每种类型的矩阵都有其独特的特点和性质。
1.3 矩阵的运算矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算，这些运算都有其独特的规则和性质。
二、基本运算2.1 矩阵的加法和数乘矩阵的加法和数乘是矩阵最基本的运算，矩阵的加法和数乘都有其独特的规则和性质。
2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的一种重要的运算，矩阵的乘法也有其独特的规则和性质。
2.3 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵，转置矩阵有很多重要的性质和应用。
2.4 矩阵的逆方阵中非奇异矩阵才有逆矩阵，矩阵的逆矩阵也有其独特的运算规则和性质。
三、矩阵的应用3.1 矩阵在几何学中的应用矩阵在几何学中有着广泛的应用，矩阵可以表示几何变换，求解几何问题，描述几何图形等。
3.2 矩阵在线性代数中的应用矩阵在线性代数中有着重要的应用，线性代数中的很多概念和定理都可以用矩阵来描述和证明。
3.3 矩阵在物理学中的应用矩阵在物理学中有着广泛的应用，矩阵可以用来描述物理过程，解决物理问题，描述物理系统等。
3.4 矩阵在工程学中的应用矩阵在工程学中也有着很多的应用，矩阵可以用来描述工程系统，解决工程问题，优化工程设计等。
3.5 矩阵在计算机科学中的应用矩阵在计算机科学中也有着广泛的应用，矩阵可以用来描述图形图像，进行数据处理，解决优化问题等。
四、相关定理4.1 矩阵的秩与行列式矩阵的秩与行列式之间有着很重要的联系，矩阵的秩和行列式都是矩阵的重要性质和特征。
4.2 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵的另一个重要特征，矩阵的特征值和特征向量也有着很多重要的性质和应用。
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
本文将对矩阵的基本概念、运算法则以及常见的矩阵类型进行归纳总结。
一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列的元素排列而成的矩形阵列，用大写字母表示，如A。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 元素：矩阵中的数值称为元素，用小写字母表示，如a。
矩阵A的第i行第j列的元素表示为a_ij。
3. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
4. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的矩阵，用I表示。
5. 行向量和列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
3. 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每个元素。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A与B的乘积AB是m×p的矩阵，且AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
5. 转置：将矩阵的行和列对调得到的矩阵称为原矩阵的转置。
若A为m×n的矩阵，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素。
三、常见的矩阵类型1. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的方阵称为对角矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线以下的元素都为0的方阵称为上三角矩阵。
4. 下三角矩阵：主对角线以上的元素都为0的方阵称为下三角矩阵。
5. 对称矩阵：元素满足a_ij=a_ji的方阵称为对称矩阵。
6. 反对称矩阵：元素满足a_ij=-a_ji的方阵称为反对称矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵。
四、矩阵的性质1. 矩阵的零点乘法：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
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3）乘法运算
定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p矩阵， 则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这个矩阵的第i行第
j 列位置上的元素cij等于A 的第i行的元素与B的第j列的
对应元素的乘积的和. 即
n
cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ,
ai k bkj
2. 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k为任意实数. A=(aij)m×s ， B=(bij)s×n .
3. 分配律
① (A+B) C=AC+BC, 其中A, B都为m×n矩阵, C是n×p矩阵.
② C(A+B) =CA+CB, 其中C为m×n 矩阵, A, B都为n×s矩阵.
预备知识
二、数环 定义 设S为非空数集，若
a, b S, a b S, a b S, 则称S为一个数环.
等价定义：S是一个非空数集，若 S对加法、减法、乘法是 封闭的，则称S是一个数环．
1. 单独一个数0作成的数集{0}是一个数环． 2. 全体整数集Z作成一个数环． 3. 自然数集N不是数环，因为它对减法不封闭． 4. 数环有无穷多． 5. 所有的数环都包含零环，即零环是最小的数环．
预备知识
三、数域
定义 设C是全体复数构成的集合. F C, F中至少含有一个非
零数. 如果在F内可以进行加、减、乘、除(当然在作除法 运算时，要求除数不为零)四种运算，且运算结果都在F 内，那么就称F为一个数域.
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域.）
0
a
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.
二. 几种特殊矩阵
（7）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n零矩阵记作0m×n或
0 . 注意 不同阶数的零矩阵是不“相等”的.
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0 0
"
"
0
0
0
0.
0
0
0
0
(8)负矩阵
设 A (aij矩)s阵n ,
关于矩阵
➢1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的 概念。 ➢应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。 如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定 性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线 照相术等方面，都有广泛的应用。 ➢1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则。
设S是一个非空数集，若S中任意两个数作某一运算的结 果仍在S中，则数集S对此运算是封闭 (closed)的．
如: {0}零集合,Z—自然数集,N—整数集,Q—有理数集, R—实数集,C—复数集.
数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质称为代数性 质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。 有其它一些数集也具有这样的性质。
一. 矩阵的概念和运算
4）矩阵的转置.
a11 a12
设
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩
阵。记为 A ' 或 AT .
转置有下面的性质:
(1) ( AT )T A
(2) ( A B )T AT BT
(3) AB T BT AT
1 0 O 0
形如
0
2
O
0
0
0
的方阵, 称为对角矩阵 (或对角阵）.
n
记作 A diag [1, 2, , n ].
二. 几种特殊矩阵
（5）上梯形矩阵和下梯形矩阵
a11
0
a12 a22
a1k a2 k
上梯形矩阵
B
0
0 0
0
0 0
0
0 0
a1n
a2
n
ann
一. 矩阵的概念和运算
1.矩阵A：由m×n个数ai j (i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n)按 一定的次序排成的m行n列的数表
a11 a12
Amn
a21
a22
a1n
a2n
aij
mn
矩阵A的 (m.n)元
am1
am 2
amn
其中aij i 1,2,, m; j 1,2,, n F
2. 矩阵行列式|A|： 方阵A所对应的行列式叫做矩阵A的行列式，记为 detA=|A|.
当|A|≠0时，A称为非奇异矩阵. 当|A|=0时，A称为奇异矩阵.
3. 矩阵的相等：
Amn
Bm1n1
A、B
行列数分别相等，即
m1 m n1 n
各对应位置元素分别相等，即
aij bij
4. 矩阵集合:
M(F)指数域F上矩阵的全体;Mmn(F)指数域F上m×n矩阵
k 1
i 1,2,, m; j 1,2,, p.
运算过程演示
演示
矩阵的乘法也可以表示为
n
a1k bk1
k 1
n
AB
k 1
a2 k bk1
n
k 1 amk bk1
n
a1k bk 2
k 1
n
a2k bk 2
k 1
n
amk bk 2
k 1
由矩阵的定义可以看出:
n
a1k bkp
k 1
二. 几种特殊矩阵
(1)行数和列数都等于n的矩阵A, 称为n阶
方阵.也可记作 An.
例如
13 6 2i
2 2
2 2
2 2
副(反)对角线 是一个3 阶方阵.
主对角线
(2)只有一行元素和一列元素的矩阵
A a1, a2, , an ,
称为行矩阵(或行向量).
二. 几种特殊矩阵
只有一列元素的矩阵
其运算规律为： 满足交换律：A B B A
满足结合律：A B C A B C
具有恒等性： 零矩阵0 0mn 使得 A 0 0 A A
具有相反性：负矩阵
A
aij
使得
mn
A
A
A
A
0
一. 矩阵的概念和运算
2）加法运算
数对矩阵加法可分配：对 k F 有 kA B kA kB
等价定义：如果一个包含0，1在内的数是封闭的，则称数 集F为一个数域． 任意数域F都包括有理数域Q.即,有理数域为最小数域.
任何一个数域都包含于复数域，即：复数域是最大的数域.
关于矩阵
➢矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 1814-1897）于 1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣 誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从 1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和 律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授， 并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开 创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m×n个数称为A的元素,简称为元(aij为代表元）.
元素是实数的矩阵称为实矩阵.
元素是复数的矩阵称为复矩阵. 元素全是零的矩阵称为零矩阵.记为0m×n, 即:aij= 0, i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
一. 矩阵的概念和运算
a j1
ai1
ห้องสมุดไป่ตู้
a jn
ain
A ai1
ain
用k 0 F 乘以某行（列）
k ai1
kain
ai1
A
a j1
ain
a jn
用后k加F到乘令 以一某行行列（列） a
j1
a j1
k
ai1
a jn
a jn kain
n
a2 k bkp
k 1
n
k 1 amk bkp
➢当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时, 两个矩阵才可 以相乘。 ➢乘积矩阵AB中第i行第j列的元素aij等于矩阵A的第i行 与矩阵B的第j列对应元素乘积之和。简记作前行乘后 列。
一. 矩阵的概念和运算
矩阵乘法不满足的性质: 1. 交换律
矩阵的乘法不满足交换律.
i
amn
AD1k
a11
ka1i
a1n
am1 kami amn
Di k
1 k 1
1
因为
Di
k
Di
1 k
I
Di
k
可逆，且
Di
k 1
Di
1 k
i
1
j
I
第j行（i 列）乘k 加到第r行（j 列）
Ti j k
1k 1
1
因为 Ti j kTi j k I
Ti j k 可逆，且 Ti j k 1 Ti j k
(记i=1,2……m,j=即1:,2A…+…B=.n[)aij]m×n+[bij]m×n=[aij 为:C=A+B. +bij]m×n.
一. 矩阵的概念和运算
2）加法运算
这个运算可以演示如下:
演示
说明：
① 两个矩阵只有当行数相同,列数相同才能相加.
② 若A、B都是m×n矩阵，则C也是 m×n矩
③ 阵不．同形状矩阵的和不予定义(如没有意义).
三. 矩阵的主要性质
(2) 初等矩阵： 对单位矩阵I进行一次初等行（列）变换后所得的矩阵.