北京市九年级上学期数学9月月考试卷D卷
九年级上月考数学试卷(9月份)含解析
九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑,每小题3分,共30分）1．在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若a＞b,则下列式子正确的是（）A．﹣4a＞﹣4b B．a＜b C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣43．如图,用不等式表示数轴上所示的解集,正确的是（）A．x＜﹣1或x≥3B．x≤﹣1或x＞3C．﹣1≤x＜3D．﹣1＜x≤34．若凸n边形的内角和为1260°,则n的值是（）A．9B．10C．11D．125．反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限6．若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6＞0的解集是（）A．a＞﹣2B．a＞﹣2且a≠0C．a D．a＜﹣27．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关8．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2B．2a（b+c）=2ab+2acC．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2D．（x﹣1）（y﹣1）=xy﹣x﹣y+19．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论：①当x＜3时,y1＞0；②当x＜3时,y2＞0；③当x＞3时,y1＜y2中,正确的个数是（）A．0B．1C．2D．310．甲、乙两名工人加工某种零件,已知甲每天比乙多加工5个零件,甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x个零件,则根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题4分,共20分）11．函数y=的自变量x取值范围是12．x2﹣10x+21可以分解为（x+n）（x﹣7）,则n=．13．已知点P（2﹣a,﹣3a）在第四象限,那么a的取值范围是．14．如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为．15．在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则平行四边形ABCD的面积为．三、解答题：（16题每小题18分,17、18每题6分,19题10分,20题10分）16．（1）解不等式组（2）分解因式（x﹣1）（x﹣3）﹣8（3）解方程：=+17．当+|b+2|+c2=0时,求ax2+bx+c=0的解．18．先化简,后求值,其中x为0、1、2、4中的一个数．19．如图,在直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标是（﹣3,﹣1）．（1）先将△ABC沿y轴正方向向上平移3个单位长度,再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,点C1坐标是；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°,得到△A2B1C2,画出△A2B1C2,并求出点C2的坐标是；（3）我们发现点C、C2关于某点中心对称,对称中心的坐标是．20．如图1,四边形ABCD是菱形,过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点F．（1）说明△AEB≌△CFD的理由；（2）连接AC、BD,AC与DB交于点O（如图2）,若BE=1．①当DC=2时,求FC的长度；②当CD是∠ACF的平分线时,求DB的长度与菱形ABCD的边长．一．填空题（每题4分,共20分）21．如果a+b=8,ab=15,则a2b+ab2的值为．22．关于x的方程的解是非正数,则m的取值范围是．23．如图,点D、E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,点G在边BC上,AG交DE于点H,点O是线段AG的中点,若AD：DB=3：1,则AO：OH=．24．已知=k,则k=．25．如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为．二．解答题（26题8分,27题10分,28题12分,共20分）26．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件．（1）将售价定为多少元的时候,使每天利润为700元吗？（2）当售价定为x元时,这天所获利润为y,请写出y与x的关系式．（3）根据（2）问中的关系式,求出这天所获利润y的最大值？27．如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,点E在BD上,△BEG是等腰直角三角形,且∠BEG=90°,点F是DG的中点,连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2,若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°,其他条件不变,请判断△CEF的形状,并证明你的结论．28．在矩形OABC中,OA=4,OC=2,以点O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,建立直角坐标系．（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC,如图1,DE经过点B,求旋转角的大小和点D,F 的坐标；（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移,如图2,平移速度是每秒1个单位长度．①经过几秒,直线EF经过点B；②设两矩形重叠部分的面积为S,运动时间为t,写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．九年级上月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（请在答题卡上将正确答案的序号涂黑,每小题3分,共30分）1．在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形,不是中心对称图形；B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形；C、是轴对称图形,也是中心对称图形；D、是轴对称图形,不是中心对称图形．故选：C．【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念,以及对轴对称图形和中心对称图形的认识,熟记概念是解题的关键．2．若a＞b,则下列式子正确的是（）A．﹣4a＞﹣4b B．a＜b C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣4【分析】根据不等式的性质（①不等式的两边都加上或减去同一个数或整式,不等号的方向不变,②不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变,③不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变）逐个判断即可．【解答】解：A、∵a＞b,∴﹣4a＜﹣4b,故本选项错误；B、∵a＞b,∴a b,故本选项错误；C、∵a＞b,∴﹣a＜﹣b,∴4﹣a＜4﹣b,故本选项错误；D、∵a＞b,∴a﹣4＞b﹣4,故本选项正确；【点评】本题考查了对不等式的性质的应用,主要考查学生的辨析能力,是一道比较典型的题目,难度适中．3．如图,用不等式表示数轴上所示的解集,正确的是（）A．x＜﹣1或x≥3B．x≤﹣1或x＞3C．﹣1≤x＜3D．﹣1＜x≤3【分析】不等式的解集表示﹣1与3之间的部分,其中不包含﹣1,而包含3．【解答】解：由图示可看出,从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是空心圆,表示x＞﹣1；从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆,表示x≤3．所以这个不等式组为﹣1＜x≤3故选：D．【点评】此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．4．若凸n边形的内角和为1260°,则n的值是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据多边形内角和定理列式计算即可．【解答】解：由题意得,（n﹣2）×180°=1260°,解得,n=9,故选：A．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角,掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）是解题的关键．5．反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【分析】因为k=2＞0,根据反比例函数性质,可知图象在一、三象限．【解答】解：∵k=2＞0,∴图象在一、三象限．【点评】对于反比例函数（k≠0）,（1）k＞0,反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0,反比例函数图象在第二、四象限内．6．若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6＞0的解集是（）A．a＞﹣2B．a＞﹣2且a≠0C．a D．a＜﹣2【分析】由于ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,故a≠0；再解不等式即可求得a的取值范围；这样即可求得不等式的解集．【解答】解：不等式移项,得3a＞﹣6,系数化1,得a＞﹣2；又∵ax2﹣5x+3=0是一元二次方程,∴且a≠0；所以,a＞﹣2且a≠0；故选：B．【点评】一元二次方程必须满足三个条件：（1）只含有一个未知数,未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程．同时解不等式时,两边同时乘或除一个负数时,不等号的方向要改变．7．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关【分析】求出方程的判别式后,根据判别式与0的大小关系来判断根的情况．【解答】解：∵方程的△=k2+4＞0,故方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2B．2a（b+c）=2ab+2acC．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2D．（x﹣1）（y﹣1）=xy﹣x﹣y+1【分析】根据把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案．【解答】解：∵x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2,∴C是因式分解,故选：C．【点评】本题考查了因式分解,因式分解的关键是把多项式转化成几个整式积的形式．9．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论：①当x＜3时,y1＞0；②当x＜3时,y2＞0；③当x＞3时,y1＜y2中,正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据一次函数图象的位置进行判断,从函数图象来看,就是确定直线y=kx+b是否在在x 轴上（或下）方．【解答】解：根据图象可知：①当x＜3时,一次函数y1=kx+b的图象在x轴上方,故y1＞0；②当x＜3时,一次函数y2=x+a的图象一部分在x轴上方,一部分在x轴下方,故y2＞0或y2=0或y2＜0；③当x＞3时,一次函数y1=kx+b的图象在一次函数y2=x+a的图象的下方,故y1＜y2,所以正确的有①和③．故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系,从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．10．甲、乙两名工人加工某种零件,已知甲每天比乙多加工5个零件,甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x个零件,则根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．【分析】根据题意列出乙每天加工零件的个数x﹣5,由等量关系式甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同,列出方程即可．【解答】解：据题意列出方程得,,故选：D．【点评】解决此题的关键是：找对等量关系．二．填空题（每小题4分,共20分）11．函数y=的自变量x取值范围是x≤4且x≠3【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得,x﹣3≠0且4﹣x≥0,解得x≠3且x≤4．故函数y=的自变量x取值范围是x≤4且x≠3．故答案为：x≤4且x≠3．【点评】本题考查函数自变量的取值范围,涉及的知识点为：分式有意义,分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12．x2﹣10x+21可以分解为（x+n）（x﹣7）,则n=﹣3．【分析】先多项式x2﹣10x+21分解因式可得n的值．【解答】解：x2﹣10x+21=（x﹣3）（x﹣7）,∵x2﹣10x+21可以分解为（x+n）（x﹣7）,∴n=﹣3,故答案为：﹣3．【点评】本题考查了因式分解与原多项式的关系,解决此类问题,由于多项式因式分解是恒等变形,根据相同项的系数相等,得到方程并求出其解．13．已知点P（2﹣a,﹣3a）在第四象限,那么a的取值范围是0＜a＜2．【分析】根据点所在的象限,列不等式组,求解即可．【解答】解：∵点P（2﹣a,﹣3a）在第四象限,∴,由①得a＜2,由②得a＞0,∴a的取值范围是0＜a＜2,故答案为0＜a＜2．【点评】本题考查了象限内点的符号特点,以及不等式组的解法,是基础知识比较简单．14．如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出DF的长,再利用三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,可求出DE的长,进而求出EF的长【解答】解：∵∠AFB=90°,D为AB的中点,∴DF=AB=2.5,∵DE为△ABC的中位线,∴DE=BC=4,∴EF=DE﹣DF=1.5,故答案为：1.5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．15．在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则平行四边形ABCD的面积为48．【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20,设BC为未知数,利用两种方法得到的平行四边形的面积相等,可得BC长,乘以4即为平行四边形的面积．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为40,∴BC+CD=20,=BC•AE=CD•AF,设BC为x,∵S平行四边形ABCD∴4x=（20﹣x）×6,解得x=12,∴平行四边形ABCD的面积为12×4=48．故答案为48．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,平行四边形的对边相等,面积等于底×高．三、解答题：（16题每小题18分,17、18每题6分,19题10分,20题10分）16．（1）解不等式组（2）分解因式（x﹣1）（x﹣3）﹣8（3）解方程：=+【分析】（1）先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分即可；（2）先化简整理多项式,再根据十字相乘法进行因式分解即可；（3）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解答】解：（1）解不等式①,可得x≥﹣2,解不等式②,可得x＜3.5,∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜3.5；（2）（x﹣1）（x﹣3）﹣8=x2﹣4x+3﹣8=x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）；（3）=+方程两边同乘（x+2）（x﹣2）,可得（x﹣2）2=（x+2）2+16,解得x=﹣2,检验：当x=﹣2时,（x+2）（x﹣2）=0,∴x=﹣2是原方程的增根,∴原方程无解．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组,因式分解以及解分式方程,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应检验．17．当+|b+2|+c2=0时,求ax2+bx+c=0的解．【分析】先根据算术平方根、绝对值和平方的非负性可得a、b、c的值,代入方程解出即可．【解答】解；当+|b+2|+c2=0时,则,∴,∴4x2﹣2x=0,2x2﹣x=0,x（2x﹣1）=0,x1=0,x2=【点评】本题考查了算术平方根、绝对值和平方的非负性和利用因式分解解一元二次方程,熟练掌握算术平方根、绝对值和平方的非负性是关键．18．先化简,后求值,其中x为0、1、2、4中的一个数．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣•=﹣,当x=0时,原式=1．【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．如图,在直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标是（﹣3,﹣1）．（1）先将△ABC沿y轴正方向向上平移3个单位长度,再沿x轴负方向向左平移1个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,点C1坐标是（﹣2,1）；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°,得到△A2B1C2,画出△A2B1C2,并求出点C2的坐标是（﹣5,0）；（3）我们发现点C、C2关于某点中心对称,对称中心的坐标是（﹣3,﹣1）．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用关于点对称的性质得出对称中心即可．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1,即为所求,点C1坐标是：（﹣2,1）；故答案为：（﹣2,1）；（2）如图所示：△A2B1C2,即为所求,点C2坐标是：（﹣5,0）；故答案为：（﹣5,0）；（3）点C、C2关于某点中心对称,对称中心的坐标是：（﹣3,﹣1）．故答案为：（﹣3,﹣1）．【点评】此题主要考查了旋转变换和平移变换,根据题意得出对应点位置是解题关键．20．如图1,四边形ABCD是菱形,过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E,过点C作AD的垂线交AD的延长线于点F．（1）说明△AEB≌△CFD的理由；（2）连接AC、BD,AC与DB交于点O（如图2）,若BE=1．①当DC=2时,求FC的长度；②当CD是∠ACF的平分线时,求DB的长度与菱形ABCD的边长．【分析】（1）首先这两个三角形是直角三角形,可根据菱形的性质四边相等,对边平行,可得到AB=DC,AE=CF；（2）因为三角形AEB是直角三角形,可根据勾股定理求解；（3）用角平分线上的点到两边的距离相等的性质以及勾股定理可求出DB的长度与菱形ABCD 的边长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD∥BC,又∵AE⊥CE,CF⊥AF,∴AE=CF,∴在直角三角形AEB和直角三角形CFD中,∴△AEB≌△CFD；（2）①∵△AEB≌△CFD,∴DF=BE=1,∴FC==,②当CD是∠ACF的平分线时∵∠DOC=90°,∠CFD=90°,∴DO=DF=1,∴DB=2,∵CD是∠ACF的平分线,∴∠ECA=∠DCA=∠DCF=30°,∴∠BCD=60°,∴△BCD是等边三角形,∴菱形ABCD的边长为2．【点评】本题考查菱形的性质,勾股定理以及角平分线上的点到两边的距离相等,和直角三角形全等的判定,关键是熟记这些性质定理和判定定理．一．填空题（每题4分,共20分）21．如果a+b=8,ab=15,则a2b+ab2的值为120．【分析】把所求的代数式整理为和所给代数式相关的式子,代入求值即可．【解答】解：a2b+ab2=ab（a+b）=15×8=120．【点评】本题考查因式分解的运用,有公因式时,要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．22．关于x的方程的解是非正数,则m的取值范围是m≥．【分析】先解方程求得x,然后根据x≤0,求出m的取值范围即可．【解答】解：去分母得,2（x+m）﹣3（2x﹣1）=6m,去括号得,2x+2m﹣6x+3=6m,移项合并得,﹣4x=4m﹣3,系数化为1得,x=,∵关于x的方程的解是非正数,∴≤0,∴m≥．故答案为：m≥．【点评】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式,是一道综合题,难度不大．23．如图,点D、E分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,点G在边BC上,AG交DE于点H,点O是线段AG的中点,若AD：DB=3：1,则AO：OH=2：1．【分析】根据平行线分线段成比例定理求出,,推出AO=AG,OH=OG﹣HG=AG﹣AG,代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC,AD：DB=3：1,∴===,==,∴OH=OG﹣HG=AG﹣AG,∵点O是线段AG的中点,∴OA=OG=AG,∴AO：OH=（AG）：（AG﹣AG）=2：1,故答案为：2：1．【点评】本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用,关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理．24．已知=k,则k=2或﹣1．．【分析】先根据比例的性质得出bk=a+c,ck=b+a,ak=c+b,再将这三个式子相加,整理得出（a+b+c）k=2（a+b+c）．然后分a+b+c≠0与a+b+c=0两种情况,分别求出k的值即可．【解答】解：∵=k,∴bk=a+c,ck=b+a,ak=c+b,∴bk+ck+ak=a+c+b+a+c+b,∴（a+b+c）k=2（a+b+c）．①如果a+b+c≠0,那么k=2；②如果a+b+c=0,那么a+c=﹣b,k==﹣1．故答案为2或﹣1．【点评】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若a：b=c：d,则ad=bc．分情况讨论是解题的关键．25．如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为．【分析】根据旋转得出∠NCE=75°,求出∠NCO,设OC=a,则CN=2a,根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x,由勾股定理得出x2+x2=（2a）2,求出x=a,得出CD=a,代入求出即可．【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,∴∠ECN=75°,∵∠ECD=45°,∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°,∵AO⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠ONC=30°,设OC=a,则CN=2a,∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN,∴△CMN也是等腰直角三角形,设CM=MN=x,则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2,x=a,即CD=CM=a,∴==,故答案为：．【点评】本题考查了等腰直角三角形性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,旋转性质,三角形的内角和定理等知识点,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,但有一定的难度．二．解答题（26题8分,27题10分,28题12分,共20分）26．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件．（1）将售价定为多少元的时候,使每天利润为700元吗？（2）当售价定为x元时,这天所获利润为y,请写出y与x的关系式．（3）根据（2）问中的关系式,求出这天所获利润y的最大值？【分析】（1）如果设每件商品提高x元,用x表示出单件的利润以及每天的销售量,然后根据总利润=单价利润×销售量列出关于x的方程,进而求出未知数的值．（2）首先设应将售价提为x元时,才能使得所赚的利润最大为y元,根据题意可得：y=（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]；（3）将（2）中关系式化简配方,即可得y=﹣20（x﹣14）2+720,即可求得答案．【解答】解：（1）设每件商品提高x元,则每件利润为（10+x﹣8）=（x+2）元,每天销售量为（200﹣20x）件,依题意,得：（x+2）（200﹣20x）=700．整理得：x2﹣8x+15=0．解得：x1=3,x2=5．∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元；（2）设利润为y：则y=（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]=﹣20x2+560x﹣3200；（3）y=﹣20x2+560x﹣3200,=﹣20（x﹣14）2+720,则当售价定为14元时,获得最大利润；最大利润为720元．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大,解题的关键是理解题意,找到等量关系,求得二次函数解析式．27．如图1,在正方形ABCD中,BD是对角线,点E在BD上,△BEG是等腰直角三角形,且∠BEG=90°,点F是DG的中点,连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2,若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°,其他条件不变,请判断△CEF的形状,并证明你的结论．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=DF=DG,CF=DF=DG,从而得证；（2）根据等边对等角可得∠FDE=∠FED,∠FCD=∠FDC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFC=2∠BDC,然后根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BDC=45°,求出∠EFC=90°,从而得证；（3）延长EF交CD于H,先求出EG∥CD,再根据两直线平行,内错角相等求出∠EGF=∠HDF,然后利用“角边角”证明△EFG和△HFD全等,根据全等三角形对应边相等可得EG=DH,EF=FH,再求出CE=CH,然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】（1）证明：∵∠BEG=90°,点F是DG的中点,∴EF=DF=DG,∵正方形ABCD中,∠BCD=90°,点F是DG的中点,∴CF=DF=DG,∴EF=CF；（2）证明：∵EF=DF,CF=DF,∴∠FDE=∠FED,∠FCD=∠FDC,∴∠EFC=∠EFG+∠CFG=∠FDE+∠FED+∠FCD+∠FDC=2∠FDE+2∠FDC=2∠BDC,在正方形ABCD中,∠BDC=45°,∴∠EFC=2×45°=90°,∴EF⊥CF；（3）解：△CEF是等腰直角三角形．理由如下：如图,延长EF交CD于H,∵∠BEG=90°,∠BCD=90°,∴∠BEG=∠BCD,∴EG∥CD,∴∠EGF=∠HDF,∵点F是DG的中点,∴DF=GF,在△EFG和△HFD中,,∴△EFG≌△HFD（ASA）,∴EG=DH,EF=FH,∵BE=EG,BC=CD,∴BC﹣EB=CD﹣DH,即CE=CH,∴EF⊥CF（等腰三角形三线合一）,CF=EF=EH,∴△CEF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰直角三角形的判定,熟记各性质是解题的关键,（3）作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．28．在矩形OABC中,OA=4,OC=2,以点O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,建立直角坐标系．（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC,如图1,DE经过点B,求旋转角的大小和点D,F 的坐标；（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移,如图2,平移速度是每秒1个单位长度．①经过几秒,直线EF经过点B；②设两矩形重叠部分的面积为S,运动时间为t,写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．【分析】（1）根据OA=4,OC=2,BC=OA,因而就可求得BC=2CD,则可以求出∠BCD=60°,则旋转角即可求得；作DM⊥CB于点M,FN⊥CB于点N,根据三角函数即可求得：DM,CM的长,从而求得D的坐标,在Rt△CFN中,根据三角函数即可求得CN,FN的长,即得F的坐标；（2）①HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在Rt△C′DH中利用三角函数即可求得DH,从而得到HE,再在△HEB中,利用三角函数求得BH,即可求得时间．②重合的部分可能是四边形,也可能是三角形,应分两种情况进行讨论．【解答】解：（1）如图1．在矩形OABC中,OA=4,OC=2,所以在RT△BCD中,BC=2CD,即所以∠BCD=60°．所以旋转角∠OCD=30°作DM⊥CB于点M,FN⊥CB于点N．在RT△CDM中,CM=CD•cos60°=1,DM=CD•sin60°=．所以点D到x轴的距离为．在RT△CFN中,,所以点F到x轴的距离为4．故D（1,）,F（（2）①如图2,HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在RT△C′DH中,,所以．在RT△BEH中,HE=BHcos30°,则．所以直线EF经过点B时所需的时间秒②过点D作DM⊥BC于点M．在RT△DMC′中,C′M=．在RT△DHC′中,C′D=C′Hcos60°=2．当0＜t＜1时,重叠部分面积为四边形DGCH,如图2,C′C=t,CG=C′Ctan60°=t．．当1≤t＜4时,重叠部分的面积为△GCH,如图3,．所以重叠部分的面积S=CG•CH=×（4﹣t）（4﹣t）=t2﹣t+．【点评】本题是三角函数与图形的旋转相结合的题目,注意旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变．得到相等关系是解决本题的关键．。
北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题
北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题一、单选题1．下列变量具有二次函数关系的是（ ） A ．圆的周长C 与半径rB ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量xC ．正三角形的面积S 与边长aD ．匀速行驶的汽车，路程s 与时间t2．抛物线y=﹣12x 2+3x ﹣52的对称轴是（ ）A ．x=3B ．x=﹣3C ．x=6D ．x=﹣523．下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A ．20x x += B ．24520x x -+= C ．25410x x --=D ．23410x x -+=4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是（） A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c >6．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．32D ．﹣327．函数221y ax x =-+和y ax a =+（a 是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若324y y y <<，则1234,,,y y y y 的最值情况是( ) A ．3y 最小，1y 最大 B ．3y 最小，4y 最大 C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题9．关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一根为0，则m =． 10．方程2x x =的解是．11．把函数23y x =-的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是．12．已知抛物线22y x x =+经过点12(4,),(1,)y y -，则1y 2y ．（填“＞”，“＝”，“＜”） 13．二次函数2y x 2x 3=-+-，用配方法化为2y a(x h)k =-+的形式为．14．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为x 米，面积为y 平方米．写出y 与x 的函数关系式，自变量x 的取值范围是．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若点P 的坐标为()4,0，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①D A C E B →→→→；②D B E A C →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．解方程：()232x x x +=+． 18．解方程()224415x x x -+=+19．已知﹣1是方程x 2+ax ﹣b=0的一个根，求a 2﹣b 2+2b 的值．20．已知关于x 的方程()2320x m x m -+++=．(1)求证：无论实数m 取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -．(1)求该函数解析式；(2)当2x >-时，对于x 的每一个值，函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于4-，直接写出n 的取值范围．22．一个小球以6m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______米，滚动______米后停止．(2)小球滚动11m 1.73）（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s vt =）23．已知：二次函数()20y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：(1)直接写出m 的值为______； (2)求这个二次函数的解析式；(3)当14x -<<时，y 的取值范围为______． 24．综合与实践 【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组：整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值． 【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C 组； ②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，E 是平面内一点，且CE C B <，过点C 作FC CE ⊥，且CF CE =，连接AE 、AF 、M 是AF 的中点，作射线DM 交AE 于点N ．(1)如图1，若点E 在BC 边上，F 在CD 边上． ①请补全图形；②请问DN 和AE 有怎样的位置关系，并证明；(2)如图2，若点E 在四边形ABCD 内，点F 在直线BC 上方，求EAC ∠与ADN ∠的和的度数．。
2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含解析)
2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级第一学期月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝﹣（x+1）2+3C．y＝﹣（x+1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣32．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝﹣D．x＝﹣13．P（﹣2，y1），Q（4，y2）是函数y＝图象上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1，y2大小不确定4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3 5．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定6．函数y＝与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．7．抛物线上y＝（m﹣4）x2有两点A（﹣3，y1）、B（2，y2），且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）A．m＞4B．m＜4C．m≥4D．m≠48．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y2＜y3＜y1，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y2最小，y4最大D．无法确定二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 ．10．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．11．某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，则可列得方程为 ．12．某抛物线满足：①开口向上；②顶点（﹣1，4）．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式 ．13．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为 ．14．如图，A，B两点在函数（x＜0）图象上，BD垂直x轴于点D，△AOC1，S2，则S1 S2．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．15．已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝ ；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k 0，b 0（填“＞”，“＝”或“＜”）．16．抛物线y＝ax2+bx+c．的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共68分，其中17题10分，18题9分，19题5分，20题7分，21题8分，22题8分，23题7分，24题7分，25题7分）17．解一元二次方程．（1）x2﹣3＝0；（2）x2﹣6x﹣4＝0．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2+m＝0．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…（1）并画出图象．（2）求此抛物线的解析式．（3）结合图象，直接写出方程ax2+bx+c＝﹣3的根．（4）结合图象，直接写出当0＜x＜3时y的取值范围．20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠θ）的图象交于A （﹣1，n），B（3，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围；（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．21．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？22．小朋在学习过程中遇到一个函数y＝x3.下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ；（2）进一步研究，y与x的几组对应值如下表：x…﹣2﹣﹣1012…y… 0 …（3）结合上表，画出函数图象：（4）结合函数图象，写出两条性质 ．23．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面，其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴2，则抛物线的焦点为（0，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，某款探照灯抛物线的表达式为y＝（1）点F的坐标是 ；（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4，0）．①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；②BP所在直线与x轴的交点坐标为 ．24．在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．25．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，b）．对于点P（x，y），若实数k满足|y﹣b|＝k|x﹣a|，则称k为点P关于点A的距离系数．若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值（1）当点A与点O重合时，在P1（2，2），P2（﹣2，1），P3（﹣4，4）中，关于点A 的距离系数为1的是 ；（2）已知点B（﹣2，1），C（1，1），若线段BC关于点A（m，﹣1）的距离系数小于 ；（3）已知点A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4．以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，E为该正方形上的动点，线段DE的长度是一个定值（0＜DE＜2）．①线段DE关于点A的距离系数的最小值为 ；②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，则DE的长为 ．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝﹣（x+1）2+3C．y＝﹣（x+1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移2个单位2+3．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．2．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝﹣D．x＝﹣1【分析】把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．解：∵y＝2x2﹣7x+1＝2（x6﹣2x+1﹣7）+1＝2（x﹣7）2﹣1，∴对称轴是直线x＝2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解．3．P（﹣2，y1），Q（4，y2）是函数y＝图象上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1，y2大小不确定【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2的大小关系．解：∵函数y＝，∴该函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而减小，∵P（﹣2，y7），Q（4，y2）是函数y＝图象上两点，∴y1＜0＜y6，故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．解：方程x2+4x+6＝0，整理得：x2+7x＝﹣1，配方得：（x+2）7＝3．故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定【分析】把a＝2，b＝﹣3，c＝1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．解：∵a＝2，b＝﹣3，∴Δ＝b5﹣4ac＝（﹣3）8﹣4×2×5＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键．6．函数y＝与y＝kx﹣k（k为常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．解：A、∵由反比例函数的图象在一，k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三，故本选项错误；B、∵由反比例函数的图象在二，k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二，故本选项错误；C、∵由反比例函数的图象在一，k＞7，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三，故本选项正确；D、∵由反比例函数的图象在一，k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．7．抛物线上y＝（m﹣4）x2有两点A（﹣3，y1）、B（2，y2），且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）A．m＞4B．m＜4C．m≥4D．m≠4【分析】把A、B两点的坐标分别代入抛物线解析式可用m分别表示出y1和y2，利用条件可得到m的不等式，可求得m的取值范围．解：∵A（﹣3，y1）、B（4，y2）在抛物线上，∴y1＝7（m﹣4），y2＝5（m﹣4），∵y1＞y6，∴9（m﹣4）＞2（m﹣4），∴m＞4，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．8．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y2＜y3＜y1，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y2最小，y4最大D．无法确定【分析】根据题意判断抛物线开口向上，对称轴在直线x＝0与直线x＝﹣1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y4），P2（﹣1，y2），P3（1，y8），P4（3，y2）四点，且y2＜y3＜y2，∴抛物线的开口向上，且对称轴在直线x＝0与直线x＝﹣1之间，∴P4（3，y4）离对称轴的距离最大，P4（﹣1，y2）离对称轴的距离最小，∴y7最小，y4最大，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象开口方向及对称轴的位置是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 m＞1 ．【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．解：∵反比例函数y＝的图象位于一，∴m﹣1＞8，解得：m＞1．故答案为：m＞1．【点评】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y＝，当k＞0时，图象位于第一、三象限内是解题的关键．10．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 （1，﹣4） ，与y轴的交点坐标是 （0，﹣3） ．【分析】先把y＝x2﹣2x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标；令x＝0，则可得与y轴的交点坐标．解：由题意，把y＝x2﹣2x﹣7进行配方得到抛物线的顶点式y＝（x﹣1）2﹣8，∴顶点坐标为（1，﹣4）．令x＝3，∴y＝﹣3．∴与y轴的交点坐标是（0，﹣8）．故答案为：（1，﹣4），﹣3）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．11．某地为了解决市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，则可列得方程为 200（1﹣x）2＝162 ．【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，依题意，得：200（1﹣x）2＝162．故答案为：200（2﹣x）2＝162．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．某抛物线满足：①开口向上；②顶点（﹣1，4）．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式 y＝（x+1）2+4（答案不唯一） ．【分析】根据二次函数的性质解答即可．解：∵抛物线开口向上，顶点（﹣1，∴二次函数的解析式可以为：y＝（x+1）8+4（答案不唯一）．故答案为：y＝（x+1）3+4（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．13．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为 1 ．【分析】把x＝1代入方程x2+2kx+k﹣4＝0得1+2k+k﹣4＝0，然后解关于k的方程即可．解：把x＝1代入方程x2+4kx+k﹣4＝0得6+2k+k﹣4＝3，解得k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14．如图，A，B两点在函数（x＜0）图象上，BD垂直x轴于点D，△AOC1，S2，则S1 ＝ S2．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．解：由反比例函数系数k的几何意义得，S△AOC＝S△BOD＝|k|＝，故答案为：＝【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．15．已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝ 0 ；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k ＜ 0，b ＞ 0（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；（2）根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．解：（1）∵双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y2），B（x2，y2）．∴y6＝﹣，y6＝﹣，∵x8+x2＝0，∴x6＝﹣x1，∴y2＝﹣＝﹣1，∴y1+y3＝0，故答案为0；（2）∵双曲线y＝﹣在二，∴设A（x1，y1）在第二象限，B（x4，y2）在第四象限．则x1＜7，y1＞0，x5＞0，y2＜3，∵x1+x2＞6，y1+y2＞5，∴|x2|＞|x1|，|y3|＞|y2|，如图，∴直线y＝kx+b经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞7，故答案为＜，＞．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．16．抛物线y＝ax2+bx+c．的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是 ①③ ．【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜6，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（8，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，2），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝7，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝5，∴c＝﹣5a，∵（2，m）为抛物线顶点，∴3a+2b+c＝m，∴4a﹣4a﹣5a＝m，即9a+m＝4，∵抛物线经过点C（t，n），∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax4+bx+c＝n的一个根，④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题（本大题共68分，其中17题10分，18题9分，19题5分，20题7分，21题8分，22题8分，23题7分，24题7分，25题7分）17．解一元二次方程．（1）x2﹣3＝0；（2）x2﹣6x﹣4＝0．【分析】（1）把原方程化成x2＝3的形式，然后直接开平方即可；（2）先把﹣4改变符号后移到等号右边，然后方程两边同时加9，然后直接开平方求解即可．解：（1）x2﹣3＝6，x2＝3，，；（2）x2﹣3x﹣4＝0，x7﹣6x＝4，x7﹣6x+9＝7+9，（x﹣3）3＝13，，．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用直接开平方法和配方法解一元二次方程．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2+m＝0．（1）求证：对于任意实数m，该方程总有实数根；（2）若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．【分析】（1）根据一元二次方程判别式为（m﹣1）2≥0即可解答；（2）解方程，求得x1＝m+2，x2＝1，根据题意得到m+2＞2，解不等式即可．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4+m＝0，∴Δ＝（m+3）3﹣4×1×（7+m）＝（m+1）2≥6，∴对于任意实数m，该方程总有实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，∵，∴x3＝m+2，x2＝7，∵这个一元二次方程的一根大于2，∴m+2＞2，解得：m＞0，∴m的取值范围m＞0．【点评】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…（1）并画出图象．（2）求此抛物线的解析式．（3）结合图象，直接写出方程ax2+bx+c＝﹣3的根．（4）结合图象，直接写出当0＜x＜3时y的取值范围．【分析】（1）根据表格描点，画出图象即可；（2）用待定系数法可得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（3）观察图象可得方程ax2+bx+c＝﹣3的根为x＝0或x＝2；（4）观察图象可得y的取值范围是﹣4≤y＜0．解：（1）根据表格描点，画出图象如下：（2）由已知可知，抛物线与x轴交于（﹣1，（3，设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把（﹣24＝5a，解得a＝1，∴y＝（x+2）（x﹣3）＝x2﹣7x﹣3，∴抛物线解析式为y＝x2﹣8x﹣3；（3）由图象可知，当x＝0或x＝4时，∴方程ax2+bx+c＝﹣3的根为x＝8或x＝2；（4）由图象可知，当0＜x＜6时．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠θ）的图象交于A （﹣1，n），B（3，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围；（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）由图可得答案；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．解：（1）由题意可得：点B（3，﹣2）在反比例函数，∴，则m＝﹣5，∴反比例函数的解析式为，将A（﹣4，n）代入，得：，即A（﹣8，将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为y6＝﹣2x+4；（2）由图可得：x＜﹣6或0＜x＜3时，kx+b﹣；（2）∵点P在x轴上，设点P的坐标为（a，3），∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+2，令y＝0，∴直线AB与x轴交于点（2，2），由△ABP的面积为4，可得：|a﹣2|＝4，即|a﹣6|＝4，解得：a＝1或a＝7，∴点P的坐标为（1，0）或（2．【点评】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．21．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．解：（1）根据题意，得y＝200﹣＝﹣3x+296，∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）＝﹣6（x﹣91）2+6498，∵a＝﹣2＜8，∴抛物线开口向下，W有最大值，当x＝91时，W最大值＝6498，答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．22．小朋在学习过程中遇到一个函数y＝x3.下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是 x为任意实数 ，函数值y的取值范围是 y为任意实数 ；（2）进一步研究，y与x的几组对应值如下表：x…﹣2﹣﹣1012…y… ﹣4 ﹣ ﹣ 0 ﹣ 4 …（3）结合上表，画出函数图象：（4）结合函数图象，写出两条性质 函数关于原点成中心对称；y随x的增大而增大（答案不唯一） ．【分析】（1）由函数表达式即可求解；（2）将表格x的值代入函数表达式，分别求解即可；（3）结合上表，画出函数图象即可；（4）观察函数图象即可求解．解：（1）从函数表达式看，x的取值范围为：x为任意实数，故答案为：x为任意实数，y为任意实数；（2）当x＝﹣2时，y＝x3＝﹣4，同理可得，x＝﹣时；当x＝﹣1时；当x＝1时；当x＝时；当x＝2时，故答案为：﹣4；﹣；﹣；；；4；（3）结合上表，画出函数图象如下：（4）从函数图象看，函数关于原点成中心对称，故答案为：函数关于原点成中心对称；y随x的增大而增大（答案不唯一）．【点评】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象读取相关的数据．23．探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面，其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴2，则抛物线的焦点为（0，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，某款探照灯抛物线的表达式为y＝（1）点F的坐标是 （0，1） ；（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4，0）．①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；②BP所在直线与x轴的交点坐标为 （﹣1，0） ．【分析】（1）根据焦点的定义和抛物线解析式即可求得；（2）①根据反射光线平行于y轴作出图形即可；②先求出A点坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立直线AB解析式和抛物线解析式，解方程组求出交点B的坐标，从而得解．【解答】（1）由题意可得：抛物线y＝，焦点为F（0，故答案为：（0，8）；（2）①画出反射光线BP，如图：②∵AM∥y轴，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4．∴当x＝4时，y＝2＝3，∴A（4，4），设AB所在直线解析式为y＝kx+b，则，解得，∴AB所在直线解析式为y＝x+1，联立方程组，解得或，∴B（﹣1，）∵BP∥y轴，∴BP所在直线为x＝﹣1，∴直线BP与x轴的交点为（﹣5，0）．故答案为：（﹣1，6）．【点评】本题考查二次函数的应用和新定义，关键是对新定义的理解和运用．24．在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）分别将x1＝m﹣2，x2＝m+2代入解析式求解．（3）求出点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），根据抛物线开口向上及y1≤y2求解解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m6﹣1＝（x﹣m）2﹣7，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1）．（2）将x＝m﹣2代入y＝（x﹣m）3﹣1得y＝23﹣1＝3，将x＝m+6代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝42﹣1＝7，∴y1＝y2．（3）∵抛物线对称轴为直线x＝m，∴点（2，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣5，y2），∵抛物线开口向上，y1≤y2，∴2m﹣4≤x3＜4，∴2m﹣7≤﹣1，解得m≤．【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．25．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，b）．对于点P（x，y），若实数k满足|y﹣b|＝k|x﹣a|，则称k为点P关于点A的距离系数．若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值（1）当点A与点O重合时，在P1（2，2），P2（﹣2，1），P3（﹣4，4）中，关于点A 的距离系数为1的是 P1，P3 ；（2）已知点B（﹣2，1），C（1，1），若线段BC关于点A（m，﹣1）的距离系数小于 m＜﹣3或m＞2 ；（3）已知点A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4．以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，E为该正方形上的动点，线段DE的长度是一个定值（0＜DE＜2）．①线段DE关于点A的距离系数的最小值为 ；②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，则DE的长为 ．【分析】（1）根据距离系数的定义进行计算即可；（2）利用距离系数的定义，用m表示k，根据距离系数小于，进行计算即可；（3）①根据题意，当正方形上的点到A（4，0），横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE关于点A的距离系数的最小，得到点点（﹣1，1）关于点A的距离系数的最小，进行计算即可；②根据线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，即线段上的所有点关于点A的距离系数存在最小值为2，得到线段DE上的点的横坐标和纵坐标的取值范围，利用勾股定理进行求解即可．解：（1）∵P1（2，8），P2（﹣2，5），P3（﹣4，8），0），∵b|＝k|x﹣a|，∴，，；∴关于点A的距离系数为1的是：P3P3；（2）∵B（﹣2，5），1），﹣1），∴线段BC：y＝7（﹣2≤x≤1），，即：|x﹣m|≠4，∴x﹣m＞4或x﹣m＜﹣2，∴m＜x﹣4或m＞x+4，∴当两个点的横坐标间的距离越远，k越小，∴当B点离A点横坐标最远时：m＞﹣5+4＝2，当C离A点横坐标最远时：m＜3﹣4＝﹣3，综上：m＜﹣3或m＞2；（3）①由可知，0），纵坐标之间的距离最小时，根据题意，点（﹣6；②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是2，即线段上的所有点关于点A的距离系数存在最小值为2，∴K＝，由题意知：﹣1≤x≤2，1≤y≤5，∴|4﹣4|≤|x﹣4|≤|﹣6﹣4|，即3≤|x﹣5|≤5，∴，当y＝5时，6≤x≤，DE＝＝＝．【点评】本题考查坐标系下的新定义．熟练掌握距离系数的定义和运算方法是解题的关键．。
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含答案)
数学练习班级________姓名________学号________学生须知1.本练习卷共6页，共26道小题，满分100分.练习时间120分钟.2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.4.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.一.选择题（每题2分，共16分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（）.A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（ ）.A. B. C. D.3.一元二次方程的解为（ ）.A.，B.，C.，D.，4.二次函数与轴的公共点个数是（ ）.A.0个B.1个C.2个D.3个5.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（）.A.B. C. D.6.关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）.A.且 B.且 C. D.7.已知二次函数，分别取，，，那么对应的函数值为，，中，最大的为（ ）.A. B. C. D.不能确定8.如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以线段为边向左作菱形，点恰与原点重合，抛物线的顶点在直线移动.若抛物线与菱形的边、都23x y =y =213y x =-3y x =-()2314y x =++()1,4-()1,4--()1,4()1,4-2430x x -+=11x =-23x =11x =23x =11x =-23x =-11x =23x =-223y x x =++x 2y ax bx c =++0a >0b <0c >x ()()2212110k x k x -+++=k 14k >1k ≠14k ≥1k ≠14k >14k ≥22y x x c =-++11x =-212x =32x =1y 2y 3y 1y 2y 3y 122y x =-+y A 12y x =D AD ABCD C O ()2y x h k =-+12y x =AD CD有公共点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题2分，共16分）9.用配方法解方程，配方后所得的方程是________.10.关于的方程的一个解是，则值为________.11.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________.12.某学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意，可列方程________.13.已知函数.若，则________.14.如图，点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.15.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1.其中结论正确的是________.16.如图，网格（每个小正方形的边长为1）中有、、、、、、、、九个格点，抛物线的解析式为（为整数）.h 122h -≤≤12h -≤≤312h -≤≤112h -≤≤2650x x -+=x 22424x kx k ++=2-k x 2210x x m +-+=m x 2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩2y =x =A B 214y x =A B 2-OA OB 214y x =P PAB △AOB △P ()20y ax bx c a =++≠0abc <20a b ->0a b c ++=80a c +>20ax bx c ++=3-22⨯A B C D E F G H O l ()21ny x bx c =-++n（1）若为偶数，且抛物线经过点和，则抛物线还经过网格上的________点；（2）若经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线共有________条.三.解答题（共68分，第17、20题每题8分，第18、19、21、24题每题6分，第22、23、25、26题每题7分）17.解方程：（1）；（2）.18.小马与小郭两位同学解方程的过程如下表：小马：两边同除以，得，则.小郭：移项，得，提取公因式，得.则或，解得，.（1）你认为他们的解法是否正确？若正确，请在对应的括号内打“√”；若错误，请在对应的括号内打“×”；（2）请写出你的解答过程.19.已知关于的一元二次方程.（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值.20.已知抛物线经过点和.（1）求和的值；（2）列表并画出函数图象；（3）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.n l ()1,0A ()2,0B l l 2450x x --=2310x x -+=()()2333x x -=-()3x -33x =-6x =()()23330x x ---=()()3330x x ---=30x -=330x --=13x =20x =x 22430x mx m -+=0m >m ()21y a x k =-+()0,3-()3,0a k21.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点.（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）根据图象，直接写出不等式的解集.22.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：.设这种双肩包每天的销售利润为元.（1）求与之间的函数表达式；（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为.（1）求雕塑高；（2）求落水点、之间的距离；（3）若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明.22y x mx =+x ()2,0A m M 2224x mx x +>-y x ()603060y x x =-+≤≤w w x O OA A x O A y x C D ()21566y x =--+OA C D OD E EF 9m OE =F24.已知关于的二次函数（实数，为常数）.（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值；（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，请直接写出实数的最小值.25.已知，点在直线上，以为边作等边（要求点、、为逆时针顺序），过点作于点.请解答下列问题：（1）当点在图①位置时，求证：；（2）当点在图②位置时，请直接写出线段，，的数量关系；（3）当点在图③位置时，补全图形并直接写出线段，，的数量关系.26.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的勤学点.例如：点的勤学点的坐标是，点的勤学点的坐标是.（1）①点的勤学点的坐标是________；②点是函数图象上某一个点的勤学点，则的值为________；（2）若点在函数（，）的图象上，求其勤学点的纵坐标的取值范围（结果可用含的代数式表示）；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其勤学点的纵坐标的取值范围是或，其中.令，直接写出关于的函数解析式及的取值范围.x 21y x bx c =++b c ()0,41x =20b c -=3b x b -≤≤b x 222y x x m =++01x ≤≤21y y ≥m 60ABC ∠=︒F BC AF AFE △A F E E ED AB ⊥D F AD BF BD +=F AD BF BD F AB BF BD xOy (),P a b (),Q a b '1,1,1b a b b a +≥⎧=⎨-<'⎩QP ()2,3()2,4()2,5-()2,5--()()2,A a 4y x =a P 2y x =+3k x ≤<73k -<<Q b 'k P x 222y x tx t t =-+-+Q b 'b m'>b n '≤m n >s m n =-s t t北京四中10月参考答案一、选择1-8 A A B A C D B A8.提示：将与联立得：，解得：.点的坐标为.由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为.将，，代入得得：，解得，抛物线的解析式为.当抛物线经过点时.将代入得：，解得：（舍去），.当抛物线经过点时.将代入得：，整理得：，解得：，（舍去）.综上所述，的范围是.二、填空9.10.0或411.12.13.214.4个15.①③④⑤16.点，8条16.提示：（1）为偶数时，，经过点和，122y x =-+12y x =12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩∴D ()2,1(),h k x h =y k =12y x =12h k =12k h =∴()212y x h h =-+C ()0,0C ()212y x h h =-+2102h h +=10h =212h =-D ()2,1D 21()2y x h h =-+()21212h h -+=22760h h -+=12h =232h =h 122h -≤≤()234x -=2m ≤()21001121x +=F n 2y x bx c =++l ()1,0A ()2,0B，解得，抛物线解析式为，当时，，点在抛物线上，抛物线还经过网格上的点；（2）所有满足条件的抛物线共有8条.当为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-1所示；当为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-2所示.三、解答题17.（1）5，（218.小马×，小郭×，，619.（1）证明：，，，.无论取何值时，，即，原方程总有两个实数根.（2）解：，即，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.20.（1），；（2）略；（3）21.（1），；（2）或22.解：（1），与之间的函数解析式；（2）当时，，解得，，10420b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩32b c =-⎧⎨=⎩∴232y x x =-+0x =2y =∴()0,2F ∴F n n 1-3x =1a =Q 4b m =-23c m =()2222444134b ac m m m ∴∆=-=--⨯⨯=Q m 240m ≥0∆≥∴22430x mx m -+=Q ()()30x m x m --=1x m ∴=23x m =0m >Q 32m m ∴-=1m ∴=1a =4k =-()222y x =--4m =-()1,2M -1x <2x >()()()2230603030601800901800w x y x x x x x x x =-⋅=-+-=-++-=-+-w x ()29018003060w x x x =-+-≤≤200w =2901800200x x -+-=140x =250x =，不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元；（3）根据题意得：，当时，有最大值，最大值是225.23.（1）；（2）；（3）不会碰水.24.解：（1）二次函数的图象经过点，；对称轴为直线：，，此二次函数的表达式为：.（2）当时，，此时函数的表达式为：，根据题意可知，需要分三种情况：①当，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；②，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；③，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得.综上所述，的值为或4.（3）由（1）知，二次函数的表达式为：，对称轴为直线：，当时，随的增大而减小，且最大值为4；二次函数的对称轴为直线：，且，当时，随的增大而增大，且最小值为，当时，总有，，即的最小值为4.25.（1）如图，证，，则；5048>Q 250x =()2290180045225w x x x =-+-=--+45x =w 116OA =22CD =109,3F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,44c ∴=12bx =-=2b ∴=-∴2124y x x =-+20b c -=2b c =221y x bx b =++2bb <-0b <x b =22221b b b ∴++=1b =2b =32bb ->-2b >3x b =-()()223321b b b b ∴-+-+=34b =41b =-32b b b -≤-≤02b ≤≤2bx =-222122b b b b ⎛⎫⎛⎫∴-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =±b 2124y x x =-+1x =∴01x ≤≤y x 222y x x m =++14x =-20>∴01x ≤≤y x m 01x ≤≤21y y ≥4m ∴≥m ADE FHE △≌△BDE BHE △≌△BD BH FH BF AD BF ==+=+（2）；（3）.26.（1）①；②9（2）当时，；当时，或；当时，.（3），.BD AD BF =-2AB BD BF +=()1-13k ≤<36k b +≤'<61k -<<32b k -<≤--'46b ≤'<76k -<≤-36b -<'<24s t t =-4t >。
九年级(上)月考数学试卷(9月份)
2019-2020年九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=93．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．4．若，则=（）A．B．C．D．5．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE ：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：26．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．07．如图，等边三角形ABC的边长为4，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为（）A． B． C． D．18．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．=2x﹣3，x的取值范围是．10．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=80mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是．（只要求写出一个条件即可）12．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为20米，则古塔的高度是米．13．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．三、解答题15．（1）计算：﹣﹣；（2）计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．16．解方程：（1）x2﹣2x=0；（2）30x2﹣45=0．17．解方程：x2+3x+1=0．18．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．19．已知y=++3，求﹣的值．20．某企业xx年盈利3000万元，xx年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利4320万元，从xx年到xx年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业每年盈利的年增长率？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计xx年盈利多少万元？21．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．22．已知▱ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根，当m 为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．23．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．24．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF ⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．xx吉林省长春108中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题1．下列运算正确的是（）A． B． C． D．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识进行解答．需要注意的是，无论怎么化简、变形，原式值的符号不能改变．【解答】解：A、原式=6×=3，故A错误；B、原式=﹣，故B错误；C、a2=a2×=a，故C错误；D、原式=3﹣2=，故D正确．故选D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【考点】同类二次根式．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：A、=2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；B、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；D、=3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．故选：D．4．若，则=（）【考点】比例的性质．【分析】由题干可得2b=3a ﹣3b ，根据比等式的性质即可解得a 、b 的比值．【解答】解：∵，∴5b=3a ，∴，故选D ．5．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，那么AE ：AC 等于（ ）A ．1：9B ．1：3C ．1：8D ．1：2【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由题可知：△ADE ∽△ABC ，相似比为AE ：AC ，由S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，得S △ADE ：S △ABC =1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ：S △ABC =AE 2：AC 2，∵S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，∴S △ADE ：S △ABC =1：9，∴AE ：AC=1：3．故选B ．6．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2=0的常数项为0，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m 的值即可．【解答】解：根据题意，知，，解方程得：m=2．故选：B ．7．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点P 为BC 边上一点，且BP=1，点D 为AC 边上一点．若∠APD=60°，则CD 的长为（ ）【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出=，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°﹣60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°﹣60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴=，∵AB=BC=4，CP=BC﹣BP=4﹣1=3，BP=1，即=，解得：CD=，故选C．8．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．二、填空题9．=2x﹣3，x的取值范围是x≥．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据公式=|a|，可得出x的取值范围．【解答】解：∵=2x﹣3，∴3﹣2x≤0，解得x≥，∴x的取值范围是x≥，故答案为x≥．10．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=80mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．【考点】相似三角形的应用．【分析】如图，设正方形EFGH的边长为x，EF与AD交于点K．由EF∥BC，得到△AEF ∽△ABC，得到=，得=，列方程即可．【解答】解：如图，设正方形EFGH的边长为x，EF与AD交于点K．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，故答案为．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或．（只要求写出一个条件即可）【考点】相似三角形的判定．【分析】本题主要根据平行推出角的等量关系，再根据对应边的关系，利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC∴都可得相似．答案不唯一，如∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC．12．小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为20米，则古塔的高度是16米．【考点】相似三角形的应用；平行投影．【分析】利用相似及投影知识解题，因为某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：=，解得：古塔的高=16，故答案为：16．13．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是（32﹣2x）（20﹣x）=570．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．【解答】解：设宽为xm，（32﹣2x）（20﹣x）=570．故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，1秒或2秒后三角形PBQ 的面积为2平方厘米．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据题意表示出BP，BQ的长，进而利用三角形面积求出答案．【解答】解：设x秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米，根据题意可得：BP=3﹣x，BQ=2x，故×2x（3﹣x）=2，解得：x1=1，x2=2，故1或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．故答案为：1或2．三、解答题15．（1）计算：﹣﹣；（2）计算：（）﹣2﹣|2﹣3|+．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【分析】（1）原式化简后，合并即可得到结果；（2）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及分母有理化计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=3﹣﹣2=﹣；（2）原式=4﹣3+2+=1+．16．解方程：（1）x2﹣2x=0；（2）30x2﹣45=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）原方程有公因式x，先提取公因式，然后再分解因式求解；（2）系数化为1后，利用直接开平方法求出方程的解．【解答】解：（1）∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．（2）∵30x2﹣45=0，∴x2=，∴x=±，∴x1=，x2=﹣17．解方程：x2+3x+1=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先找出a，b，c，再求出△，代入求根公式即可．【解答】解：a=1，b=3，c=1，…∴△=b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，…∴x=﹣3±，…∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣…．18．解方程：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）=0，可得x﹣5=0或x﹣7=0，解得：x1=5，x2=7．19．已知y=++3，求﹣的值．【考点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x、y的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣==，∵与有意义，∴，解得x=2，∴y=3，∴原式==﹣9．20．某企业xx年盈利3000万元，xx年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利4320万元，从xx年到xx年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业每年盈利的年增长率？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计xx年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，就可以表示出xx年的盈利，根据xx年的盈利为4320万元建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据意，得3000（1+x）2=4320解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得4320（1+0.2）=5184万元答：预计xx年该企业盈利5184万元．21．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】（1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，故有，所以△ACB∽△DCE；（2）由1知，∠B=∠E，可得∠B+∠A=∠E+A=180°﹣∠AFE=90°，即∠EFA=90°，故EF ⊥AB．【解答】证明：（1）∵，，∴．又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB∽△DCE．（2）∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC=∠DEC．又∵∠ABC+∠A=90°，∴∠DEC+∠A=90°．∴∠EFA=90°．∴EF⊥AB．22．已知▱ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根，当m 为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．【考点】菱形的判定；根的判别式．【分析】由题意可知：AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根，也就是方程有两个相等的实数根，利用根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5．故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5．23．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．【考点】一元二次方程的应用．【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．【解答】解：设BC边的长为x米，则AB=CD=米，根据题意得：×x=120，解得：x1=12，x2=20，∵20＞16，∴x2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪BC边的长为12米．24．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF ⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB．∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE．（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴PA=EB=2，即x=2．若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE==2，∴EF=AE=．∵，即，∴PE=5，即x=5．∴满足条件的x的值为2或5．xx年12月12日23216 5AB0 媰29913 74D9 瓙33039 810F 脏40267 9D4B 鵋R20983 51F7 凷30721 7801 码23662 5C6E 屮Y32954 80BA 肺9?39290 997A 饺!20537 5039 倹。
北京市九年级上学期数学9月月考试卷(II )卷
北京市九年级上学期数学9月月考试卷（II ）卷一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·丹东模拟) 一元二次方程x2﹣3x=0的解是（）A . 0B . 3C . 0，3D . 0，﹣22. （2分）关于x的一元二次方程的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 无实数根D . 无法判断3. （2分）(2019·南浔模拟) 若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ ax－a2＝0的一个根，则a的值为（）A . －1或4B . －1或－4C . 1或－4D . 1或44. （2分） (2019九上·宜兴月考) 为了让宜兴市的山更绿、水更清，2016年市委、市政府提出了确保到2018年实现全市绿化覆盖率达到43%的目标，已知2016年绿化覆盖率为40 %，设从2016年起绿化覆盖率的年平均增长率为，则可列方程（）A . ％B .C .D . ％5. （2分） (2018九上·昆明月考) 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A . k＞﹣1B . k＜1且k≠0C . k≥﹣1且k≠0D . k＞﹣1且k≠06. （2分）关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A . k≥9B . k<9C . k≤9且k≠0D . k<9且k≠07. （2分）(2018·南宁) 将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A . y= （x﹣8）2+5B . y= （x﹣4）2+5C . y= （x﹣8）2+3D . y= （x﹣4）2+38. （2分） (2018九上·海原期中) 若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2 ，则+ 的值是（）A . 1B . 2C . ﹣D . ﹣9. （2分） (2016九上·防城港期中) 下列那些数是方程x2+x﹣6=0的根是（）A . ﹣3和2B . ﹣3和﹣2C . ﹣2和3D . 2和310. （2分） (2019九上·绍兴月考) 已知二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)，当a-b为整数时，ab的值是（）A . 或1B . 或1C . 或D . 或11. （1分）(2017·奉贤模拟) 如果二次函数y=ax2（a≠0）的图象开口向下，那么a的值可能是________（只需写一个）．12. （1分）关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是________．13. （1分） (2017九下·宜宾期中) 设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为________14. （1分） (2018九上·桐梓月考) 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72°，AF⊥BC 于点F，AF交BD于点E,若DE=2AB, 则∠AED=________.15. （1分） (2019九上·吴兴期中) 图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯。
2024-2025学年初中九年级上学期数学第一次月考卷及答案(北师大版)
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1章～第3章（北师版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．xx2−3xx−5=−5B．2xx2−yy−1=0C．xx2−xx(xx+2.5)=0D．aaxx2+bbxx+cc=02．下列命题为真命题的是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形3．若关于xx的方程xx2+mmxx−6=2．则mm为（）A．−2B．1 C．4 D．−34．a是方程xx2+2xx−1=0的一个根，则代数式aa2+2aa+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20215．如图，在正方形AAAAAAAA中，EE为AAAA上一点，连接AAEE，AAEE交对角线AAAA于点FF，连接AAFF，若∠AAAAEE=35°，则∠AAFFAA的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=11407．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）A．2 B．12 C．18 D．248．如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA相交于点OO，EE是AAAA的中点，若菱形的周长为20，则OOEE的长为（）A．10 B．5 C．2.5D．19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为xx人，则根据题意可列方程为（）A．xx(xx−1)=110B．xx(xx+1)=110C．(xx+1)2=110D．(xx−1)2=11010．关于xx的一元二次方程kkxx2−2xx−1=0有两个不相等的实数根，则kk的取值范围是（）A．kk>−1B．kk>−1且kk≠0C．kk<1D．kk<1且kk≠011．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（）A．74B．95C．1910D．76�312．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=4，E为对角线AAAA上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EEFF⊥AAAA于点F，EEEE⊥AAAA与点G，连接AAEE，FFEE，有下列结论：①AAEE=FFEE．②AAEE⊥FFEE．③∠AAFFEE=∠AAAAEE．④FFEE的最小值为3，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③④第Ⅱ卷二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．一元二次方程5xx2+2xx−1=0的一次项系数二次项系数常数项．14．xx1,xx2为一元二次方程xx2−2xx−10=0的两根，则1xx1+1xx2=．15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为．16．如图所示，菱形AAAAAAAA的对角线AAAA、AAAA相交于点OO．若AAAA=6，AAAA=8，AAEE⊥AAAA，垂足为EE，则AAEE的长为．17．如图，将一张长方形纸片AAAAAAAA沿AAAA折起，重叠部分为ΔΔAAAAEE，若AAAA=6,AAAA=4，则重叠部分ΔΔAAAAEE的面积为．18．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=6，点E，F分别在边AAAA,AAAA上，AAEE=AAFF=2，点M在对角线AAAA上运动，连接EEEE和EEFF，则EEEE+EEFF的最小值等于．三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：（1）3xx2−4xx−1=0；（2）2�xx−3�2=xx2−920．（8分）已知方程xx2+�kk+1−6=0是关于xx的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数kk方程中有两个不相等的实数根．(2)若xx1，xx2是方程的两根，kk=6，求1xx1+1xx2的值．21．（8分）如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA交于点OO，AAEE⊥AAAA交AAAA延长线于EE，AAFF∥AAEE交AAAA延长线于点FF．(1)求证：四边形AAEEAAFF是矩形；(2)若AAEE=4，AAAA=5，求AAAA的长．22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．请根据以上信息回答：(1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有______人．(2)请将条形统计图补充完整；(3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率．23．（8分）阅读材料，回答问题．材料1：为了解方程�xx2�2−13xx2+36=0，如果我们把xx2看作一个整体，然后设yy=xx2，则原方程可化为yy2−13yy+36=0，经过运算，原方程的解为xx1,2=±2，xx3,4=±3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数mm，nn满足mm2−mm−1=0，nn2−nn−1=0，且mm≠nn，显然mm，nn是方程xx2−xx−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知mm+nn=1，mmnn=−1．根据上述材料，解决以下问题：(1)为解方程xx4−xx2−6=0，可设yy=____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____．(2)应用：若实数aa，bb满足：2aa4−7aa2+1=0，2bb4−7bb2+1=0且aa≠bb，求aa4+bb4的值；24．（10分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．(1)设售价每盒下降xx元，则每天能售出______盒（用含xx的代数式表示）；(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；(3)该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形AAAAAAAA．判断四边形AAAAAAAA的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图2，已知四边形AAAAAAAA纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图3，AAAA是锐角△AAAAAA的高，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAEE，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAFF，延长EEAA,FFAA交于点G．①若∠AAAAAA=50°，当△AAAAEE是等腰三角形时，请直接写出∠AAAAAA的度数；②若∠AAAAAA=45°，AAAA=2,AAAA=5,AAEE=EEEE=FFEE，求AAAA的长．26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形AAAAAAAA中，E，F为平面内两点．【初步感知】（1）如图1，当点E在边AAAA上时，AAEE⊥AAFF，且B，C，F三点共线．请写出AAEE与FFAA的数量关系______；【深入探究】（2）如图2，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥EEFF，E，C，F三点共线．若AAEE=2，AAEE=4，求AAEE的长；【拓展运用】（3）如图3，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥EEAA，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥AAEE，且D，F，E三点共线，猜想并证明AAEE，AAEE，AAFF之间的数量关系．2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
北京市海淀区2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题
北京市海淀区2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题一、单选题1．将方程2610x x -+=配方后，原方程可变形为（ ）A ．2(3)8x -=B ．2(3)10x -=-C ．2(3)10x +=-D ．2(3)8x += 2．在平面直角坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．()222?y x =++B ．()222y x =--C ．()22+2y x =-D ．()2+22y x =- 3．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①21y ax =；②22y bx =；③23y cx =；24y dx =，比较a ，b ，c ，d 的大小，用“>”连接为（ ）A ．a b d c >>>B ．b a c d >>>C ．a b c d >>>D ．b a d c >>> 4．王刚同学在解关于x 的方程230x x c -+=时，误将3x -看作3x +，结果解得11x =24x =-，则原方程的解为（ ）A ．11x =-，24x =-B ．11x =，24x =C ．11x =-，24x =D ．12x =，23x =5．心理社团活动开始的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手36次，有多少人参加活动？设有x 人参加活动，可列方程为（ ）A ．()2136x x -=B ．()136x x -=C ．()11362x x +=D ．()11362x x -=6．二次函数()23y a x t =-+，当1x >时，y 随x 的增大而减小，则实数a 和t 满足（ ） A ．0a >，1t ≤ B ．0a <，1t ≤ C ．0a >，1t ≥ D ．0a <，1t ≥ 7．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b +=；③420a b c ++>；④()21am bm a b m +<+≠；⑤30a c +<，其中正确结论的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定二、填空题9．方程2x x =的根为．10．请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y 轴的交点坐标为()0,2-．此二次函数的解析式可以是．11．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()3,9A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为．12．已知()1,1P x ，()2,1Q x 两点都在抛物线231y x x =-+上，那么12x x +=．13．当1a x a ≤≤+时，函数221y x x =-+的最小值为1，则a 的值为．14．关于x 的一元二次方程20x x n -+-=没有实数根，则抛物线2y x x n =-+-的顶点在第象限．15．老师给出了二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分对应值如表：同学们讨论得出了下列结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线=2x ；③当24x -<<时，0y <；④当1x >时，y 随x 的增大而增大；⑤若方程2ax bx c m ++=有两个不相等的实数根，则9m >-．其中正确的结论是（填写序号）16．如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1cm /s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是cm 2．三、解答题17．解方程：(1)2230x x --=；(2)()236x x x +=+18．已知m 是方程210x x +-=的一个根，求代数式2(1)(1)(1)m m m +++-的值． 19．已知关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程两个实数根的和为3，求m 的值．20．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()3,0B 两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0y >时，求x 的取值范围；(3)点P 为抛物线上一点，若10PAB S =V ，求出此时点P 的坐标．21．我校在诚正楼南面准备建一个动物家园（养小鸭和小兔），购买了15m 的木栅栏，准备用这些木栅栏靠墙（墙长7m ）围建一个中间带有木栅栏的矩形动物家园（如图所示）．(1)若要建的动物家园面积为218m ，求动物家园的长()AB 和宽()BC ；(2)由于动物增加，需要增加动物家园的面积，如不增加木栅栏的长，能否使得动物家园的面积达到220m 吗？请说明理由．22．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为1C ，把锅盖纵断面的抛物线记为2C ．(1)求1C 和2C 的解析式；(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm ，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm ，高度为3.2dm 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．23．材料阅读：若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为221332=+，所以13是“完美数”；再如：因为222222()a ab b a b b ++=++（a ，b 是整数），所以2222a ab b ++是“完美数”．根据上面的材料，解决下列问题：(1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是．(2)试判断()()2352x y x y y +++（x ，y 是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知M ＝224612x y x y k +-++（x ，y 是整数，k 为常数），要使M 为“完美数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．。
北京市九年级上学期数学9月月考试卷
北京市九年级上学期数学9月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）下列命题中，真命题是（）.A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相平分的四边形是平行四边形D . 对角线互相垂直平分的四边形是正方形2. （2分） (2017八下·德惠期末) 矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A . 每一条对角线平分一组对角B . 对角线相等C . 对角线互相平分D . 对角线互相垂直3. （2分）(2017·贵港) 下列命题中假命题是（）A . 正六边形的外角和等于360°B . 位似图形必定相似C . 样本方差越大，数据波动越小D . 方程x2+x+1=0无实数根4. （2分）给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且y随x的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）；④相等的弧所对的圆周角相等.其中正确的是（）A . ③④B . ①②③C . ②④D . ①②③④5. （2分） (2019八下·瑞安期末) 如图，将矩形ABCD的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH，若EH＝5，EF＝12，则矩形ABCD的面积是（）A . 13B .C . 60D . 1206. （2分）(2017·高青模拟) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）A .B .C .D .7. （2分）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF 的面积是（）A . 32B . 16C . 8D . 16+a28. （2分）如图，在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45º，则AB=（）A . 2B .C .D .9. （2分）方程x2=2x的解是（）A . x=2B . x1=2，x2=0C . x1=， x2=0D . x=010. （2分） (2017九上·江津期末) 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A . ＞－1B . ≥－1C . ＞－1且≠0D . ≥－1且≠011. （2分）当分式的值为0时，x的值是（）A . 0B . 1C . －1D . －212. （2分）已知x1 ， x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A . 3B . 5C . 7D . 413. （2分）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（）A . ﹣12B . ﹣1C . 4D . 无法确定14. （2分）二次三项式 -4x+7配方的结果是（）A . +7B . +3C . +3D . -115. （2分）若x1 ， x2是方程x2=4的两根，则x1+x2的值是（）A . 0B . 2C . 4D . 8二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分） (2016九上·义马期中) 一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1 ， x2 ，则x1•x2的值是________．17. （1分） (2017八下·蚌埠期中) 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________．18. （1分） (2017八下·明光期中) 如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确的是________．（把所有正确答案的序号都填在横线上）19. （1分） (2019九上·太原期中) 已知菱形纸片ABCD中，，点E是CD边的中点将该纸片折叠，使点B与点E重合，折痕交AD，BC边于点M，N，连接ME，NE.请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择A．如图1，若，则ME的长为________；B．如图2，若，则ME的长为________.20. （1分） (2018九上·南昌期中) 如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是________.21. （1分） (2017九上·云梦期中) 若x=0是一元二次方程x2+2x+a=0的一根，则另一根为________．22. （1分） (2018九上·永定期中) 若一元二次方程（m+2）x2+m2﹣4=0的常数项为0，则m=________．23. （1分）若x=a是方程x2﹣x﹣2015=0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2015值为________24. （1分） (2017七下·靖江期中) 已知是关于的完全平方式，则的值为________．25. （1分） (2019七上·句容期中) 已知：x－2y＝－4，则代数式(2y－x)2－2x＋4y－1的值为________.三、解答题 (共6题；共50分)26. （20分）解方程：(1) x2=x (2)27. （10分）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD________ AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．28. （5分） (2017八下·城关期末) 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．29. （5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．30. （5分）用规定的方法解方程（1）2x2﹣7x+1=0（配方法）（2）x2﹣=2x﹣1（换元法）31. （5分）解方程：2x2﹣4x﹣1=0（配方法）参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分)16-1、17-1、18-1、19-1、答案：略20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、答案：略三、解答题 (共6题；共50分) 26-1、答案：略27-1、27-2、答案：略28-1、29-1、30-1、答案：略31-1、答案：略第11 页共11 页。
学年北京市九年级第一学期9月月考数学试卷及答案
2017—2018学年第一学期 九 年级 数学 科9月测试考试时间 60分钟 满分 100分第Ⅰ卷 A 卷 （选择题）一、选择题（每题3分，共39分）1.抛物线()223y x =++的顶点坐标是 （ ）A.（－2，3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（2，－3）2、抛物线23x y -=经过平移得到抛物线2)1(32-+-=x y ，平移的方法是( ) A ．向左平移1个，再向下平移2个单位 B ．向右平移1个，再向下平移2个单位 C ．向左平移1个，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个，再向上平移2个单位 3.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如右图，当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．13x -<< B ．3x > C ．1x <- D ．3x >或1x <-4、下列关于抛物线221y x x =--+的描述不正确的是（ ）A 、对称轴是直线x=14-B 、函数y 的最大值是78C 、与y 轴交点是（0，1）D 、当x=1-时，y=05.二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．3<kB ．03≠<k k 且C ．3≤kD ．03≠≤k k 且6.若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）A ．直线1=xB ．直线2=xC ．直线3=xD ．直线4=x 7、如果二次函数c bx ax y ++=2（a>0）的顶点在x 轴的上方，那么（ ）A 、240b ac -≥ B 、240b ac -< C 、240b ac -> D 、240b ac -= 8. 用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++错误！未找到引用源。
北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．2R <6．如图，已知PA PB ，则ACB ∠等于（）A ．70︒B ．75︒7．如图，Rt ABC △与Rt EDC 中∠等于（）A ．3B ．48．小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数2()xy x m =-面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（A ．经过原点C ．关于直线x m =对称二、填空题9．点()()121,,2,A y B y 为反比例函数合条件的k 的值10．若将抛物线2y x =-为．12．若抛物线2y x =+13．如图，在矩形ABCD 4,3,1AB AD AE ===14．ABC 中，AB AC =边BC 有且仅有一个交点，则15．若抛物线2y x bx =+13x -<<，则m 的值为16．正方形ABCD 中，点边于点F ，若DG EF ⊥①点G 在ADE V 外接圆上；②当45DAG ∠>︒时，存在点③AG DG =；④当AG BG +取得最小值时，满足上述结论中，所有正确结论的序号是三、解答题17．解方程：2420x x -+=20．如图，⊙O 的直径AB 的长．21．已知关于x 的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是另一个根的三倍，求整数22．已知二次函数y (1)将2=23y x x --化成(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；(3)当12x -<<时，结合图象，直接写出函数值23．如图，AB 为⊙324．平面直角坐标系xOy 中，点()2,A m 点．(1)求m 和k 的值；(2)已知点(),0P n ，过点P 作垂直于象于点C ．①当3n =时，求ACB ∠的度数；②若45ACB ∠>︒，结合图象，直接写出25．在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，中摸出一个球是红球的结果．(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____________，其中红球的个数是____________；(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率；(3)在袋中再放入n 个白球，那么（2）中的概率将变为____________（用26．在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,,3,A m B n 在抛物线2y ax bx =+上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若1,3m n =-=，求t 的值；(1)若F为BD的中点，连接①补全图形；②判断,AF EF的位置关系和数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，点写出B E'的最小值．28．在平面直角坐标系图形M上的每一个点和点P关联．(1)点1,12P⎛⎫⎪⎝⎭，下列图形中与点①y轴；②直线12 x=；③半径为1的O；④线段HK，其中(H(2)点P在直线1y=上，点OAB与点P关联，求点(3)平面上一点C满足P在线段CC'上．点E出E的半径r的取值范围．。
2024年人教版(2024)九年级数学上册月考试卷718
2024年人教版（2024）九年级数学上册月考试卷718考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、下列有关向量的等式中，不一定成立的是（）A. =-B. ||=||C. +=D. |+|=||+||2、设x3-3x2+6x-2-8=0，则x5-41x2+1的值为（）A. 13-B. -13+C. -13D. 133、如图1；四边形ABCD是正方形，点A在直线MN上，∠MAD=45°，直线MN沿AC方向平行移动．设移动距离为x，直线MN经过的阴影部分面积为y，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）A.B.C.D.4、图中的小方格式边长为1的正方形，则在图中一共可以数出正方形的个数是（）A. 66B. 50C. 60D. 2105、如图所示几何体的俯视图是（）A.B.C.D.6、cos60°•sin60°的值等于（）A.B.C.D.7、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上，DE分别是ABOA中点.过点D的双曲线y=kx(x>0,k>0)与BC交于点G.连接DCF在DC上，且DFFC=31连接DEEF.若△DEF的面积为6则k的值为()A. 163B. 323C. 6D. 108、抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上；则c的值是（）A. 0B. 4C. -4D. 2评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、某校举办初中生演讲比赛；每班派一名学生参赛，现某班有A；B、C三名学生竞选，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图①：。
A B C笔试85 95 90口试____ 80 85（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整；（2）竞选的最后一个程序是由本校的300名学生代表进行投票；每票计1分，三名候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）．①若将笔试；口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定最后成绩；请计算学生A的最后成绩；②若规定得票测试分占20%，要使学生B最后得分不低于91分，则笔试成绩在总分中所占比例的取值范围应是____．10、如果将抛物线y=x2+2向下平移3个单位，再向右平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是____．11、若代数式的值为零，则x=____；函数y=中，自变量x的取值范围为____．12、若0<x<1那么x+1+(x−1)2的化简结果是 _________13、如下图；将一张正方形纸片，第一次剪成四个大小形状一样的正方形，第二次再将其中的一个正方形，再按同样的方法，剪成四个小正方形，如此循环进行下去（1）填表。
2024-2025学年清华大学附属中学九年级上学期9月月考数学试题及答案
2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（ ）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°3. 已知30m +< ） A. 33m m −<<−<B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A 1k <B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠5. 正六边形的外角和是（ ） A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A 35.2510×B. 45.2510×C. .41510×D. 41.0510×7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（ ）..A. 1B.23C.32D. 28. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌． 给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二．填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 10. 因式分解：3269x x x ++=____________． 11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下： 稻穗长度 5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.5 6.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥稻穗个数5816147根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BEEC的值为________．15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号AB CD E修复时间（分钟） 15 8 29 710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D BE A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()112024π12−−−−+18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+−−<．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭，其中5x =．20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B −， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a ．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H ；b ．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p ；c ．运动员该次试跳的得分A ＝难度系数H ×完成分p ×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分7.58.54.09.08.08.57.0（1）甲运动员这次试跳完成分P 甲＝ ， 得分A 甲＝ ； （直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P 甲'，那么与（1）中所得的P 甲比较，判断P 甲' P 甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P 乙至少要达到多少分．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表的a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t 0 3 6m10 12 14 16 18 20 22 24 26 …T 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()222y x m x m =−++的对称轴为直线x t =． （1）求t 值（用含m 的代数式表示）；（2）点()1,A t y −，()2,B t y ，()31,C t y +在该抛物线上．若抛物线与x 轴一个交点为()0,0x ，其中002x <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27. 在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．的的（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段a ，给出如下定义：直线11:3l y x b =+经过线段a 的一个端点，直线22:4l y x b =−+经过线段a 的另一个端点，若直线1l 与2l 交于点P ，且点P 不在线段a 上，则称点P 为线段a 的“双线关联点”．（1）已知，线段a 的两个端点分别为()0,2−和()0,5，则在点()()123413,3,1,1,,2,1,222P P P P−−，中，线段a 的“双线关联点”是___________： （2）()()12,,3,A m y B m y +是直线23y x =上的两个动点． ①点P 是线段AB 的“双线关联点”，其纵坐标为3，直接写出点P 的横坐标___________；②正方形CDEF 的四个顶点的坐标分别为()()()(),,,,3,,3,C t t D t t E t t F t t −−，其中0t >．若所有线段AB 的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形CDEF 的边上，直接写出t 的取值范围___________．2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D ．2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（ ）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．先由对顶角性质求得35AOC ∠=°，再根据角平分线的定义求出AOE ∠，再根据邻补角之和为180°计算，即可得到答案．【详解】解：∵35AOC BOD ∠=∠=°， 又∵OC 平分AOE ∠， 270AOE AOC ∴∠=∠=°， 180110BOE AOE ∴∠=°−∠=°，故选：C ．3. 已知30m +<，则下列结论正确是（ ） A. 33m m −<<−< B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵30m +<， ∴3m <−， ∴3m −>， ∴33m m <−<<−，∴A ，B ，C 不符合题意；D 符合题意； 故选：D4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 1k < B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠【答案】D 【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，∴()2Δ64936360k k =−−××=−≥，0k ≠，解得：1k ≤，且0k ≠ 故选：D ．的5. 正六边形的外角和是（ ） A. 720° B. 540° C. 360° D. 180°【答案】C 【解析】【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【详解】解：六边形的外角和是360°． 故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A. 35.2510× B. 45.2510× C. .41510× D. 41.0510×【答案】D 【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：45250210500 1.0510×==×． 故选：D ．7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（ ）A. 1B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明AFE DCE ∽ 是解题的关键．由菱形的性质得AB DC ∥，3AB DC ==，可证明AFE DCE ∽ ，则12AF AE DC ED ==，求得3122AF DC ==，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，3AB =，∴AB DC ∥，3AB DC ==，∵点F 在直线AB 上，∴AF DC ∥，∴AFE DCE ∽ ， ∴12AF AE DC ED ==， ∴1322AF DC ==． 故选：C ．8. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌． 给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得BAE CED ∠=∠，AE ED =，BE CD =，结合90B BCD ∠=∠=°，求出90AED ∠=°，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明FEC AEB ∽，得出EF CF AE AB=，即可判断③，从而得解． 【详解】解：ABE ECD ≌，BAE CED ∴∠=∠，AE ED =，BE CD =，90B BCD ∠=∠=° ，90AEB CED AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠=°，()18090AED AEB CED ∴∠=°−∠+∠=°，AE DE ∴⊥，故①正确，符合题意；AB BE AE +> ，且BE CD =，AB CD AE ∴+>，故②正确，符合题意；AE ED = ，90AED ∠=°，AD ∴=，AE AD ∴， 90FCE B ∠=∠=° ，FEC AEB ∠=∠，FEC AEB ∴ ∽，EF CF AE AB∴=，AB EF AD CF ∴⋅=⋅，EF AD CF ⋅=⋅，故③正确，符合题意；故选：D ．二．填空题（本题共162分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】5x ≠【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可． 【详解】解：∵代数式15x −有意义， ∴50x −≠，解得：5x ≠，故答案为：5x ≠．10. 因式分解：3269x x x ++=____________．【答案】()23x x +【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：3269x x x ++()269x x x =++()23x x +．故答案为：()23x x +．11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 【答案】3x =【解析】【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：1203x x −=+， 去分母得：320x x +−=，移项，合并同类项得：3x −=−，系数化为1得：3x =，检验：把3x =代入()()3333180x x +=×+=≠， ∴3x =是原方程的解，故答案为：3x =．12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．【答案】2k >【解析】【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】解： 一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，且12y y <，∴一次函数()21y k x =−+的图像y 随x 的增大而增大，20k ∴−>，2k ∴>，故答案为：2k >．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k 的正负性与一次函数y kx b =+的增减性之间的关系是解题的关键．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下： 稻穗长度5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.56.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥ 稻穗个数 5 8 16 14 7根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．【答案】1.8【解析】【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在5.5 6.5x ≤<范围内的所占比，即可解题．【详解】解：由题知，16143 1.850+×=（万棵）， 故答案：1.8．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BE EC的值为________．【答案】73##123【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，BE AF CE DF=，从而可得答案． 【详解】解：∵AB EF CD ∥∥，5AO =，2OF =，3FD =，为52733BE AF CE DF +∴===， 故答案为：73． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）【答案】14【解析】【分析】根据题意可得ABC DBE ∽△△，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．【详解】解：∵DE CE ⊥，A C C E ⊥， ∴90C E ∠=∠=°，根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：ABC DBE ∠=∠，∴ABC DBE ∽△△， ∴DE BE AC BC =，即1.6 2.421AC =， 解得：14AC =，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．【答案】 ①. ① ②. 1010【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156×+×+×+×+=分钟，②总停产时间：574153292108210×+×+×+×+=分钟，③总停产时间：529415310287258×+×+×+×+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101×+×+×+×+=分钟，101101010×=（元）故答案为：1010．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()1012024π12− −−−+【答案】2−【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：()1012024π12− −−−+112=+−−+2−．18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+ −−<． 【答案】3x ≤<-2【解析】【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可．【详解】解：()21581252x x x x +≤+ −−<①②， 解①得：2x ≥−，解②得：3x <，∴3x ≤<-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =． 【答案】3x x −，52【解析】【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将5x =代入，即可求解，本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭ ()()2312111x x x x x x −− =−÷ −−−()()21313x x x x x −−×−− 3x x =−， 当5x =时，553532xx ==−−． 20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO=∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 【答案】（1）见解析 （2）DE =【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=°，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=°可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】证明： 四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=°， AD EO = ，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=° ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=°，120BCD ∠=°，∴18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∴ABC 等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，是∴122AO OC AC ===，∴BO ， ∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=°，∴DE =．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，由题意可得()1180244425101444120x x ++×=++×+． 解得6x =∴1272x =，答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()()3,5,2,0A B −， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x −+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B −，代入函数解析式得，3520k b k b += −+= ，解得12k b = =， ∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x −+>+，的即24nx−<，又2x<，∴22 4n−≥，解得：10n≥，∴n的取值范围为10n≥．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判1#2#3#4#5#6#7#3.5 打分7.5 8.54.0 9.0 8.0 8.5 7.0（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝，得分A甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲'P甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．【答案】（1）8.0，84；（2）<；（3）9.0分【解析】【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可；（2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案；（3）列方程求解即可．【小问1详解】解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5，平均数=7.58.08.58.03++=，∴完成分P 甲＝8.0；得分A 甲＝3.58.0384××=， 故答案为：8.0，84； 【小问2详解】 P 甲'=7.58.5 4.09.08.08.57.07.57++++++=，∵7.5<8.0， ∴P 甲'<P 甲， 故答案为<； 【小问3详解】由题意得3.638413.1P ××+乙， 解得971108P =乙， ∴这一跳乙的完成分P 乙至少要达到9.0分．【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）152OA = 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出OAB OBA ∠=∠，再根据余角和对顶角的性质可得DEB DBE ∠=∠，即可证明DB DE =．（2）连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，根据等腰三角形的性质可得90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°，根据E 是AB 的中点，12AB =，5BD =，得出6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==，勾股定理可得4DF =，即4sin 5DF DEF DE ∠==，再根据余角和对顶角可得DEF CEA AOE ∠=∠=∠，得4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==，即可求出152OA =． 【小问1详解】 证明：∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠， 又∵EC OA ⊥，BD OB ⊥，∴OAB CEA OBA DBE ∠+∠=∠+∠， ∴CEA DBE ∠=∠， 又∵CEA DEB ∠=∠， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =． 【小问2详解】解：连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，如图：∵OA OB =，E 是AB 的中点，DB DE =， ∴90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°， ∵E 是AB 的中点，12AB =，5BD =， ∴6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==， ∵5BD =，90DFB ∠=°，∴4DF ==，∴4sin 5DF DEF DE ∠==， ∵CEA DEB ∠=∠，90CEA OAE OAE AOE ∠+∠=∠+∠=°， ∴DEF CEA AOE ∠=∠=∠，∴4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==， ∵6AE =，∴645AO =， 解得：152OA =．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水． 【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能 【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5−=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃， ∴()10610080m −−， ∴8m =． 【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：。
北京市第一零一中学2024~2025学年九年级上学期9月月考数学试题[含答案]
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北京一零一中2024-2025学年度第一学期初三练习数学1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟；2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号：3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．解方程243x x -=，下列用配方法进行变形正确的是（ ）A ．2(2)19x -=B ．2(4)7x -=C ．2(2)4x -=D ．2(2)7x -=3．对于抛物线()225y x =--+，下列判断正确的是（ ）A ．抛物线的开口向上B ．对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标是()2,5-D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大4．一元二次方程22350x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．()2500016600x +=B ．250006600x =C ．()2660015000x -=D ．()()250001500016600x x +++=6．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD 绕某一点旋转某一角度得到四边形A B C D ¢¢¢¢（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点,,,M N P Q 中，可能是旋转中心的是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q7．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b -<C ．930a b c -+=D ．若m 为任意实数，则()a b m am b -³+8．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A Ð=°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG ，连接BG CG ，，则BG CG +的最小值为（ ）A B ．C D ．1二、填空题（共16分，每题2分）9．一元二次方程23x x =的根是 ．10．已知2x =是关于x 的一元二次方程260x bx +-=的一个根，则b 的值是 ．11．写出一个开口向下且过()0,1的抛物线的表达式 ．12．若二次函数231y x =-的图象上有两点()12,A y -，()21,B y ，则1y2y （填“>”“=”或“<”）．13．如图，AB 是O e 的弦，若O e 的半径5OA =，圆心O 到弦AB 的距离3OC =，则弦AB 的长为 ．14．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =．ADE V 绕着点A 逆时针旋转后与ABF △重合，连结EF ，则EF = ．15．已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2(0)y kx m k =+¹的图象相交于点()2,4A -，()8,2B ．如图所示，则能使12y y <成立的x 的取值范围是 ．16．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A ，()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．在31x -££的范围内，若二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”，则c 的取值范围是 ．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．解方程：(1)2280x -=；(2)2230x x --=．18．如图，在平面直角坐标系中，已知()2,1A -，()4,5B -，()5,2C -，ABC V 与111A B C △关于原点对称，点A ，B ，C 的对应点分别是点1A ，1B ，1C ．(1)点1A 的坐标为________，画出111A B C △；(2)直接写出111A B C △的面积为________．19．已知二次函数的函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表，求该二次函数的解析式．x…1-01234…y …03-4-3-05…20．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，ABC V 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE Ð=Ð，连接EF ，EF 与AC 交于点G（1）求证：EF BC =；(2)若65ABC Ð=°，28ACB Ð=°，求FGC Ð的度数.22．已知二次函数243y x x =++．(1)抛物线243y x x =++的顶点坐标为________，画出其函数图象；(2)观察图象，回答下列问题：①函数0y >时，x 的取值范围是________；②方程34x x+=-的根是________；③若当0a x ££时，函数y 的最小值是1-，最大值是3，则a 的取值范围是________．23．如图，OA OB =，AB 交O e 于点C ，D ，OE 是半径，且OE AB ^于点F ．(1)求证：AC BD =；(2)若6CD =，1EF =，求O e 的半径．24．列方程解决实际问题：为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地ABCD ，其中AD 边的长比AB 边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加7m ，另一边增加3m ，构成一个正方形区域AEFG ，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．(1)直接写出正方形区域AEFG 的边长是________m ；(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m 宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为902m ，求小道的宽度．25．如图1，某桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽8OA =米，桥拱顶点B 到水面的距离是4米．(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？(3)如图2，桥拱所在的抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移()0n n >个单位长度，平移后的函数图象在89x ££时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 在抛物线()20y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若对于11x =-，23x =，有12y y =，直接写出t 的值为________；(2)若对于11t x t <<+，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围．27．在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，点E 是直线BC 上一点．(1)如图1，点D 是AC 边上一点，连接DE ，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°至EF ，连接BF ．①请按照要求补全图形；②若6AC =，2BE =，直接写出BEF △的面积为________；(2)连接AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ．①如图2，点E 在线段BC 上时，请写出线段AB ，EN 和BE 之间的数量关系并证明；②当点E 在直线BC 上时，请直接写出线段AB ，EN 和BE 之间的数量关系．28．已知点P 为线段AB 上一动点（点P 不与A ，B 重合），分别以AP BP ，为底边在AB 的同侧作等边三角形APE 和等边三角形BPF ，连接EF ，点M 为EF 的中点．我们将点M 称之为线段AB 关于点P 的“中顶点”．如图所示，点M 为线段AB 关于点P 的“中顶点”．(1)已知点A (−4,0)，点B (4,0)，点P 为线段A 上一动点（点P 不与A ，B 重合），则以下四个点(12,M -，(21,M -，(31,M -，(42,M -中，能作为线段AB 关于点P 的“中顶点”的有________；(2)已知点(),0A t ，()B t +，在函数2y x =上存在线段AB 关于点P 的“中顶点”，则t 的取值范围为________；(3)已知点()2,0A t -，()2,0B t +，点P 为线段AB 上一动点，一个边长为4的正方形M ，其0,t，若正方形M上存在线段AB关于点P的“中顶点”，则t的取值范围为中心坐标为()________；1．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．2．D【分析】利用完全平方公式进行配方即可．【详解】解：∵243x x -=，∴2447x x -+=，即()227x -=，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．3．B【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．【详解】解：A 、∵10-<，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意；B 、抛物线的对称轴为直线2x =，本选项符合题意；C 、抛物线的顶点坐标是()2,5，本选项不符合题意；D 、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线2x =，所以当2x >时，y 随x 的增大而减小，本选项不符合题意．故选：B ．4．C【详解】解：∵a =2，b =﹣3，c =5，∴△=b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×2×5=﹣31＜0，∴方程没有实数根．故选C ．点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．A【分析】根据增长后的量=增长前的量(1´+增长率)列出方程即可．【详解】解：根据题意，得()2500016600x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．6．A【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接AA ¢，CC ¢，作'AA 的垂直平分线，作CC ¢的垂直平分线，交于点M ，则M 为旋转中心．【详解】解：连接AA ¢，CC ¢， 作'AA 的垂直平分线，作CC ¢的垂直平分线，交到在M 处，所以可知旋转中心的是点M ．如下图：故选∶A ．7．C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断a b c 、、的符号，即可判断A ；根据对称轴及抛物线与x 轴的交点即可判断B C 、；根据抛物线开口向上，对称轴为直线x =―1，得出最小值为a b c -+，据此即可判断D ；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与y 轴的交点位于y 轴的负半轴上，对称轴为直线x =―1，∴a >0，0c <，12b a-=-，∴20b a =>，∴0abc <，故A 错误；∵2b a =，∴20a b -=，故B 错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0-，∴()()2330a b c ´-+´-+=，即930a b c -+=，故C 正确；∵a >0，对称轴为直线x =―1，∴当m 为任意实数时，有2a b c am bm c -+£++，即()a b m am b -£+，故D 错误；故选：C ．8．C【分析】取AB 的中点N ，连接EN 、EC 、GN ，连接BD ，证明GB GE =，连接EC 构造CGE V ，在CGE V ，证明BG CG BG GE EC +=+³，求出EC 的长度即可，过点E 作EH CD ^的延长线于H ，在Rt DEH V 中，由菱形的性质可知30DEH Ð=°，由此即可求出,DH EH 的长度，在Rt CEH V 中即可求出EC 的长，于是就可以求出BG CG +的最小值．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接EN 、EC 、GN ，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，60A Ð=°，∴AB AD =，∴ABD V 是等边三角形，∴AD BD =，∵点E 是AD 中点，点N 是AB 的中点，12AE ED AD \==，12AN NB AB ==，∴三角形AEN 是等边三角形，∴NE AE =，∵60FEG Ð=°，EF EG =，60AEF FEN FEN NEG \Ð+Ð=Ð+Ð=°，,,AEF NEG EF EG AE NE \Ð=Ð==，(SAS)AEF NEG \V V ≌，60ENG A \Ð=Ð=°，18060GNB ENG ENA \Ð=°-Ð-Ð=°，∵,NG NG NE AE BN ===，(SAS)ENG BNG \V V ≌，∴GB GE =，则BG CG CG GE +=+，在ECG V 中，BG CG CG GE EC +=+³，如下图所示，过点E 作EH CD ^的延长线于H ，在Rt EDH V 中，90H Ð=°，由菱形ABCD 可知60ADB BDC Ð=Ð=°，∴60ADH Ð=°，则30DEH Ð=°，且112122DE AD ==´=，∴1111222DH DE ==´=，则152,22CH EH =+===在Rt CEH V 中，EC ===∴BG CG +³故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键．9．10x =，23x =##13x =，20x =【分析】首先把3x 移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：23x x =，移项得：230x x -=，∴()30x x -=，∴0x =或30x -=，∴10x =，23x =．故答案为：10x =，23x =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．1【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得2t b +=-，22t =-，然后解方程组即可．【详解】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得2t b +=-，26t =-，解得3t =-，1b =，故答案为：1．11．答案不唯一，例如：221y x =-+【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可知0a <，且过点()0,1，然后问题可求解．【详解】解：由抛物线开口向下可知0a <，且与y 轴交于点()0,1，因此符合条件的抛物线表达式可以为221y x =-+；故答案为221y x =-+（答案不唯一）．12．>【分析】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，进行比较即可．【详解】解：231y x =-，∵30a =>，对称轴为：直线0x =，∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，2010-->-Q ，12y y \>，故答案为：>．13．8【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由OC AB ^可得90ACO Ð=°，2AB AC =，进而利用勾股定理求出AC 即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．【详解】解：∵OC AB ^，∴90ACO Ð=°，2AB AC =，∵5OA =，3OC =，∴4AC ===，∴248A B =´=，故答案为：8．14．【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算AE =DAE BAF Ð=Ð，AF AE ==，推出90BAD EAF Ð=Ð=°，根据勾股定理计算EF =正方形的性质、勾股定理是解题的关键．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =，∴90D BAD Ð=Ð=°，3AD =，∴AE ==∵ADE V 绕着点A 逆时针旋转后与ABF △重合，∴DAE BAF Ð=Ð，AF AE ==∴DAE BAE BAF BAE Ð+Ð=Ð+Ð，即90BAD EAF Ð=Ð=°，∴E F ===故答案为：15．28x -<<##82x >>-【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当x 在两交点之间时12y y <，据此可得x 的取值范围．【详解】解：∵二次函数21(0)y ax bx c a =++¹与一次函数2(0)y kx m k =+¹的交点横坐标分别为2,8-，∴使12y y <成立的x 的取值范围正好在两交点之间，即28x -<<，故答案为：28x -<<．16．35c -<£或4c =-【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，“三倍点”所在的直线为3y x =，根据二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”转化为2y x x c =--+和3y x =有且只有一个交点，求0D =，3x =-和1x =时两个函数值相等时的c 值即可．【详解】解：由题意得，“三倍点”所在的直线为3y x =，在31x -££的范围内，二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”，即在31x -££的范围内，二次函数2y x x c =--+和3y x =有且只有一个交点，令23x x x c =-+，整理得，240x x c +-=，∴241640b ac c D =-=+=，解得，4c =-，此时，2x =-，符合：当3x =-时，()()23433c =-+´-=-，当1x =时，21415c =+´=，由图看出，当3c =-时，函数2y x x c =--+有两个“三倍点”，∴35c -<£，综上，c 的取值范围为：35c -<£或4c =-．故答案为：35c -<£或4c =-．17．(1)12x =，22x =-(2)13x =，21x =-【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．常用一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．（1）变形后直接开平方即可；（2）用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）解：2280x -=变形得：24x =，解得：12x =，22x =-．（2）解：2230x x --=因式分解得：()()310x x -+=，解得：13x =，21x =-．18．(1)()2,1-，画图见解析(2)5．【分析】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特点，坐标与图形：（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，点A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 的坐标，描出点1A ，1B ，1C ，再顺次连接点1A ，1B ，1C 即可；（2）利用割补法求解即可．【详解】（1）解：∵ABC V 与111A B C △关于原点对称，()2,1A -∴()12,1A -（2）解：111111342413135222A B C S =´-´´-´´-´´=△．19．()214y x =--．【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性，得到抛物线的顶点坐标为()1,4-，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可．【详解】解：∵0x =和2x =的函数值相同，∴抛物线的对称轴为直线0212x +==，∴抛物线的顶点为()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =--，把()1,0-代入得()20114a =---，解得1a =，∴此二次函数的表达式()214y x =--．20．1m =，此时方程的根为121x x ==【分析】直接利用根的判别式D ≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案．【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x +2m -1=0有实数根，∴b 2-4ac =4-4（2m -1）≥0，解得：m ≤1，∵m 为正整数，∴m =1，∴此时二次方程为：x 2-2x +1=0，则（x -1）2=0，解得：x 1=x 2=1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m 的值是解题关键．21．（1）证明见解析；（2）78°【分析】（1）因为CAF BAE Ð=Ð，所以有BAC EAF Ð=Ð，又因为AE AB AC AF ==，，所以有()BAC EAF SAS △≌△，得到EF BC =；（2）利用等腰三角形ABE 内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到28F C Ð=Ð=°，从而算出∠FGC【详解】解：（1）证明：CAF BAE Ð=ÐQ ，BAC EAF \Ð=Ð，AE AB AC AF ==Q ，，()BAC EAF SAS \△≌△，EF BC \=；（2）65AB AE ABC =Ð=°Q ，，18065250BAE \Ð=°-°´=°，50FAG \Ð=°，BAC EAF Q △≌△，28F C \Ð=Ð=°，502878FGC \Ð=°+°=°．【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．22．(1)()2,1--；作图见详解(2)①3x <-或1x >-②13x =-，21x =-③42a -££-【分析】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向，二次函数的增减性，二次函数与方程的关系，解题的关键可用数形结合的思想求解．（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标；利用画函数图象的步骤即可求解；（2）①当图象在x 轴上方时，0y >，据此写出x 的取值范围；②化简34x x+=-得，2430x x ++=，根据图象即可求解；③根据函数的最大值和最小值，结合图象即可求解．【详解】（1）解：2243(2)1y x x x =++=+-Q ，∴顶点坐标是(2,1)--，令0y =，代入得：2430x x ++=，解方程得1x =-或3x =-，∴与x 轴交点的坐标是(1,0),(3,0)--，根据图象开口朝上，与x 轴的交点为(1,0),(3,0)--，顶点坐标是(2,1)--，描点，连线，画图如下；（2）解：①根据图象可知，0y >时，x 的取值范围是3x <-或1x >-，故答案为：3x <-或1x >-；②由34x x+=-得，2430x x ++=，通过图象可知123,1x x =-=-，故答案为：123,1x x =-=-；③解：当4x =-或0x =时，函数值为3y =，因为顶点坐标(2,1)--，开口向上，在顶点处取得最小值1y =-，∴在40x -££的范围内，min 1y \=-，最大值是3，又因为对称轴为直线2x =-，离对称轴越远，函数值越大，\42a -££-，故答案为：42a -££-．23．(1)证明见解析(2)5【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；（1）由垂径定理得CF DF =，根据等腰三角形的性质可得AF BF =，再根据线段的和差关系可得结论；（2）连接OC ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：OE AB ^Q ，CD 为O e 的弦，CF DF \=，OA OB =Q ，OE AB ^，AF BF \=，AF CF BF DF \-=-，AC BD \=；（2）如图，连接OC ，OE AB ^Q ，CD 为O e 的弦，\132CF CD ==，90OFC Ð=°，∴222CO CF OF =+设O e 的半径是r ，∴()22231r r =+-，解得=5r ，O \e 的半径是5．24．(1)12(2)小道的宽度为2m【分析】本题考查了一元二次方程的应用；（1）设正方形区域的边长为m y ，则7AB y =-，3AD y =-，根据“AD 边的长比AB 边的2倍少1”，列出元方程，解之即可；（2）设小道的宽度为m x ，则栽种鲜花的区域可合成长()12m x -，宽()121m x --的矩形，根据“栽种鲜花区域的面积为290m ”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【详解】（1）解：设正方形区域的边长为m y ，则7AB y =-，3AD y =-，∵AD 边的长比AB 边的2倍少1∴()3271y y -=--，解得：12y =，故答案为：12；（2）设小道的宽度为m x ，则栽种鲜花的区域可合成长()12m x -，宽()121m x --的矩形，由题意得：()()1212190x x ---=，整理得：223420x x -+=，解得：12x =，221x =（不合题意舍去），答：小道的宽度为2m ．25．(1)()()2144084y x x =--+££(2)4.8米(3)58n ££【分析】（1）由图象可知抛物线的对称轴为直线0842x +==，抛物线经过原点(0,0)，将原点坐标代入函数解析式即可求得a 的值；（2）根据题意求出 2.260.3 2.56y =+=时，所对应的x 之间的距离，也就是小船的最大宽度；（3）根据平移规律得到点O 平移后的对应点为(,0)n ，对称轴平移后的对称轴为4x n =+，点A 平移后的对应点为(8,0)n +，根据图象性质，得到函数在4n n ®+上，满足y 随x 的增大而减小，列出不等式组849n n £ìí+³î或88n +≤，求解集即可．【详解】（1）8OA =Q ，且点A 在x 轴上，(8,0)A \，根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线0842x +==，\顶点(4,4)B ，∴设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+，把原点(0,0)代入得20(04)4a =-+，解得14a =-，∴此二次函数的表达式()()2144084y x x =--+££．（2）Q 二次函数的表达式21(4)44y x =--+，令 2.260.3 2.56y =+=得：212.56(4)44x =--+，解得：1 6.4x =，2 1.6x =，\小船的最大宽度为：6.4 1.6 4.8-=米．（3）根据平移规律得到点O 平移后的对应点为(,0)n ，对称轴平移后的对称轴为4x n =+，点A 平移后的对应点为(8,0)n +，如图：根据图象性质，得到当4n x n ££+或88n x +££时y 随x 的增大而减小，\849n n £ìí+³î或88n +≤，解得58n ££或0n £（舍去），故n 的取值范围是58n ££．26．(1)1(2)0t £或3t ³【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．（1）根据二次函数对称性求解即可；（2）把点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)代入()20y ax bx c a =++>后根据120y y -<计算即可．【详解】（1）∵12y y =，∴点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)关于直线x t =对称，∴122x x x t +==，∵11x =-，23x =，∴1312t -+==，故答案为：1；（2）代数法1：解：∵对称轴为2b x t a==-∴2b at =-∴抛物线解析式为()220y ax atx c a =-+>∵点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)在抛物线上，∴21112y ax atx c =-+，22222y ax atx c =-+，∵12y y <，∴120y y -<，∴()()12121220y y a x x x x t -=-+-<，∵0a >，∴()()121220x x x x t -+-<，∴12122x x x x t <ìí+>î或12122x x x x t >ìí+<î，∵11t x t <<+，212x <<，∴1213t x x t +<+<+，∴1112t t t +£ìí+³î或232t t t ³ìí+£î，解得：0t £或3t ³，代数法2：解：设抛物线解析式为()2y a x t k =-+，∵点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)在抛物线上，∴()211y a x t k =-+，()222y a x t k=-+∵12y y <，∴120y y -<，∴()()2212120y y a x t a x t -=---< ，∵0a >，∴()()2212x t x t -<-∵11t x t <<+，∴101x t <-<，∴()2101x t <-<，∴()221x t -³，∴21x t -³或21x t -£-，∴21t x ³+或21t x £-，∵212x <<，∴3t ³或0t £．数形结合法：①当2t ³时，(x 1,y 1)，(x 2,y 2)位于对称轴两侧，(x 2,y 2)关于x t =的对称点为()222,t x y -，∵x t >时，y 随x 增大而增大，且都有12y y <，∴212t x x ->恒成立，∴122x x t +<恒成立，∵11t x t <<+，212x <<，∴1213t x x t +<+<+，∴32t t +£，∴3t ³，②当12t <<时，∵212x <<，∴当2x t =时，必有21y y <，不合题意，舍去．③当1t £时，(x 1,y 1)，(x 2,y 2)都位于对称轴右侧，∵x t >时，y 随x 增大而增大，且都有12y y <，∴12x x <恒成立，∵11t x t <<+，212x <<，∴11t +£，∴0t £，综上所述：0t £或3t ³．27．(1)①见解析；②4(2)①2AB NE =+，证明见解析；②当E 在线段BC 上时，2AB NE =；当E在线段BC 的延长线上时，2AB EN =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =-，证明见解析【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，确定点P 的位置是解题的关键．（1）①按要求画出图形即可；②过点F 作FH ^直线BC 于H ，由“AAS ”可证CDE HEF V V ≌，可得4CE FH ==，由三角形的面积公式可求解；（2）①过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 于Q ，由“AAS ”可证BEN MGN V V ≌，可得NE GN =，MG BE =，由“SAS ”可证AEQ EMG V V ≌，可得EG AQ =，最后根据AB AQ BQ =+可得结论；②同①一样的辅助线和思路分三种情况画出图形分别证明即可．【详解】（1）①如图所示：②如图1，过点F 作FH ^直线BC 于H ，Q 将DE 绕点E 逆时针旋转90°至EF ，90DEF \Ð=°，=DE EF ，6AC BC ==Q ，2BE =，4CE \=，90ACB DEF H Ð=Ð=Ð=°Q ，90CED CDE CED BEF \Ð+Ð=°=Ð+Ð，CDE BEF \Ð=Ð，(AAS)CDE HEF \V V ≌，4CE FH \==，BEF \V 的面积1124422BE FH =´×=´´=，故答案为：4；（2）①如图2，过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 于Q ，∵MG BC ∥，G NEB \Ð=Ð，GMN EBN Ð=Ð，GME CEM Ð=Ð，Q 点N 是BM 的中点，MN BN \=，(AAS)BEN MGN \V V ≌，2GE NE \=，AC QE ∥Q ，45CAB EQB ABC \Ð=Ð=°=Ð，90C QEB CEQ Ð=Ð=Ð=°，QE BE \=，MG EQ BE \==，BQ =，Q 将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，AE ME \=，90AEM CEQ Ð=°=Ð，AEQ MEC \Ð=Ð，AEQ EMG \Ð=Ð，(SAS)AEQ EMG \V V ≌，EG AQ \=，2AB AQ BQ NE \=+=；②当E 在线段BC 上时，由①可得2AB NE =；如图3，当E 在线段CB 的延长线上时，过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 延长线于Q ，∵MG BC ∥，G NEB \Ð=Ð，GMN EBN Ð=Ð，180GME CEM Ð+Ð=°，Q 点N 是BM 的中点，MN BN \=，(AAS)BEN MGN \V V ≌，2GE NE \=，AC QE ∥Q ，45CAB EQB ABC QBE \Ð=Ð=°=Ð=Ð，90ACB QEB Ð=Ð=°，QE BE \=，MG EQ BE \==，BQ =，Q 将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，AE ME \=，90AEM CEQ Ð=°=Ð，180AEQ MEC \Ð+Ð=°，AEQ EMG \Ð=Ð，(SAS)AEQ EMG \V V ≌，EG AQ \=，2AB AQ BQ NE \=-=；同理，如图4，当E 在线段BC 的延长线上时，2AB BQ AQ EN =-=-，综上所述，当E 在线段BC 上时，2AB NE =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =-．28．(1)2M ，3M ；(2)0t -<<且t ¹-；t <<且0t ¹．【分析】（1）如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，易证明ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；求出8AH AB ==，则4AG BG ==，HG ==(0,H ，再由平行四边形的性质得到点M 为HP 的中点，设()(),044P k k -<<，则,2k M æçè，故当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为-（2）同（1）可求出当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+3，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+纵坐标为3-，在2y x =中，当23y x ==时，解得x =当23y x ==-时，方程无解，据此列式求解即可；（3）如图3-1所示，正方形ABCD 和正方形EFGH 都是以M 为中心且边长为4的正方形，过点M 作MT EF ^于T ，连接ME ，可证明正方形M 上的所有点形成的是一个以M 为圆心，大圆半径为2的圆环区域（包括边界）；如图3-2所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ， 可证明点M 在AH 和BH 组成的线段上运动，即点M 在ABH V 平行于AB 的那条中位线上运动（不包括端点）；如图3-3所示，KQ ST ，分别是等边三角形ABH V 和等边ABH ¢V 的中位线，当圆环恰好经过点T 时，此时MT =()()(22210t t +-+=，解得t =或t =；如图3-4所示，当点M 运动到原点时，此时K Q S T 、、、恰好在圆环的内环上，此时不满足题意；如图3-5所示，当圆环恰好经过点K 时，由对称性可求得此时t =t <<且0t ¹．【详解】（1）解：如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，∵AEP BFP △，△都是等腰三角形，∴60A APE B FPB ====°∠∠∠∠，∴PE BH PF AH ∥，∥，ABH V 是等边三角形，∴四边形PEHF 是平行四边形；∵A (−4,0)，B (4,0)，∴8AH AB ==，∵HG AB ^，∴4AG BG ==，∴HG ==∴(0,H ，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(),044P k k -<<，则02k M æ+ççè，即,2k M æçè，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为-，∴(12,M -，(21,M -，(31,M -，(42,M -中，能作为线段AB 关于点P 的“中顶点”的有2M ，3M ；（2）解：如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB^于G ，同理可得ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；∵(),0A t ，()B t +，∴AH AB ==，∵HG AB ^，∴AG BG ==，∴6HG ==，∴()H t +，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(,0P k t k t ¢¢<<+，则062M ö+÷÷ø，即M ö÷÷ø，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+3，同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t <<+，纵坐标为3-，在2y x =中，当23y x ==时，解得x =23y x ==-时，方程无解；∴t t ìïíïî解得0t -<<，∵t t +=2y x =中，纵坐标为3的两个点的距离也为∴t t ìïí¹ïî解得t ¹-，综上所述，0t -<<且t ¹-（3）解：如图3-1所示，正方形ABCD 和正方形EFGH 都是以M 为中心且边长为4的正方形，过点M 作MT EF ^于T ，连接ME ，则122ET MT EF ===，∴ME ==∴点M 到正方形ABCD ，最大值为，同理可得点M 到正方形EFGH ∵正方形ABCD 和正方形EFGH 都是M e 的圆内接正方形，∴正方形ABCD 绕点M 旋转一定的角度一定可以与正方形EFGH 重合，∴正方形M 上的所有点形成的是一个以M 为圆心，大圆半径为2的圆环区域（包括边界）；如图3-2所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，同理可得ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；∵()2,0A t -，()2,0B t +，∴4AH AB ==，∵HG AB ^，∴2AG BG ==，∴HG ==∴(,H t ，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(,0P k t k t ¢¢¢<+¢<，则2k t M æ+çè¢ç¢，即2k t M ¢+¢æçè，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为11M t x t -<<+同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为11M t x t -<<+，纵坐标为∵AH 中点坐标为22t t æ-+ççè，即(t -，BH 中点坐标为22t t æ++ççè，即(t +，∴点M 在AH 和BH 组成的线段上运动，即点M 在ABH V 平行于AB 的那条中位线上运动（不包括端点）；如图3-3所示，KQ ST ，分别是等边三角形ABH V 和等边ABH ¢V 的中位线，当圆环恰好经过点T 时，此时MT =∵(1,T t +，()0,M t ，∴()()(22210t t +-+=，解得t =或t =（舍去）；如图3-4所示，当点M 运动到原点时，此时K Q S T 、、、恰好在圆环的内环上，此时不满足题意；。
北京市朝阳外国语学校来广营校区初中部2024~2025学年上学期9月月考九年级数学试卷[含答案]
![北京市朝阳外国语学校来广营校区初中部2024~2025学年上学期9月月考九年级数学试卷[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/b6782ce86429647d27284b73f242336c1eb93087.png)
2024~2025学年度第一学期九年级数学学科阶段练习（时间：120分钟 满分：100分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．二次函数()=+-2y x 12的最小值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程2570x x +-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有一个实数根4．将抛物线212y x =的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）A ．2132y x =-B ．2132y x =+C ．()2132y x =-D ．()2132y x =+5．用配方法解一元二次方程2820x x -+=，此方程可化为的正确形式是（ ）A ．()2414x -=B ．()2418x -=C ．()2414x +=D ．()2418x +=6．如图，在Rt ABC △中，90,30ACB ABC Ð=°Ð=°，将ABC V 绕点C 顺时针旋转α角()0180a °<<°至A B C ¢¢△，使得点A ¢恰好落在AB 边上，则α等于（ ）A ．150°B ．90°C ．30°D ．60°7．下表记录了二次函数()220y ax bx a =+-¹中两个变量x 与y 的5组对应值，其中211x x >>-．x…3-1-1x 2x 5…y…m 02-0m…若当04x <£时，直线y k =与该二次函数图象有两个公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．1023k -<<B ．1023k -<£C ．823k -<<-D ．823k -£<-8．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A Ð=°，AB AC =，点D 为斜边BC 上的中点，点E ，F 分别在直角边AB ，AC 上运动（不与端点重合），且保持BE AF =，连接DE ，DF ，EF ．设BE a =，CF b =，EF c =．在点E ，F 的运动过程中，给出下面三个结论：①a b c +>；②222a b c +=；③c 的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．9．请写出一个开口向下，顶点在x 轴上的二次函数解析式．10．已知2x =是关于x 的一元二次方程250x bx +-=的一个根，则b 的值是．11．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x ，则可列方程为 ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是．13．如图，P 是正方形ABCD 内的一点，将PCD △绕点C 逆时针方向旋转后与P CB ¢△重合，若2PC =，则PP ¢=．14．如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为5m 3，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m ．铅球的行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，该二次函数的解析式为2112y x =-．若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为．15．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数2(3)y x x =-和3y x =-的图象如图所示．根据图象可知方程2(3)3x x x -=-的解的个数为 ；若m ，n 分别满足方程2(3)1x x -=和31x -=，则m ，n 的大小关系是 ．16．如图，已知Rt ACB △，90ACB Ð=°，=60B а，AC =D 在CB 所在直线上运动，以AD 为边作等边三角形ADE ，则CB = ．在点D 运动过程中，CE 的最小值．三、解答题：共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：213502x x --=．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点坐标分别为()00O ，，()50A ，，()4,3B -，将OAB △绕点O 顺时针旋转90°得到OA B ¢¢△，点A 的对应点为A ¢．(1)画出旋转后的图形OA B ¢¢△，并写出点A ¢，B ¢的坐标；(2)求线段AA ¢的长．19．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将点E 绕点D 逆时针旋转得到点F ，若点F 恰好落在边BC 的延长线上，连接,,DE DF EF ．(1)判断DEF V 的形状，并证明；(2)若EF =DEF V 的面积为___________．20．某二次函数图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表：x…4-3-1-12…y…52-02052-…(1)求这个二次函数的表达式；(2)在图中画出此二次函数的图象；(3)结合图象可知当40x -£<时，y 的取值范围为______．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)(3)0x m x m +-+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若此方程有一个负数根，求m 的取值范围．22．如图，有一块长为21m 、宽为10m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．(1)如果两块绿地的面积之和为90m 2，求人行通道的宽度；(2)能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，点()()1,3,3,3A B -，将抛物线21y x =-+向上平移m 个单位，使得平移后的抛物线与线段AB 有公共点，求m 的取值范围．24．如图，在ABC V 中，,BAC AB AC a Ð==，点D 为BC 边上一点（不与点B 重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACE △．(1)若80a =°，写出旋转角及其度数；(2)当a 度数变化时，DAE Ð与DCE Ð之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．25．在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．(1)小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/m x 01234竖直高度/my 1.62.12.42.52.4（1）根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为____________m ；(2)①求小刚第一次的投掷距离；②已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次____________（填“大”或“小”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22=-y x bx ．(1)当抛物线过点()2,0时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线上存在两点()11,A x y 和()22,B x y ．若对于1212,2x x b ££=-都有120y y ×<，求b 的取值范围．27．如图，在ABC V 中，(090)A a a Ð=°<£°，将BC 边绕点C 逆时针旋转(180)a °-得到线段CD ．(1)判断B Ð与ACD Ð的数量关系并证明；(2)将AC 边绕点C 顺时针旋转a 得到线段CE ，连接DE 与AC 边交于点M （不与点A ，C 重合）．①用等式表示线段DM ，EM 之间的数量关系，并证明；②若AB a =，AC b =，直接写出AM 的长．（用含a ，b 的式子表示）28．将平面直角坐标系xOy 中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，称12||x x -与12||y y -中的最大值为点P 和点Q 的“联络量”，记作||P ，||Q ．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，点A ，B ，C ，D ，E 的横、纵坐标都是整数．(1)①点A ，C ，D ，E ，O ，与点B “联络量”是2的有 ；②点M 在平面上运动，已知将点D ，E ，M 分在同一类时“代表量”是5，则动点M 所在区域的面积为 ；(2)已知二次函数()243y x h =--上的任一点K 均满足将点A ，B ，C ，D ，E ，K 分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出h 的取值范围 ．1．A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数2()y a x h k =-+的相关性质是解题的关键．根据二次函数2()y a x h k =-+的性质进行判断．【详解】解：在二次函数()=+-2y x 12中，顶点坐标为()1,2--，10a =>Q ，\二次函数开口向上，有最低点，即二次函数有最小值，\最小值为2-．故选：A ．2．B【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：选项A 、C 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：B ．3．C【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握：已知方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ¹），①240b ac ->Û方程有两个不相等的实数根；②240b ac -=Û方程有两个相等的实数根；③240b ac -<Û方程无实数根．【详解】解：一元二次方程2570x x +-=，此时1a =，5b =，7c =-，∵()2245417530b ac -=-´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C ．4．A【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．【详解】解：将抛物线212y x =的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为2132y x =-．故选：A ．5．A【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．【详解】移项，配方，即可得出选项．解：2820x x -+=，282x x -=-，2816216x x -+=-+，()2414x -=，故选：A ．6．D【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得,CA CA ACA a ¢¢=Ð=，则CA A ¢V 是等边三角形，即可求出答案．【详解】解：∵90,30ACB ABC Ð=°Ð=°，60A \Ð=°，∵将ABC V 绕点C 顺时针旋转a 角()0180a °<<°至A B C ¢¢△，,CA CA ACA a ¢¢\=Ð=，∴CA A ¢V 是等边三角形，60ACA \¢Ð=°，60a \=°，故选：D ．7．C【分析】根据二次函数的对称轴得出2b a =-①，由二次函数经过()10-，得到20a b --=②，求出a b 、的值，从而得到二次函数的解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与y 轴的交点，从而得到答案．【详解】解：由表中的信息可知：抛物线经过点()3m -，和()5m ，，\抛物线的对称轴为直线3512x -+==，12b a \-=，2b a \=-①，根据表中的信息得，抛物线经过点()10-，，20a b \--=②，由①②解得：23a =，43b =-，\抛物线的解析式为：224233y x x =--，()()22224228222133333y x x x x x =--=--=--Q ，\该抛物线的顶点坐标为813æö-ç÷èø，，开口方向向上，当0x =时，2y =-，\抛物线与y 轴的交点为()02-，，Q 当04x <£时，直线y k =与该二次函数图象有两个公共点，823k \-<<-，故选：C ．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．8．D【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出AE =CF =b ，由三角形三边关系得出AF +AE >EF ，即可判断①；利用勾股定理即可判断②；连接AD ，设AD h =，由等腰直角三角形的性质可得AD =CD =BD =ℎ，AD BC ^，由勾股定理得出ℎ=222c a b =+得出c 2−ℎ2=12(a−b)2≥0，再分a b =和a b ¹对③进行判断即可．【详解】解：①AB AC =Q ，BE =AF =a ，∴AE =CF =b ，Q 点E ，F 分别在直角边AB ，AC 上运动（不与端点重合），∴AF +AE >EF ，即a b c +>，故结论①正确；②90A Ð=°Q ，\在Rt AFE V 中，AF a =，AE b =，EF c =，由勾股定理得：222AF AE EF +=，即222a b c +=，故结论②正确；③连接AD ，设AD h =，如下图所示：在ABC V 中，90A Ð=°，AB AC =，点D 为斜边BC 上的中点，AD BC \^，AD =CD =BD =ℎ，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，∴2ℎ2=(a +b)2，∴ℎ2=12(a +b)2，即ℎ=∵c 2=a 2+b 2，∴c 2−ℎ2=(a 2+b 2)−12(a +b)2=12(a−b)2≥0，当且仅当a b =时，即点E ，F 分别为AB ，AC 的中点时，12(a−b)2=0，此时c h =，即c =当a b ¹时，即点E ，F 不是AB ，AC 的中点时，12(a−b)2≥0，此时c >ℎ，即c >∴c ③正确．综上所述：正确的结论是①②③．故选：D ．9．y=-2（x+1）2．答案不唯一【分析】先设出二次函数解析式方程，()()20y a x h k a =++¹，再根据图像开口向下可知a<0，可以得出结论.【详解】设该二次函数的解析式为()()20y a x h k a =++¹∵抛物线的开口向下∴a<0又∵在x 轴上∴k=0∴y=-2（x+1）2,答案不唯一，满足上述条件即可.【点睛】本题主要考查了二次函数()()20y a x h k a =++¹中，当a<0，时开口向下，且顶点在x 轴上时要满足的条件，熟练掌握函数性质是本题解题的关键.10．12##0.5【分析】把2x =代入方程250x bx +-=中得：4250b +-=，然后进行计算即可解答．【详解】解：把2x =代入方程250x bx +-=中得：4250b +-=，解得：12b =，故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．11．236(1)48x +=【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x 的一元二次方程；【详解】解：依题意，得：236(1)48x +=．故答案为：236(1)48x +=．12．()3,2【分析】根据旋转的定义可得，对应点连线的交点即为旋转中心，即可求得坐标．【详解】解：如图，旋转中心的坐标是()3,2，故答案为：()3,2．【点睛】本题考查旋转的定义、坐标系中点的坐标，根据旋转的定义确定旋转中心的位置是解题的关键．13．【分析】由旋转的性质可得：90,PCP BCD PC P C ¢¢Ð=Ð=°=， 再利用勾股定理可得答案．【详解】解：Q 正方形ABCD ，90BCD DC BC \Ð=°=，，\ 旋转角：90BCD PCP ¢Ð=Ð=°， ,PC P C ¢=2PC =Q ，PP ¢\==故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．14．21251233y x x =-++【分析】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是掌握a 的确定方法和抛物线顶点式的求法．【详解】解：Q 图2二次函数的解析式为2112y x =-，铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m ，\图3二次函数的解析式为()214312y x =--+，即21251233y x x =-++，故答案为：21251233y x x =-++．15． 3 m n<【分析】根据图象，计算两个函数图象的交点个数即可得；根据点(,1)m 处函数2(3)y x x =-的图象与点(,1)n 处函数3y x =-的图象即可得．【详解】由图象可知，函数2(3)y x x =-和3y x =-的图象共有3个交点则方程2(3)3x x x -=-的解的个数为3由题意得：点(,1)m 在函数2(3)y x x =-的图象上，点(,1)n 在函数3y x =-的图象上如图，由图象可知，m n<故答案为：3，m n <．【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解并灵活函数图象的特征是解题关键．16． 4 【分析】以AC 为边作等边AFC V ，并作FH AC ^，垂足为点H ，连接FD CE 、，由直角三角形可求8AB =，4BC =，，由“SAS ”可证FAD CAE V V ≌，得CE FD =，CE 最小即是FD最小，此时12FD CH AC ===CE 的最小值是【详解】解：以AC 为边作等边AFC V ，并作FH AC ^，垂足为点H ，连接FD CE 、，如图：Rt ACB △，90ACB Ð=°，=60B а，AC =∴30BAC Ð=°，∴12BC AB =，222BC AC AB +=，即(22212AB AB æö+=ç÷èø，∴8AB =，142BC AB ==，∵AFC ADE V V ，都是等边三角形，∴60AD AE AF AC DAE FAC ==Ð=Ð=°，，，∴FAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð，即FAD CAE Ð=Ð，在FAD △和CAE V 中，AD AE FAD CAE AF AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS FAD CAE V V ≌，∴CE FD =，∴CE 最小即是FD 最小，∴当FD BD ^时，FD 最小，此时90FDC DCH CHF Ð=Ð=Ð=°，∴四边形FDCH 是矩形，∴12FD CH AC ===∴CE的最小值是故答案为：4，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质．17．1233x x ==【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键．确定12a =，3b =-，5c =-，计算根的判别式，采用求根公式法解答即可．【详解】解：213502x x --=12a =Q ，3b =-，5c =-，)()2213451902b\-´´-=>，x \=，1233x x ==\18．(1)详见解析，()0,5A ¢﹣，B ¢的坐标()3,4--(2)【分析】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理求长度．（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90°得到对应点，再与点O 顺次连接即可，根据图形得出A ¢坐标；（2）根据勾股定理得出AA ¢的长．【详解】（1）如图所示，OA B ¢¢△即为所求，此时()0,5A ¢﹣，B ¢的坐标()3,4--；（2）连接AA ¢，如图，AA ¢=．19．(1)DEF V 是等腰直角三角形，证明见解析(2)8【分析】（1）证明Rt Rt ADE CDF ≌△△，进而可得ADE CDF Ð=Ð，90EDF Ð=°，根据旋转的性质可得DE DF =，即可证明DEF V 是等腰直角三角形；（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得4DE EF ==，进而即可求得DEF V 的面积．【详解】（1）DEF V 是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD 中，DA DC =，90ADC DAB DCB Ð=Ð=Ð=°．∵ F 落在边BC 的延长线上，∴ 90DCF DAB Ð=Ð=°．∵ 将点E 绕点D 逆时针旋转得到点F ，∴DE DF =．∴Rt Rt ADE CDF ≌△△()HL ，∴ADE CDF Ð=Ð．∵ 90ADC ADE CDE Ð=Ð+Ð=°，∴90CDF CDE Ð+Ð=°，即90EDF Ð=°．∴DEF V 是等腰直角三角形．（2）∵DEF V 是等腰直角三角形，∴DE DF =，QEF ==，EF =∴4DE DF ==，∴DEF V 的面积为14482´´=．故答案为：8【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，证明Rt Rt ADE CDF ≌△△是解题的关键．20．(1)()21122y x =-++（或21322y x x =--+）(2)见解析(3)522y -££【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合顶点点坐标得出y 的取值范围．（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为31y a x x =+-()()，结合点()12-，利用待定系数法即可求出二次函数表达式；（2）先求出顶点，再描点、连线，画出函数图象；（3）根据x 的取值范围可得答案．【详解】（1）解：由题意，设二次函数的表达式为31y a x x =+-()()，∵二次函数经过点()12-，，∴42a -=，∴12a =-，∴二次函数的表达式为()2213112222y x x x =--+=-++；（2）解：∵()21122y x =-++，∴顶点为()1,2-，描点、连线，画出图形如图所示：（3）解：观察函数图象可知：当40x -£<时，y 的取值范围是522y -££，故答案为：522y -££．21．(1)见解析(2)3m <【分析】（1）求出判别式，利用非负数的性质得△0…，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【详解】（1）证明：依题意，得△()()()2224134m m m =--´´-=-．2(4)0m -Q …，\方程总有两个实数根；（2）2(2)(3)0x m x m +-+-=，可得(1)(3)0x x m --+=，解得11x =，23x m =-，若方程有一个根为负数，则30m -<，故3m <．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．22．（1）2米；（2）不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．【分析】（1）设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地的长和宽用含有x 的式子表示出来，根据“两块矩形绿地的面积共为90平方米”列出关于x 的一元二次方程，解之即可；（2）根据每块绿地的宽与长之比等于3：5列出方程求得人行横道的宽度后与3米比较即可得到答案．【详解】（1）设人行通道的宽度为x 米，则两块矩形绿地的长为（21﹣3x ）（米），宽为（10﹣2x ）（米），根据题意得：（21﹣3x ）（10﹣2x ）＝90，解得：x 1＝10（舍去），x 2＝2，答：人行通道的宽度为2米；（2）设人行通道的宽为y 米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，根据题意得：（10﹣2y ）：＝3：5，解得：y ＝，∵＞3，∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够设出未知数并表示出矩形的长和宽，找出等量关系．23．211m ££【分析】本题考查抛物线的平移与交点问题，采用数形结合思想是解题的关键．将抛物线21y x =-+向上平移m 个单位长度，得到抛物线为21(0)y x m m =-++>．当平移后抛物线的顶点在线段AB 上时，抛物线开始与线段AB 有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点A ，点B 的纵坐标，据此可求得m 的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段AB 有交点，而当抛物线经过点B 时，抛物线最后与线段AB 有交点，把点(3,3)B 代入函数21y x m =-++，可求得m 的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段AB 没有交点．综上可得m 的取值范围．【详解】解：将抛物线21y x =-+向上平移m 个单位长度，得到抛物线为21(0)y x m m =-++>，如下图，当平移后抛物线的顶点在线段AB 上时，抛物线开始与线段AB 有交点，∵抛物线21y x m =-++的顶点坐标为(0,1)m +，且(1,3),(3,3)A B -，∴13m +=，解得2m =；将抛物线向上继续平移，即2m >时，抛物线与线段AB 有交点，如下图抛物线经过点B 时，抛物线最后与线段AB 有交点，如下图，把点(3,3)B 代入函数21y x m =-++，得2331m =-++，解得11m =，将抛物线向上继续平移，即11m >时，抛物线与线段AB 没有交点．综上所述，平移后的抛物线与线段AB 有公共点，则m 的取值范围为211m ££．24．(1)80BAC а；(2)180DCE DAE Ð+Ð=°【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为80BAC Ð=°；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出BAC DAE a Ð=Ð=，()11802ABD ACE ACB a Ð=Ð=Ð=°-，即可求解；【详解】（1）当80a =°时，80BAC a Ð==°，∵ABD △旋转得到ACE △，其中AB 旋转到AC .∴旋转角为80BAC Ð=°；（2）∵,AB AC BAC a =Ð=，()11802B ACB a \Ð=Ð=-°，∵ABD △旋转得到ACE △，.ABD ACE \V V ≌()11802ABD ACE BAD CAE a \Ð=Ð=°-Ð=Ð，，BAD DAC CAE DAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即BAC DAE a Ð=Ð=，()()1118018022DCE ACB ACE a a \Ð=Ð+Ð=°-+°-180a =°-，即180DCE a Ð+=°，180DCE DAE \Ð+Ð=°；【点睛】该题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答该题的关键是掌握旋转的性质．25．(1)2.5(2)①8m ；②小【分析】（1）由表格中的数据即可求解；（2）①用待定系数法求函数解析式，再令0y =，求解即可；②根据题意设第二次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的函数关系式为()224=34ac b y a x a --+，根据第二次投掷时，水平距离x 与竖直高度y 的抛物线开口比第一次大，可得0.10a -<<，从而求得1.6 1.69 2.5a <-<，即可得出结果．【详解】（1）解：由表格可得，实心球运行的竖直高度的最大值为2.5m ，故答案为：2.5；（2）解：①设小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的函数关系式为()23 2.5y a x =-+，把()0,1.6代入得，()203 2.5 1.6a -+=，解得0.1a =-，∴函数解析式为()20.13 2.5y x =--+，当0y =时，()20.13 2.5=0x --+，解得12x =-（舍），28x =，∴小刚第一次的投掷距离为8m ；②∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，∴设第二次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的函数关系式为()224=34ac b y a x a--+，∵32b a -=，即6b a =-，∴22=36b a ，∵ 1.6c =∴()2=3 1.69y a x a -+-，∵小刚第二次投掷距离比第一次远，∴第二次投掷时，水平距离x 与竖直高度y 的抛物线开口比第一次大，∴0.10a -<<，∴1.6 1.69 2.5a <-<，∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小，故答案为：小．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．26．(1)22y x x=-(2)12b <<或2b <-【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的图象和性质，解不等式组；（1）将点的坐标代入关系式，即可得出答案；（2）先求出抛物线的对称轴22b x b -=-=，及与x 轴交点坐标，再分两种情况讨论得出不等式组，求出解集即可．【详解】（1）解：∵抛物线22=-y x bx 过点(2,0)，∴2240b -=，解得1b =，∴抛物线的解析式为22y x x =-；（2）解：抛物线22=-y x bx 的对称轴是22b x b -=-=．当0y =时，220x bx -=，解得1202x x b ==，，∴抛物线与x 轴的交点坐标为()()0,02,0b ，．当原点位于对称轴左侧时，对于112x ££，22x b =-，都有120y y <，∴2022b b -<ìí>î，解得12b <<；当原点位于对称轴右侧时，220b b <-<，解得2b <-．所以12b <<或2b <-．27．(1)B ACD Ð=Ð，理由见解析(2)①=DM EM ，理由见解析；②12AM b a =-【分析】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．（1）由旋转可知180BCD a Ð=°-，再由180ACD BCA a Ð+Ð=°-，可得180B BCA a Ð+Ð=°-，即可证明B ACD Ð=Ð；（2）①在AB 上取点N 使得BCN CDM Ð=Ð，先证明()ASA CDM BCN V V ≌，再证明()ASA ECM CAN V V ≌，即可求解；②由①可知CM BN =，CM AN =，则1122CM AN BN AB a ====，即可求出12AM AC CM b a =-=-．【详解】（1）证明：B ACD Ð=Ð，理由如下：由旋转可知180BCD a Ð=°-，180ACD BCA a \Ð+Ð=°-，A a Ð=Q ，180B BCA a \Ð+Ð=°-，B ACD \Ð=Ð；（2）解：①=DM EM ，理由如下：在AB 上取点N 使得BCN CDM Ð=Ð，BC CD =Q ，B ACD Ð=Ð，()ASA CDM BCN \V V ≌，CN DM \=，CMD E BEM Ð=Ð+ÐQ ，BNC ACN A Ð=Ð+Ð，又ECM A a Ð=Ð=Q ，E ACN \Ð=Ð，()ASA ECM CAN \V V ≌，CN EM \=，DM EM \=；②由①可知，CM BN =，CM AN =，1122CM AN BN AB a \====，12AM AC CM b a \=-=-．28．(1)①点A ，点C ；②45；(2)6h >+2h <-．【分析】（1）①根据“联络量”的定义分别计算点B 与其它各点的“联络量”即可；②先确定点M 向右和向左的边界点，构建矩形21M GM H ，可得答案；（2）先计算当2y =时，x =243y x =-平移可得()243y x h =--，对应2y =时与抛物线的交点与x h =A ，B ，C ，D ，E ，K 分为两类的最小“类筹”大于4，分两种情况可得结论．【详解】（1）①()3,0A -Q ，()1,1B -，()0,1C -，()2,2D ，()1,3E -，||A \，|||31|2B =-+=，||B ，|||11|2C =--=，||B ，|||12|3D =--=，||B ，|||31|4E =--=，\与点B 的“联络量”是2的有点A ，点C ；故答案为：点A ，点C ；②||D Q ，|||23|5E =+=，当点M 在点E 的右边时，()16,3M -，当点M 在点D 的左边时，()23,2M -，如图1，过1M 和2M 作x 轴和y 轴的平行线得动点M 所在区域为：矩形21M GM H ，\动点M 所在区域的面积()()[23][[63]45=--´--=；故答案为：45；（2）如图2，由平移可知：()243y x h =--可以看用由243y x =-向左或向右平移所得，当2y =时，2432x -=，x \=当抛物线在点D 的右侧时，24h >，6h \>，当抛物线在点D 的左侧时，24h æ-+>ççè，2h \<-综上，h 的取值是6h >+2h <-．【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了新定义- “联络量”，“代表量”，“类筹”，有难度，注意新定义的理解和运用，用方程，不等式和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。
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北京市九年级上学期数学9月月考试卷D卷
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）关于x 的一元二次方程的一个根是0 ，则 a 的值是（）
A . -1
B . 1
C . 1或-1
D . -1或0
2. （2分）一同学将方程x2-4x-3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（）
A . m=－2，n=7
B . m=2，n=7
C . m=－2，n=1
D . m=2，n=7
3. （2分）方程x2-2x-1=0的根的情况是（）
A . 有两个不等实数根
B . 有两个相等实数根
C . 无实数根
D . 无法判定
4. （2分） (2018九上·东台月考) 一元二次方程x（x-2）=0的解是（）
A . x1=1，x2=2
B . x=0
C . x=2
D . x1=0，x2=2
5. （2分）已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）
A . ab
B .
C . a+b
D . a-b
6. （2分）若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，则α等于（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
7. （2分） (2017九上·桂林期中) 某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为108元，下列所列方程正确的是（）
A . 200（1+a%）2=108
B . 200（1﹣a2%）=108
C . 200（1﹣2a%）=108
D . 200（1﹣a%）2=108
8. （2分） (2019九上·镇原期末) 方程（x+1）2＝0的根是（）
A . x1＝x2＝1
B . x1＝x2＝﹣1
C . x1＝﹣1，x2＝1
D . 无实根
9. （2分） (2019八上·吴兴期中) 直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）
A . 13
B .
C . 13或
D . 13或12
10. （2分） (2017九上·巫山期中) 如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a ﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）
A . ① ②
B . ① ② ③
C . ③④
D . ① ③
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2019八下·海安月考) 若关于x的方程没有实数根,则的取值范围是________.
12. （1分）如果函数是关于x的二次函数, 则k=________ 。
13. （1分） (2018九上·内黄期中) 若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1 ， 0)，B(x2 ， 0)两点，则的值为________.
14. （1分） (2019九上·象山期末) 若将抛物线向左平移3个单位，则所得图象的函数表达式为________.
三、解答题 (共8题；共70分)
15. （20分） (2019九上·台州月考) 按要求解一元二次方程：
（1） 2x2﹣4x+1=0（配方法）
（2） x（x﹣5）+x﹣5=0（因式分解法）
16. （5分） (2019九上·阳信开学考) 若x=-1是关于x的一元二次方程(m-1)x2-x-2=0的一个根，求m的值及另一个根．
17. （5分） (2019九下·常熟月考) 方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，求m及另一个根的值．
18. （5分）解方程组：
19. （10分） (2019九上·沙坪坝期末) 沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长
了 m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值.
20. （5分） (2018八下·道里期末) 一块矩形场地，场地的长是宽的2倍．计划在矩形场地上修建宽都为2米的两条互相垂直的小路，如图，余下的四块小矩形场地建成草坪．四块小矩形草坪的面积之和为364平方米，求这个矩形场地的长和宽各是多少米？
21. （5分） (2018九上·商南月考) 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长.
22. （15分）(2019·山西模拟) 如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（2,1），将此矩形绕点O逆时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）将矩形DEFO向右平移，当点E的对应点E’在抛物线上时，求线段DF扫过的面积.
（3）若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，
求d的值.
参考答案
一、单选题 (共10题；共20分)
1、答案：略
2、答案：略
3、答案：略
4、答案：略
5、答案：略
6、答案：略
7、答案：略
8、答案：略
9、答案：略
10、答案：略
二、填空题 (共4题；共4分)
11、答案：略
12、答案：略
13、答案：略
14、答案：略
三、解答题 (共8题；共70分)
15、答案：略
16、答案：略
17、答案：略
18、答案：略
19、答案：略
20、答案：略
21、答案：略
22、答案：略。