数学建模教案-最小二乘法

最小二乘法matlab实验报告

最小二乘法m a t l a b实验报告-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1南京信息工程大学实验（实习）报告实验课程数学建模实验名称_ 最小二乘法__ 实验日期 _ 指导老师专业统计学年级小组成员实验目的：学会MATLAB软件中曲线拟合方法。

实验内容及要求：问题1：多项式回归某种合金中的主要成分为金属A与金属B，经过实验与分析发现，这两种金属成分之和x 与膨胀系数y之间有一定的关系。

由下面的数据建立描述这种关系的数学表示。

金属成分和x=[37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 40.5 41.0 41.5 42.0 42.5 43.0];膨胀系数 y=[3.40 3.00 3.00 2.27 2.10 1.83 1.53 1.70 1.80 1.90 2.35 2.54 2.90];注：使用命令：a=polyfit(x,y,n) %求出n阶拟合多项式y=f(x)的系数；y1=polyval(a,x1) %求出f(x)在x1点的函数值，其中x1=37.0:0.5:43.0；plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') %比较原数据和拟合曲线效果；问题2：非线性回归设观测到的数据如下：x=20:10:210;y=[0.57 0.72 0.81 0.87 0.91 0.94 0.95 0.97 0.98 0.99 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00];取回归函数为y=b(1)*(1-exp(-b(2)*x)),试估计参数b(1)、b(2)。

注：使用命令：[b,r,j]=nlinfit(x,y,fun,b0); %非线性回归，其中b0为参数初始值，可取b0=[2,0.1],fun=inline('b(1)*(1-exp(-b(2)*x))','b','x')为内联函数;nlintool(x,y,fun,b0) %绘制非线性回归图。

数学建模——线性回归分析实用精品教案

数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。

详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。

二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。

2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。

3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。

三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。

教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。

学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。

2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。

（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。

（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。

3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。

（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。

六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。

（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。

2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。

最小二乘法在数学建模中的应用

最小二乘法在数学建模中的应用最小二乘法是一种常见的统计学方法，用于寻找一条最佳拟合曲线或平面，使得这个拟合曲线或平面与实际数据的误差最小。

最小二乘法在科学研究和工程学中都有广泛的应用。

在数学建模中，最小二乘法也是非常重要的一种方法。

本文将从数学建模的角度讨论最小二乘法的应用，包括基本原理、应用案例和如何使用计算机实现最小二乘法。

一、最小二乘法的基本原理在数学建模中，我们经常需要通过给定的数据来求解某些模型的参数。

例如，我们可能需要从一组数据中找到一条直线或曲线，使得这个模型与实际数据的误差最小。

最小二乘法就是一种常见的方法，它通过拟合一个具有数学解析式的模型来达到这个目标。

最小二乘法的基本思想就是，通过最小化误差平方和来求解模型中的参数。

误差平方和是指实际数据的点与模型直线或曲线之间的距离的平方和。

最小二乘法的做法是，对于每一个数据点，计算它与模型的距离，并将这些距离的平方相加。

然后，通过求取这个误差平方和的极小值，可以求得最佳拟合曲线或平面的参数。

二、最小二乘法的应用案例最小二乘法在数学建模中的应用非常广泛，下面列举一些应用案例。

1.线性回归线性回归是最小二乘法的一个经典应用。

在线性回归中，我们需要拟合一条直线，使得这条直线与实际数据的误差最小。

通常我们使用简单的线性方程y=ax+b来描述这条直线，而最小二乘法就是用来求解a和b的。

例如，我们有一组数据{(1,2),(2,5),(3,6),(4,8)}，我们想找到一条直线y=ax+b，使得误差平方和最小。

我们可以将这个问题转化为求解a和b使得误差平方和最小。

具体做法是，计算每个数据点与直线的距离，然后将这些距离的平方相加。

最后，通过求取误差平方和的偏导数使其为0，可以求解出a和b的值。

2.多项式拟合最小二乘法还可以用于多项式拟合。

在多项式拟合中，我们需要拟合一个多项式模型，使得这个模型与实际数据的误差最小。

例如，我们有一组数据{(1,2),(2,5),(3,6),(4,8)}，我们想找到一个二次函数y=ax^2+bx+c，使得误差平方和最小。

数学建模的实验报告

数学建模实验报告姓名：学院：专业班级：学号：数学建模实验报告（一）——用最小二乘法进行数据拟合一．实验目的：1.学会用最小二乘法进行数据拟合。

2.熟悉掌握matlab软件的文件操作和命令环境。

3.掌握数据可视化的基本操作步骤。

4.通过matlab绘制二维图形以及三维图形。

二．实验任务：来自课本64页习题：用最小二乘法求一形如y=a+b x2的多项式，使之与下列数据拟合：三．实验过程：1.实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。

即要求出二次多项式: y=a+b x2的系数。

2．程序：x=[19 25 31 38 44]y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]ab=y/[ones(size(x));x.^2];a=ab(1),b=ab(2)xx=19:44;plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,'.')3.上机调试得到结果如下：x = 19 25 31 38 44y=19.0000 32.3000 49.0000 73.3000 97.8000a = 0.9726b = 0.0500图形：四．心得体会通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。

数学建模实验报告（二）——用Newton法求方程的解一．实验目的1.掌握Newton法求方程的解的原理和方法。

2.利用Matlab进行编程求近似解。

二．实验任务来自课本109页习题4-2：用Newton法求f(x)=x-cosx=0的近似解三．实验过程1.实验原理：把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

数学建模非线性最小二乘问题

1、非线性最小二乘问题用最小二乘法计算：sets:quantity/1..15/: x,y;endsetsmin=@sum(quantity: (a+b* @EXP(c*x)-y)^2);@free(a); @free(b);@free(c);data:x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddata运算结果为：Local optimal solution found.Objective value: 44.78049 Extended solve steps: 5Total solve iterartions: 68Variable Value Reduced CostA 2.430177 0.000000B 57.33209 0.000000C -0.4460383E-01 0.000000由此得到a的值为2.430177，b的值为57.33209，c的值为-0.04460383。

线性回归方程为y=2.430177+57.33209* @EXP(-0.04460383*x)用最小一乘法计算：程序如下：sets:quantity/1..15/: x,y;endsetsmin=@sum(quantity: @ABS(a+b*@EXP(c*x)-y));@free(a); @free(b);@free(c);data:x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddata运算结果为：Linearization components added:Constraints: 60Variables: 60Integers: 15Local optimal solution found.Objective value: 20.80640Extended solver steps: 2Total solver iterations: 643Variable Value Reduced CostA 3.398267 0.000000B 57.11461 0.000000C -0.4752126e-01 0.000000由上可得a的值为3.398267，b的值为57.11461，c的值为-0.04752126。

高中高三数学《最小二乘法》教案、教学设计

2.布置作业时，注意以下几点：
a.作业难度适中，既要涵盖基础知识的巩固，也要涉及一定程度的拓展和提高。
b.鼓励学生在完成作业过程中，积极思考、主动探究，培养解决问题的能力。
c.注重培养学生的数学表达和写作能力，要求学生在解题报告中清晰阐述思路和方法。
3.作业布置要求：
a.学生按时完成作业，保持字迹工整，书写规范。
3.介绍相关系数的概念和意义，通过实例讲解，让学生理解相关系数如何衡量两个变量之间的线性关系。
4.针对本节课的重点和难点，采用举例、讲解、练习等多种教学方法，帮助学生理解和掌握最小二乘法。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组选择一个实际问题，如身高与体重的关系、温度与用电量的关系等，运用最小二乘法进行分析。
b.鼓励学生在完成作业时，互相讨论、交流，共同解决问题。
c.教师在批改作业时，要关注学生的解题过程，及时发现学生的错误和薄弱环节，并进行针对性的指导。
4.作业评价：
a.作业评价以鼓励为主，关注学生的进步，提高学生的自信心。
b.对于学生在作业中表现出的创新思维和优秀成果，教师要给予充分肯定和表扬。
c.针对学生在作业中的共性问题，教师要及时进行讲解和辅导，确保学生掌握本节课的内容。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.最小二乘法的推导及其在实际问题中的应用是本章节的教学重点。学生需要理解最小二乘法的原理，掌握其计算步骤，并能运用该方法解决实际问题。
2.相关系数的理解和计算是教学难点。学生对相关系数的概念及其在实际问题中的应用容易产生混淆，需要教师进行详细讲解和引导。
3.数学建模能力的培养是本章节的另一个重点。学生需要学会从实际问题中抽象出数学模型，运用最小二乘法求解，并分析结果。

建模方法-最小二乘法

解得从而得到
A= −4.48072, b = −1.0567
a = e = 11.3253×10
A
−3 −1.0567t
−3
y = 11.3253×10 e
= F (t)
(2)
请回答: 请回答: 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？怎样比较这两个数学模型的好坏呢？只要分别计算这两个数学模型的误差，答：只要分别计算这两个数学模型的误差，从中挑选误差较小的模型即可。从中挑选误差较小的模型即可。
δ = ∑δi2 = ∑[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0 i=0
m
m
[ = min ∑ S( xi ) − yi ]2
S( x)∈ ϕ i=0
m
3. 广义定义通常把最小二乘法 δ 都考虑为加权平方和
2 2
即
δ = ∑ω(xi )[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0
m
ω( x) ≥ 0
i i
(2)使残差的绝对值之和为最小使残差的绝对值之和为最小
∑e
i
i
= min
(3)使残差的平方和为最小使残差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min
最小二乘法
2. 一般定义已知：一组数据（已知：一组数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)，，求：在函数类 ϕ = span{ϕ0 ,ϕ1,...,ϕn }中找一 ∗ 使误差平方和最小，个函数 y = S (x) ，使误差平方和最小，即
y = 1.2408
(i = 1,...,16) 。 xi , yi ) 可由原始 (
计算出来。数据 (ti , yi ) 计算出来。

数学建模教案修订版

数学建模教案修订版一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第二章第三节，详细内容为多变量线性回归模型的构建与求解。

通过本节内容的学习，使学生了解多变量线性回归模型的基本概念，掌握模型构建和求解的方法。

二、教学目标1. 知识与技能：理解多变量线性回归模型的基本原理，掌握模型参数的求解方法。

2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高团队协作能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学素养。

三、教学难点与重点1. 教学难点：多变量线性回归模型的求解方法。

2. 教学重点：多变量线性回归模型的构建与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、计算器、草稿纸。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示实际案例，如房屋价格与面积、楼层等因素的关系，引导学生思考如何建立数学模型来描述这些关系。

2. 知识讲解（15分钟）讲解多变量线性回归模型的基本概念、构建方法和求解步骤。

3. 例题讲解（15分钟）选取一道与实际案例相关的例题，详细讲解模型构建和求解的过程。

4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道与例题类似的题目，巩固所学知识。

5. 小组讨论（10分钟）7. 课堂小结（5分钟）强调多变量线性回归模型在实际应用中的重要性，鼓励学生在课后继续探索相关知识。

六、板书设计1. 多变量线性回归模型的基本概念2. 模型构建方法与求解步骤3. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：利用多变量线性回归模型分析某城市房屋价格与面积、楼层等因素的关系。

2. 答案：根据实际情况，给出模型的参数估计值和预测结果。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生的掌握程度，教学过程中的不足之处。

2. 拓展延伸：引导学生了解其他类型的回归模型，如非线性回归、岭回归等，激发学生的求知欲。

重点和难点解析1. 教学难点：多变量线性回归模型的求解方法。

数学建模中的参数拟合方法

数学建模中的参数拟合方法数学建模是研究实际问题时运用数学方法建立模型，分析和预测问题的一种方法。

在建立模型的过程中，参数拟合是非常重要的一环。

所谓参数拟合，就是通过已知数据来推算模型中的未知参数，使模型更加精准地描述现实情况。

本文将介绍数学建模中常用的参数拟合方法。

一、最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性和非线性回归方法。

该方法通过最小化误差的平方和来估计模型参数。

同时该方法的优点在于可以使用简单的数学公式解决问题。

最小二乘法的基本思想可以简单地表示如下：对于给定的数据集合，设其对应的观测值集合为y,$y_1,y_2,...,y_n$，对应的自变量集合为x,$x_1,x_2,...,x_n$，则目标是找到一组系数使得拟合曲线最接近实际数据点。

通常拟合曲线可以用如下所示的线性方程表示：$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k$$其中，k为拟合曲线的阶数，$a_i$表示第i个系数。

最小二乘法的目标即为找到一组系数${a_0,a_1,...,a_k}$，使得曲线拟合残差平方和最小：$$S=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i))^2$$则称此时求得的拟合数学模型为最小二乘拟合模型。

最小二乘法在实际问题中应用广泛，如线性回归分析、非线性回归分析、多项式拟合、模拟建模等领域。

对于非线性模型，最小二乘法的数学公式比较复杂，需要使用计算机编程实现。

二、梯度下降法梯度下降法是一种优化算法，通过求解函数的导数，从而找到函数的最小值点。

在数学建模中，梯度下降法可以用于非线性回归分析，最小化误差函数。

梯度下降法的基本思想为：在小区间范围内，将函数$f(x)$视为线性的，取其一阶泰勒展开式，在此基础上进行优化。

由于$f(x)$的导数表示$f(x)$函数值增大最快的方向，因此梯度下降法可以通过调整参数的值，逐渐朝向函数的最小值点移动。

具体地，对于给定的数据集合，设其对应的观测值集合为y,$y_1,y_2,...,y_n$，对应的自变量集合为x,$x_1,x_2,...,x_n$，则目标是找到一组系数使得拟合曲线最接近实际数据点。

《数学实验》实验报告——最小二乘法

《数学实验》实验报告１x=Table[10.0+5.0*i,{i,0,4}];y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];q[a_,b_,c_] :=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,1,5}]NSolve[{D[q[a,b,c],a]==0, D[q[a,b,c],b]==0,D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]t1=ListPlot[xy,PlotStyle->PointSize[0.02]];f[x_] :=27.56+ -0.0574286*x+0.000285714*x^2;t2=Plot[f[x],{x,5,35},AxesOrigin->{5,25}];Show[t1,t2]首先得到a，b，c三个值： {{a->27.56,b->-0.0574286,c->0.000285714}}然后得到同一坐标系下的数据点散点图及拟合函数的图形：试验过程（含详细试验步骤、程序清单及异常情况记录等）输入以下mathematica语句求解参数a,b,c:运行后可得解：２为求得数据点的散点图及拟合函数的图形，输入以下语句，并将两个图画在同一坐标下：运行得：３在最开始时，我输入的程序是这样的：x=Table[10.0+5.0*i,{i,0,4}];y={27.0,26.8,26.5,26.3,26.1};xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}];q[a_,b_,c_] :=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]^2-y[[i]])^2,{i,1,5}]NSolve[{D[q[a,b,c],a]==0, D[q[a,b,c],b]==0,D[q[a,b,c],c]==0},{a,b,c}]t1=ListPlot[xy,PlotStyle->PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity];f[x_] :=27.56+ -0.0574286*x+0.000285714*x^2;t2=Plot[f[x],{x,5,35},AxesOrigin->{5,25},DisplayFunction->Identity];Show[t1,t2, DisplayFunction->$ DisplayFunction]然而得到的结果没有图形（如下）：我比照了老师的讲义，改动了“DisplayFunction->Identity”，可是，结果还是一样，没有图形。

最小二乘法在数学建模中的应用

最小二乘法在数学建模中的应用
最小二乘法在数学建模中的应用
最小二乘法（Least Squares Method，LSM）是一种用来近似拟
合数据的算法，它能够有效地从一组数据中求出最佳拟合的参数。

它的应用广泛，可以用于各种类型的数据拟合，如线性回归，逻辑函数拟合，多项式拟合等等。

这篇文章旨在介绍最小二乘法在数学建模中的应用。

最小二乘法的基本原理是：给定一组数据坐标点，寻找一组参数，使得模型函数与所有数据点的距离的平方和最小。

最小二乘法可以用于找到上述最佳参数，从而求出模型函数的最优拟合。

最小二乘法是一种直观而有效的拟合方法，可以通过给定数据解决许多问题，如多项式拟合，曲线拟合，线性回归等等。

最小二乘法可以用于数学建模中的不同手段。

下面介绍其在数学建模中的三种典型应用：
（1）多项式拟合。

多项式拟合是最小二乘法的一种重要应用。

在数学建模中，多项式拟合可以用来描述数据集的趋势，让测量者以把握变化的方式进行测量。

最小二乘法可以用来找出最佳多项式参数，从而优化拟合精度。

（2）线性回归分析。

线性回归是建模的常用方法，它可以用来
预测一个变量和多个变量之间的关系。

最小二乘法可以用来拟合这种多变量关系，确定线性回归模型的最优参数，从而进行预测。

（3）逻辑函数拟合。

最小二乘法可以用来适应数据集，并找出
符合数据趋势的函数模型。

逻辑函数拟合就是其中之一，它可以用来求解复杂的数学问题。

最后，最小二乘法在数学建模中的应用十分广泛，它可以帮助更好地估计数据模型的参数，用来更精准地拟合分析数据，并有助于精细地控制数学建模过程的结果。

matlab 最小二乘法拟合曲线

matlab 最小二乘法拟合曲线最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数据拟合技术，在数学建模、统计学以及工程领域中被广泛应用。

该方法通过最小化实际观测值与拟合模型之间的平方误差和，从而找到一个最佳的拟合曲线。

首先，我们来了解一下最小二乘法的基本原理。

假设我们有一组n组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数f(x)来拟合这些数据。

为了简便计，我们假设函数f(x)是一个线性函数，即f(x) = ax + b。

要使用最小二乘法来进行拟合，我们需要构造一个目标函数，该函数是残差平方和（Sum of Squared Residuals，SSR）。

残差表示实际数据点与拟合曲线之间的差异，而残差平方和则是将所有残差平方相加得到的一个值。

目标函数可以表示为：SSR = Σ(yi - f(xi))^2最小二乘法的核心思想就是通过调整拟合函数中的参数a和b，使得目标函数SSR达到最小值。

为了实现这一目标，我们需要对目标函数求导，并令导数为0。

这样做可以得到一组线性方程组，可以使用线性代数中的方法求解这个方程组，从而得到a和b的值。

推导过程略去不表，最终我们可以得到最佳的拟合曲线方程：f(x) = (Σxiyi - n * x_mean * y_mean) / (Σxi^2 - n *x_mean^2) * x + (y_mean - (Σxiyi - n * x_mean * y_mean) / (Σxi^2 - n * x_mean^2) * x_mean)其中，x_mean和y_mean分别表示x和y的平均值，n表示数据点的数量。

通过以上公式，我们可以得到一个最佳的线性拟合曲线，该曲线可以最小化数据点与拟合曲线之间的距离。

当然，在实际应用中，我们会遇到更复杂的拟合函数，而不仅仅是线性函数。

但不论函数形式如何，最小二乘法的思想都是相同的——将观测值与模型之间的误差最小化。

最小二乘法的原理以及在数学建模课程教学中的作用

最小二乘法的原理以及在数学建模课程教学中的作用
计算结果:P=-1.0464 4.8125;即a=-1.0464,b=4.8125。

图1实验数据以及模型估计数据
从图1知,尽管实验数据和模型估计数据相差比较多,但这
是最小二乘意义下的最优估计值,而误差大的原因是:这个实际
问题假设为一次多项式模型。

要提高估计精度,就需要改进该模。

另外,MATLAB函数lsqcurvefit可以完成非线性模型的参数
估计,在数学模型的参数估计中可以指导学生学习和应用该函数
以及课外学习该函数的算法。

从而提升学生的数学理论知识以及
应用计算软件解决实际问题的能力。

参考文献
姜启源,谢金星,叶俊,数学模型,高等教育出版社,2003.
作者简介:郑小洋(1972-),男,副教授,计算数学博士。

主要研究
领域:偏微分方程的小波数值解法。

2015。

最小二乘法拟合指数曲线

最小二乘法拟合指数曲线在数学建模和数据分析中，最小二乘法是一种常用的数学方法，它常被用来求解拟合问题。

拟合问题的目标是找到一条曲线，使其与给定的数据点最为接近。

对于指数曲线的拟合，最小二乘法同样可以发挥作用。

首先，我们需要明确指数曲线的函数形式。

指数曲线一般可以用以下公式表示：y=ae^(bx)，其中a和b都是常数，e是自然对数的底。

其次，最小二乘法的关键思想是找到使得拟合曲线与实际数据点之间的误差最小的参数值。

对于指数曲线的拟合，我们可以将误差定义为实际数据点与拟合曲线之间的垂直距离，即残差。

最小二乘法的目标是最小化所有数据点的残差的平方和。

为了求解最小二乘曲线拟合问题，我们首先需要构建残差函数。

对于给定的数据点(xi,yi)，我们可以计算出对应的拟合值fi=ae^(bxi)，然后计算残差ei=yi-fi。

然后我们需要最小化所有残差的平方和。

可以通过对残差函数进行求导，令导数为0，得到使得残差函数最小的参数值。

解得的参数值即为最小二乘法拟合指数曲线所需要的参数。

利用这些参数，我们可以得到拟合的指数曲线方程，并利用该方程进行预测和分析。

最后，我们需要评估拟合结果的好坏程度。

常用的评估指标包括平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）等。

这些指标可以帮助我们了解拟合结果与实际数据之间的偏差程度，以及拟合模型的预测准确性。

综上所述，最小二乘法是一种有效的拟合方法，可以用于拟合指数曲线。

通过构建残差函数并最小化残差的平方和，我们可以求解出使得拟合曲线与实际数据点最为接近的参数值。

然后利用这些参数，我们可以得到拟合的指数曲线方程，并进行进一步的分析和预测。

当然，我们也需要在评估拟合结果时使用合适的指标来判断拟合的好坏程度。

通过合理地运用最小二乘法，我们可以更好地理解和应用指数曲线拟合问题。

数学建模-最小二乘拟合实验

《数学建模期末实验作业》院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014级试题编号：37胡克定律的综合评价分析背景摘要:利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该都曾经听过它的大名。

在《越狱》第一季第六集中，Michael要通过地下管道爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，Michael从纹身上拓下魔鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。

相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。

搜狐娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。

胡克定律的表达式为F=k・x或厶F=k・A x,其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。

在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。

倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。

弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。

在现代，仍然是物理学的重要基本理论。

胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -k • x。

k 是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。

但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。

为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。

一、建模问题1•问题提出1.1 问题背景弹簧在压力F的作用下伸长x, —定范围内服从胡克定理：F与x成正比, 即F=kx。

现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。

用最小二乘法拟合数据并求均方偏差[精品]

用最小二乘法拟合数据并求均方偏差[精品] 用最小二乘法拟合数据并求均方偏差摘要:数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。

本文通过对一组数据用origin先得到散点图，然后根据散点图来预测函数。

接着用matlab软件采用最小二乘法拟合，得到两个不同的函数，并计算它们的均方偏差，以便比较这两个拟合函数的优劣。

关键字:数值分析; origin ; matlab ; 最小二乘法;均方偏差Abstraction:Numerical analysis is a computational method and its numerical computation problem is solved by computer analysis of mathematical research subject, is a branch of mathematics, it is based on the theory and methodology of digital computer to solve mathematical problems as the research object.This article through to a set of data with origin to get scatter plot, then predict function according to the scatter plot.Then using least squares fitting with the matlab software, get two different function, and the mean square deviation, they calculated to compare the advantages and disadvantages of the two fitting function.Keyword:Numerical analysis; origin; matlab ;the least square method; Mean Square Error1、引言数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。

matlab：最小二乘法线性和非线性拟合

0.0056 0.0063 0.2542
0.0059 0.0063
4）结论：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542
0.0061 0.0063
24
解法 2 用命令lsqnonlin
f(x)=F(x,tdata,ctada)= (a be0.02kt1 c1,, a be0.02kt10 c1)T
R=[(x.^2)' x' ones(11,1)]； A=R\y'
MATLAB(zxec1)
2）计算成果：Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317
f (x) 9.8108x2 20.1293x 0.0317 16
解法2．用多项式拟合旳命令
1）输入下列命令： x=0:0.1:1;
9
线性最小二乘法旳求解：预备知识
超定方程组：方程个数不小于未知量个数旳方程组
r11a1
r12a2
r1mam
y1
(n m)
rn1a1 rn2a2 rnmam yn
即 Ra=y
r11 r12 r1m
a1
y1
其中 R
,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，经过直观判断拟定 f(x)：
f=a1+a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +

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