直线与平面垂直的判定-PPT
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
直线与平面垂直的判定定理 ppt课件
l
l m,l n
m
,
n
l
//
mA
mI n A
n
②该定理作用：“线线垂直线面垂直”
③应用该定理，关键是证明在平面内有两条相交直线与已知直线
垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的.
例 如图，已知 a//b,a，求证：b.
证明：在平面 内作两条相交直线m，n．
因为直线 a，
又QB1D1I DD1=D1
A1
A 1C 1面 D B B 1D 1
A 1 C 1 B D 1 ， A 1 C 1 D B 1
D
C1 B1
C
另证： QDD1 面A1B1C1D1,DD1 面DBB1D1
面A1B1C1D1 面DBB1D1
A
B
又Q面A1B1C1D1I 面DBB1D1 B1D1，
且A1C1 面A1B1C1D1，A1C1 B1D1
C C1
B
α
B1
1.直线与平面垂直的定义
(1)如果一条直线 l和一个平面内的任意一条直线都垂直， 则称直线 l与平面互相垂直，记作 l . 直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l的垂面.
它们惟一的公共点P叫做垂足.
画法：通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直.
注1： ①定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与 “无数条直线”不同.
A1C1 面DBB1D1
小结论： 正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面； 正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直.
练 如图为直四棱柱A B C D A 'B 'C 'D '(侧棱与底面垂直
直线与平面垂直的判定PPT课件
2.3.1 直线与平面垂直的判定
（1）判定定理
学习目标
1、理解直线与平面垂直的定义； 2、掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其
应用； 3、应用直线与平面垂直的判定定理解决问题。
• 重点：线面垂直的判定定理内容及其应用。 • 难点：线面垂直的判定定理内容及论证过程 。
Yesterday once more
2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。
求证：AC⊥BD′
证明：连接BD
∵正方体ABCD-A’B’C’D’
∴DD’⊥平面ABCD，∴DD’ ⊥AC ∵AC、BD 正方形ABCD的为对角线
D’
∴AC⊥BD
A’
∵DD’∩BD=D
∴AC⊥平面D’DB
∴BD平面D’DB,
D
∴AC⊥BD’
A′C⊥B′D′？
A′
D′
B′ C′
A
D
B C
知识盘点
1、线面垂直的定义： 2、线面垂直的判定定理： 3、数学思想方法：转化的思想。
课后作业
• P67—练习1 • P74—习题B组2，4
课后作业
1、如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O的直径，
C是圆周上一点,且PA⊥AC, PA⊥AB, P
求证：（1）PA⊥BC （2）BC⊥平面PAC
• 空间中直线与平面的位置关系：
直线在平面外 a⊂/ α
文字 语言
图形
语言
符号 语言 交点 情况
直线在平面α内
a α
a⊂α 有无数个交点
直线与平面α平行 直线与平面α相交
a α
a
A α
a∥α
a∩α=A
无交点
有且只有一个交点
（1）判定定理
学习目标
1、理解直线与平面垂直的定义； 2、掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其
应用； 3、应用直线与平面垂直的判定定理解决问题。
• 重点：线面垂直的判定定理内容及其应用。 • 难点：线面垂直的判定定理内容及论证过程 。
Yesterday once more
2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。
求证：AC⊥BD′
证明：连接BD
∵正方体ABCD-A’B’C’D’
∴DD’⊥平面ABCD，∴DD’ ⊥AC ∵AC、BD 正方形ABCD的为对角线
D’
∴AC⊥BD
A’
∵DD’∩BD=D
∴AC⊥平面D’DB
∴BD平面D’DB,
D
∴AC⊥BD’
A′C⊥B′D′？
A′
D′
B′ C′
A
D
B C
知识盘点
1、线面垂直的定义： 2、线面垂直的判定定理： 3、数学思想方法：转化的思想。
课后作业
• P67—练习1 • P74—习题B组2，4
课后作业
1、如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O的直径，
C是圆周上一点,且PA⊥AC, PA⊥AB, P
求证：（1）PA⊥BC （2）BC⊥平面PAC
• 空间中直线与平面的位置关系：
直线在平面外 a⊂/ α
文字 语言
图形
语言
符号 语言 交点 情况
直线在平面α内
a α
a⊂α 有无数个交点
直线与平面α平行 直线与平面α相交
a α
a
A α
a∥α
a∩α=A
无交点
有且只有一个交点
直线与平面垂直课件(共17张PPT)
线与平面垂直吗？
（2）如果一条直线与一个平面内的 无数条直线 都垂直，那么这条
直线与平面垂直吗？
l
任意一条直线
α P. …
线不在多， 所有直线 相交则灵
4.概念辨析，巩固新知
小结：证明线面垂直的方法：线线垂直 线面垂直
1.定义： 任意一条直线
所有直线 无限
2.判定定理： 两条相交直线
有限
线不在多， 相交则灵
3.操作确认，探究定理
当且仅当 折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该
直线与此平面垂直.
线线垂直 线面垂直
图形语言：
符号语言：
4.概念辨析，巩固新知
思考：
两条相交直线
（1）如果一条直线与一个平面内的 两条直线 垂直，那么这条直
又
m ∩ n=P，
∴ b⊥α .
5.推理论证，定理应用
练习 如图，在三棱锥 S-ABC 中，∠ACB = 90°, SA⊥平面ABC .
求证：BC⊥平面SAC .
S
证明：
线面垂直 线线垂直 A来自B C线线垂直 线面垂直
6.渗透文化，拓展延申
刘徽，是魏晋期间伟大的数学家，中国 古典数学理论的奠基人之一。
4.数学文化 的渗透
7.课堂小结，课后思考
1.如果要检验一根新旗杆与地面是否垂直， 你有什么好方法吗？ 2.我们通过直观感知和操作确认，已经 从直观上得出了线面垂直的判定定理， 你能从理论上用所学的知识解释它吗？
谢谢观看，再见！
8.6.2 直线与平面垂直
1.复习引入，类比研究
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
证明两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
直线与平面垂直的判定-PPT课件
作业
P41 习题1-6 A组 第7题
正确的是（ B）
A.(1)(3)(4)
BHale Waihona Puke (1)(4)C.(1)D.都正确
3.有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长
10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上
的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果
这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和
地面垂直，为什么？
A
C
BD
课堂小结
判定定理的 简单应用 线面垂直的 判定定理 线面垂直的 定义
直线与平面的 一条边垂直
l
P
如果一条直线垂直于一个平面内
的无数条直线，那么这条直线是否
与这个平面垂直？
A
不一定
C C
B B
那我们如何判定直线与平面垂直呢？
动手实践
α
设想把书中的一页取掉，那么这种性质改变吗？ 换个角度再想，要想这种性质不变，至少保留 多少页才合适？
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
√ 直，则直线与此平面垂直
定理应用
例1、如图所示，在RtAB中C， B，点90Ｐ0 为 所在A平B面C外一点， 平面 P．A 问 四面A体BC 共有几个PA直B角C 三角形？
注意：
直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化， 当线垂直面时，线就会垂直平面内的所有线； 当一条直线垂直于一个平面内的相交直线时， 这条直线就垂直于这个平面．
该直线与此平面垂直．
线不在多，
重在相交
l
la
b
Aa
l b a
l
b
a b A
思想： 直线与平面垂直
相关主题
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1、理解直线和平面垂直的概念; 2、掌握直线和平面垂直的判定 定理及应用; 3、掌握直线和平面垂直的性质 定理及应用。
东 方 明 珠 轴 线 与 地 面 的 位 置 关 系
一、直线和平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这 个平面内的任意一条直线都垂直，我们就
说这条直线和这个平面垂直. 记作 l ．
A
平面的垂线 直线的垂面
垂足
线面垂直直观图的画法：
mn
按条件作出下列图形:
(1)任意作一个平面α 与一条直线l，使l⊥α； α
((12)) 过已空知间平一面点αP和，
l
有点且P，只过有一P作条平直面线l 与α的已垂知线平面α垂直。 α
p
l A
lp
α
l
p
α
l
p
α
(2) (过3)空已间知一直点线Pl，和 有点且只P ，有一过个P 平作面直α 与已线知l的直垂线面l垂。直。
(1)求证 : BC 面PAB P
(2)求证 : AE 面PBC
(3)求证 : AF PC
D
A
F
C E
B
例3：在正方体AC1中，
求证：D1B⊥平面ACB1
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
【课堂小结★牢记于心】
直接法
判定定理 如果一条直
线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
l
m P
n
lm
l n
线不在多,重在相交
(线线垂直→线面垂直)
想一想 判断下列命题是否正确？ (1).若一条直线与一个三角形的两条边垂直， 则这条直线垂直于三角形所在的平面。(√ ) (2).若一条直线与一个平行四边形的两条 边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所 在的平面。(×) (3).若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。 (√ )
例1:如图A为△BCD所在平面外一点， AC=AD，BC=BD，E为CD中点。 求证:CD⊥面ABE
A
B
D
E C
三、直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行.
a
b
a ，b a // b
推论1：如果一条直线垂直于一个平面， 则它垂直于平面内所有的直线．
l l m,任意 m .
问题:如何将一张长方形贺卡直立于桌面？ 由此，你能猜想出判断一条直线与一个平 面垂直的方法吗？
猜想：一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
二、直线和平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，则这条直线与该平面垂直.
m
l
n
mn
P
b
bm
m
b
练习:已知 PC , PD ,垂足分别为C、D， 且 AB．
求证:(1) AB 平面 PCD (2) CD AB
P
CB
D A
例例42:已知矩形ABCD,过A作PA 面ABCD,
再过A作AE PB于E,过E作EF PC于F
直线与平面 垂直的判定
定义法
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
推论2：垂直于同一条直线的两个平面平行．
l l
//
α β
l
推论3：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
a // b, a b
a
b
证明：设 m 是 内的任意一条直线． m
a m
a a
//
m
东 方 明 珠 轴 线 与 地 面 的 位 置 关 系
一、直线和平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这 个平面内的任意一条直线都垂直，我们就
说这条直线和这个平面垂直. 记作 l ．
A
平面的垂线 直线的垂面
垂足
线面垂直直观图的画法：
mn
按条件作出下列图形:
(1)任意作一个平面α 与一条直线l，使l⊥α； α
((12)) 过已空知间平一面点αP和，
l
有点且P，只过有一P作条平直面线l 与α的已垂知线平面α垂直。 α
p
l A
lp
α
l
p
α
l
p
α
(2) (过3)空已间知一直点线Pl，和 有点且只P ，有一过个P 平作面直α 与已线知l的直垂线面l垂。直。
(1)求证 : BC 面PAB P
(2)求证 : AE 面PBC
(3)求证 : AF PC
D
A
F
C E
B
例3：在正方体AC1中，
求证：D1B⊥平面ACB1
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
【课堂小结★牢记于心】
直接法
判定定理 如果一条直
线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
l
m P
n
lm
l n
线不在多,重在相交
(线线垂直→线面垂直)
想一想 判断下列命题是否正确？ (1).若一条直线与一个三角形的两条边垂直， 则这条直线垂直于三角形所在的平面。(√ ) (2).若一条直线与一个平行四边形的两条 边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所 在的平面。(×) (3).若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。 (√ )
例1:如图A为△BCD所在平面外一点， AC=AD，BC=BD，E为CD中点。 求证:CD⊥面ABE
A
B
D
E C
三、直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行.
a
b
a ，b a // b
推论1：如果一条直线垂直于一个平面， 则它垂直于平面内所有的直线．
l l m,任意 m .
问题:如何将一张长方形贺卡直立于桌面？ 由此，你能猜想出判断一条直线与一个平 面垂直的方法吗？
猜想：一条直线与一个平面内的两条相 交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
二、直线和平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，则这条直线与该平面垂直.
m
l
n
mn
P
b
bm
m
b
练习:已知 PC , PD ,垂足分别为C、D， 且 AB．
求证:(1) AB 平面 PCD (2) CD AB
P
CB
D A
例例42:已知矩形ABCD,过A作PA 面ABCD,
再过A作AE PB于E,过E作EF PC于F
直线与平面 垂直的判定
定义法
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
推论2：垂直于同一条直线的两个平面平行．
l l
//
α β
l
推论3：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
a // b, a b
a
b
证明：设 m 是 内的任意一条直线． m
a m
a a
//
m