高中数学选修4-4知识点总结

选修4-4数学知识点

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.

② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、知识归纳总结：

1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').

0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .

极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.

4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

6。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；

在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(π

a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；

7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t

的函数⎩⎨

⎧==),

(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数

，

简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

9．圆2

22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩

⎨⎧+=+=r b y r a x . 椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.

sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x . 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.

2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==. 经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为

参数）.

10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.