第四节概率与统计的综合问题

第四节概率与统计的综合问题

考点一概率与统计图表的综合问题

[典例] 学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．

(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；

(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．

[解题技法]

破解概率与统计图表综合问题的3步骤

[对点训练]

如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．

考点二概率与随机抽样的综合问题

[典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．

(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号．

(2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：

人数

数学

优

秀

良

好

及

格

地优7205

理秀

良

好

9186

及

格

a4b

成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值．

(3)若a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．

附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

[解题技法]

破解概率与随机抽样综合问题的3步骤

[对点训练]

某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：

价格分组(单位：百元)

[5,1

0)

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]

频数(单位：

510201525

部)

(1)[20,25)内的有几部

(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．

考点三概率与数字特征的综合问题

[典例] (2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．

(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；

(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．

[解题技法]

本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．

[对点训练]

(2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：

(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；

(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．

考点四概率与统计案例的综合问题

[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，

从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：

全程观看

部分

观看

没有

观看

男

生

18x2

女

生

106y

(1)①求出表中x，y的值；

②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的概率；

(2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为全程观看与性别有关.

男生

女

生

总

计

全程观看

非全程观看

总计

附：K2＝

n ad－bc2

a＋b c＋d a＋c b＋d

，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)

k0

[解题技法]

解决概率与统计案例综合问题的4步骤