概率及其性质概论

掷硬币次 数 2048 4040 12000 24000 30000
出现正面 次数 1061 2048 6019 12012 14994
频率
0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
结论：⑴直观方面：当投掷次数n很大时，出现正 面的频率总在0.5附近摆动，且随着投掷 次数的增加这种摆动的幅度是很微小的；
四、古典概型
定义：具有下列两个特征的概率称为古典概型 （或等可能概型）
⑴有限性：试验的样本空间中的元素只有有 限个，即基本事件的数目有限；
⑵等可能性：试验中各个基本事件（样本点） 发生的可能性相同.
古典概型的计算
若随机试验 E的样本空间中基本事件的总数为 n，而事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A
⑵频率具有稳定性：条件不变重复进行n次试验，
事件 A的频率 fn ( A)，当n增大时一般地将
稳定在某个常数附近.
频率的性质
⑴非负性，即：对任何事件 A ，均有
0 fn (A) 1 ⑵归一性，即： fn () 1 ⑶可加性，任意 m个互不相容事件 A1, A2,, An
满足 fn (A1 A2 An ) fn (A1) fn (An )
一、频率
定义：设在相同条件下，重复进行了 n 次试验，若随
机事件
A 在这
n
次试验中发生了
n
次，则比值
A
fn ( A) nA / n
称为事件 A在 n 次试验中发生的频率，其中nA
称为事件 A 发生的频数.
如：做投掷一枚质地均匀硬币试验，以下结果是历史 上科学家观察出现正面情况.
实验者
德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
⑵概率的统计定义只是一种描述，它指出了事件的概 率是客观存在的，随着试验次数的增加，频率在概 率附近摆动. 因此，在实际问题中，当试验的次数 n很大时，频率通常作为概率的近似值.
2、概率的公理化定义：设试验 E 的样本空间为Ω， 对于E的每一事件A，都赋予一个实数P(A)，若集 合函数P满足下列条件，则称P(A)为事件A的概率
①非负性：对任意 A , P( A) 0
②规范性： P() 1
③可列可加性：有对任P意( 可 列Ai个) 两两 互P斥( A的i )事件A1,, An ,
i 1
i 1
三、概率的性质
性质1：P() 0, P() 1
性质2：对任意事件 A ，0 P( A) 1 性质3：对任意两个事件 A与 B ，有
二、概率的定义
1、概率的统计定义：
在相同的条件下做 n 次试验，将事件 A的频率 fn ( A) 随 n 增大将稳定的围绕某个常数 p 波动，且 波动的幅度越来越小，我们定义这个常数 p 为事件 A 发生的概率，记为 P(A) p
注：频率与概率的区别 ⑴频率具有随机波动性, 是一个变数，而概率是一 个常数，事件A发生的概率完全取决于事件本身， 是客观存在的；
注：A B AB
例2：设事件 A, B 发生的概率分别为 1 , 1 ，试依据
下述情况求 P( AB)
43
⑴ A, B 互斥 ⑵ A B ⑶ P( AB) 1 8
例3：根据天气预报，明天甲城市下雨的概率为0.7， 乙城市下雨的概率为0.2，甲、乙两城市同时 下雨的概率为0.1，求下列事件的概率： ⑴明天甲城市下雨而乙城市不下雨； ⑵明天至少有一城市下雨； ⑶明天甲、乙两城市都不下雨； ⑷明天至少有一城市不下雨.
此性质称为概率的有限可加性
性质5：对事件 A 与其对立事件 A，有
P( A) 1 P( A)
性质6：对任意两个事件 A, B ，有： P(A B) P(A) P(AB)
且若 A B ，则有： P(A B) P(A) P(B)
称该性质为概率的减法公式.
例1：设 P(A) p, P(B) q, P(A B) r 求：P( AB), P( AB), P( A B)
发生的概率为：
P( A) m n
A包含的基本事件总数 样本空间的基本事件总数
称之为古典概型公式
例4：一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的 奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶 冲制而成. 做了10次测试，结果是她都正确 地辨别出来了。问该女士的说法是否可信？
此题运用了小概率原理： 概率很小的事件在一次试验 中是几乎不可能发生的.
有关小概率问题一资料：
练习
1：将所有的两位数逐一的写在卡片上，从中任 意抽取一张卡片，求这张卡片上的数字能被 2或能被3整除的概率？
2：设有同类产品6件，其中4件是合格品，2件 是不合格品，从中任意抽取2件，求抽得合 格品与不合格品各一件的概率？
3：10把钥匙中有3把钥匙能打开门锁，任取2把 钥匙，求能打开门锁的概率.
第一章 随机事件与概率wk.baidu.com
1.3 概率及其性质
研究随机现象，不仅需要关心试验中会出 现哪些事件，更需要知道这些事件出现的 可能性.
如何刻画事件的可能性？
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
1.3节需要弄清楚下述问题：
1、频率的定义、计算方法、性质是什么？ 2、概率的统计定义与公理化定义各是什么？ 3、概率的性质有哪些？运用时需注意哪些条件？ 4、古典概率的定义及计算方法？
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
1i jk n
性质4：若事件 A 与事件 B 互不相容，则
P( A B) P( A) P(B)—加法公式的特殊情形 推广：若 A1, A2,, An 两两互不相容，则：
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An )
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
称该性质为概率的加法公式.
推广：若对任意三个事件 A, B,C ，有 P(A B C) P(A) P(B) P(C)
P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
一般地：
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )