高等数学(下)知识点总结
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
高等数学各项基础知识点总结
高等数学知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l =0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l =1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x，1−cos x ~2/2^x ，x e −1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~xα二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则Ax f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次233521211...()2!3!!sin ...(1)()3!5!(21)!n xn n n n x x x e x o x n x x x x x o x n ++=++++++=-+++-++)(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++)(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital）法则.∞∞型未定式定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式1011lim ()()n n k k f f x dx n n →∞==∑⎰（如果存在）三．函数的间断点的分类)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y =f (x )的间断点。
高等数学下册知识点
高等数学下册知识点第七章 空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-，取点M 使MB AM 2=，则向量OM=。
2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110，则AB=。
3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,，则cos cos cos 222ξηζ++= 。
4、设向量a 的方向角απβ=3,为锐角，γπβ=-4=，则a = 。
5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。
6、过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，， 垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是130211:1--=-=-z y x L ，11122:2zy x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--03206:2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）． 6π （B ）．4π （C ）．3π （D ）2π．9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（ ）（A ）A D ==0 （B ）B C =≠00, （C ）B C ≠=00, （D ）B C ==0 10、平面3510x z -+=（ ）（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴（C ）垂直于y 轴 （D ）垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z ++-=22100的距离为（ ）（A ）1 （B ）±1 （C ）－1 （D ）1312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为 。
13、过点(,,)121与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为 。
14、平面0218419=++-z y x和0428419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
高等数学大一下知识点总结
高等数学大一下知识点总结一、微分学微分学是高等数学的重要分支，它主要研究函数的变化率、极限、导数等内容。
本章将对微分学的几个重要概念进行总结。
1. 极限在微分学中，极限是一个核心的概念，它描述了函数在某一点附近的趋势。
若函数f(x)当x无限接近某一点a时，f(x)的取值无限接近于A，则称A为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=A。
2. 导数导数是微分学中最重要的概念之一，它刻画了函数的变化率。
对于函数y=f(x)，如果函数在某一点x处的极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称该极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。
3. 微分微分是导数的微小变化量，在微积分中有重要应用。
对于函数y=f(x)，若dy=f'(x)dx，则称dy为函数f(x)的微分，dx为自变量x 的微分。
4. 高阶导数若函数f(x)的导数f'(x)存在导数，则称f(x)的导数f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作f''(x)，同样地，f(x)的二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推。
二、积分学积分学是微分学的重要补充，它主要研究函数积分、面积、体积等内容。
本章将对积分学的几个重要概念进行总结。
1. 不定积分若函数F(x)在区间[a, b]上具有导数f(x)，则称函数f(x)在该区间上可积，且称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数。
不定积分就是对函数的原函数的研究。
不定积分常表示为∫f(x)dx，读作"f(x)的不定积分"。
2. 定积分定积分是积分学中的一个重要概念，它用于计算曲线下的面积、弧长等。
对于函数f(x)，如果f(x)在[a, b]上可积，将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，随着n趋近于无穷大，表示成Σf(x)Δx的极限存在，则该极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
大学高数全册知识点整理
大学高等数学知识点整理一 . 数列函数 :1. 类型 :(1) 数列 : * ; *(2) 初等函数 :(3) 分段函数 : * ; * ;*(4) 复合 ( 含) 函数 :(5) 隐式 ( 方程 ):(6) 参式 ( 数一 , 二 ):(7) 变限积分函数 :(8) 级数和函数 ( 数一 , 三 ):2. 特征 ( 几何 ):(1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( 单调定号 )(2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ).3. 反函数与直接函数 :二 . 极限性质 :1. 类型 : * ; * ( 含); * ( 含)2. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):3. 未定型 :4. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , * 归并性三 . 常用结论 :, , ,, , , ,,四 . 必备公式 :1. 等价无穷小 : 当时 ,; ; ;; ; ;;2. 泰勒公式 :(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .五 . 常规方法 :前提 : (1) 准确判断( 其它如 : ); (2) 变量代换 ( 如 : )1. 抓大弃小,2. 无穷小与有界量乘积 ( ) ( 注 : )3. 处理 ( 其它如 : )4. 左右极限 ( 包括):(1) ; (2) ; ; (3) 分段函数 : , ,5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 )6. 洛必达法则(1) 先” 处理”, 后法则 ( 最后方法 ); ( 注意对比 : 与)(2) 幂指型处理 : ( 如 : )(3) 含变限积分 ;(4) 不能用与不便用7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( 分段函数 )六 . 非常手段1. 收敛准则 :(1)(2) 双边夹 : * , *(3) 单边挤 : * * *2. 导数定义 ( 洛必达 ?):3. 积分和 : ,4. 中值定理 :5. 级数和 ( 数一三 ):(1) 收敛, ( 如) (2) ,(3) 与同敛散七 . 常见应用 :1. 无穷小比较 ( 等价 , 阶 ): *(1)(2)2. 渐近线 ( 含斜 ):(1)(2) ,( )3. 连续性 : (1) 间断点判别 ( 个数 ); (2) 分段函数连续性 ( 附 : 极限函数 , 连续性 )八 . 上连续函数性质1. 连通性 : ( 注 : , “ 平均” 值 :)2. 介值定理 : ( 附 : 达布定理 )(1) 零点存在定理 : ( 根的个数 );(2) .第二讲 : 导数及应用 ( 一元 )( 含中值定理 )一 . 基本概念 :1. 差商与导数 : ;(1) ( 注 : 连续 ) )(2) 左右导 : ;(3) 可导与连续 ; ( 在处 , 连续不可导 ; 可导 )2. 微分与导数 :(1) 可微可导 ; (2) 比较与的大小比较 ( 图示 );二 . 求导准备 :1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注 : )2. 法则 : (1) 四则运算 ; (2) 复合法则 ; (3) 反函数三 . 各类求导 ( 方法步骤 ):1. 定义导 : (1) 与; (2) 分段函数左右导 ; (3)( 注 : , 求 : 及的连续性 )2. 初等导 ( 公式加法则 ):(1) , 求 : ( 图形题 );(2) , 求 : ( 注 : )(3) , 求及 ( 待定系数 )3. 隐式 ( ) 导 :(1) 存在定理 ;(2) 微分法 ( 一阶微分的形式不变性 ).(3) 对数求导法 .4. 参式导 ( 数一 , 二 ) : , 求 :5. 高阶导公式 :; ;;注 : 与泰勒展式 :四 . 各类应用 :1. 斜率与切线 ( 法线 ); ( 区别 : 上点和过点的切线 )2. 物理 : ( 相对 ) 变化率速度 ;3. 曲率 ( 数一二 ): ( 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 )4. 边际与弹性 ( 数三 ) : ( 附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五 . 单调性与极值 ( 必求导 )1. 判别 ( 驻点):(1) ; ;(2) 分段函数的单调性(3) 零点唯一 ; 驻点唯一 ( 必为极值 , 最值 ).2. 极值点 :(1) 表格 ( 变号 ); ( 由的特点 )(2) 二阶导 ( )注 (1) 与的匹配 ( 图形中包含的信息 );(2) 实例 : 由确定点“ ” 的特点 .(3) 闭域上最值 ( 应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 )3. 不等式证明 ( )(1) 区别 : * 单变量与双变量 ? * 与?(2) 类型 : * ; ** ; *(3) 注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . ( 如 : )4. 函数的零点个数 : 单调介值六 . 凹凸与拐点 ( 必求导 !):1. 表格 ; ( )2. 应用 : (1) 泰勒估计 ; (2) 单调 ; (3) 凹凸 .七 . 罗尔定理与辅助函数 : ( 注 : 最值点必为驻点 )1. 结论 :2. 辅助函数构造实例 :(1)(2)(3)(4) ;3. 有个零点有个零点4. 特例 : 证明的常规方法 : 令有个零点 ( 待定 )5. 注 : 含时 , 分家 !( 柯西定理 )6. 附 ( 达布定理 ): 在可导 , , , 使 :八 . 拉格朗日中值定理1. 结论 : ; ( )2. 估计 :九 . 泰勒公式 ( 连接之间的桥梁 )1. 结论 : ;2. 应用 : 在已知或值时进行积分估计十 . 积分中值定理 ( 附 : 广义 ): [ 注 : 有定积分 ( 不含变限 ) 条件时使用 ]第三讲 : 一元积分学一 . 基本概念 :1. 原函数:(1) ; (2) ; (3)注 (1) ( 连续不一定可导 );(2) ( 连续 )2. 不定积分性质 :(1) ;(2) ;二 . 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆 ( 线性性 )3. 凑微法 ( 基础 ): 要求巧 , 简 , 活 ( )如 :4. 变量代换 :(1) 常用 ( 三角代换 , 根式代换 , 倒代换 ):(2) 作用与引伸 ( 化简 ):5. 分部积分 ( 巧用 ):(1) 含需求导的被积函数 ( 如);(2)“ 反对幂三指”:(3) 特别 : (* 已知的原函数为; * 已知)6. 特例 : (1) ; (2) 快速法 ; (3)三 . 定积分 :1. 概念性质 :(1) 积分和式 ( 可积的必要条件 : 有界 , 充分条件 : 连续 )(2) 几何意义 ( 面积 , 对称性 , 周期性 , 积分中值 )* ; *(3) 附 : , )(4) 定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理 ( 重点 )(1) 可积连续 , 连续可导(2) ; ;(3) 由函数参与的求导 , 极限 , 极值 , 积分 ( 方程 ) 问题3. 公式 : ( 在上必须连续 !)注 : (1) 分段积分 , 对称性 ( 奇偶 ), 周期性(2) 有理式 , 三角式 , 根式(3) 含的方程 .4. 变量代换 :(1) ,(2) ( 如 : )(3) ,(4) ; ,(5) ,5. 分部积分(1) 准备时“ 凑常数”(2) 已知或时 , 求6. 附 : 三角函数系的正交性 :四 . 反常积分 :1. 类型 : (1) ( 连续 )(2) : ( 在处为无穷间断 )2. 敛散 ;3. 计算 : 积分法公式极限 ( 可换元与分部 )4. 特例 : (1) ; (2)五 . 应用 : ( 柱体侧面积除外 )1. 面积 ,(1) (2) ;(3) ; (4) 侧面积 :2. 体积 :(1) ; (2)(3) 与3. 弧长 :(1)(2)(3) :4. 物理 ( 数一 , 二 ) 功 , 引力 , 水压力 , 质心 ,5. 平均值 ( 中值定理 ):(1) ;(2) , ( 以为周期 : ) 第四讲 : 微分方程一 . 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解 ( 注 : 应用题中的隐含条件 )2. 变换方程 :(1) 令( 如欧拉方程 )(2) 令( 如伯努利方程 )3. 建立方程 ( 应用题 ) 的能力二 . 一阶方程 :1. 形式 : (1) ; (2) ; (3)2. 变量分离型 :(1) 解法 :(2)“ 偏” 微分方程 : ;3. 一阶线性 ( 重点 ):(1) 解法 ( 积分因子法 ):(2) 变化 : ;(3) 推广 : 伯努利 ( 数一 )4. 齐次方程 :(1) 解法 :(2) 特例 :5. 全微分方程 ( 数一 ): 且6. 一阶差分方程 ( 数三 ):三 . 二阶降阶方程1. :2. : 令3. : 令四 . 高阶线性方程 :1. 通解结构 :(1) 齐次解 :(2) 非齐次特解 :2. 常系数方程 :(1) 特征方程与特征根 :(2) 非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; ( 附 : 的算子法 )(3) 由已知解反求方程 .3. 欧拉方程 ( 数一 ): , 令五 . 应用 ( 注意初始条件 ):1. 几何应用 ( 斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 );注 : 切线和法线的截距2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 );可设3. 导数定义立方程 :含双变量条件的方程4. 变化率 ( 速度 )5.6. 路径无关得方程 ( 数一 ):7. 级数与方程 :(1) 幂级数求和 ; (2) 方程的幂级数解法 :8. 弹性问题 ( 数三 )第五讲 : 多元微分与二重积分一 . 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 ( 必要条件与充分条件 ),(1)(2)(3) ( 判别可微性 )注 : 点处的偏导数与全微分的极限定义 :2. 特例 :(1) : 点处可导不连续 ;(2) : 点处连续可导不可微 ;二 . 偏导数与全微分的计算 :1. 显函数一 , 二阶偏导 :注 : (1) 型 ; (2) ; (3) 含变限积分2. 复合函数的一 , 二阶偏导 ( 重点 ):熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数 ( 由方程或方程组确定 ):(1) 形式 : * ; * ( 存在定理 )(2) 微分法 ( 熟练掌握一阶微分的形式不变性 ): ( 要求 : 二阶导 )(3) 注 : 与的及时代入(4) 会变换方程 .三 . 二元极值 ( 定义 ?);1. 二元极值 ( 显式或隐式 ):(1) 必要条件 ( 驻点 );(2) 充分条件 ( 判别 )2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ) ( 注 : 应用 )(1) 目标函数与约束条件 : , ( 或 : 多条件 )(2) 求解步骤 : , 求驻点即可 .3. 有界闭域上最值 ( 重点 ).(1)(2) 实例 : 距离问题四 . 二重积分计算 :1. 概念与性质(“ 积” 前工作 ):(1) ,(2) 对称性 ( 熟练掌握 ): * 域轴对称 ; * 奇偶对称 ; * 字母轮换对称 ; * 重心坐标 ;(3)“ 分块” 积分 : * ; * 分片定义 ; * 奇偶2. 计算 ( 化二次积分 ):(1) 直角坐标与极坐标选择 ( 转换 ): 以“ ” 为主 ;(2) 交换积分次序 ( 熟练掌握 ).3. 极坐标使用 ( 转换 ):附 : ; ;双纽线4. 特例 :(1) 单变量 : 或(2) 利用重心求积分 : 要求 : 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分 ( 数三 )五 : 一类积分的应用 ( ):1. “ 尺寸”: (1) ; (2) 曲面面积 ( 除柱体侧面 );2. 质量 , 重心 ( 形心 ), 转动惯量 ;3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备 .第六讲 : 无穷级数 ( 数一 , 三 )一 . 级数概念1. 定义 : (1) , (2) ; (3) ( 如)注 : (1) ; (2) ( 或); (3)“ 伸缩” 级数 : 收敛收敛 .2. 性质 : (1) 收敛的必要条件 : ;(2) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ( 交错级数的讨论 );(3) ;二 . 正项级数1. 正项级数 : (1) 定义 : ; (2) 特征 : ; (3) 收敛( 有界 )2. 标准级数 : (1) , (2) , (3)3. 审敛方法 : ( 注 : , )(1) 比较法 ( 原理 ): ( 估计 ), 如;(2) 比值与根值 : * * ( 应用 : 幂级数收敛半径计算 )三 . 交错级数 ( 含一般项 ): ( )1. “ 审” 前考察 : (1) (2) ; (3) 绝对 ( 条件 ) 收敛 ?注 : 若, 则发散2. 标准级数 : (1) ; (2) ; (3)3. 莱布尼兹审敛法 ( 收敛 ?)(1) 前提 : 发散 ; (2) 条件 : ; (3) 结论 : 条件收敛 .4. 补充方法 :(1) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ; (2) .5. 注意事项 : 对比; ; ; 之间的敛散关系四 . 幂级数 :1. 常见形式 :(1) , (2) , (3)2. 阿贝尔定理 :(1) 结论 : 敛; 散(2) 注 : 当条件收敛时3. 收敛半径 , 区间 , 收敛域 ( 求和前的准备 )注 (1) 与同收敛半径(2) 与之间的转换4. 幂级数展开法 :(1) 前提 : 熟记公式 ( 双向 , 标明敛域 );;(2) 分解 : ( 注 : 中心移动 ) ( 特别 : )(3) 考察导函数 :(4) 考察原函数 :5. 幂级数求和法 ( 注 : * 先求收敛域 , * 变量替换 ):(1)(2) ,( 注意首项变化 )(3) ,(4) 的微分方程(5) 应用 : .6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 ( 数三 ):(1) 复利 : ; (2) 现值 :五 . 傅里叶级数 ( 数一 ): ( )1. 傅氏级数 ( 三角级数 ):2. 充分条件 ( 收敛定理 ):(1) 由( 和函数 )(2)3. 系数公式 :4. 题型 : ( 注 : )(1) 且( 分段表示 )(2) 或(3) 正弦或余弦*(4) ( )*5.6. 附产品 :第七讲 : 向量 , 偏导应用与方向导 ( 数一 )一 . 向量基本运算1. ; ( 平行)2. ; ( 单位向量 ( 方向余弦 ) )3. ; ( 投影 : ; 垂直 : ; 夹角 : )4. ; ( 法向 : ; 面积 : )二 . 平面与直线1. 平面(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点法式 ):(3) 其它 : * 截距式; * 三点式2. 直线(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点向式 ):(3) 一般方程 ( 交面式 ):(4) 其它 : * 二点式 ; * 参数式 ;( 附 : 线段的参数表示 :)3. 实用方法 :(1) 平面束方程 :(2) 距离公式 : 如点到平面的距离(3) 对称问题 ;(4) 投影问题 .三 . 曲面与空间曲线 ( 准备 )1. 曲面(1) 形式: 或; ( 注 : 柱面)(2) 法向( 或) 2. 曲线(1) 形式, 或;(2) 切向 : ( 或)3. 应用(1) 交线 , 投影柱面与投影曲线 ;(2) 旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转 ;(3) 锥面计算 .四 . 常用二次曲面1. 圆柱面 :2. 球面 :变形 : , ,,3. 锥面 :变形 : ,4. 抛物面 : ,变形 : ,5. 双曲面 :6. 马鞍面 : , 或五 . 偏导几何应用1. 曲面(1) 法向 : , 注 :(2) 切平面与法线 :2. 曲线(1) 切向 :(2) 切线与法平面3. 综合 : ,六 . 方向导与梯度 ( 重点 )1. 方向导 ( 方向斜率 ):(1) 定义 ( 条件 ):(2) 计算 ( 充分条件 : 可微 ):附 :(3) 附 :2. 梯度 ( 取得最大斜率值的方向 ) :(1) 计算 :;(2) 结论;取为最大变化率方向 ;为最大方向导数值 .第八讲 : 三重积分与线面积分 ( 数一 )一 . 三重积分 ( )1. 域的特征 ( 不涉及复杂空间域 ):(1) 对称性 ( 重点 ): 含 : 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2) 投影法 :(3) 截面法 :(4) 其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球2. 的特征 :(1) 单变量, (2) , (3) , (4)3. 选择最适合方法 :(1)“ 积” 前 : * ; * 利用对称性 ( 重点 )(2) 截面法 ( 旋转体 ): ( 细腰或中空 , , )(3) 投影法 ( 直柱体 ):(4) 球坐标 ( 球或锥体 ): ,(5) 重心法 ( ):4. 应用问题 :(1) 同第一类积分 : 质量 , 质心 , 转动惯量 , 引力(2) 公式二 . 第一类线积分 ( )1. “ 积” 前准备 :(1) ; (2) 对称性 ; (3) 代入“ ” 表达式2. 计算公式 :3. 补充说明 :(1) 重心法 : ;(2) 与第二类互换 :4. 应用范围(1) 第一类积分(2) 柱体侧面积三 . 第一类面积分 ( )1. “ 积” 前工作 ( 重点 ):(1) ; ( 代入)(2) 对称性 ( 如 : 字母轮换 , 重心 )(3) 分片2. 计算公式 :(1)(2) 与第二类互换 :四 : 第二类曲线积分 (1): ( 其中有向 )1. 直接计算 : ,常见 (1) 水平线与垂直线 ; (2)2. Green 公式 :(1) ;(2) : * 换路径 ; * 围路径(3) ( 但内有奇点 ) ( 变形 )3. 推广 ( 路径无关性 ):(1) ( 微分方程 ) ( 道路变形原理 )(2) 与路径无关 ( 待定 ): 微分方程 .4. 应用功 ( 环流量 ): ( 有向, , ) 五 . 第二类曲面积分 :1. 定义 : , 或( 其中含侧 )2. 计算 :(1) 定向投影 ( 单项 ): , 其中( 特别 : 水平面 ); 注 : 垂直侧面 , 双层分隔(2) 合一投影 ( 多项 , 单层 ):(3) 化第一类 ( 不投影 ):3. 公式及其应用 :(1) 散度计算 :(2) 公式 : 封闭外侧 , 内无奇点(3) 注 : * 补充“ 盖” 平面 : ; * 封闭曲面变形( 含奇点 )4. 通量与积分 :( 有向, , )六 : 第二类曲线积分 (2):1. 参数式曲线: 直接计算 ( 代入 )注 (1) 当时 , 可任选路径 ; (2) 功 ( 环流量 ):2. Stokes 公式 : ( 要求 : 为交面式 ( 有向 ), 所张曲面含侧 )(1) 旋度计算 :(2) 交面式 ( 一般含平面 ) 封闭曲线 : 同侧法向或;(3)Stokes 公式 ( 选择 ):( ) 化为; ( ) 化为; ( ) 化为高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx) ，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( ) ，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c)2、分段函数不是初等函数。
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高等数学大一下知识点
高等数学大一下知识点
高等数学是大一下学期的一门重要课程，主要涵盖了以下几个知识点：
1. 一元函数微积分
1.1 函数的极限与连续性
1.2 导数与微分
1.3 函数的应用
2. 一元函数积分学
2.1 不定积分
2.2 定积分
2.3 微积分基本定理
3. 多元函数微积分
3.1 多元函数的极限与连续性
3.2 偏导数与全微分
3.3 隐函数与参数方程 3.4 多元复合函数求导
4. 多元函数积分学
4.1 二重积分
4.2 三重积分
4.3 曲线与曲面积分
5. 常微分方程
5.1 一阶常微分方程 5.2 高阶常微分方程 5.3 线性常微分方程
6. 线性代数
6.1 线性方程组与矩阵 6.2 矩阵的运算与性质 6.3 行列式与矩阵的逆
6.4 特征值与特征向量
7. 概率与统计
7.1 随机事件与概率
7.2 随机变量与概率分布
7.3 大数定律与中心极限定理
以上是高等数学大一下学期的主要知识点概述。
学习这些知识将为大家打下扎实的数学基础，为以后的学习和应用提供坚实的支持。
希望大家在学习过程中能够切实掌握这些知识，灵活运用于实际问题中，提高数学思维和解决问题的能力。
高等数学各章节知识点框架
第⼀一讲极限与连续分为如下部分：1.定义2.性质3.⽆无穷⼩小4.⽆无穷⼤大5.函数极限的计算6.数列列极限的计算7.应⽤用!定义（极限定义——四句句话）⼀一.⼀一共有25种定义（6x4+1）6:x的六种趋向⽅方式，分为局部性质与渐进性质（注意对于x不不等于x0）4:f的四种趋向⽅方式，有三种是⽆无穷的情况（注意：任取M，与⽆无界定义相区别）（宇哥基础笔记）1:数列列定义（注意n为⾃自然数，只有渐进性质）函数极限定义注意两点：1.x趋向于x0，x不不等于x02.若f在x0的去⼼心邻域⽆无定义，则极限不不存在，反之，极限存在，则推在x0的去⼼心邻域处处有定义数列列极限的定义也注意两点：1.xn的极限与其前有限项⽆无关（类似于⽆无穷级数的收敛性与前n项⽆无关）2.xn的极限为a互推xn的任意的⼦子列列的极限也为a，特别的，xn的极限为a互推xn的奇数项与偶数项的极限均为a（注意：要涵盖xn的所有项）⼆二.有关定义的考法（17宇哥强化笔记）1.定X，N以及那个什什么（打不不出来）（主要是利利⽤用极限语⾔言来证明极限）⽅方法是：从有关f的不不等式推导出有关x的不不等式，从⽽而来定，若f的式⼦子复杂，可通过适当的放缩。
2.定e（原谅我不不能打出来）来讨论f（x）的范围Note1.注意例例题中有个结论 f极限为a可以推出f的绝对值极限为a的绝对值（利利⽤用极限的定义与中学知识来证，同理理数列列极限也是）2.e要取正整数，不不能取变量量。
3.由极限来推出的f的范围，只是陈述事实，⽽而不不是取值范围。
4.即使给我整个世界，我也只在你的身边"性质及其考法三⼤大性质——唯⼀一性，局部有界性，局部保号性1.唯⼀一性——极限存在必唯⼀一，所以极限存在可以推左极限等于右极限Note：⼀一般分左右极限的情况1.分段点 2.e的∞ 3.arctan∞2.局部有界性（注意局部包括局部性质与渐进性质）定义（会证会⽤用）（利利⽤用了了中学知识，绝对值的不不等式）Note：该定义只是有界的充分⾮非必要条件，即函数有界不不⼀一定极限存在，如sinx关于函数f（x）的有界性的判定⽅方法：1.理理论法（中学知识）：连续初等函数在闭区间内必有界2.计算法（⼤大学知识）：函数在开区间内连续，再加上端点的极限存在，则可以推出该函数在区间内有界3.四则运算：当极限不不存在时，拆！（⚠）（有限个）有界+有界=有界（有限个）有界x有界=有界Note：初等函数在闭定义区间内连续有界（初等函数在定义区间内连续，在闭定义区间内连续，必有界）3.局部保号性（此处的局部也是包括局部和渐进性质）定义（会证会⽤用）拓拓展：脱帽法（没有=号）带帽法（有等号，尤其极限A必须有等号，如x分之1在x趋于∞）Note：1.极限的运算法则：能不不能拆，拆了了再说。
高等数学(下)知识点总结
高等数学(下)知识点总结1、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：双叶双曲面：4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：5）椭圆柱面：双曲柱面：6）抛物柱面：（二）平面及其方程1、点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，；4、点到平面的距离：（三）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、两直线的夹角：，，；4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，；第九章多元函数微分法及其应用1、连续：2、偏导数：；3、方向导数：其中为的方向角。
4、梯度：，则。
5、全微分：设，则（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、微分法1）复合函数求导：链式法则若，则，（二）应用1）求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，① 若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；② 若，函数没有极值；③ 若，不定。
2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：2、计算：1）直角坐标，，2）极坐标，（二）三重积分1、定义：2、计算：1）直角坐标-----------“先一后二”-----------“先二后一”2）柱面坐标，3）球面坐标（三）应用曲面的面积：第一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，、向量形式：2、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则、（三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分在内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：—“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”，为下侧取“级数：（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：3、收敛半径的求法：，则收敛半径4、泰勒级数展开步骤：（直接展开法）1）求出；2）求出；3）写出；4）验证是否成立。
高数专升本知识点归纳
高数专升本知识点归纳高等数学是专升本考试中的重要组成部分，涵盖了丰富的数学理论和应用技巧。
以下是对高数专升本知识点的归纳总结：一、函数与极限- 函数的定义、性质（奇偶性、周期性、单调性）- 极限的概念、性质和运算法则- 无穷小量和无穷大量的比较- 函数的连续性与间断点二、导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 基本导数公式和导数的运算法则- 高阶导数- 微分的概念和微分中值定理- 导数的应用：切线、单调性、极值、最值问题三、积分学- 不定积分与定积分的概念和性质- 积分的基本公式和积分技巧（换元积分法、分部积分法）- 定积分的应用：面积、体积、平均值问题- 广义积分和积分方程的简介四、级数- 级数的概念、收敛性判定- 正项级数的收敛性判定方法（比较判别法、比值判别法等）- 幂级数、泰勒级数和傅里叶级数的基本概念五、多元函数微分学- 多元函数的极限和连续性- 偏导数和全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的几何应用（如曲面的切平面和法线）六、多元函数积分学- 二重积分和三重积分的概念和计算方法- 曲线积分和曲面积分- 格林公式、高斯公式和斯托克斯定理七、常微分方程- 一阶微分方程的解法：分离变量法、变量替换法、常数变易法- 高阶微分方程的降阶和幂级数解法- 线性微分方程和常系数线性微分方程的解法八、线性代数基础- 矩阵的运算和性质- 行列式的概念和计算- 线性方程组的解法：高斯消元法、克拉默法则- 向量空间和线性变换的基本概念结束语：通过以上知识点的归纳，我们可以看到高等数学在专升本考试中的重要性。
掌握这些基础知识对于解决实际问题和进一步的数学学习都是至关重要的。
希望这份归纳能够帮助大家更好地复习和准备专升本考试。
高等数学第七版下册 同济 部分知识点
2 ()
∭ (, , ) = ∫ ∫
Ω
2 (,)
∫
1 ()
(, , )
1 (,)
=
三重积分转化为柱坐标计算 { =
=
⇒ ∭ (, , ) = ∭ (, , )
=0
当|| < 1时，级数收敛
当|| > 1时，级数发散
当|| = 1时，级数发散
∞
1
调和级数 ∑ 发散
=1
基本性质：
∞
∞
如果级数 ∑ 收敛于和 s ，那么级数 ∑ 也收敛于和 (为常数)
=1
∞
=1
∞
∞
∑ = ， ∑ = ，那么 ∑ （ ） = ±
( )
的计算
1 当 = C即有( ) = ( + ) = ( + )
○
1
——sxd
( )
亦然
2 当 = (, )即有 ( ) = + ( &#= + ( + )
方向导数 │
(0 ,0 )
= (0 , 0 ) cos + (0 , 0 ) cos ，其中cos ，cos 是方向的方向余
弦
梯度grad(0 , 0 ) =▽(0 , 0 ) = (0 , 0 ) → + (0 , 0 ) →
三元函数 = (, , ) 全微分 = + +
抽象函数的 z 偏导
= (, )， = (, )， = (, )
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >=()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀 p="" 兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为m，最小值为m则m(b-a)<= <=m(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学知识点总结2a.function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换b.limit and continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理c.derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数(8)参数函数求导数和极坐标求导数d.application of derivative导数的应用(1)微分中值定理(d-mvt)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值e.indefinite integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)u换元法求不定积分(4)分部积分法求不定积分(5)待定系数法求不定积分f.definite integral 定积分(1)riemann sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质(3)accumulation function求导数(4)反常函数求积分h.application of integral定积分的应用(1)积分中值定理(i-mvt)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用i.differential equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场j.infinite series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、p级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
高等数学下知识点全
高等数学（下）知识点主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6）抛物柱面：ay x =2 （二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（三） 空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。
(完整版)高等数学基础知识点归纳
(完整版)高等数学基础知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A??。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
高等数学下知识点总结6篇
高等数学下知识点总结6篇高等数学下知识点总结6篇借鉴经验和教训，对自己的工作和生活进行反思和总结，从而不断进步。
深入学习，专攻某一领域有利于个人成长和职业发展。
下面就让小编给大家带来高等数学下知识点总结，希望大家喜欢!高等数学下知识点总结1第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
高等数学基本知识点及例题(第2学期)
高等数学基本知识点及例题一、导数与积分公式表导数公式：12221()0,(ln )(),()ln ()(tan )sec ,(cot )csc (sec )sec tan ,(csc )csc cot 11(arcsin )(arctan )1a a x x x x C x xx ax a a a e e x x x x x x x x x xx x x -''=='''===''==-''=⋅=-⋅''==+，基本积分表：12222d (1),d ,d ,1ln 1d 1d ln ,ln 2sin d cos ,cos d sin ,sec d tan ,csc d cot tan d ln cos ,cot d ln sin d arcsin ,a x axx xx a x x C a a x C e x e C a a x a xx x C Cx a a x a x x x x C x x x C x x x C x x x C x x x C x x x C xxC a +=+≠-=+=+++=+=+--=-+=+=+=-+=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰221arctan xC a a a x =++⎰重要定积分公式：2(21)!!,(2)!!sin (21)!!(2)!!2d nn nis odd n x x n n is even n ππ-⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩⎰，第一单元 空间解析几何与向量代数1.空间直角坐标系设1111(,,)M x y z 和2222(,,)M x y z 为空间两点,则两点间的距离: d 使12M M MM λ=的分点M 的坐标为: 121212,,111x x y y z z x y z λλλλλλ+++===+++. 2.向量的模、方向余弦、单位向量向量(,,)x y z a a a a =的模: 2x a a a =+向量(,,)x yz a a a a=的方向余弦: cos a αβ==222cos cos cos cos 1γαβγ=++=且.与a 同方向的单位向量: 0(cos ,cos ,cos )aa aαβγ==. 例1 设1(2,3,5)F =-,2(5,1,3)F =-,3(1,2,4)F =-.这三个力作用于点(1,1,1)P ，它们的合力为F=PQ ，求：（1）点Q 的坐标．（2）PQ 的大小．（3）PQ 的方向余弦． 解：（1）123(251,312,534)(2,2,2)F F F F =++=-++--++=-．设点Q 的坐标为(),,x y z ，则12,12,12x y z -=--=-=，故点Q 的坐标为()1,3,3-． （2）||23PQ =（3）cos cos αβγ===3.数量积、向量积、混合积、向量的投影数量积: cos ||Pr ||Pr a x x y y z z b a b a b a j b b j a a b a b a b θ⋅=⋅===++,是一个数量.向量积: ,sin xy z x y zij k c a b a a a c a b b b b θ=⨯==⋅表示以,a b 为邻边的平行四边形面积.混合积: []()[][]xy zxy z x yza a a abc abc b b b bca cab c c c =⨯⋅=== 向量的投影: Pr a a bj b a ⋅=. 两向量之间的夹角: cos a b a b a b θ++=例2 设(2,1,1),(1,3,1)a b =-=-，求与b a、均垂直的单位向量．解： 211(2,3,7)131i j ka b ⨯=-=--，与b a 、均垂直的单位向量为12,3,7)||37e a b c a b ⨯=±=±-⨯． 例3 设向量(2,3,1)(1,2,3)(2,1,2)a b c =-=-=、、,向量d 与b a,均垂直，且在向量.14d c，求向量上的投影是解：()7(1,1,1)d a b λλ=⨯=--，7Pr (1,1,1)(2,1,2)14||3c c jd d c λ=⋅=--⋅=，得6λ=-， 于是42(1,1,1)d =---．例 4 设3a b +与75a b -垂直, 4a b -与72a b -垂直,求a 与b 之间的夹角. 解: 由3a b +与75a b -垂直,有(3)(75)0a b a b +⋅-=,即2716150a a b b +⋅-=, 又由4a b -与72a b -垂直,有(4)(72)0a b a b -⋅-=,即273080a a b b -⋅+=.两式联立,可得22,2b a b a a b =⋅=⋅,从而a b =,所以1cos 2a b a bθ⋅==,即3πθ=.4.平面方程0000000()()()0{,,},(,,)A x x B y y C z z n A B C M x y z -+-+-==点法式：，其中0Ax By Cz D +++=一般方程：截距式方程：1y x z a b c++= 例5 求过点(1,0,1)-且平行于向量(2,1,0),(1,1,1)a b ==-的平面方程.解:取平面的法向量210(1,2,3)111i j kn a b =⨯==---,又平面过点(1,0,1)-,故所求平面方程为(1)23(1)0x y z ---+=,即2340x y z ---=.例6 求过直线L ：5040,x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面π：48120x y z --+=成4π角的平面方程．解：过L 的平面束方程为5(4)0,x y z x z λ+++-+=即：(1)5(1)40,x y z λλλ+++-+=其法向量{1,5,1}n λλ=+-，又{1,4,8}n π=--11cos4n n n n π⋅==，34λ=-．所求平面为：207120x y z ++-=．5.空间直线方程对称式：000x x y y z z m n p---==，{,,}s m n p = 参数式：000x x mty y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩一般式: 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩例7 求过点(2,4,0)且与直线1210:320x z L y z +-=⎧⎨--=⎩平行的直线L 的方程.解:直线1L 的方向向量为1102(2,3,1)013i j ks ==--,由于L 与1L 平行,可取直线L 的方向向量1(2,3,1)s s ==-,又直线L 过点(2,4,0),故所求直线L 的方程为24231x y z--==-. 6.空间曲线的投影一般方程：(,,)0(,,)0,F x y zG x y z =⎧⎨=⎩消去,,x y z 得在三个坐标面上的投影曲线（注：需联立坐标面方程，如0z =）．例8 求曲线222221(1)(1)1,x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线．解：消去x 得投影柱面方程：22220z z y --+=,故曲线在yoz 面上的投影曲线为:222200z z y x ⎧--+=⎨=⎩. 例9．求上半锥面z （01z ≤≤）在三个坐标面上的投影区域． 解：投影区域分别为:xoy 面：221x y +≤；xoz 面：,01z x z z -≤≤≤≤ yoz 面：,0 1.z y z z -≤≤≤≤7.常见二次曲面方程球面：如2222x y z a ++=; 椭球面：2222221y x z a b c++=; 圆柱面：如222x y a +=；圆锥面：如222z x y =+；抛物面：如22()z a x y =+单叶双曲面：2222221y x z a b c +-=（a b =时为旋转面）；双叶双曲面: 2222221y x z a b c-+=-（a c =时为旋转面）；双曲抛物面：如22;z x y z xy =-=例10 xoz 面上的直线1x z =-绕z 轴旋转而成的圆锥面的方程是 ． (C)(Ａ)221x y z +=- (B)2221x y z ++= (C)222(1)x y z +=- (D)222(1)x y z +=+.第二单元：多元函数微分法及应用1． 多元函数连续、可微与偏导数存在之间的关系连续可微两个偏导数存在例1函数(,)f x y 在点00,)x y （处连续是函数(,)f x y 在点00,)x y （处的两个偏导数存在的（ D ）条件。
(完整版)大学全册高等数学知识点(全)
(完整版)大学全册高等数学知识点(全)高等数学是一门非常重要的学科，它是数学中最具有挑战性和深度的一门课程。
它的内容包括微积分、线性代数、微分方程和复变函数等专题，这些都是现代科学和技术的核心。
在本文中，我们将会详细介绍高等数学的知识点，以供学习和参考。
微积分微积分被称为数学的两个支柱之一，它是数学的一门核心课程。
微积分最早是由牛顿和莱布尼茨创立的，作为数学中求导和积分的基本工具，微积分与其他领域如物理、工程学和经济学等紧密相关。
微分学和积分学是微积分中最重要的两个分支。
微分学涉及单变量函数的导数和导数的应用，具体包括切线和曲线的斜率、极值和曲线的凹凸性等概念。
积分学则涉及单变量函数的定积分和不定积分，并且与微分学有紧密的联系，例如牛顿-莱布尼茨公式。
多元微积分也是微积分中的一个重要分支。
它包括了多元函数的求导和偏导数，以及多重积分的概念和应用。
多元积分常用于描述物理量在空间中的分布和相互作用关系，如在物理力学、统计学、流体力学和电磁学等领域中。
线性代数线性代数是一种数学分支，涉及线性方程组的解法，向量、矩阵和线性变换的概念及其应用。
线性代数在现代科学和技术中十分普遍，如应用在数学、物理、计算机科学、统计学、工程学等领域。
线性方程组求解是线性代数中的基础概念之一。
矩阵和行列式则是线性方程组求解的核心工具，它们用于表达系数、求解和判断方程组的解。
向量和矩阵在应用中常被用于表示和处理各种数据，如图像、音频、文本等。
除了矩阵和行列式，还有很重要的概念是对称矩阵、特征值和特征向量。
它们与线性变换及其特征相关联，在应用中常被用于描述各种对象的特征或性质。
微分方程微分方程是数学的一个重要分支，它涉及多元函数的微分和积分，具体解释为量的变化随时间或空间的变化规律。
微分方程在物理、生物、经济、工程学等领域中有广泛的应用。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只涉及单一自变量的函数和导数，可以分为一阶和二阶微分方程等不同的类型。
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主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z by a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6） 抛物柱面：ay x =2（二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（三） 空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L 212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。
4、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρρ),(),(),(000000+=。
5、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （一） 性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 微分法1） 复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用1）求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值；② 若02<-B AC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。
2、 几何应用1）曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2）曲面的切平面与法线充分条件曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章重积分（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 计算： 1）直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，21()()(,)d d d (,)d d y c y Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2）极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 计算： 1）直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一”2）柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3）球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f z S ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第十一章曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分1、 定义：01(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设 L 为xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk kk kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d ρ2、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则 (,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}d LP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ''+=+⎰⎰3、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=，)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=，则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式 1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则yPx Q ∂∂=∂∂⇔曲线积分d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(1ζηξλ2、计算：———“一单二投三代入”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则y x y x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx d d ),(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰；01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰2、 性质：1）21∑+∑=∑，则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xyD y x ∈),(，),(y x z z =在xyD 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“+”， ∑为下侧取“-”. 3、 两类曲面积分之间的关系：()S R Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。