【解析版】2018年北京高三模拟题分类汇编之立体几何大题

2018年北京高三模拟题分类汇编之立体几何大题精心校对版△注意事项：1.本系列试题包含2018北京市各城区一模二模真题。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 i. 、填空题（本大题共2小题，共0分） 1.（2018北京东城区高三一模数学(文)）如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB∠=o ，ED ⊥平面ABCD ，22ED AD EF ===，EF ∥AB ，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：AC BE ⊥；（Ⅲ）若G 为线段BE 上的点，当三棱锥G BCD -时，求BGBE的值．【答案解析】解：（Ⅰ） 设，结．因为分别是的中点， 因为EF //AB ，且12EF=AB ， 因为OM //AB ，且12OM=AB ， 所以EF //OM ，且EF=OM ．AC BD O =I ,EO MO ,M O ,BC BD 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●所以四边形EOMF 为平行四边形． 所以∥．又因为平面，平南，所以∥平面． ………5分 （Ⅱ）因为为菱形， 所以． 因为平面， 所以． 因为， 所以平面． 又因为平面，所以． ………10分 （Ⅲ）过作ED 的平行线交BD 于． 由已知平面 所以平面． 所以为三棱锥的高． 因为三棱锥G BCD -的体积为9， 所以三棱锥G BCD -的体积11sin 60329V BD BC GH =⨯⋅⋅⋅⋅=o ．所以． 所以21323GH BG ED BE ===．所以13BG =BE ． ………14分 2.（2018北京丰台区高三二模数学(文)）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ； ② 线段BM 的长为定值；③ 存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角FM EO EO ⊂BDE FM ⊄BDE FM BDE ABCD AC BD ⊥ED ⊥ABCD ED AC ⊥BD ED D =I AC ⊥BDE BE ⊂BDE AC BE ⊥G H ED ⊥ABCD GH ⊥ABCD GH G BCD -23GH =A 1MEDCBAEBFCAB 1C 1A 1HEBFCAB 1C 1A 1为90︒．其中正确的命题是 ．（写出所有．．正确命题的序号）【答案解析】①② ii. 、解答题（本大题共11小题，共0分） 3.（2018北京东城区高三二模数学(文)）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，1AC BC CC ==，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面； （Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ， 使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．【答案解析】解：（Ⅰ）在三棱柱中， 因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ． 所以1CC AC ⊥． 因为，1CC BC C =I ， 所以AC ⊥平面11BCC B ． 因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F ⊥． ………5分 （Ⅱ）取中点，连结，．则∥，且1112EH B C =，又因为BF ∥，且1112BF B C =， 所以∥BF ，且EH BF =． 所以四边形为平行四边形． 所以∥．111ABC A B C -AC BC ⊥E F 11A B BC 11AC F 111ABC A B C -AC BC ⊥11A C H EH FH EH 11B C 11B C EH BEHF BE FHB1A 又平面，平面，所以∥平面． ………10分 （Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点． 连接1,EG GB ．在正方形中， 因为F 为BC 中点， 所以△11B C G ≌△1C CF ． 所以11190C CF B GC ∠+∠=︒． 所以11B G C F ⊥． 由（Ⅰ）可得AC ⊥平面， 因为AC //11A C ， 所以11A C ⊥平面． 因为1B G ⊂平面，所以111AC B G ⊥． 因为1111AC C F C =I ，所以1B G ⊥平面11AC F ． 因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F ． ………14分 4.（2018北京西城区高三一模数学(文)）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．BE ⊄11AC F FH ⊂11AC F BE 11AC F 11BB C C 11BB C C 11BB C C 11BB CC图1 图2【答案解析】解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分]因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =．因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =，所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分]所以 //EF HD ． [ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ． [ 5分] （Ⅱ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 6分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 7分] 所以 1CO A O ⊥． [ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC == 所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ， [ 9分] 所以 平面1A OB ⊥平面1A OC ． [10分] （Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [11分] 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ， 则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分] 在 △EOC 中，因为 OC GE ⊥， 所以 EO EC =，这显然与 1EO =，EC 矛盾！所以 线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分] 5.（2018北京西城区高三二模数学(文)）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．【答案解析】解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形， 所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分 所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）连接FG ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ⊥， 所以 AD ⊥平面ABEF ，所以 BF AD ⊥． ………………6分 因为 G 为AB 的中点，所以 //AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以 四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形．所以 //AD CG ， 所以 BF CG ⊥． ……………… 7分 因为 EF EB =，所以 四边形BEFG 为菱形，所以 BF EG ⊥． ……………… 8分 所以 BF ⊥平面GCE ． ……………… 9分所以 平面BCF ⊥平面GCE ． ………………10分（Ⅲ）设 BF GE O =I ．由（Ⅰ）得 //DF CE ，所以 //DF 平面GCE ， 由（Ⅱ）得 //AD CG ，所以 //AD 平面GCE ， 所以 平面//AD F 平面GCE ，所以 几何体AD F GCE -是三棱柱． ………………11分 由（Ⅱ）得 BF ⊥平面GCE ．所以 多面体AFEBCD 的体积 ADF GCE B GCE V V V --=+ ………………12分 13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅43GCE S FO ∆=⋅=………………14分6.（2018北京朝阳区高三一模数学(文)）如图1,在梯形ABCD中,//,1,3,BC AD BC AD BE AD==⊥于E,1BE AE ==.将ABE !沿BE 折起至A BE '!,使得平面A BE '⊥平面 BCDE （如图2）,M 为线段A D '上一点.（Ⅰ）求证:A ECD '⊥;（Ⅱ）若M 为线段A D '中点,求多面体A BCME '与多面体MCDE 的体积之比; （Ⅲ）是否存在一点M ,使得//A B '平面MCE ?若存在,求A M '的长.若不存在,请说明理由.【答案解析】【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中,因为BE AE ⊥,所以'A E BE ⊥,平面'A BE ⊥平面BCDE ,BE =平面'A BE平面BCDE ,'A E ⊂平面'A BE , 'A E ∴⊥平面BCDE , CD ⊂平面BCDE , 'A E CD ∴⊥.（Ⅱ）M 为'A D 中点,M ∴到底面BCDE 的距离为1'2A E ,在梯形ABCD 中,1121122DCES DE BE =⋅=⨯⨯=!, 111'326M DCEDCE V A E S -=⋅⋅=!, '11'36A BCE BCE V A E S -=⋅⋅=!.'A E DE ⊥,∴在'Rt A DE !中,'12A EM S =!, 'A E ⊥平面BCDE ,'A E ⊂平面'A DE ,∴平面'A DE ⊥平面BCDE ,,BE ED ⊥平面'A DE 平面BCDE ED =,//BC AD ,C ∴到平面'A DE 的距离为1BE =.''1136C A EM A EM V BE S -∴=⋅⋅=!,'''13A BCME CA EM A BCEV V V =+=多面体多面体多面体. ':2:1A BCME MCDE V V ∴=多面体多面体.（Ⅲ）连结BD 交CE 于O ,连结OM , 在四边形BCDE 中,//BC DE ,BOC DOE ∴!!∽,23OD BD ∴=, '//A B 平面CME ,平面'A BD平面CEMOM =,'//A B OM ∴,在'A BD !中,//'OM A B ,'1'3A M BO A D BD ∴==, '1,2,'A E DE A E ED ==⊥,∴在'Rt A ED !中,'A D ='3A M ∴=. 7.（2018北京朝阳区高三二模数学(文)）如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：AB //平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积； （Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC 垂直，并给出证明．．.【答案解析】 证明：（Ⅰ）因为ABDC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面， 所以//AB 平面PDC ． ……3分 （Ⅱ）取BC 中点F ，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =，且1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形. 又因为3PB =，BF =,所以2PF =.所以1132162333P ABCD ABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分 （Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点F 为BC 中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 8.（2018北京海淀区高三一模数学(文)）如图，四棱锥ABCD E -中，BC AD //，112AD AB AE BC ====，且⊥BC 平面ABE ，M 为棱CE 的中点．（Ⅰ）求证：//DM 平面ABE ；（Ⅱ）求证：平面CDE ⊥平面CBE ；（Ⅲ）当四面体D ABE -的体积最大时，判断直线AE 与直线CD 是否垂直，并说明理由．【答案解析】（Ⅰ）证明：取线段EB 的中点N ，连接,MN AN ． 因为M 为棱CE 的中点， 所以在CBE ∆中//MN BC ，12MN BC =． …………………….…1分 又//AD BC ，12AD BC =, 所以//,MN AD MN AD =.所以四边形DMNA 是平行四边形,所以//DM AN . …………………….…2分又DM ⊄平面ABE , AN ⊂平面ABE ,所以//DM 平面ABE . …………………….…4分（Ⅱ）因为AE AB =,N 为EB 中点,所以AN BE ⊥. (5)分又BC ⊥平面ABE ,AN ⊂平面ABE ,所以BC AN ⊥ .…………………….…6分 又BCBE B =,所以AN ⊥平面BCE . …………………….…7分 又//DM AN ，所以DM ⊥平面BCE . …………………….…8分因为DM ⊂平面CDE ,所以平面CDE ⊥平面CBE . (9)分（Ⅲ）AE CD ⊥. .…………………….…10分设EAB θ∠=，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ⨯⋅⋅⋅== (11)分当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大. .…………………….…12分又BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ,所以AE BC ⊥. .…………………….…13分 因为BCAB B =,所以AE ⊥平面ABC . 因为CD ⊂平面ABCD ，所以AE CD ⊥. .…………………….…14分9.（2018北京海淀区高三二模数学(文)）如图1，已知菱形AECD 的对角线,AC DE 交于点F ，点E 为AB 的中点.将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 位置，如图2所示. （Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点,M N ，使得平面CFM //平面PEN ？若存在，请指出点,M N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.【答案解析】（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥, …………………2分 又,,PFCF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF …………………4分 （Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形， 所以//,DC AE DC AE =. 又点E 为AB 的中点， 所以//,DC EB DC EB =. 所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE . …………………6分 又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF . …………………8分 因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分 （Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点. ………………10分 如图，分别取PD 和BC 的中点,M N .连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN . …………………11分 在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE . …………………12分 又,EN PE ⊂平面,PEN PEEN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分 10.（2018北京丰台区高三一模数学(文)）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，=2AD BC ，90DAB ABP ∠=∠=︒．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求证：AB ⊥PC ；（Ⅲ）若点E 在棱PD 上，且CE ∥平面PAB ，求PEPD的值．【答案解析】（Ⅰ）证明：因为90DAB ∠=︒，所以AD ⊥AB ． ……………………1分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ， ……………………2分 且平面PAB I 平面=ABCD AB ， ……………………3分 所以AD ⊥平面PAB ． ……………………4分（Ⅱ）证明：由已知得AD ⊥AB因为AD BC ∥， 所以BC ⊥AB ． ……………………5分 又因为90ABP ∠=︒， 所以PB ⊥AB ． ……………………6分因为=PB BC B I ……………………7分 所以AB ⊥平面PBC ……………………8分 所以AB ⊥PC ． ……………………9分 （Ⅲ）解：过E 作EF AD ∥交PA 于F ，连接BF ． ……………………10分因为AD BC ∥， 所以EF BC ∥．所以E ，F ，B ，C 四点共面． ……………………11分 又因为CE ∥平面PAB ， 且CE ⊂平面BCEF ，且平面BCEF I 平面=PAB BF ，所以CE BF ∥， ……………………13分 所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以=EF BC ．在△PAD 中，因为//EF AD ，所以1===2PE EF BC PD AD AD ， ……………………14分 即1=2PE PD ．11.（2018北京丰台区高三二模数学(文)）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1A D ⊥平面ABC ，=AB BC ，平面1BB D 与棱11AC 交于点E ．（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥；（Ⅱ）求证：平面1BB D ⊥平面11AAC C ； （Ⅲ）求证：1B B DE ∥．【答案解析】证明：（Ⅰ）因为 1A D ⊥平面ABC ，所以 1A D ⊥AC ． …………………1分因为△ABC 中，=AB BC ，D 是AC 的中点，所以 BD AC ⊥． …………………2分 因为 1A DBD D =， …………………3分EABCB 1C 1A 1D所以 AC ⊥平面1A BD ． …………………4分 所以 1AC A B ⊥． …………………5分 （Ⅱ） 因为 1A D ⊥平面ABC ， 因为 BD ⊂平面ABC ，所以 1A D BD ⊥． …………………6分 由（Ⅰ）知 BD AC ⊥． 因为 1ACA D D =， …………………7分所以 BD ⊥平面11A ACC ． …………………8分 因为 BD ⊂平面1BB D ，所以 平面1BB D ⊥平面11AAC C ． …………………9分 （Ⅲ）因为在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 为平行四边形，所以 11B B A A ∥． …………………10分 因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ， …………………11分 所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………12分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =，…………………13分所以 1B B DE ∥． …………………14分12.（2018北京石景山区高三一模数学(文)）如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD △是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（Ⅰ）求三棱锥D ABC -的体积； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面DEF ；（Ⅲ）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且38CN CA =，求证：MN //平面DEF ．AB CDNFME【答案解析】解：（Ⅰ）因为BCD △是正三角形，且AB BC a ==，所以2BCD S △． ………………2分 又AB ⊥平面BCD ， ………………3分故13D ABC A BCD V V AB --==⋅⋅S △BCD 213a =⋅3=． ………………4分 （Ⅱ）在底面ABC 中，取AC 的中点H ，连接BH ， 因AB BC =，故BH AC ⊥． 因3AF FC =，故F 为CH 的中点． 又E 为BC 的中点，故EF ∥BH ， 故EF AC ⊥．……5分因AB ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABC ， 故平面ABC ⊥平面BCD ．BCD △是正三角形，E 为BC 的中点，故DE BC ⊥，故DE ⊥平面ABC ． ………………7分AC ⊂平面ABC ，故DE ⊥AC ． ………………8分又DE EF E ⋂=，故AC ⊥平面DEF ． ………………9分（Ⅲ）当38CN CA =时，连CM ，设CM DE O ⋂=，连OF ．因E 为BC 的中点，M 为DB 中点，故O 为△BCD 的重心，23CO CM =． ………………10分因3AF FC =，38CN CA =，故23CF CN =，所以MN ∥OF ． ………………12分 又OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所以MN ∥平面DEF ． ……14分 13.（2018年北京高考真题数学(文)）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.ABCDN F M EHO（Ⅰ）求证：PE ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求证：EF ∥平面PCD . 【答案解析】【解析】（Ⅰ）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥. ∵底面ABCD 为矩形，∴BC AD ∥， ∴PE BC ⊥.（Ⅱ）∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD . ∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥,学科.网∵PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD . （Ⅲ）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF∥平面PCD.。