南昌市高中数学竞赛试题及答案

2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案

（注意：题号后凡标有“高一”的，为高一学生解答题；凡标有“高二”的，为高二学生解答题；凡未作以上标志的，则为高一、高二学生共同解答题）

一、填空题（每题10分，共80分）

1.

的结果是．

答案：1 . 2

解：(

(

(

) 222

1311,5141, =++=+-+=-=

)

)22

1

312

2

+=+==

⎝⎭

，故原式

1

.

2

=

（高二）设0

ab≠，若函数()2

1

24

f x x ax b

=++与()2

2

42

f x x ax b

=++具有相同的最

小值u，函数()2

3

24

f x x bx a

=-++与()2

4

42

f x x bx a

=-++具有相同的最大值v，则u v

+=．

答案：0.

解：()()()()

22

2222 12

44,22424,

f x x a b a b a f x x a b a b a

=++-≥-=++-≥-

故由22

424

b a u b a

-==-，得2

23

b a

-=…………①

故由22

424

a b v a b

+==+，得2

23

a b

=…………②

由①②得，()()

22

23,

b a b a

+=-所以0

b a

+=…………③，或者

2

3

b a

-=…………④若

2

3

b a

-=，由②④，2

2

23

3

b b

⎛⎫

-=

⎪

⎝⎭

，即()2

3130

b-+=，矛盾！

故只有0

b a

+=，此时，()()()()()

22

265655560.

u v b a a b a b b a

+=-++=+-+=

2.（高一）若k个连续正整数之和为2016，则k的最大值是．

答案：63.

解：设()()()

()1

201612

2

k k

n n n k kn

+

=++++++=+

L，则

()

214032

k n k

++=，注意62

4032237

=⋅⋅，且21

k n k

<++，为使k值最大，当选取,k n 使得4032的较小因子尽可能去取得最大，由于40326364

=⨯，可令

63,2164k n k =++=（此时对应于0n =）

． （高二） p 是椭圆

22

1259

x y +=上位于第一象限的一点，若p 与两焦点的连线互相垂直，则点p 的坐标为 ．

答案：9.4⎫⎪⎪⎝⎭

解：椭圆两焦点为()()124,0,4,0F F -，若点P 坐标为(),,0,0P x y x y >>，则

221259x y +=，以及144

y y

x x ⋅=--+，解得9.44x y == 3.（高一） 三角形的边长为正整数，周长为24，这种三角形共有 个．

答案：12个．

解：设三角形的三条边长为,,a b c ，且a b c ≥≥，24a b c ++=，则8a ≥，再由b c a +>，得224a a b c <++=，所以12,a <即11a ≤，于是811,a ≤≤

在11a =时，13b c +=，于是()()()()()(),11,2,10,3,9,4,8,5,7,6b c =； 在10a =时，14b c +=，有()()()()(),10,4,9,5,8,6,7,7b c =； 在9a =时，15b c +=，有()()(),9,6,8,7b c =；

在8a =时，16b c +=，有()(),8,8b c =；共计12种情形．

（高二）锐角三角形ABC 中，9

9

9

tan tan tan A B C ++的最小值是 ．

答案：

解：记tan ,tan ,tan A x B y C z ===，则,x y z xyz xyz x y z ++==++≥

两边立方，得xyz ≥x y z ===， 4.（高一）若θ为锐角，使得44515

sin ,cos 6161

a a a a θθ+-==++，则a = ． 答案：24.

解：据2

2

2

2

445151sin cos 6161a a a a θθ+-⎛⎫⎛⎫

=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

，得()526240a a -=，解得

2a =及24，若2a =，则cos 0θ<，不合题意，故只有24.a =

（高二）单位正方体（各棱长皆为1的正方体）中，将每一对相邻的中心连接，得到一个具