第四章流体流动微分方程

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第四章流体的有旋流动和无旋流动

第四章流体的有旋流动和无旋流动在上一章中我们阐述了流体流动的一些基本概念，导出了流体流动的连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程等，为解决工程实际问题奠定了一定的理论基础。

本章将进一步讨论流体的有旋流动和无旋流动。

第一节流体微团运动的分析我们知道，刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。

但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。

因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。

所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。

变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。

下面我们分别讨论这几种运动情况。

一、移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx 、dy 、dz ，形心a 处的速度为u，沿三个坐标轴的速度分量分别为u x 、u y 、u z ，如图4－1所示。

如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量也都是u x 、u y 和u z ，那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变。

图4－1 微团移动分析4－2 微团旋转运动分析二、转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy 平面的轴(z 轴)转动的情况，如图4－2所示。

设O 点在x 轴和y 轴方向的速度分量分别为u x 和u y 。

当A 点在y 轴方向的分速度不同于O 点在y 轴方向的分速度及B 点在x 轴方向的分速度不同于O 点在x 轴方向的分速度时，流体微团才会发生旋转。

A 点在y 轴方向的分速度和B 点在x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为x xu u d y y ∂∂+和y yu u d xx ∂∂+，它们相对于O 点的对应分速度(相对于O 点的线速度)分别为x xu d y ∂∂和y yu d x∂∂，所以它们相对于O 点的角速度(逆时针方向旋转为正)应为A 点上xu x x xu ∂∂=∂∂y y d /dB 点上 yuy y y u ∂∂-=∂∂-x x d /d 而对于微团中其它各点绕z 轴转动的角速度(如C 点等)则是由该点y 向的分速度在x 轴方向的变化量和x 向的分速度在y 轴方向的变化量共同产生的。

流体力学第四章

• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的总流：无数微元流束的总和。
38
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的流速分布沿程不变非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；（2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。

流体力学

第四章流体流体运动学和流体动力学基础
流体力学基本方程
连续性方程
动量方程
动量矩方程
伯努利方程
能量方程
第一节描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周水力半径当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t

流體力學第四章伯努利方程

第四章伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。

为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1）按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2）式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4）将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。

第四章恒定总流基本方程

z1

pg1

1v12
2g

z2

pg2

2v22
2g
hw
P32
教师：朱红钧
2、恒定总流伯努利方程的适用条件
（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过流断面必须是渐变流（或均匀流）断面
但两过流断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。（6）两过流断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
流前，先分析元流流动，然后将元流积分就可推
广到总流。
元流总流
P8 教师：朱红钧
2、控制断面恒选在渐变流上
什么是渐变流呢?
在总流分析法中，其控制断面恒取在渐变流，或其极限情况（均匀流）。
想一想为什么控制断面恒选在渐变流上？
为什么不能选在急变流段呢？
P9
教师：朱红钧
非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率半径很大，接近平行为渐变流（Gradually Varied Flow），否则为急变流（Rapidly Varied Flow）。
际
zA

pA
g

uA2 2g

zB

pB
g
0 hw
Δh
H
0
0
应
令
uA
u
及
hw
u2 2g
u AB
式中称为水头损失因数，由实验确定，图毕4-6托毕管托管的测速原理
用
值大于0且接近于0。
P36
教师：朱红钧
则
u 1
1
2g[(zB

pB
g
)

A4流体的运动微分方程

（2）遵循的规律
牛顿第二定律
（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力只有压应力，即动水压强。
p = p ( x，y，z，t )
（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。
基本思路:(1)取微元体 (4)得出结论
(2)受力分析 (3)导出关系
1.取微元体
在某一瞬时在运动无黏性流体中取出棱边为dx，dy，dz的一微小平行六面体。
2.受力分析
作用在流体上力：(1) 表面力；(2) 质量力 (1)表面力（以X方向为例）包括压应力和剪应力左表面右表面
(2)质量力 X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的
质量为ρdxdydz ，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：
Xρdxdydz 、Yρdxdydz 、Zρdxdydz
（1）、切应力的特性：
yx
xy
( u y
x
ux ) y
式4-3
yz
zy
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
u x z
)
实际流体切应力普遍表达式，也称广义的牛顿内摩擦
定律。
（2）、压应力的特性和大小：
p ——平均压应力
px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
三、毕托管
测量点流速的仪器
原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。
图：
uA
h
A
h
uA
A
BA Z
V Z
图 4-17 皮托管测速原理
公式：
z
pB
g
u2 2g

流体运动微分方程

du du d 牛顿内摩擦定律，且 dy dy dt
d dt
流体为团运动时的角变形速度是纯剪切变形速度的两倍,顾有：
u y u x d 2 xy dt x y
则 xy yx
u y u x d ( ) dt x y
法向应力与线变形速度的关系
u x p xx p 2 x u y p yy p 2 y u z p zz p 2 z
d ux u 1 u x u x p u y u x u X [ ( ) ( ) ( x z )] dt x x x x y x y z z x
, p zz -p pzz
对于不可压缩均值流体，附加法向应力等于流体动力粘度与两倍的线变形速度的乘积，即
u x p 2 xx 2 x u y , p yy 2 yy 2 y u z , p zz 2 zz 2 z
, xx
pxx pyy pzz
可以用任意一点三个相互垂直方向上的法向应力的平均值p的负值作为黏性流体在该店的压强黏性流体哥哥方向的法向应力等于这个平均值加以个附加法向应力
1 p ( p xx p yy p zz ) 3
, p xx -p pxx
p yy -p p,yy
因此，切应力方向分量与角变形速度的关系
xy zy xz
粘性流体运动时存在切应力，所以法向应力的大小与其作用面的方向有关，三个相互垂直的法向应力大小一般不相等，即
u x u y yx ( ) 2 xy y x u y u yz ( z ) 2 zy y z u u zx ( x z ) 2 xz z x

第四章流体流动微分方程

就简为力平衡方程，就简为力平衡方程，即
§ 4.3 狭缝流动分析
∂τ yx 微元体上x方 ∂p = −τ yxdx + τ yx + dy dx + pdy − p + dx dy 向的诸力之和 ∂y ∂x
+ ρ g cos β dxdy
∂τ yx ∂p = − + ρ g cos β dxdy = 0 ∂y ∂x
该条件为不可压缩流体一维稳态流动的连续性条件
§4.2 圆管中流体的层流流动
的圆截面直管道的不可压缩粘性流体以倾斜角为β 的圆截面直管道的不可压缩粘性流体的定常层流流动为例的定常层流流动为例。
采用柱坐标，采用柱坐标，参数如图，一维流动，如图，一维流动，
u r = uθ = 0
§4.2 圆管中流体的层流流动
∆p∗ π R 4 2 qV = π R u m = 3. 圆管体积流量 L 8µ π R 4 ∆p qV = 水平管: 水平管: 8µ L 哈根哈根-泊谡叶方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
4. 阻力系数与流动损失定义式 ∆p = λ L
∗
( D ) ( ρu 2)
2 m
∆p ∗ R 2 ∆p∗ D 2 um = = L 8µ L 32 µ
x
§4.1
不可压缩流体的一维层流流动概述
二、常见边界条件流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题，流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题，边界条件和初始条件确定的常见的流场边界条件有三类 1 固壁-流体边界固壁由于流体有粘滞性，故与流体接触的固由于流体有粘滞性，体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。特别的在静体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。止的固体壁上，流体的速度为零。止的固体壁上，流体的速度为零。液体2 液体-气体边界为零。为零。对于非高速流动，对于非高速流动，气液界面上的切应力相对于液相内的很小，相对于液相内的很小，故通常认为液相切应力在气液界面上

粘性流体流动的微分方程-PPT

得作用情况, x为x 法向应力分量, 和 xz 为切xy 向应力分
量,即剪应力分量
下标得含义为: 第一个下标x为应力分量得作用面与x轴相垂直, 第二个下标表示应力分量得作用力方向分别为x轴,y轴和z轴方向。显然,两个下标均相同时,即表示法线应力。
法线应力: 拉伸方向为正,即向外为正; 压缩方向为负,即向内为负。
柱坐标系上得连续性方程:
'
1 r
r
(rur )
1 r
(u
)
z
(uz )
0
R－径向坐标
(3－16)
Z－轴线坐标
－方位角
'－时间
ur、u、uz 为三个方向上得流体速度分量
球坐标系上得连续性方程:
'
1 r2
r
(r2ur )
1
r sin
(u
sin )
1
r sin
(u )
0
－全纬度
独立得,而就是相互关联得。下面将导出其相互关系。
将图中得流体微元得x－y平面上一个相
应平面分离出来加以观察,则环绕该平面
四周上所作用得4个剪应力表示如下图:
xy
xy
x
dx 2
yx
yx
y
(x,y,z)
dy 2
y
yx
yx
y
dy 2
dy dx 2 dx
xy
xy
x
dx 2
2 dy0 2
3－2 对连续性方程得分析和简化
将连续性方程展开可得其另一种形式为:
( ux
x
u y y
uz z
)
ux
x
uy
y

流体力学第四章

1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流量计常数。
实际流量： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一章。本章建立了控制流体运动的微分方程，即理想流体运动微分方程和实际流体的运动微分方程；并介绍了求解理想流体运动微分方程的伯努利积分形式；构建了工程流体力学中应用最广的恒定总流运动的三大基本方程：连续性方程、伯努利方程（即能量方程）和动量方程。通过本章的学习要培养综合运用三大基本方程分析、计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。

流体力学第四章-黏性流体的运动和阻力计算

Pgh qvpvq12 dL 4 8v 2 q
6、层流起始段长度——见课本74页
*4.4 圆管中的湍流流动
30
一、脉动现象与时均值
1、这种在定点上的瞬时运动参数随时间而发生波动的现象称为
脉动。
2、时均法分析湍流运动
u u u'
如取时间间隔T，瞬时速度在T时间内的平均值称为时间平均速度，简称时均速度，即
二局部阻力某段管道上流体产生的总的能量损失应该是这段管路上各种能量损失的迭加即等于所有沿程能量损失与所有局部能量损失的和用公式表示为三总能量损失能量损失的量纲为长度工程中也称其为水头损失221圆管层流时的运动微分方程牛顿力学分析法可参考课本71页的ns方程分析法取长为dx半径为r的圆柱体不计质量力和惯性力仅考虑压力和剪应力则有pdpdxdprdxdpdrdudxdpdrdu根据牛顿粘性定律再考虑到则有dr图41圆管层流的速度和剪应力分布25在过流断面的任一半径r处取一宽度为dr的圆环如图42所示
u1
Tudt1
T(uu')dt1
Tudt1
T
u'dt
T0
T0
T0
T0
u1
T
u'dt
T0
时均压强
p
1
T
pdt
T0
.
二、湍流的速度结构、水力光滑管和水力粗糙管
31
1．湍流的速度结构管中湍流的速度结构可以划分为以下三个区域：
（1）粘性底层区（层流底层）：在靠近管壁的薄层区域内，流体的粘性力起主要作用，速度分布呈线性，速度梯度很大，这一薄层叫粘性底层。如图所示。
湍流层流的临界速度 ——下临界流速
v c ——上临界速度
v c ——下临界速度

流体力学-第四章流体动力学基础

Dt t CV
CS
单位质量流体的能量 e (u V 2 gz) 流体系统的总能量
2
DE ed eV ndS
Dt t CV
CS
E ed
初始时刻系统与控制体重合
Q WSYS Q WCV
ed eV ndS Q W
t CV
CS
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
雷诺输运定理：
举例：动量定理运用于流体系统
F Dk Dt
F 是外界作用系统的合力，K 是系统的动量，
k Vd
由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随
时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即
求该流体系统体积分的物质导数。
取 N M 单位体积的质量
DM 0 Dt
d V ndS 0
t CV
CS
d V ndS 0
t CV
CS
积分形式的连续性方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
非定常流动情况下：
d V ndS 0
t CV
CS
即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流入与流出控制体的流体质量相等。
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS

第四章流体的积分关系式及其应用

第四章流体的积分关系式及其应用众所周知，一个固体质点在保守力场中运动时，质点的动能和势能之和保持不变，这就是经典物理中的机械能守恒定律。

从数学的观点看，机械能守恒是动量方程的一次积分，称为能量积分。

有了能量积分方程，我们在处理保守场中的动力学问题时，就可通过该方程将始、末两态直接联系起来，而不必考虑中间过程的细节。

在流体力学中也有类似的积分。

前面一章建立了控制流体流动的微分方程组，原则上利用该方程组可以求解满足Stokes 假设的Newton 流体的任意流动问题。

对于理想流体流动问题，可以直接积分微分方程，得到积分方程。

利用积分方程求解流动问题显然更为简便，因而这些积分方程得到广泛应用。

什么样的流体是理想流体呢？当流体发生剪切变形时总会伴有粘性应力。

粘性应力不仅与流体的粘性性质(以粘性系数表征)有关，还依赖于速度梯度，对于低粘（μ小）流体的流动，如果速度的空间变化不太急剧，粘性应力就比较小。

如果粘性应力对所研究的流动问题影响较小，可以忽略流体的粘性，认为流体是无粘的，即理想流体。

一般常见的流体，如空气和水，粘性系数很小，在自然界和工程中遇到的这些流体的大多数流动，粘性的影响都可以忽略，都可以近似看作理想流体流动。

在流体力学发展的历史上，无粘流理论是流体力学中历史悠久，发展完善，成果辉煌，应用广泛的一个分支领域。

§4.1理想流体运动方程的进一步化简理想流体满足Euler 方程：dV pF dt ρ∇=-，（4-1）或者改写成兰姆—葛罗米柯形式2rot 2VV p V V F t ρ⎛⎫∂∇+∇+⨯=- ⎪∂⎝⎭。

（4-2）若体力有势F π=-∇，（4-3）其中π代表体力势，即单位质量流体的势能。

如果体力仅为重力，取z 轴沿g -方向，并取0z =为零势能面，则gz π=。

若流体密度是常量或仅为压强的函数，则称流体是正压流体。

若流体正压，)(p ρρ=，此时可定义压力函数()dpP p ρ=⎰（4-4-1）或()dpdP p ρ=。

第4章流体动力学基本方程

h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速度水头之和即总水头为一常数。对于有旋流动，同一流线上各点的总水头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和不变，即单位重量流体的机械能守恒。因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6

第四章流体动力学微分形式的基本方程

第四章流体动力学微分形式的基本方程§4-1运动流体中的应力张量流体中的应力一、运动流体中的应力张量作微元四面体，如图()cos ,x n nA A n x A Δ=Δ=Δx n ()cos ,y n nA A n y A Δ=Δ=Δy n ()cos ,z n nA A n z A Δ=Δ=Δz n00当()00,0,0dv dx dy dz →→→→n x y zA A A A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p p n x n y n z nA n A n A n A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p pn n n =++x y zxx xy xzp p p =++n x y z x p p p p p i j k yx yy yzzx zy zzp p p p p p =++=++y z p i j k p i j k y 分量公式：nx ny nzp p p =++n p i j k nx x xx y yx z zxp n p n p n p =++ny x xy y yy z zynz x xz y yz z zz p n p n p n p p n p n p n p =++=++⎛xx xy xz p p p ⎞⎜⎟=为对称张量yxyyyz zxzy zz P p p p p p p ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 为对称张量P =++x y z ip jp kp x y z n n n P=++=i 依赖于通过某点的面元方位P是的函数n x y z p p p p n (),t 依赖于通过某点的面元方位，P是的函数.n p r二、理想流体中的应力00p αβαβ≠⎧=⎨1111222233330= nn nn nn p n n p p n n p p n n p βαβ≠⎩===112233nn p p p p ∴===理想流体任一方向应力分量都相等p P p δ=−=−n p n+∇i V =0()t ρ∂t∂:适用惯性坐标系,非惯性坐标系,理想流体和非理想流体.⎛()()200v e ,t ,A A t 2φφφττ⎞==×=+==⎜⎟⎝⎠V, r V ，d d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V VD ∫∫∫∫∫∫∫∫ A Dt ττD ⎛⎞V ∴0d Dt τρρτ−−∇=⎜⎟⎝⎠∫∫∫f P i1yz xz zz z P P w w w w P u v w f t x y z x y z ρ∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂+++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠=+各项物理意义y x dx dy ∂⎛⎞∂⎛⎞⎟⎟P P z dxdydz+dydz+dxdz x y D +dz dxdy dxdydz ρρ⎜⎜∂∂⎝⎠⎝⎠∂⎛⎞ =f P V （牛顿第二定律）z Dt ⎜⎟∂⎝⎠2Dt ⎝⎠()()()221122R V V e e +q T t λρρ⎛⎞⎛⎞∂++∇+=∇+∇∇⎜⎟⎜⎟∂i i i i i V f V +P V 或⎝⎠⎝⎠§4-5 方程组的封闭性三大方程连续方程动量方程（个）能量方程：连续方程、动量方程（3个）、能量方程。

流体力学第四章微分方程

dt时间内整个六面体流出与流进的流体质量之差：（u ) （v) （w) x y z dxdydzdt
2、六面体内流体质量的变化
在开始时，流体密度为，dt时间后流体密度变为＋ dt。 t 由于在dt时间内从六面体多流出到外部一定的流体质量，所以内部质量要减少，这样在dt时间内六面体内流体密度变化引起的质量减少为： dxdydz ( dt )dxdydz dxdydzdt t t
根据动量守恒 F t ( V ) x ( uV ) y ( vV ) z ( wV ) dxdydz u v w V V V V V V V V u v w dxdydz t x y z x y z t u v w V V V V V dxdydz t u x v y w z dxdydz x y z t dV dxdydz dt
对X方向，有 du u u u u u v w dt t x y z u u v w u u v w (u v w )v w v w t x x x y z x x u u 2 v 2 w2 u w v u ( ) w( ) v( ) t x 2 z x x y u V2 ( ) 2 w y 2v z t x 2
1 p du u u u u u v w x dt t x y z 1 p dv v v v v Y u v w y dt t x y z 1 p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
dx dy dz （ 1) u v w （2) x y z 0 （3) u v w 0 （4) （5) dx dy dz

第四章流体流动微分方程

um
p L
R2
8
p L
D2
32
阻力系数
64
Re
水平管:
hf
p
g
L um2 D 2g
Re Dum
雷诺数
结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。
上节课回顾:
1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立流
体流动微分方程的方法:
输入微元体 -输出微元体+作用于微元体 = 0 的动量流量的动量流量的诸力之和
§ 4.3 狭缝流动分析
微元体上x方向的诸力之和
yxdx
yx
yx y
dy
dx
pdy
p
p x
dx
dy
g cos dxdy
yx
y
p x
g cos
dxdy
0
§ 4.3 狭缝流动分析
切应力方程
yx p g cos p
y x
x
其中 p p gx cos
水平狭缝，由于有β=π/2，
p x p x const
p p0 pL
L
L
又因压差流，U=0，得水平压差流的平均速度
um
b2
12
p x
U 2
um
b2
12
p L
（4-10）
§ 4.3 狭缝流动分析
狭缝流阻力系数λ
定义式 p L b um2 2
um
b2
12
p L
24
Re
Re umb /
§4.3 狭缝流动分析
流体微元如图（b)所示，垂直于x-y平面的厚度为1 外力（ x方向）
上下表面的切应力 τ y，x

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