第四章 流体流动微分方程

ln r
C2
(5-14b)
边界条件
ddurr0 0, urR 0
§4.2 圆管中流体的层流流动
切应力与速度分布（用于一维稳态不可压缩充分发展层流流动）
rz
p L
r 2
(5-16)
u
p L
R2
4
1
r R
2
(5-17)
§4.2 圆管中流体的层流流动
最大流速、平均流速、圆管流量、阻力系数与 流动损失
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流体
沿流动方向上的速度变化必然为零（满足该条件的流动
又称充分发展的流动）即有
u = 0 x
该条件为不可压缩流体一维稳态流动的连续性条件
§4.2 圆管中流体的层流流动
以倾斜角为 的 圆截面直管道的不可压缩粘性流体的
《工程流体力学》 电子教案
第四章 流体流动微分方程
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述 §4.2 圆管中流体的层流流动 §4.3 狭缝流动分析 §4.4 连续性方程 §4.5 以应力表示的运动方程 §4.6 粘性流体运动微分方程（N-S方程）
及应用
§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述
着眼于流场中的点（微元体）建立流体流动的微分方 程。微分方程所给出的流场分布信息，不仅揭示了宏 观流动现象的内在信息，且是确定最大速度、流动阻 力、壁面切应力等工程实用参数必需的。 一、建立流动微分方程的基本方法(应用动量守恒定 律与牛顿剪切定律) 基本步骤分三步： 1、 建立微元体的动量守恒方程。对于稳态流动有
§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述
3 液体-液体边界 由于穿越液-液界面的速度分布或切应力 分布具有连续性，故液-液界面两侧的速度或切应力相等。 三 、流体流动条件说明
以下两小节研究不可压缩流体的一维层流流动几种工程 常见情况。稳态意味着流动过程与时间无关；不可压缩意味 着流体密度为常数；一维流动意味着流体指在一个坐标方向 上流动，且速度的变化也只与一个空间坐标有关；层流指的 是平行流动的流体层之间只有分子作用，只有在层流条件下 牛顿剪切定律才成立。（层流概念详细见教材第九章）
输入微元体 - 输出微元体 +作用于微元体 = 0 （4-1） 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
。
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
2、 牛顿剪切定律作为补充方程将速度和切应力联系起来。 对于左图一维流动，牛顿剪切定律为
yx
du dy
（4-2）
y
yx
yx 下标y表示切应力所在平面的法线方向，
rz
r
p z
g
cos
r
p z
令 p p gz cos
p p0gz0 cos pL gzL cos
const
p L
§4.2 圆管中流体的层流流动
积分上式，切应力分布方程
du dr
rz
p L
r 2
C1 r
(5-13b)
速度分布方程 （适用牛顿流体）
u
p L
r2
4
C1
定常层流流动为例。
采用柱坐标，参数 如图，一维流动，
ur u 0
§4.2 圆管中流体的层流流动
流体微元如左图， 受力分析:(z方向）
表面切应力： rz
流动截面上的压力：p 单位质量的重力g的分量：
g cos
§4.2 圆管中流体的层流流动
一维不可压缩稳态流 动（充分发展的流动），
即 u 0 z
应用：工业上如 活塞与气缸之间的缝隙等
假设:
▪ 平行平板很长，不可压缩粘性流体作定常层流
流动。
▪ 采用直角坐标系
vz
vy
0，vx x
0
§4.3 狭缝流动分析
一方面，可忽略端部效应及进出口的影响，视为充 分发展的流动；
另一方面，狭缝的水力直径很小，且化工介质的黏 度较大，故雷诺数较小故处于层流流动。
1. 最大流速 管轴处:
umax
p L
R2
4
2. 平均流速
um
1
R2
R
u 2 rdr
p
R2
umax
0
L 8 2
3. 圆管体积流量
qV
R2um
p L
R4 8
水平管:
qV
R4p 8 L
哈根-泊谡叶方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
4. 阻力系数与 流动损失
定义式
p
L D
um2 2
就流动因素而言，一种是由进出口两端的压力差产 生的流动，称为压差流；另一种是由于两壁面的 相对运动产生的流动称为剪切流。还有非水平的 狭缝流动，将有重力的影响。
§4.3 狭缝流动分析
§4.3.1 狭缝流动的微分方程 下图（a)所示，两平壁（间距为b)之间的流动。下 壁固定，上壁面以速度U平行下壁面运动。在平壁间， 密度ρ的不可压缩 流体沿x轴方向做一维 层流流动，速度为u，主 流方向（x轴正向）与重 力加速度g之间的夹角为 β.
um
p L
R2
8
p L
D2
32
阻力系数
64
Re
水平管:
hf
p
g
L um2 D 2g
Re Dum
雷诺数
结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。
上节课回顾:
1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立流
体流动微分方程的方法:
输入微元体 -输出微元体+作用于微元体 = 0 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
故在z 方向有
输入微元体动量流量：
（u u2 rdr)
输出微元体动量流量：
（u u2 rdr)
动量守恒方程
相等
力平衡方程
§4.2 圆管中流体的层流流动
微元体上z向 的诸力之和
rz
2 rdz
rz
rz
r
dr
2
r
dr dz
p2
rdr
p
p z
dz
2
rdr
g
Hale Waihona Puke Baiducos
2
rdrdz
切应力方程
r
r
下标x表示切应力作用方向。
x
3、 将上面两式处理后可消去切应力，获得关于流 体速度的微分方程-流体微分方程。
§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述
二、常见边界条件 流体的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题， 常见的流场边界条件有三类 1 固壁-流体边界 由于流体有粘滞性，故与流体接触的固 体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。特别的在静 止的固体壁上，流体的速度为零。 2 液体-气体边界 对于非高速流动，气液界面上的切应力 相对于液相内的很小，故通常认为液相切应力在气液界面上 为零。
a .写出微元体的动量守恒方程
b .给出速度与应力的关联式
yx
du dy
c .联立两方程求出速度分布式、切应力分布式
2. 用1.的方法推导出圆管内的速度、切应力分布式
速度分布式
u
p L
R2
4
1
r R
2
切应力分布式
rz
p L
r 2
阻力系数
64
Re
§4.3 狭缝流动分析
狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（或板间 距大大小于板宽的平行平板)间的流动。