【数学】第二章《章节总体设计》教案(新人教A版必修5)

课 题：数列复习小结

2课时

教学目的：

1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系 3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 授课类型：复习课 课时安排：2课时 教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()

1(111n S S n S a a n n

n [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++= 321

2、等差数列 [等差数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 [等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 [等差数列的通项公式]

如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 [说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。 [等差数列的前n 项和] 1．2

)(1n n a a n S +=

2. d n n na S n 2)

1(1-+=

[说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 [等差中项]

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2

b

a A +=

或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

2． 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--2

3121n n n a a a a a a ，如图所示：

n

n a a n a a n n a a a a a a ++---11

2,,,,,,12321

3．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*

N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k

k S S 23-成等差数列。如下图所示：

k

k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 3、等比数列 [等比数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。 [等比中项]

如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么G

b a G =，即ab G =2

。 [等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列{}n a ，若

)0(1

≠=+q q a a n

n ，则数列{}n a 是等比数列。

2．等比中项：对于数列{}n a ，若2

12++=n n n a a a ，则数列{

}n a 是等比数列。 [等比数列的通项公式]

如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。 [等比数列的前n 项和]

○

1)1(1)

1(1≠--=q q

q a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n =

[等比数列的性质]

1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=

3． 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅

也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n

a a a a a a 。如图所示：

n

n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11

2,,,,,,12321

4．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。如下图所示：

k

k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 4、数列前n 项和 （1）重要公式：

2

)

1(321+=

+++n n n ； 6

)

12)(1(3212222++=

+++n n n n ；

2333)]1(2

1

[21+=++n n n

（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+ （3）等比数列中，n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+ （4）裂项求和：

1

1

1)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）