【数学】第二章《章节总体设计》教案(新人教A版必修5)

课 题：数列复习小结
2课时
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系 3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 授课类型：复习课 课时安排：2课时 教学过程：
一、本章知识结构
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
四、知识精要：
1、数列
[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()
1(111n S S n S a a n n
n [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++= 321
2、等差数列 [等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

[等差数列的通项公式]
如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。

[等差数列的前n 项和] 1．2
)(1n n a a n S +=
2. d n n na S n 2)
1(1-+=
[说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

[等差中项]
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2
b
a A +=
或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=
2． 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--2
3121n n n a a a a a a ，如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321
3．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*
N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k
k S S 23-成等差数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 3、等比数列 [等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

[等比中项]
如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么G
b a G =，即ab G =2。

[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列{}n a ，若
)0(1
≠=+q q a a n
n ，则数列{}n a 是等比数列。

2．等比中项：对于数列{}n a ，若2
12++=n n n a a a ，则数列{
}n a 是等比数列。

[等比数列的通项公式]
如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

[等比数列的前n 项和]
○
1)1(1)
1(1≠--=q q
q a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n =
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=
3． 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅
也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n
a a a a a a 。

如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11
2,,,,,,12321
4．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 4、数列前n 项和 （1）重要公式：
2
)
1(321+=
+++n n n ； 6
)
12)(1(3212222++=
+++n n n n ；
2333)]1(2
1
[21+=++n n n
（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+ （3）等比数列中，n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+ （4）裂项求和：
1
1
1)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）。